INF5490 RF MEMS F3: Modellering, design og analyse V2007, Oddvar Søråsen Institutt for informatikk, UiO 1
Dagens forelesning MEMS - virkemåte Transdusere Sensorprinsipper Metoder for å modellere RF MEMS 1. Enkle matematiske modeller 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter (3. Analyse ved Finite Element Methods) F4 2
Transdusere for (RF) MEMS Elektromekaniske transdusere benyttes Transformasjon av elektrisk energi mekanisk energi Transduser-prinsipper Elektrostatiske Elektromagnetiske Elektrotermiske Piezoelektriske 3
Transduser-prinsipper Elektrostatiske transdusere Krefter mellom elektriske ladninger (Coulombs lov) Energi som lagres når mekanisk eller elektrisk arbeid utføres på enheten kan konverteres til den andre energi-formen Den vanligste typen brukt ved elektromekanisk energi-konvertering Ofte realisert ved en kondensator med bevegelige plater Vertikal bevegelse: parallell plate Horisontal bevegelse: Kamstrukturer Enkel fabrikering 4
Elektrostatisk transduksjon Elektrostatisk er fordelaktig pga. enkelheten + Operasjon kontrolleres ved spenning spenning ladning tiltrekningskraft bevegelse + Bevegelse gir strøm bevegelse variabel kondensator strøm når spenningen er konstant Krever beskyttelse mot omgivelsene (støv) Krav til pakking (vakuum) Transduksjonsmekanismen er ulineær Gir forvrengninger Botemiddel: små signalvariasjoner rundt en DC-spenning 5
Transduser-prinsipper, forts. Elektromagnetiske transdusere Magnetisk spole trekker på elementet Elektrotermiske aktuatorer Ulik termisk ekspansjon på ulike steder pga. temperaturforskjeller Store utbøyninger kan oppnås Langsomme 6
Transduser-prinsipper, forts. Piezoelektriske transdusere Enkelte anisotrope krystallinske materialer forskyver ladning når de utsettes for stress elektrisk felt stress = spenning Tilsvarende oppstår strain når de utsettes for et elektrisk felt strain = tøyning Eks. PZT (lead zirconate titanates) keramisk materiale (Electrostrictive transdusere Mekanisk deformasjon ved elektrisk felt Magnetostrictive transdusere Deformasjon ved magnetfelt) 7
Sammenligning av ulike prinsipper 8
Sensor-prinsipper Piezoresistiv deteksjon Kapasitiv deteksjon Piezoelektrisk deteksjon Resonans deteksjon 9
Sensor-prinsipper Piezoresistiv deteksjon Resistans varierer pga. ytre trykk/stress Brukes til trykk-måler membran Piezo-motstander plasseres på membran hvor strain har høyest verdi Resistansverdien er proporsjonal med strain Ytelsen av piezoresistive mikrosensorer er temperaturavhengig 10
Trykksensor 11
Sensor-prinsipper, forts. Kapasitiv deteksjon Benytter kapasitans-endringer Trykk elektrisk signal Detekteres ved endring i f.eks. oscillasjons-frekvens, ladning, spenning (V) Har potensial for høyere ytelse enn ved piezoresistiv deteksjon + Høy følsomhet + Kan detektere små trykk-endringer + Høy stabilitet 12
Sensor-prinsipper, forts. Piezoelektrisk deteksjon Elektrisk ladnings-endring ved kraft-påtrykk Resonans deteksjon Analogi: stressvariasjon på en streng fører til strain ( tøyning ) og endring av den naturlige svinge-frekvensen 13
Metoder for å modellere RF MEMS 1. Enkle matematiske modeller Eks. parallell plate kondensator 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter 3. Analyse ved Finite Element Methods 14
1. Enkle matematiske modeller Ligninger, formler beskriver fysiske fenomener Forenkling, approksimasjon Eksplisitte løsninger for enkle problemer Linearisering rundt et operasjonspunkt Direkte simulering av ligningssett Typisk differensialligninger Løses ved iterasjoner + Gir konstruktøren design-innsikt/ forståelse Hvordan endre funksjonalitet ved parametervariasjoner Kan benyttes til innledende overslag 15
Eks. på matematisk modellering Viktige ligninger for RF MEMS komponenter: Parallell plate kondensator Elektrostatisk aktivering av kondensator med bevegelig plate opphengt i fjær Beregning av pull-in Formler og figurer 16
Elektrostatikk + q - q F Elektrisk kraft mellom ladninger: Coulombs lov 1 q q F = 4 πε r 0 1 2 2 r Elektrisk felt = kraft pr. enhetsladning E = Arbeid utført av en kraft = endring i potensial-energi F q 0 W a b b = F a dl = U a U b Potensial, V = potensial-energi pr. enhetsladning V = U q 0 Spenning = potensial-differansen V a V b b = E dl a 17
Kapasitans a b E d + Q V ab Definisjon av kapasitans C = Q V ab A -Q Overflate ladningstetthet = σ σ Q 1 E = = ε A ε 0 0 C = Q V ab = ε 0 A d Spenning V ab = E d = Q A ε 0 d Energi lagret i en kondensator, C, som lades opp til en spenning V 0 ved strøm i = Q & = C dv dt U = dv v i dt = v C dt = C dt V0 1 2 ε0 v dv = CV0 = 2 2 0 A V d 2 0 18
Parallell plate kondensator Tiltrekningskraft mellom platene F U = d = d εa ( V 2d 2 ) = εav 2d 2 2 19
Bevegelig kondensator-plate Forutsetninger for beregninger: Anta luft mellom platene Fjær holder øvre plate Fjærkonstant: k Spenning settes på Elektrostatisk tiltrekning Ved likevekt Kreftene oppover og nedover balanserer 20
Kreftene balanserer k = fjærkonstant tøyning utfra likevekt d0 = gap ved 0V og null fjærutstrekning d = d0 z z=d0 d Kraft på øvre plate ved V og d: = 0 ved likevekt 21
To likevekts-punkter ς = 1 d/d0 Senturia 22
Stabilitet Hvordan kreftene utvikler seg når d minker Anta en liten perturbasjon (endring) i gapet ved konstant spenning Anta at gapet minker Hvis kraften oppover også minker, er systemet USTABILT! 23
Stabilitet, forts. Stabilitetsbetingelse: Pull-in når: 24
Pull-in Pull-in oppstår når: 25
Pull-in Senturia 26
2. Konvertering til elektriske ekvivalenter Mekanisk oppførsel kan modelleres ved elektriske kretselementer Mekanisk struktur forenklinger ekvivalent elektrisk krets Gir mulighet for å binde sammen elektrisk og mekanisk domene eks. fjær/masse R, C, L Motivasjon for konvertering Et rikt utvalg av analyse-verktøy kan brukes Eks. SPICE Forenklet modellering og sam-simulering av elektroniske og mekaniske deler av systemet 27
Konvertering til elektriske ekvivalenter, forts. Forskjellige transformasjoner/analogier eksisterer I det følgende gjennomgås: Litt bakgrunn fra kretsteori Konverteringsprinsipper effort - flow Eksempel på en konvertering Kobling og samvirke mellom ulike energi-domener Mekanisk resonator 28
Kretsteori Grunnleggende kretselementer: R, C, L Strøm og spennings-ligninger for grunnelementene (ved lave frekvenser) Ohms lov, C og L-ligninger V = RI, I = C dv/dt, V = L di/dt Laplace transformasjon Fra differensial-ligninger til algebraiske (s-polynomer) Komplekse impedanser: R, 1/sC, sl Kirchhoffs ligninger Σ strøm inn i noder = 0, Σ spenning rundt løkker = 0 29
Effort - flow Elektriske kretser beskrives av et variabelsett: Spenning V: across eller effort-variabel Strøm I: through eller flow-variabel En effort ( innsats ) -variabel driver en flow-variabel gjennom en impedans, Z Eks. på e,f-par i andre energi-domener: Kraft og hastighet Kraftmoment (torque) og angulær hastighet 30
Through- og across-variable Kretselement modelleres som 1-port med terminaler Samme strøm (f = flow) inn og ut og gjennom (through) elementet f = flow = through-variabel e= effort= across-variabel Positiv flow inn i terminal der samme terminal definerer positiv effort 31
Konjugerte power-variable: e,f Anta konverteringer mellom energidomener der energien bevares! Egenskaper e * f = effekt (power) e / f = impedans Generalisert displacement representerer tilstanden (state), f. eks. posisjon eller ladning f ( t) = q& ( t) e * q = energi t q( t) = f ( t) dt + q( t0) t 0 32
Generalisert momentum t p( t) = e( t) dt + p( t ) 0 Mekanikk: kraftstøt, impuls F*dt= mv mv0 Generelt: p * f = energi t 0 33
Energi-domener, analogier Det eksisterer ulike energi-domener Elektrisk, elastisk, termisk, for væsker etc. For hvert energidomene er det mulig å definere et sett konjugerte power-variable som kan brukes som basis for en diskretkomponent modellering (lumped modelling) med krets-elementer som er ekvivalente Tabell 5.1 Senturia -> 34
Eks. på konjugerte power variable 35
Mekanisk energidomene 36
Elektrisk energidomene 37
e V - konvensjonen Senturia og Tilmans holder seg til e V konvensjonen Eks. elektriske og mekaniske kretser e V (spenning) tilsvarer F (kraft) f I (strøm) tilsvarer v (hastighet) q Q (posisjon) tilsvarer x (posisjon) e * f = power som tilføres elementet H. Tilmans, Equivalent circuit representation of electromagnetical transducers: I. Lumped-parameter systems, J. Micromech. Microeng., Vol. 6, pp 157-176, 1996 38
Andre konvensjoner Det finnes ulike konvensjoner for å definere through- eller across-variable 39
Generaliserte krets-elementer En-port krets-elementer R dissiperende element C, L energi-lagrings elementer Elementene kan ha en generell funksjon! Kan brukes i forskjellige energi-domener 40
Generalisert kapasitans Sammenlign med et forenklet tilfelle: - en lineær kondensator definisjon av C 41
Generalisert kapasitans, forts. Kapasitans assosieres med lagret potensiell energi Co-energy: 42
Energi lagret i parallell-plate kondensator Energy: W ( Q) Q Q = e dq = 0 0 q C dq = 2 Q 2C Co-energy: W * ( V ) = V V q de = C v dv = 0 0 CV 2 2 * W ( V ) = W ( Q) for lineær kapasitans 43
Mekanisk fjær Hook s lov: F = k x Lagret energi: Sammenlign med kondensator Q x1 1 1 W ( Q) = Q 2 C displacement displacement 2 1/C tilsvarer k 44
Compliance Compliance = ettergivenhet 1 C spring = k Stiv fjær liten kondensator Myk fjær stor kondensator 45
Generalisert induktans Energi er også definert som: Energi = lagret kinetisk energi 46
Eks.: Elektrisk spole Co-energy: 47
Analogien mellom masse (mekanisk inertance ) og induktans L Et mekanisk system har lineært momentum: p = mv Flow: Co-energy: 48
Analogi mellom m og L Sammenlign med: L tilsvarer m m = L inertance Mekanisk inertance (treghet) = masse m har analogi til induktans L 49
Sammenkobling av elementer e V har to grunnleggende prinsipper Elementer som deler en felles flow og derved en felles variasjon i displacement er koblet i serie Elementer som deler en felles effort er koblet i parallell 50
Eks. på sammenkobling: Direkte omforming 51
Interaksjon mellom energidomener Sammenkobling av forskjellige energidomener hvor det ikke er energitap 1. Hver av energidomenene omformes til sin elektriske ekvivalent 2. Transformator og gyrator benyttes til sammenkobling 3. Transformator kan fjernes komponentverdiene må regnes om til nye verdier vindingstall ( turn ratio ) er en sentral parameter 52
Interaksjon mellom energidomener Lineære 2-port elementer er Transformator og gyrator effekt inn = effekt ut IKKE TAP 53
Transformator Eks. Binder sammen V og F n = turns ratio vindingstall 54
Gyrator 55
Impedanser transformeres 2 n = koblingskoeff mellom energidomenene 56
Transformasjonsberegning Z in ( s) = Z( s) = e f 1 1 e2 f 2 = n 1 n e f 1 1 = n 2 e f 1 1 = n 2 Z in ( s) 57
Konvertering til elektriske ekvivalenter, forts. Forskjellige transformasjoner/analogier eksisterer I det følgende gjennomgås: Litt bakgrunn fra kretsteori Konverteringsprinsipper effort - flow Eksempel på en konvertering Kobling og samvirke mellom ulike energi-domener Mekanisk resonator 58
59
60
61
Udempet system (b=0, R=0) ω 1 ω LC 0 =, 0 = k m 62
Udempet system, forts. 63
Ved demping 64
Dempet system, forts. 65
66
Hva betyr damping time? 67
Q-faktor og dempetid 68
69
Q-faktor, forts. 70
71
Amplituden ved resonans 72