Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av Pytagoras gir DE = 3 cm c) Nei. Vises ved å se at forholdet mellom samsvarende sider ikke er det samme for begge trekantene. Her er det nærliggende å undersøke om er lik, noe som viser at de ikke er formlike. d) Dette kan vises ved å speile trekanten om den lengste kateten, hvor man da får en likesidet trekant slik at den korteste kateten da blir halvparten av siden i den likesida trekanten (hypotenusen i den opprinnelige 30, 60 og 90 graders trekanten). e) 10 =100 ganger større. Kan finnes enten ved kvadratet på førstørrelsesfaktor eller ved å regne ut de to arealene. f) Nei. Pytagoras gir at = 27. Dette er større enn 5, altså må lengden AC være større enn 9 (sidene i stoffkvadratet) og draken kan ikke klippes ut i foreskrevne posisjon. Oppgave 2 a) Symmetriene i figuren er identitetsavbildningen og 1 speilingssymmetri (tilhører symmetrigruppa ) b) Dialogen tyder på at Jens forstår symmetri utelukkende som speiling. I tillegg tyder Jens siste utsagn på at det kun er den loddrette speilingsaksen som er relevant med tanke symmetri. c) 4 speilingsakser (1 loddrett, 1 vannrett og 2 diagonale) samt 4 rotasjonssymmetrier (inkludert identitetsavbildningen). d) Kvadratet (eller regulær firkant). Her bør da kvadratets symmetrier nevnes som begrunnelse.
e) F.eks. en likebeint trekant. Symmetriene til figuren bør nevnes som begrunnelse. f) Alle figurer vil oppfylle dette kriteriet. Oppgaven er å si hvorfor figurene oppfyller kriteriet, og det gjøres enklest ved å referere til de tidligere deloppgavene der sjakkbrettet i c karakteriseres som -symmetrisk og sjakkbrettet i a karakteriseres som -symmetrisk. g) F.eks. O X X O O O X X O Oppgave 3 a) Elev Erna har brukt strategien som vi kaller gjentatt addisjon. Dvs. 17 pluss 17 er 34, 34 pluss 17 er 51, hun adderer en gang til, 17 pluss 51 er 68. Hun tenker nok på 68:17 som «hvor mange ganger 17-er får jeg plass til i 68», altså tenker hun på oppgaven som målingsdivisjon. Siden hun måtte legge sammen fire 17-er så blir svaret 68:17= 4. Elev Siv brukt strategien å gange tallet med ti først, 17 10. Hun velger nok 10 fordi det er et tall det er lett å gange med, og har nok oppdaget sammenhengen mellom plassverdisystemet og multiplikasjon med 10. Etterpå brukte hun halveringsstrategien på et av tallene. 10:2=5 og 170:2 er 85. Dette er litt mer enn 68 og hun trekker ut en gruppe på 17, 85 17=68. Siv har nok skjønt at divisjon er det motsatte av multiplikasjon. Hun ser at svaret må bli 1 mindre enn 5 siden 17 5 var 17 for stort. Knut begynte med en doblingsstrategi. Først fant han 1 17 = 17 som er veldig lite sammenlignet med 68. Så dobler han det først tallet. 2 17=34. Det er fortsatt for lite. Han dobler igjen, og får 4 17 =68. Siden 4 17 =68 så må 68:17 =4, Knut har her brukt at han vet at multiplikasjon og divisjon er motsatte operasjoner. Trine løste første oppgave i rekka. Hun starter med å gange med ti, og har nok, som Siv, gjort dette pga. sammenhengen mellom plassverdisystemet og å multiplisere med 10. Hun får 10 17 = 170. Så har hun anvendt del-hele forhold (part-whole relationship), hun vet at hele skal være 340, 10 17=170 er en del av det, hva er det som mangler for å få 340? Hun skriver dette som 10 17 +?=340, der? står for det som mangler for å få 340. Siden hun ikke har flere mellomregninger har hun nok sett at hun må ha 170 to ganger for å få 340. Hun bruker ideen om at multiplikasjon er motsatt av divisjon, og bruker den distributive lov for
multiplikasjon for å komme frem til at 10 17+10 17 =20 17. Siden 20 17= 340 så må 340:17=20. 1 b) Når man lager en mini-lesson må man ta hensyn at det er en relasjon mellom oppgavene i rekka. Siden 68 + 340 = 408 tenker Torbjørn at elevene kan bruke de to første oppgavene i strengen til å løse den tredje oppgaven. Her tenker Torbjørn at elevene skal oppdage den distributive lov for divisjon (for dividenden). Vi har 408:17 ='340+68(:17 =340:17+68:17. c) For den første oppgave, 323:17, en kan løse oppgaven slik: - Ved hjelp av en rimelig gjetning og fra en av oppgavene tidligere i rekka, er 323 mindre en 340. Som Siv gjorde kan man prøve å trekke ut en gruppe på 17, 340 17 =323. Vi har da, 323 = 340 17= 20 17 1 17 = '20 1( 17=19 17, der vi har brukt den distributive loven for multiplikasjon over subtraksjon. Siden multiplikasjon og divisjon er motsatte operasjoner så må svaret være 19. - Den distributive loven kan også brukes på andre måter her. 170 + 85 + 68= 323, så vi kan også si 323 = 170 + 85 + 68 = '17 10 + 17 5 + 17 4( = 17 '10+5+4(= 17 19 - Vi kan begynne med å gange tallet med ti, 17 10=170. Vi kan så telle oppover med hopp på 17 (gjentatt addisjon): 170 +17=187, 187+ 17=204, osv. Til slutt teller vi opp at vi trenger 19 stykker. - Vi kan bruke en doblingsstrategi: 2 17 =34, 4 17=68, 4 17=68, 8 17 =136, 16 17 =272. Da mangler vi 51. Vi ser at 2 17 er for lite, 4 17 er for stort, men 3 17 =34+17 =51, så svaret må bli 16+ 3=19. I den siste oppgaven, 399:21, må det brukes strategier som elevene har brukt før. Siden det ikke lenger er 17 som er divisor så kan ikke studentene ta direkte utgangspunkt i mellomregningene elevene har gjort, men må finne ut hvilke strategier som er hensiktsmessige her. - Et eksempel på løsning kan være å si at 399 er nesten 400. Og at 21 er nesten 20, så svaret må være rundt 20. Det kan ikke være 20 fordi 21 20=420. Dette svaret er litt for stort, så vi kan prøve å trekke ut en gruppe på 21. 420 21 =399, så siden 21 19 =399 må svaret bli 19. - Andre velbegrunnede strategier vil også gi full uttelling. 1 På eksamen var det skrivefeil i oppgaven, der det stod 170 i stedet for 17. Alle kandidatene ble gjort oppmerksomme på dette og feilen er rettet opp i eksamenssettet som ligger ute.
Oppgave 4 a) Vi vil her kun skissere løsningen for 55 45. Det er to måter å løse oppgaven på som gir full uttelling. Matematiske lover 55 45='50+5( '50 5(=50 50+50 ' 5(+5 50 5 5=50 50 5 5. Her må studentene kommentere at de har brukt den distributive loven over addisjon for å skrive 55 45 ='50+5( 45, og den distributive loven over subtraksjon for å deretter skrive '50+5( 45 ='50+5( '50 5(. Det bør videre nevnes at 50 ' 5(= '50 5(og det må kommenteres at de gjør bruk av den kommutative loven for å si at 50 5=5 50 når de gjør den siste forenklingen. Arealmodellen Det må kommenteres at vi kan illustrere 55 45 som arealet av et rektangel med lengde 55 og bredde 45. Det må så skisseres en arealmodell som den under der er det går tydelig frem hvilket areal vi ønsker å finne. I figuren under er dette arealet skravert. Studentene må også skissere en arealmodell der det kommer tydelig frem hva Kari regnet ut. I figuren under er 50 50 skravert med grønt, og 5 5 er skravert med blått. Studentene må så argumentere for at arealet av det grønne området minus det blå området er det samme som arealet av det lilla området. Siden rektangelet på 50 45 er felles for begge de skraverte områdene holder det å sammenligne arealet av den øverste horisontale delen av det lilla området med den vertikale delen helt til høyre i det grønne området.
Vi ser her tydelig at arealet av det grønne området er større enn arealet av det lilla området, og forskjellen er akkurat det hjørnet som vi skraverte blått tidligere. Uansett hvilken metode studentene bruker, så må de vise at det gjelder for både 55 45 og 32 28. Alternativt kan de vise at det i begge oppgavene er snakk om regnestykker på formen '++,( '+,( og argumentere for at det generelt gjelder at '++,( '+,(=+ +,,. Denne argumentasjonen må da følge de samme hovedlinjene som over (kalles konjugatsetningen/3. kvadratsetning). b) Her skisserer vi kun løsning med arealmodellen, men om studentene argumenterer godt nok kan også andre løsninger godtas. La oss se på Pers løsning av 36 36. Arealet av hele kvadratet over er 40 40. Det arealet han ønsker å beregne er skravert med grønt. Når Per regner ut 36 36 gjør han det ved å ta arealet av hele kvadratet og trekker fra arealet av det kvadratet som er skravert med blått. Han ender da opp med et svar som blir alt for stort, siden han i tillegg til det grønne kvadratet også får med seg de to uskraverte rektanglene. Arealet av de to rektanglene er 4 36 og 36 4. Per må altså regne ut 36 36=40 40 4 36 36 4 4 4. Alternativt kan Per starte med kvadratet på 40 40 og trekke fra det gule og røde rektangelet på figuren under.
Oppgave 5 Vi ser da at de to rektanglene overlapper, så det oransje området har blitt trukket fra to ganger. For å finne arealet av det grønne området må vi derfor legge til det oransje området. I dette tilfellet må Per regne ut 36 36 =40 40 4 40 40 4+4 4. Også her må studentene vise dette for begge regnestykkene, eller argumentere for at vi i begge tilfeller har '+,( '+,( og forklare hvorfor '+,( '+,( + +,, og forklare hvordan Per kan endre sin fremgangsmåte slik at den vil gjelde. a) Sammenligning av brøk på dette trinnet bør i første rekke utforskes gjennom sammenligning av relevante figurer. I denne oppgaven er differansen bare som ikke er så enkelt å illustrere ved å bruke to sirkler/pizza. Figurer som f.eks. rektangler og bruk av stambrøker er gode løsninger å presentere for klassen. Da differansen bare er er en løsning med stambrøker = +. og = + kanskje den mest overbevisende. Siden temaet i denne klassen er brøk og brøkbegrepet, foretrekkes utvidelse av brøkene framfor bruk av desimaltall. Utvidelse til fellesnevner 15 bør vises gjennom figurer. b) Ved sammenligninger må figurene være entydige og overbevisende, og det er ikke trivielt her. En forenkling med hensyn til dette er å sammenligne to og to brøker, < 0 og 0 <. Det godtas forsøk på å argumentere verbalt for at en sammenslåing av bord blir «mer rettferdig». Best i denne sammenhengen er utsagn i retning av at dette gjelder generelt, f eks med fokus på to bord med bare en person på hvert bord og ulik mengde pizza. Differansen i mengden pizza må deles på to, en gir og en får.