5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri Målinger finnes naturlig i hverdagen vår. Denne kurskvelden skal vi forsøke å møte de ulike begrepene slik som ungene møter dem og se hvorfor det kan oppleves som vanskelig. TID OG KLOKKA Se på regnestykkene nedenfor. Vi påstår at alle er riktige. Hvorfor? 5 + 8 =1 8 + 9 = 5 11 + 5= 4 2 + 3 = 5 Hvis det er klokkeslett vi snakker om, er regnestykkene riktig. Hvis svaret på addisjonen er mer enn 12, trekker vi fra 12, slik at vi står igjen med det tall mellom 1 og 12. Dette heter regning modulo 12. Vi ser hvor mange ganger 12 går opp i svaret, men det vi egentlig er interessert i er resten som er igjen. Hvis vi regner med 24 timers visning, skal vi regne modulo 24. Mange elever oppfatter klokka og tid som vanskelig. Til og med mange ungdomsskoleelever synes dette er vanskelig. Å kunne klokka er en ting, men å regne med tidsintervaller er enda vanskeligere, og i alle fall hvis de får oppgaven i en matematikktime. Utstrakt bruk av mobiltelefon kan fører til dårligere tidsbegrep. I stedet for å skulle følge med på klokka for å komme seg hjem til riktig tid, blir mange barn ringt etter. På mobiltelefoner er det som regel ei digital klokke. Hjelp barna med å sammenlikne klokka på mobilen med ei analog klokke, slik at de blir vant til å bruke begge deler. Det er viktig at barna naturlig forholder seg til tid og gjør erfaringer. Dette må de oppleve for å forstå det. Når vi skal si hva klokka er, sier vi for eksempel at klokka er 5 på halv 6 i stedet for å si at den er 25 over 5. Ungene må bli klar over at det er hvert kvarter som skiller over og på. Aktivitet: Få en følelse med tid og varighet. Vi bruker 5 timeglass som viser ulik tid. Gjett hvilket som tar kortest tid. Ranger dem etter tid, og gjett på hvor lang tid de ulike timeglassene måler. Kurslederen har med et større timeglass som hun snur.
Kursdeltakerne snur alle timeglassene sine samtidig. Hvilket av deres timeglass måler samme tid som kurslederens timeglass? Hvor lang tid målte det? (Det tok 1 minutt) Barn kan lett tenke at størrelsen på timeglassene og mengden sand er avgjørende for hvor lang tid de måler. De tror at små timeglass varer kortere enn større timeglass, og tenker ikke i utgangspunktet på at hullet sanda skal renne gjennom kan være trangt eller åpent. Hvis vi ikke har klokka og kan sjekke hvor lenge timeglassene måler, kan vi telle. Men hvor fort skal vi telle? Bruk ei analog klokke og se på sekundviseren. Vi må telle sekundersakte. Det er viktig at barn også får et forhold til små tidsintervall. Når vi vet varigheten på det ene timeglasset kan vi bruke det til å måle hvor lang tid de andre timeglassene måler. Spørsmål de kan stille barna. - Vi vet at noe varer ½ time, og det starter kl 1815. Hvor langt har storviseren kommet da? Se på klokka sammen først, og få elevene til å følge med på klokka si underveis. - Se hva klokka er nå, og si fra når det har gått 20 minutter. Hvordan møter vi dette i hverdagen? Vi forholder oss til klokka hele tiden i hverdagen vår. For eksempel er busstabellene for bussene i Trondheim ganske vanskelige. Hvordan skal vi lese busstabellen? Vi ser når bussen går, og må legge til antall minutter bussen bruker fram til holdeplassen der vi skal gå på. Aktivitet Bruk passeren, og konstruer ei klokke. Hvordan skal vi gjøre dette nøyaktig? Hvordan skal vi få avsatt timene rundt urskiva? Erfar at passeråpningen går 6 ganger rundt sirkelperiferien. Dermed får vi satt av klokka 2, 4, 6, 8, 10 og 12.
Men hvordan får vi med klokka 1, 3, 5, 7, 9 og 11? Halver avstandene mellom for eksempel kl 12 og klokka 2, da får vi satt av kl 1. Det er moro å bruke passeren slik, det synes ungene også. De kan tegne på frihånd først, deretter med passeren. Da blir det mye finere. Når alle 5-minuttene er på plass kan de eventuelt bruke en gradskive for å få satt av alle minuttene, eller tegne det inn på frihånd. Demonstrasjon På bildet ser vi ulike urskiver for overhead. En er uten både timer og minutter, en annen er med både timer og minutter, to andre er en mellomting mellom disse, og den siste har romertall i stedet for vanlige tall.
Aktivitet med timeglassene: Dere bruker timeglass som måler 3 min og 5 min. Klarer vi å måle 7 minutter ved hjelp av disse to timeglassene? Hvordan vil dere gå fram for å måle 7 min? Tegn og beskriv framgangsmåten. Oppsummering: Vi klarer å måle 7 minutter med disse to timeglassene, men vi klarer ikke å måle 7 minutter ved å starte tidtakingen når noen sier nå!. Vi snur begge timeglassene samtidig, og etter 10 minutter er vi ferdig med målingen. Når sanda i det første glasset har rendt ut (etter 3 minutter), er det igjen 2 minutter i det andre glasset. Da starter målingen! Når sanda er rendt ut, har det gått 2 minutter, og vi snur glasset på nytt. Det tar 5 minutter ekstra, til sanda er rent ut for annen gang. Da har vi målet 2 min + 5 min = 7 min Med disse to timeglassene klarer vi å måle 1 min, 2 min, 3 min, 4 min, 5 min, 6 min, 7 min, 8 min, 9 min, 10 min osv. Med mynter og veksling klarer vi å gjøre det samme så lenge de to myntene er innbyrdes primiske. Innbyrdisk primiske betyr at største felles faktor for tallene er 1, det vil si de har ingen felles faktor. Eksempel: 2 og 5 er innbyrdes primiske fordi de ikke har noen felles faktorer.4 og 9 er innbyrdes primiske fordi de ikke har noen felles faktorer. 10 og 21 er også innbyrdes primiske. Merk at tallene behøver ikke å være primtall. Stoppeklokka Stoppeklokka måler minutter, sekunder, tideler og hundredeler. Vet elever om situasjoner der det måles i tideler og hundredeler? Nå er elevene kjent med at døgnet har 24 timer, klokka starter på nytt igjen etter 12 timer,. Det er 60 minutter i en time og 60 sekunder i ett minutt. Med korte tidsintervaller er det derimot annerledes, der brukes tideler og hundredeler. Stoppeklokka blir dermed en blanding av 10-tallsystemet og 60-tallsystemet. Dette er komplisert. Det er veldig vanskelig å regne med klokkeslett, blant annet fordi det ikke er en enkel måte å regne om fra et klokkeslett til et desimaltall. Oppfordre ungene til å følge med på stoppeklokka, se hvor fort tidelene og hundredelene går. Når er tidelene avgjørende? Hvor langt klarer vi å bevege opp på ett tidels sekund? KALENDEREN Kalenderen Barn bør tidlig lære navn og rekkefølge på dagene og månedene, både forlengs og baklengs. De bør vite hvilke måneder som har 30 dager og hvilke som har 31 dager. I tillegg må de kjenne til at februar har 28 dager, men hvert 4. år er det skuddår og da har februar 29 dager. Spørsmål: Går det an å ha hatt bursdag 2 ganger og gå i 5.klasse?
Det er faktisk mulig hvis en er født den 29. februar. Forslag til aktiviteter: - Tegn et år. Hvordan vil vi illustrere et år? Som et linjestykke, som en sirkel, som en spiral? Tegn inn på årshjulet hvem som har bursdag i de ulike månedene. Aktivitet: - Hvor mange år er du? - Hvor mange måneder er du? - Hvor mange dager er du? (inklusive skuddår) - Hvor mange timer er du? - Hvor mange minutter er du? For å kontrollere om en har regnet riktig antall dager, kan en beregne at 3 leveår er omtrent 1000 dager. Oppsummering: Elevene synes det er morsomt å regne på ting som er relatert til dem selv. I denne oppgaven må de for eksempel kalkulere med når det er skuddår. (Hvert 4. år er skuddår, men det er unntak for noen hundreår. 2000 var et skuddår, men år 1900 var ikke det. Regelen er sånn at hvis hundreåret er delelig med 400 så er det et skuddår, ellers ikke.) MASSE Vi bruker skålvekter for å sammenlikne vekt. Aktivitet: Vi bruker skålveka og plastbamser i 3 forskjellige størrelser. Gjett på sammenhengen først, og bruk deretter skålvektene for å kontrollveie. - Hvilken sammenheng er det mellom vekta på bamsene? - Hvor mange små bamser veier en stor? - Hvor mange bamser veier mobilen din? - Vei ulike gjenstander.
Oppsummering: I denne aktiviteten er bamsene måleenheten, og vi sier at den lille bamsen er 1 måleenhet. Det viser seg at det går 2 små bamser på en mellomstor bamse, og 3 små bamser (eller en liten og en mellomstor) på en stor bamse. Unger har i utgangspunktet ikke noe forhold til standard måleenheter. For dem kan det være like naturlig å veie noe i bamser som å veie i gram eller kilo. Som en avslutning på aktiviteten måler de hvor mange centikuber bamsene veier. Centikubene veier nøyaktig 1 gram.
Demonstrasjon: I den ene skåla har vi 3 centikuber, og i den andre har vi 8 centikuber. Deltakerne vet ikke hvor mange det er oppi. Hva er forskjellen? Hvor mange må vi legge til i den letteste for at det skal bli like mye i hver skål? Gjett og sjekk. Det er lov å ombestemme seg etter hvert som flere centicuber blir putta oppi. Legg oppi centikuber, en etter en, og tell. Dette kan bli trening i addisjon og subtraksjon. Når vi får grei på hvor mange det var i den ene skåla, kan vi regne ut hvor mange det var i den andre. Velg størrelse på tallene i forhold til alder. På et senere stadium kan man se på dette som ligninger. TREDIMENSJONAL GEOMETRI Demonstrasjon Hvis vi fyller den kvadratiske pyramiden 3 ganger fyller vi akkurat kuben: Dette er sånn fordi grunnflata og høyden i den kvadratiske pyramiden og kuben er akkurat like store.
Hvis vi fyller kjegla 3 ganger fyller vi akkurat sylinderen: Dette er sånn fordi grunnflata er lik i sylinderen og kjegla, og høyden er den samme i begge. Senere lærer vi at volumet av en pyramide og en kjegle er 1 g h, der g er grunnflata og h er 3 høyden, mens sylinderen og kuben er g h. Nå har de erfart dette i praksis. Sylinderen og kuben har plass til 3 ganger så mye som de som ender i en spiss. Dette gjelde for alle romlegemer med samme grunnflat og høyde, der den ene er rett og dan andre ender i en spiss.
Aktivitet Bygg med de 3-kanta jovobrikkene. Vi studerer de romlige figurene, og teller antall hjørner kanter flater. Tabellen viser egenskaper til noen figurer. Hjørner Kanter Flater 4 6 4 7 15 10 6 12 8 12 24 14 Er det noen sammenheng mellom antall hjørner, kanter og flater? Hjørner Kanter Flater Hjørner + flater 4 6 4 8 7 15 10 17 6 12 8 14 12 24 14 26 Av tabellen ser vi at hjørner + flater = kanter + 2 Det var den kjente matematikeren Euler som først fant denne sammenhengen. En annen måte å beskrive figurene på er å se på symmetriene. Hvis figuren ser lik ut fra alle hjørnene, er den regulær. 20 flater: ikosaeder 4 flater: tetraeder
8 flater: oktaeder Dette er de greske navnene på figurene, og disse 3 er de eneste regulære figurene vi kan lage med 3-kanter. Dette er platonske legemer. Fotballen er ikke et platonsk legeme, men et arkimedisk legeme. Dette fordi den er sammensatt av 2 sekskanter og 1 femkant i hvert hjørne. Hvis vi setter sammen kvadrater, hvilke figurer kan vi få da? Da kan vi kun lage terningen. Hvis vi skal sette sammen flere fyller vi planet, det vil si det blir ingen romlig figur, men helt flatt. Da sier vi at vi driver med fliselegging i stedet.
Videre: - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare sekskanter? - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare femkanter? Med bare sekskanter går det ikke. Men vi klarer å bygge et platonsk legeme med bare femkanter. Denne figuren har 12 flater. Det er en viktig del av matematikken å bli kjent med 2- og 3- dimensjonale figurer. PROSENTREGNING Prosent er brøk regnet om til hundredeler. For å kunne regne med prosent og regne over til 100-deler er det en forutsetning å være trygg på likeverdige brøker. For eksempel er 5 1 det samme som 20 %. Da må vi gjøre om 5 1 til 20. 100 Prosentregning blir vanskelig hvis en ikke er trygg på brøkregning. Mange voksne har lært prosentregning etter en bestemt formel. Denne blir de ofte hengende med hele livet, og klarer ikke å regne prosent på en rask og enkel måte, avhengig av situasjonen og tallene. Oppgaver - 1) En vare koster 1000 kr. Så øker prisen med 20 %, deretter avtar prisen med 20 %. Er prisen igjen 1000 kr? - 2) En vare koster 350 kroner. Ny pris er 280 kr. Hvor stort er avslaget?
Svar: 1) Når prisen øker med 20 % prosent på varen som kostet 1000 kr blir ny pris 1200 kroner. Når prisen deretter avtar med 20 % vil det si 20 % av 1200 kr slik at avslaget blir 240 kroner. Den nye prisen blir da 1200 240 = 960 (350 280) 70 1 2) Kan regnes på mange måter. For eksempel: = = = 20% 350 350 5 Aktivitet: To spillere med hvert sitt geobrett og mange strikk. Bruk %-terninger. Kast terningene hver sin gang, og marker så stort område på geobrettet som det terningen viser. Førstemann til å fylle brettet har vunnet. Spørsmål som spillerne må avgjøre: Skal vi regne prosent av området som er igjen, eller av hele brettet? Hvis vi gjør det første, hva skal til for å vinne (det finnes 100 % på terningen)?