Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning n Gradtall v radiantall Areal av sirkelsektor v = n 80 π n = v π 80 T = v r = b r Sammendrag kapittel 0 - Trigonometri i radianer Trigonometriske likninger Løs som før Tegner så en enhetssirkel. sin(x) = 0 sin(x) = sin(x) = x x
x = π + n π eller (tilsvarer x ) x =π π + n π (tilsvarer x ) = π + n π Så må vi forandre på n til vi finner svar som er innenfor intervallet gitt i oppgava. Trigonometriske ulikheter Tegner enhetssirkel cos(x) > 0 cos(x) > x Det grønne området på figuren er det området der likningen er gyldig. Altså der cos(x) >. Finner først vinklene der cos(x) = x = π + n π eller 6 x = π 6 + n π Tilpasser nå n til vi får løsninger som ligger innenfor intervallet gitt i oppgava. Intervall x [ π, π] π 6 < x < π 6. Intervall x [0, π Her må vi fikse på den andre løsningen vår siden den er utenfor dette ntervallet. Setter da n =. x = π 6 + π = π 6
Begynner da ved nedre grense (0) og går i positiv omløpsregning til vi kommer innenfor det grønne området på figuren. Her begynner vi i det grønne området og skriver derfor: 0 x <... Vi skal altså ha med 0. Dette ser vi fra klammen i intervallet [. Dette betyr at 0 skal være med. Vi dreier positivt til vi kommer ut av området. Da er vinkelen π/6. 0 x < π 6 Vi fortsetter å dreie til vi kommer inn i området igjen. Dette skjer når vinkelen er π/6. Vi skal ikke ha med vinkelen π/6 siden uttrykket ikke skal være 0, bare større enn 0. π 6 < x <... Vi dreier videre til vi kommer ut av det grønne området eller intervallet gitt i oppgava. π 6 < x < π Vi skal ikke ha med π siden dette ikke er med i intervallet (x [0, π ). Amplitude, periode og fase Vi ser på funksjonen Symbol A = a k φ c Derivasjonsregler (sin(x)) = cos(x) a sin (k(x φ)) + c Beskrivelse amplitude, bestemmer svingemengde. p = π er perioden. k k sier noe om hvor fort grafen svinger. Fasefaktor. Flytter grafen mot høyre eller venstre. φ > 0 mot høyre, φ < 0 mot venstre, Konstantledd eller likevektslinje. Flytter grafen opp og ned. (cos(x)) = sin(x) (tan(x)) = cos (x) = + tan x
Sammendrag kapittel 5 - Integrasjon Trigonometriske funksjoner cos(x) dx = sin(x) + C sin(x) dx = cos(x) + C ( + tan (x) ) dx = tan(x) + C ( ) dx = tan(x) + C cos (x) Lineær kjerne f(ax + b) dx = F (ax + b) + C a Eks. x + dx = ln x + + C = ln x + C Variabelskift f(u(x)) u (x) dx = f(u) du Es. Altså med u = du dx u dx = du xe x dx med kjerne: u = x u = du dx = x e x x } {{ dx} = e u du = e u + C = e x + C du evt. du du = x du = xdx dx = dx x du x x e x = e u du = e u + C = e x + C Delvis integrasjon u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx Hva som kalles u (x) og v(x) er det som gjør at integralet på høyre side blir lettest å løse. 4
Eks. x ln(x) dx Kan ikke derivere ln x alene. Velger derfor v(x) = ln x v = ln(x) u (x) = x v (x) = x u = x u x v ln x dx = u x v ln x u x v x = x ln x x dx = x ln x x + C = ( x ln x ) + C dx Delbrøksoppspaltning Skriv integranden som en sum av brøker der nevneren er av første grad. Integrer deretter brøkene leddvis. x + (x + )(x ) dx = A (x + ) + B (x ) dx Altså: A(x ) B(x + ) + (x + )(x ) (x + )(x ) = x + (x + )(x ) Vi ser bare på tellerne siden nevnerene er like: A(x+)+B(x+) = x+ x = 0 + B = B = x = A( ) + 0 = ( ) + A = x + Dette betyr at: (x + )(x ) = (x + ) + (x ) Og vi kan skrive integralet som: (x + ) + dx = ln x + + ln x + C (x ) Differensiallikninger y dy + y= ( y) = dx y=c e x dy dx + y= ln y =x + C y=c e x dy dx = y ln y = x C y=c e + dy=( y) dx y =e x C y=ce x + dy ( y) =dx y=±e x e C 5
Vektorer og skalarer Sammendrag kapittel - Vektorer En vektor er en størrelse som har retning. En skalar er en størrelse uten retning. Spesielle vektorer Nullvektor: lengde 0, parallell med alle andre vektorer. Symbol: 0. Enhetsvektor: lengde, symbol : e. Sum av vektorer Når vi skal finne summen av to vektorer og v, tenger vi først. Deretter tegner vi v med utgangspunkt i endepunktet for. Summen av + v går nå fra utgangspunktet for til endepunktet for v. v + v v For tre punkter A, B og C er Differanse av vektor AB + BC = AC Metode Vi finner differansen v ved å summere og v. v = + ( v) v v + ( v) v Metode Vi kan også tegne vektorene og v med felles utgangspunk. Vektoren v går da fra endepunktet for til endepunktet for v. v v Huskeregel Vektor vi trekker fra flytter startpunktet. Vektor vi legger til flytter endepunktet. 6
Produkt av tall og vektor Vektoren t v er parallell med v og t ganger så lang som v. t > 0, v og t v samme retning. t < 0, v og t v motsatt retning. Parallelle vektorer To vektorer er parallelle hvis de har samme eller motsatt retning. Vektorene v 0 og 0 er paralelle hvis og bare hvis der finnes et tall t slik at = t v. Noen regneregler a + b = b + a ( a + b) + c = a + ( b + c) t ( a + b) = t a + t b t a + s a = (t + s) a s (t a) = (s t) a Dekomponering La a og b være vektorer som ikke er parallelle, og som ikke er lik nullvektoren. For en fritt valgt vektor v fins det da ett tall x og ett tall y slik at at v = x a + y b Det er vanlig å dekomponere en vektor i planet vha enhetsvektorer som peker i horisontal og vertikal retning. v = x e + y e Skalarproduktet La u være vinkelen mellom a og b. Da er skalarproduktet av a og b a b = a b cos u Sammendrag kapittel - Vektorer i planet Regneregler for vektorkoordinater [x, y ] + [x, y ] = [x + x, y + y ] [x, y ] [x, y ] = [x x, y y ] t[x, y] = [tx, ty] 7
Vektoren mellom to punkter Vektoren fra origo O(0, 0) til A(x, y) har koordinatene OA = [x, y]. Vektoren fra A(x, y ) til B(x, y ) har koordinatene AB = [x x, y y ]. Lengden av en vektor v = x + y for v = [x, y] HER SKAL En figur SOM VISEr LENGNGgEn Avstanden mellom to vektorer Avstanden mellom (x, y ) og (x, y ) er Determinant a b c d = ad bc d = (x x ) + (y y ) Nyttig for å se om vektorer er parallelle, siden vektorene [x, y ] og [x, y ] er parallelle bare dersom x y x y = 0 Arealet av et parallellogram Arealet av et parallellogram er absoluttverdien av determinanten til to vektorer som bestemmer parallellogrammet. Det vil si to sidevektorer som ikke er parallelle. Koordinatformelen for skalarproduktet [x, y ] [x, y ] = x x + y y Vinkelrette vektorer a b a b = 0 for a 0 og b 0 Sammendrag kapittel 4 - Vektorer i rommet Regneregler for tredimensjonale vektorer Regnereglene er de samme for tredimensjonale som for todimensjonale vektorer. Dekomponering og vektorkoordinater 8
Nå dekomponerer vi en vektor v i tre komponenter, langs x-, y- og z- aksen. v = x e + y e + z e Rekneregler for vektorkoordinater [x, y, z ] + [x, y, z ] = [x + x, y + y, z + z ] [x, y, z ] [x, y, z ] = [x x, y y, z z ] t[x, y, z] = [tx, ty, tz] 9