Familiematematikk MATTEPAKKE 5. Trinn May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy
Aktiviteter Hanois Tårn Historie: Legenden forteller: Ved jordas begynnelse plasserte Gud tre alen høye stolper på en messingplate ved tempelet Benares, verdens midtpunkt. På en av stolpene plasserte han 64 gullskiver. Den største lå nederst, og så ble platene mindre og mindre oppover søylen. Dette kalles Brahmas tårn, eller Tårnet i Hanoi. Dag og natt, og uten stans, flytter prestene gullskiver fra den ene stolpen og over på de andre etter Brahmas uforanderlige regler: Bare en plate kan flyttes av gangen, og det skal aldri ligge en større plate oppå en mindre. Målet er å få hele tårnet flyttet over til en av de andre stolpene. Når dette er gjort, vil verden gå under og bli til støv. Denne legenden ble oppfunnet av den franske matematikeren Edouard Lucas i 1883. Sett de tre pinnene nedi brettet. Begynn med 3 ringer oppå hverandre på en pinne. Den største ringen skal ligge nederst, så den nest største og den minste på toppen. Du skal nå prøve å flytte alle ringene over på en annen pinne, men dette må gjøres på en bestemt måte. Du kan ikke legge en større ring oppå en mindre ring. Når du flytter en ring til en annen pinne telles det som ett trekk. Det er om å gjøre å flytte hele tårnet over til en annen pinne på færrest mulig trekk. Du må bruke alle pinnene for å greie oppgaven! Gjør dette flere ganger og noter svarene. Hva er det minste antall trekk for å flytte tre ringer fra en pinne til en annen? Lag en tabell, og skriv inn resultatene slik: Antall skiver i tårnet 1 2 3 4 5 Minste antall trekk 1 Gjør deretter det samme med 4 etasjer. Når du er sikker på at du har funnet minste antall trekk for både 3 og 4 etasjer fører du resultatene inn i tabellen. Slik fortsetter du med 5 etasjer osv. Kan du se et system i tallene? Prøv å gjette hvor mange trekk som er nødvendig hver gang. Finner du et system i hvordan brikkene må flyttes for at det skal gå på færrest mulig trekk? Zacry Zzupel kuber Grunnflate, overflate og volum Vi sier at Zacry Zzupel-kube har volum 1, og at hver flate har areal 1. Det betyr at en enkelt kube har overflate 4. a) Bygg en figur med grunnflate på 4 og volum 8. Hva kalles en figur med denne formen? Hvor stor er overflaten til denne figuren? b) Bygg andre figurer med volum 8.
c) Bygg en figur med grunnflate 6 og høyde 2. Hvor stort volum har denne figuren? Hvor stor overflate har figuren? d) Lag en figur med volum 21? Hvordan ser den ut? Hvilken overflate har den? Soma-kuben Lag så mange forskjellige klosser kan du av inntil fire kuber, når vi krever at klossene skal ha minst en innvendig vinkel? Det finnes 7 forskjellige, og de har 21 Zacry Zzuppel-kuber til sammen. Dette settet med klosser, kalles en SOMA-kube. De kan settes sammen til en terning med grunnflate 3x3 kuber. Prøv om du kan! En løsning finnes bakerst i heftet. Etterpå kan du prøve å lage disse figurene: Pentakuber Hvor mange forskjellige byggverk kan du lage med 5 klosser når du ikke tar hensyn til fargen? Det finnes 29 stykker. Klarer du å finne alle? Det er ikke nok Zacry Zzuppel-kuber til at du kan lage alle på en gang. Se på nettstedet: http://clarkjag.idx.com.au/polypages/index.htm?polycubes.html Her finnes også informasjon om heksakuber, heptakuber og oktakuber.
Tallrekka blir slik: Ant. kuber: 2 3 4 5 6 7 8 Ant. varianter: 1 2 8 29 166 1023 6922 Disse byggverkene kan lages av de 29 pentakubene. Prøv! Sett fra ulike sider Til denne aktiviteten får du oppgitt hvor mange kuber du skal bruke for hver oppgave. Vi vil vise tegninger av en figur sett fra 4 ulike sider, ikke topp og bunn. Ut ifra tegningene skal du sette sammen riktig konstruksjon. A) Satt sammen av 5 kuber. 1. side 2. side 3. side 4. side B) Satt sammen av 5 kuber 1. side 2. side 3. side 4. side C) Satt sammen av 5 kuber 1. side 2. side 3. side 4. side
D) Satt sammen av 10 kuber 1. side 2. side 3. side 4. side E) Satt sammen av 10 kuber 1. side 2. side 3. side 4. side
Terninger Terningtriks Bruk en hvit og en rød 0-9 terning. Kast begge terningene. Lag regnestykkene: tallrød tallhvit underrød overhvit overrød underhvit underrød underhvit Finn summen av alle svarene. Fikk du 81? Hvis ikke, må du sjekke regnestykkene dine en gang til. Prøv med et nytt kast. Undersøk summen av tallene over og under terningen for hvert kast. Kan du bruke dette til å forklare hvorfor det blir 81 hver gang? Prøv med en 1-6 rød og en 1-8 grønn terning. Nå skal svaret bli 63. Hva blir svaret hvis du bruker to gule 1-20 terninger? Hva blir det hvis du bruker en rød 1-6 terning og en gul 1-20 terning? Prøv om du kan forklare. Finn andre kombinasjoner og prøv! Spill Spill vanlige brettspill med terninger fra kofferten. Spill med 2 terninger og flytt differansen av terningkastene. Spill med to terninger og flytt produktet av terningkastene. Runde tellebrikker La hver tellebrikke være et drops. Fordel 10 drops på 3 personer. Hvor mange måter kan det gjøres på når det skal være minst et drops til hver? Tegn og forklar. Hva hvis det var 11 drops? Eller 20 drops? Hva hvis det var 4 personer? Løsning SOMA-kuben:
Pentominoer: Verdens enkleste og mest kompliserte puslespill Beat the computer er ikke det litt av en utfordring? Sant å si tviler vi sterkt på om du kan finne mer enn 2339 forskjellige måter å putte brikkene tilbake i esken på. Både den japanske maskinen og andre datamaskiner som er kommet til samme resultat har nok helt rett i sine anslag. I første omgang vil vi tro det er en utfordring nok å få de uskyldige plastbitene tilbake i esken uten å se på løsningen. Dette puslespilllet er på langt nær så troskyldig som det ser ut. Pentominoer er det offisielle navnet på disse puslebitene. Dominoer er kjent for de fleste; svarte trebrikker med hvite prikker. De består av to kvadrater i siamesisk tvillingfasong. En pentomino består av fem kvadrater, sammensatt i sidekantene. Med fem kvadrater som byggestener kan en slik sammensetning gjøres på 12 forskjellige måter: Dette er settet med de 12 pentominoene. De ble båret til dåpen av den amerikanske matematikk-studenten Solomon W. Golomb i 1954, i tidsskriftet American Mathematical Monthly. Senere har de fått stor omtale og utbredelse; bl.a. har de flere ganger vært omtalt i puslespalten i Scientific American. Men egentlig hadde de sin debut lenge før. Den engelske puslekongen Henry Ernest Dudeney hadde i sin bok The Cantebury Puzzles fra 1904 med pentominoene i form av en intrikat sjakkbrettoppdeling. Men noen nærmere utforskning av puslebitenes muligheter gjorde han ikke. Synd han ikke visste hvilken pusleskatt han hadde snublet over, gamle Dudeney. For en skatt er nemlig dette puslespillet. I utgangspunktet ser det så enkelt ut, men viser seg å gi opphav til en utrolig mengde engasjerende oppgaver. Ja til og med et spill, oppkalt etter gudfar Golomb. Rektangler i mange varianter Pentomino-sett i komersiell utgave kommer som regel i en eske i dimensjonen 6x10 kvadrater (se egen faktarute med tips om hvordan du skaffer deg et sett). Datamaskiner har vært satt til å regne på hvor mange forskjellige måter de 12 brikkene kan puttes i esken på. Det ubestridelige svaret er 2339. Men tro derfor ikke at oppgaven er lett! Her er en løsning: En annen løsning går ut på å lage rektangelet som to adskilte rektangler på 5x6. Rektangler av andre størrelser enn 6x10 lar seg også kostruere, for eksempel 4x15, 5x12 eller 3x20. Det siste har bare to mulige løsninger. RUNIT/Arne Asphjell 1986
Hullproblemet Det går også an å lage et rektangel på 5x13, og bygge inn et hull i midten formet som en av brikkene. Alle brikkene kan hulles ut på denne måten. T-en ser slik ut: Modell i tredobbel størrelse Pentominoene har også den snedige egenskap at du kan velge deg en hvilken som helst brikke, og ved hjelp av 9 av de resterende lage en kopi som er tre ganger så stor som originalen. En av løsningene for vinkelen ser slik ut: Tre like Brikkene kan deles i tre hauger, med fire brikker i hver. Av de tre haugene kan det lages tre like figurer. Her er et eksempel du kan prøve deg på (det finnes flere): Dobbeltproblemet Lag en figur ved hjelp av to brikker. Lag en identisk figur med to av de andre brikkene, og bruk de resterende 8 til å lage en kopi som er to ganger så stor. Her er en av flere muligheter: Motivpussel Det går selvsagt an å eksperimentere med litt figurativ kunst. Det er forholdsvis lett å se at figuren nedenfor forestiller en tekanne, men klarer du å lage den? Andre naturalistiske figurer vi har sett er nøkkel, stresskoffert og briller. Slipp fantasien din løs! RUNIT/Arne Asphjell 1986
Oppgaver for viderekomne Nedenfor er vist et par eksempler på pentominoproblemer som regnes for å være ganske intrikate. Korset har bare en kjent løsning. Det taggete kvadratet består av 61 ruter. Det betyr at en rute må være ledig, til sammen dekker de 12 brikkene bare 60 ruter. Det er funnet løsninger med ledig rute i A og B. Det mest elegante ville være en løsning med det ledige feltet plassert i sentrum, men det kan bevises at en slik løsning er umulig. Men en brukbar tilnærming med en taggefeil på den ene siden er det mulig å få til. A B Sjakkbrettet Legger man brikkene på et 8x8 sjakkbrett, får man fire ledige kvadrater. Disse kan plasseres på forskjellige måter. Et firkantet hull i midten, eller fire symmetrisk plasserte hull slik som her (finn andre løsninger). Ingen kantoverlapping På 8x8 brettet er det også mulig å gjøre en del andre småtriks. Forsøk for eksempel å plassere 8 av brikkene på brettet slik at bare hjørnene berører hverandre og ingen av kantene er sammenfallende. For syv av brikkene er dette forholdsvis enkelt, men 8 krever litt mer prøving og feiling. Golombs problem Mannen som lanserte disse brikkene har fått et av problemene oppkalt etter seg. Dette går ut på å plassere fem av brikkene på 8x8-brettet på en slik måte at ingen av de gjenværende får plass. Golombs spill Dette leder oss over til Golombs spill, et spill som i utgangspunktet høres meget enkelt og trivielt ut, men det er før du har prøvd det! Det har flere åpningstrekk enn sjakk, det er umulig å avslutte uavgjort og det går kun på intelligens og dyktighet flaks hjelper lite. Litt av en utfordring med andre ord. Det passer best for to spillere, og reglene er svært enkle: RUNIT/Arne Asphjell 1986
Golombs spill Spillerne legger etter tur en brikke på brettet. Den som legger siste brikke har vunnet. Tips: 1. Legg din brikke slik at det alltid kan legges et like antall brikker etterpå. (Forutsatt at det er to spillere) 2. Hvis du ikke har oversikt over situasjonen, legg din brikke slik at motstanderen blir mest mulig forvirret RUNIT/Arne Asphjell 1986
Med referanse til Golobs problem burde det være innlysende at minste antall trekk er fem. Vanligvis stopper spillet på ca. 8 brikker. Figuren viser en typisk situasjon. Seks brikker er lagt, og nestemann vinner ved å legge den siste som antydet. Siste brikke som ble lagt av taperen var X. En nærmere analyse viser at han kunne vunnet ved å legge en annen brikke slik som figur 1: Figure 1 Spillet kan kanskje virke litt for enkelt og tamt etter første forsøk. Men prøv litt mer, og du vil snart oppdage de dypere sidene av pentominoenes intrikate natur. Skaff deg en motstander og prøv! Slik skaffer du deg et sett pentominoer Pentominoer er ikke akkurat hyllevare i norske samvirkelag. Likevel er det ikke alt for besværlig å bli pentominoeier: 1. Du kan selvfølgelig lage deg et sett, og det enkleste er å klippe ut bitene i papp.lim et rutepapir på en passende stiv kartong, og klipp eller skjær ut. Golomb himself anbefaler følgende utgangspunkt for å oppnå minst mulig kapp samtidig som man kan nøye seg med rette kutt, unntatt for den skraverte brikken: 2. En mer varig versjon får du ved å skjære ut brikkene i balsa eller kryssfiner. Den nevenyttige kan også med fordel benytte en list med kvadratisk tverrsnitt, da får du nemlig en ny dimensjon inn. Tredimensjonale pentominoproblemer er minst tre ganger så vanskelige, men plassen tillater ikke omtale her (esken kan lages 3x4x5). RUNIT/Arne Asphjell 1986
RUNIT/Arne Asphjell 1986