/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net S1 014 høst LØSNING Contents DEL EN Oppgave 1 x 10 = x(x 5) x + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7± x = x = 5 lg( ) + = 5 x lg( ) = x = 10 lg( x ) 10 x = 100 x = 00 Oppgave 995 995 = (1000 5 ) = 1000000 5 1000 + 5 = 99005 Oppgave [ x = y 4] 4 + y = 1 x [ ] y = x + 4 4 + (x + 4) = 1 x Løser x av ligning to og får: 4 x + 6x + 1 = 1 4 x + 6x = 0 x(4x + 6) = 0 Typesetting math: 96% x = 0 x = http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 1/11
Setter inn x verdier i ligning en og finner tilhørende y verdi: /14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net x = 0 y = 4, x = y = 1 x = 0 y = 4 x = y = 1 Oppgave 4 a lg( ) + lg( ) lg( ) = lg a lg b + lg a + lg b lg b + lg a = 5 lg a Oppgave 5 b a b f(x) = x + x + D f = R f (x) = x + x = x( x + 1) f (x) = 0 x( x + 1) = 0 x = 0 x = 1 a b f har ekstremalpunkter for x = 0, og for x = 1. For å finne ut hva som er maksimum og hva som er minimumspunkt kan vi tegne et fortegnsskjema. f(0) = f(1) = 7 Minimumspunkt: Maksimumspunkt: (0, ) 7 (1, ) f() = + + = 9 + 9 + = 7 Funksjonen er positiv for alle x verdier fra minus uendelig til et sted etter maksimumspunktet. Funksjonen har derfor bare ett nullpunkt, for x ett sted mellom 1 og. http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning /11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Oppgave 6 Dersom man kan bruke en bokstav flere ganger, et det trekning med tilbakelegging: 4 4 4 = 4 = 64 Det er mulig å lage 64 koder med fire bokstaver i tre posisjoner. Dersom en bokstav kun kan brukes en gang har vi trekning uten tilbakelegging: 4 = 4 Det er mulig å lage 4 koder dersom en bokstav kun skal brukes en gang. Det er ofte mange måter å løse problemer på. Her er en: Vi skal lage en kode på tre bokstaver. Koden skal bestå av to eller tre like bokstaver. Dersom koden består av bare like bokstaver er det kun fire muligheter, fordi vi bare har fire forskjellige bokstaver. Dersom man har to like bokstaver kan disse arrangeres slik: AAx AxA xaa Der x er bokstavene B, C eller D. Man har fire mulige doble bokstaver, tre forskjellige posisjoner, og tre mulige valg av bokstaver etter de doble er trukket. Det gir 4 = 6 muligheter. Om man i tillegg tar med de fire mulighetene for tre like bokstaver, ser man at det er mulig å lage 40 forskjellige koder dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver. Dette fant vi ut ved å tenke, uten hjelp fra svaret i deloppgave a og b. Litt lettere blir det dersom man ser at det svaret man er ute etter i c, denne oppgaven, er svaret i a minus svaret i b. Alle fire bokstaver kan brukes flere ganger Hver bokstav kan bare brukes en gang = 64 4 = 40 Oppgave 7 0000 E(x) = 4x + 100 +, x > 0 x E(00) = 4 00 + 100 + 0000 00 E(00) = 100 http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning /11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Dersom det produseres 00 enheter er enhetskostnaden kr. 100, De samlede produksjonskostnadene blir: K(x) = 00 E(00) = 40.000 Totale produksjonskostnader blir 40 000 kroner. Overskudd er inntekter minus kostnader. O(x) = I(x) K(x) O( = 000x (4 x + 100x + 0000) O(x) = 4 x + 800x 0000 Vi deriverer overskuddsfunksjonen og setter den deriverte lik null, og finner x. ( Vi ser at dette er en parabel med et maksimum, siden det er negativt fortegn foran andregradsleddet.) O (x) = 8x + 800 O (x) = 0 8x + 800 = 0 x = 100 Produksjon av hundre enheter gir det største overskuddet, O(100) = 0000 kr. Oppgave 8 f(x) = x x f (x) = x 1 Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er: f (x) = lim Δx 0 f(x+δx) f(x) Δx Vi får da: http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 4/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net ((x+δx) (x+δx)) ( x) lim x Δx 0 Δx (x+δx)(x+δx)(x+δx) (x+δx) ( x x) = lim Δx 0 Δx ( x +x(δx)+(δx )(x+δx) (x+δx) ( x) = lim ) x Δx 0 Δx x + Δx+x(Δx + Δx+x(Δx +(Δx x Δx +x = lim x ) x ) ) x Δx 0 Δx Δx( x +x(δx)+(δx 1) = lim ) Δx 0 Δx = lim Δx 0 x + x(δx) + (Δx) 1 = x 1 Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.) DEL TO Oppgave 1 Man observerer at den momentane vekstfarten i (, f()) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,]. http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 5/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net f ( = a + gjennomsnitt = f(a+1) f(a 1) (a+1) (a 1) (a+1) +(a+1) 5 ((a 1 ) +(a 1) 5) = Man får samme resultat som i a, men nå rent generelt for x = a. Oppgave På sparekonto i dag: kroner. Det vil ta ca., 5 år før beløpet har vokst til 5000 kroner. Beløpet som må stå inne i dag, for at han skal få 5000 kroner på konto om syv år er 18997,95 kroner. Han ha allerede 1148,64 kroner og må derfor sette inn 7749,1 kroner. Oppgave a +x+1+a+ 5 a +a 1 a++5 = 4a+6 = a + K() = 10000 1, 04 = 1148, 64 K(t) = 5000 10000 1, 04 t = 5000 t lg1, 04 = lg, 5 t =, 6 x 1, 04 7 = 5000 5000 x = x = 18997, 95 1,04 7 10 4 ) 7 P(X = ) =( )0, (0, 6 = 0, 15 = 1, 5 Det er 1,5% sannsynlig at bussen stopper ved tre holdeplasser, dvs. at den bruker minutter på turen. % http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 6/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Det er 6,% sannsynlig at bussturen tar mindre enn 5 minutter. Her har man en hypergeometrisk situasjon. http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 7/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Det er 5,8 % sannsynlig at minst en sniker blir tatt. Oppgave 4 g(x) =, 1 x 0, er en potensfunksjon sm passer til tallene i tabellen. http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 8/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Fra figuren i ser man at det vil ta 8,14 timer, før tanken er full. Det tilsvare i overkant av 8 timer og 8 minutter. Vi kjenner ikke radius av kjeglens grunnflate og må derfor gå veien om vannmengde per time for å finne det totale volumet: V = 18 m /time 8, 14timer = 506, 5m Ny tank skal romme 1000 m og ha samme form som den gamle tanken. Radius i gammel tank: r = V 6, 95m π h Forholdet mellom høyde og radius i gammel tank er r samme i ny tank, siden formen skal være den samme: 1 V = π 1, 44r r = = 8, 7m r V 1,44π h = 1, 44. Forholdet skal være det Høyden i den nye tanken er Pumpen pumper 18 m 1000m per time. Den bruker:, som tilsvarer ca. 55 timer og 4 minutter. Oppgave 5 h = 1, 44r = 1, 56m 18 m /time = 55, 56timer Bilene møtes i s, som er avstanden fra A. Da har bil A kjørt i 60 km/t i t antall timer. Bilen i B må kjøre motsatt vei og starter 0 minutter senere. Bil B kjører mot A i 40 km/t og det gjør den i (t 1/) timer. s = 60 t 1 s = 00 40(t ) t http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning s = 60 9/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net s = 60 t 1 60 t = 00 40(t ) s = 60 t 100 t = 00 + 40 t =,1 timer som er ca. timer og 8 minutter. Bilene møtes i s, som er ca. 18 kilometer fra A. Dersom bilene skal møtes midt mellom A og B, vil bil A bruke 100 t = 60 = 5 timer. Bil B: 5 1 100 = 00 v( ) 4 v = 100 v = 75km/t Bil B må holde en hastighet på 75 kilometer per time for at de skal møtes på midten. Oppgave 6 8x + 4y = 900 y = 5 + x Volum av prisme: V (x, y) = x y V (x) = x (5 x) V (x) = x + 5x Som skulle vises. V (x) = 6 x + 450x V (x) = 0 6 x + 450x = 0 x = 0 x = 75 y = 5 75 = 75 Størst volum får pakken når x= 75 centimeter. Da er ser at volumet av pakken blir størst når alle sidene i prismet er like lange. cm. Man http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 10/11
/14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net Oppgave 7 x 0 y 0 0, 60x + 0, 0y 800 : Man kan ikke produsere mindre enn null kg av noen av typene., er begrensningen på mel. 0,40x + 0,80 y \leq 1000, er begrensningen på kjøttdeig. Inntektene blir størst om de produserer 1100 kg av type A og 700 kg av type B. Inntektene blir da: 70 \cdot 1100 + 110 \cdot 700 = 154000 kroner. Dersom de kun har kapasitet til å produsere 1500 kg, har man at x + y = 1500 (se linje i figur over). Den optimale produksjonen blir da 500 kg av A og 1000 kg av B. Inntektene blir da 145000 kroner. 016 av Matematikknett DA, Hegdehaugsveien 8B, 0167 Oslo. http://matematikk.net/side/s1_014_h%c%b8st_l%c%98sning 11/11