P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 3. Frekvensen av hybelboere er 15 % av 10 elever, altså 10 0,15 = 18 elever. 3.3 Sier vi at det er N elever i Arams klasse, har vi fra opplysningene at N 0,167 = 5. 5 Løser vi dette for N, får vi N = = 30 elever. 0,167 3.4 a Leksetid i minutter Frekvens Relativ frekvens (%) 0 14 0 0 15 9 6 4 30 44 6 4 45 59 8 60 74 3 1 75 89 3 1 90 104 8 105 119 1 4 10 134 0 0 135 149 8 b Histogram over fordelingen av leksetider: Antall 0 1 3 4 5 6 0 15 30 45 60 75 90 105 10 135 150 Tid (min) 3.5 a Alder i år Antall Relativ frekvens (%) Relativ frekvens (%) grunnskole (grunnskole) (videregående) 0 9 6 431 9,8 3, 30 39 17 41 6,4 17,4 40 49 15 457 3,6 6,3 50 59 0 44 31,3 40,9 60 69 5 805 8,9 1,3 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 9
b Histogram over aldersfordelingen for lærere i grunnskolen: Løsninger til innlæringsoppgavene Antall 0 5000 10000 15000 0000 0 30 40 50 60 70 Alder 3.6 a Leksetid i minutter Frekvens Kumulativ frekvens Kumulativ relativ frekvens (%) 15 1 1 4 18 1 8 1 1 3 1 6 1 4 16 8 1 5 0 9 1 6 4 35 8 3 38 1 9 36 41 1 10 40 44 1 48 54 1 13 5 57 1 14 56 69 1 15 60 71 1 16 64 7 1 17 68 78 1 18 4 85 1 19 46 87 1 0 80 90 1 1 84 96 1 88 11 1 3 9 135 1 4 96 148 1 5 100 b Av tabellen i oppgave a ser vi at det var 6 elever som brukte høyst 30 minutter, og 14 som brukte høyst 60 minutter. c På samme måte ser vi at de 6 elevene som brukte høyst 30 minutter, utgjør 4 %, og de 14 som brukte høyst 60 minutter, utgjør 56 %. 3.7 Går vi ut fra verdiene på x-aksen, kan vi lese av at: a 7 land slipper ut 5,0 tonn eller mindre CO per innbygger. b 0 land slipper ut høyst 7,5 tonn CO per innbygger. c 31 land har CO -utslipp på ikke mer enn 10 tonn per innbygger. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 9
3.8 a Alder i år Lærere Kumulativ frekvens 0 9 6 431 6 431 30 39 17 41 3 67 40 49 15 457 39 19 50 59 0 44 59 571 60 69 5 805 65 376 b Graf av de kumulative frekvensene: Kumulativ frekvens 0 10000 30000 50000 70000 0 10 0 30 40 50 60 70 Alder Vi leser av de kumulative frekvensene for alder 45 år og alder 55 år slik det er vist med røde linjer på grafen. Da finner vi at: 1 Omtrent 33000 lærere var høyst 45 år gamle. Omtrent 51000 lærere var høyst 45 år gamle. 3.9 Vi skriver tidene i stigende rekkefølge: 15 18 1 6 8 9 35 35 38 41 44 44 54 57 69 71 7 78 85 87 90 96 11 135 148 Det er til sammen 5 tider. Den midterste av dem er nummer 13 som svarer til 54 minutter (markert med rødt over). Vi har altså at medianen for tid brukt til lekser er 54 minutter. 3.10 a De kumulative frekvensene og de kumulative relative frekvensene er regnet ut i tabellen: Nettoinntekt Kumulativ relativ Antall Kumulativ frekvens i kroner frekvens (%) 0 99 999 69 66 69 66 37,1 100 000 49 999 864 91 1 557 187 83,4 50 000 499 999 7 146 1 89 333 98,0 500 000 999 999 9 040 1 858 373 99,6 1 000 000 og over 7 745 1 866 118 100,0 På grunnlag av tabellen kan vi tegne et diagram av de kumulative relative frekvensene: Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 9
Kumulativ relativ frekvens (%) 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 Nettoinntekt i 1000 kroner b Vi leser av medianen slik det er vist med røde linjer på grafen. Vi ser at medianen blir omtrent 140 000 kr. 3.11 Vi legger først sammen alle tidene. Summen av dem er 158 minutter. Gjennomsnittet blir da 158 = 61,1 minutter, eller litt over én time. 5 3.1 Vi setter opp følgende tabell med midtpunkt for hver av inntekstgruppene og de relative frekvensene for hver av dem. For dem som har en nettoinntekt på minst én million kroner, har vi på skjønn satt "midtpunktet til 1,5 millioner kr. Nettolønn (kr) Midtpunkt Antall Relativ (frekvens) frekvens 0 99 999 50 000 69 66 0,371 100 000 49 999 175 000 864 91 0,463 50 000 499 999 375 000 7 146 0,146 500 000 999 999 750 000 9 040 0,016 1 000 000 og over 1 500 000 7 745 0,004 Gjennomsnittlig nettoinntekt er tilnærmet lik 50 000 0,371+ 175 000 0,463 + 375 000 0,146 + 750 000 0,016 + 1500 000 0,004 = 17 35 17 000 kr 3.13 a Det skyldes at fordelingen er skjev, med flest lave verdier. Det er flere som drikker (relativt sett) lite alkohol enn som drikker mye. b Halvparten av mennene i aldersgruppen 5 9 år drikker mindre enn 3,9 liter ren alkohol per år, og halvparten drikker mer enn det. Medianen gir derfor best uttrykk for alkoholforbruket til "en typisk" 5 9 år gammel mann. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 9
3.14 Vi ordner reisetidene i stigende rekkefølge slik det er vist på side 16 i læreboka. Første halvdel av reisetidene er de som kommer før medianen, dvs. 16 16 0 3 4 30 31 3 3 36 Første kvartil er medianen av disse 11 reisetidene. Det er verdi nummer 6, så første kvartil er 4 minutter. Andre halvdel av reisetidene er de som kommer etter medianen, dvs. 39 39 40 41 41 4 44 45 45 47 76 Tredje kvartil er medianen av disse 11 reisetidene. Det er verdi nummer 6, så tredje kvartil er 4 minutter. 3.15 Vi skriver først tidene i stigende rekkefølge, se løsningen av oppgave 3.9. Første halvdel av tidene er de som kommer før medianen, dvs. tidene 15 18 1 6 8 9 35 35 38 41 44 44 Første kvartil er medianen av disse 1 tidene. Det er gjennomsnittet av 6. og 7. verdi, så første kvartil er 9 + 35 = 3 minutter. Andre halvdel av tidene er de som kommer etter medianen, dvs. tidene 57 69 71 7 78 85 87 90 96 11 135 148 Tredje kvartil er medianen av disse 1 tidene. Det er gjennomsnittet av 6. og 7. verdi, så tredje kvartil er 85 + 87 = 86 minutter. 3.16 Boksplott: Variasjonsbredden er 148 15 = 133 minutter. 3.17 I oppgave 3.15 fant vi at første kvartil er 3 minutter og at tredje kvartil er 86 minutter. Kvartildifferansen er 86 3 = 54 minutter. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 9
3.18 a Trekker vi første kvartil fra tredje kvartil for hver av yrkesgruppene, får vi følgende kvartildifferanser (i kroner): Yrke Kvartildifferanse Personaldirektører 15 001 Ingeniører 10 488 Reisekonsulenter 3 89 Informasjonsmedarbeidere og journalister 11 794 Butikkmedarbeidere 5 865 Kvartildifferansene er et mål på hvor stor variasjon det er i lønnsnivået til hver yrkesgruppe. b Det betyr at høyst en firedel av informasjonsmedarbeiderne og journalistene har like godt betalt som de 5 % lavest lønnede personaldirektørene. 3.19 a Gjennomsnitthøyden til brødrene er 179 + 184 + 177 = 180 cm. 3 b Per avviker med 1 cm. Kvadratavviket hans er 1cm. Pål avviker med 4cm. Kvadratavviket hans er 16 cm. Espen avviker med 3 cm. Hans kvadratavvik er 9cm. c Variansen blir 1 + 9 + 16 = 13. 3 1 d Standardavviket blir 13 = 3,61. Variansen har benevning kvadratcentimeter (cm ), mens standardavviket har benevning centimeter (cm). 3.1 Vi bruker et digitalt verktøy og finner at standardavvik er 3,7 tonn per innbygger. 3. Sektordiagram over røykedataene: Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 9
Stolpediagram over de samme dataene: 3.3 Stolpediagram for sammenlikning av røykevanene til to aldersgrupper: 3.4 Det er flere mulige diagrammer vi kan bruke for å vise endringene i røykevanene. (i) Stablet stolpediagram: 100 % 80 % 60 % 40 % 0 % 0 % 1975 1980 1985 1990 1995 000 005 Daglige røykere Av-og-til røykere Ikke røykere (ii) Stolpediagram over andelene dagligrøykere og av-og-til-røykere: 60 50 Andel (%) 40 30 0 10 0 1975 1980 1985 1990 1995 000 005 Daglige røykere Av-og-til røykere Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 9
(iii) Kurvediagram over andelene dagligrøykere og av-og-til-røykere: Løsninger til innlæringsoppgavene 60 50 40 30 0 10 0 1975 1980 1985 1990 1995 000 005 Daglige røykere Av-og-til røykere Av de tre diagrammene er diagram (ii) og diagram (iii) å foretrekke. De viser begge tydelig at andelen dagligrøykere har gått ned, mens andelen av-og-til-røykere har økt noe. Diagram (i) er ikke like godt. For dette diagrammet er det vanskeligere å se endringen i andelen av-og-til-røykere. 3.5 De relative frekvensene blir: Alder i år Relativ frekvens Relativ frekvens i i 1993 (%) 003 (%) 0 9 7,3 3, 30 39 1,6 17,4 40 49 41,0 6,3 50 59,8 40,9 60 69 7, 1,3 Stolpediagram av de relative frekvensene: Av diagrammet ser vi at andelen lærere i aldersgruppene 50 59 år og 60 69 år har økt fra 1993 til 003, mens andelen lærere under 50 år har blitt mindre. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 9
3.6 a Et kurvediagram viser på en god måte prisutviklingen for de to boligtypene: b Av diagrammet ser vi at det er leiligheter som har hatt størst prisstigning fra 1985 til 005. En viktig grunn til det er at andelen leiligheter er større i byene enn utenfor byene og at prisstigningen har vært størst i byene. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 9