Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 004 SØK 00 Besvarelse nr : Innføring i mikro OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer det studentene har levert inn. Besvarelsene har i varierende grad feil og mangler, i både osett og innhold. Det er derfor viktig å lese kommentarene til besvarelsen. Besvarelsen vil også kun vise en av flere mulige fremgangsmåter. OBS!! Denne besvarelsen inneholder flere sider scannet tekst. Dette betyr at disse sidene vil ta lang tid å rinte ut. Faktor takker - alle som har tilbudt sine besvarelser - alle som har lagt arbeid ned i å få dette gitt ut Innhold: Ogave Besvarelse
Ogave a) Vil utlede konsumentens ettersørselsfunksjoner som funksjoner av riser og inntekt. Antar en økonomi med to goder, x og x, med ris hhv. og. Antar at konsumenten har inntekt m og dermed har budsjettbetingelse (restriksjon) x+ x m. Antar at konsumenten er nyttemaksimerende og maksimerer nytte over konsum av x og x. Har nyttefunksjonen U U( x, x), der vi antar ikke-metning. Dvs at mye er bedre enn lite, u ositiv grensenytte > 0, > 0. u u Antar videre at grensenytten er avtagende, < 0, < 0. Nyttefunksjonen gir oss en indifferenskurve, som viser nytten over x og x. Nytten er konstant langs indifferenskurven, og viser hvor mye man må øke konsumet av gode med når man reduserer konsumet av gode med en enhet for å holde nytten konstant. Flere indifferenskurver danner et indifferenskart, der nytten er større jo lenger ut i diagrammet vi beveger oss. Da antatt avtakende grensenytte, så er indifferenskurven konveks, og vi kan finne et maksimumsunkt. U < U < U3 U 3 U U Helningen å indifferenskurven kan finnes ved hjel av imlisitt derivasjon. Indiff.kurven gir x som en funksjon av x; xx(x). Setter dette inn i nyttefunksjonen, og finner U U( x, x( x)) U 0. + 0 MRS MRS er den marginale substitusjonsraten, og den sier hvor mye x må øke når man reduserer x med en enhet (substiturere) for å holde nytten å et konstant nivå, f.eks U 0.
Pga av ikke-metning, så kan vi skrive budsjettlinjen x+ x m. Konsumenten vil bruke hele inntekten sin, og konsumere å budsjettlinjen. Denne har helning: m x x Helning: Kan tegne:, og skjærer y-aksen m. x m m x Har følgende maksimeringsroblem: Maks U U ( x, x ) u. b. b x + x m x, x Løser dette ved hjel av Lagrange-metode: L U( x, x ) λ( x + x m) Førsteordensbetingelsene
L λ 0 i) L λ 0 ii) L x +x m 0 iii) λ Deler likning i) å ii) MRS Vi ser at i otimum så er helning å indifferenskurven lik helning å budsjettlinjen, de to tangerer hverandre. F.O.B kan også skriver slik: Dvs at i otimum så må nytten av siste krone anvendt å gode være lik nytten av siste krone anvendt å gode. Dersom dette ikke holdt, ville det lønt seg å bruke mer å det godet med størst nytteøkning, og mindre å det andre, for å maksimere nytten. Vi har nå følgende modell: () () x + x m 0 To likninger, og to endogene variabler: Endogene: x, x Eksogene:,,m Kan da finne ettersørselsfunksjonene for de to godene.
x x (,, m) x x (,, m) Endring i en av risene eller inntekt vil åvirke ettersørselen etter de to godene. Grafisk kan otimum finnes slik: x x A U x x Der x og x er ettersørsel i otimum. b) Tar utgangsunkt i en budsjettbetingelse x+ x m. Øker så både inntekt og alle riser med 5%. Dette gir ( + 0,05) x + ( + 0,05) x ( + 0,05) m Da ( + 0, 05) inngår i alle ledd, kan disse strykes, og vi står igjen med x+ x m. Vi ser at en slik økning i riser og inntekt ikke har noen effekt å budsjettlinjen. Dermed heller ikke noe effekt å ettersørselen. Indifferenskurve og budsjettlinje tangerer hverandre i samme unkt som før. x x A Skjæringsunkt de samme da U x x
( + 0, 05) m ( + 0, 05) m ( + 0, 05) m ( + 0, 05) m Har antatt at begge godene er normale goder, dvs at i > 0. m i Har også antatt at < 0. i c) Velger her å se å en økning i risen å gode, dvs. Grafisk ser vi at risøkningen har følgende effekt: Antar normale goder. B A BB BB Vi har utgangsunktet i unkt A. Der x+ x m. Budsjettlinjen har helning /, og skjærer x-aksen i m/ og y-aksen i m/. Indifferenskurve og budsjettlinje tangerer hverandre i unkt A. Så øker risen å gode. Dette gjør at budsjettlinjen dreier innover. Da har økt, vil budsjettlinjen skjære x-aksen i en lavere verdi for x enn før. Dette fordi man for gitt inntekt har råd til mindre x enn før. Skjæringsunktet med y-aksen er det samme som før, verken m eller har endret seg. Samtidig ser vi at budsjettlinjen har blitt brattere. Økningen i har ført til at den relative risen å er høyere, dvs at. Vi får ny likevekt der den nye budsjettlinjen (BB), tangerer en indifferenskurve, i unkt B. Denne effekten kan deles i to. En substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Grafisk:
Hyotetisk C A B Altså, bevegelsen fra A til B viser den totale effekten av risøkningen å gode. Dette kalles den ukomenserte effekten av risøkningen. Denne kan deles i to. Bevegelsen fra A til C kalles den komenserte effekten, eller substitusjonseffekten, mens bevegelsen fra C til B kalles inntektseffekten. Substitusjonseffekten viser effekten å ettersørselen av at den relative risen å (/) har endret seg. Konsumentene vil substituere seg bort fra det gode som har blitt relativt dyrere, og mot det godet som har blitt relativt billigere. Tilasningen i unkt C er en hyotetisk tilasning langs en hyotetisk budsjettlinje. Denne er funnet ved å gi konsumenten en inntektskomensasjon ved risøkningen, slik at konsumenten kan tilasse seg med samme nyttenivå som før risstigningen (inntektskomensasjon komensert ettersørsel). Har her valgt å vise Hicks substitusjonseffekt der nytten holdes konstant fremfor Slutsky der konsumenten får en inntektskomensasjon slik at den initiale godekombinasjonen er onåelig. For små endringer i ris vil disse være like. Bevegelsen fra C til B kalles altså inntektseffekten. Den skyldes at risøkningen å gode medfører redusert kjøekraft, da en for gitt inntekt og gitt mengde x kan kjøe mindre x enn før. Finner denne ved å trekke fra den hyotetiske inntektskomensasjonen. Hvordan vil disse to effektene åvirke ettersørselen etter de to godene? Substitusjonseffekten gjør at konsumenten substituerer seg bort fra gode som har blitt relativt dyrere, og mot gode som har blitt relativt billigere: x, x Inntektseffekten er her negativ, konsumenten har en lavere realinntekt, og dette trekker i retning av redusert konsum av begge godene: x, x Vi ser at totalt sett har vi en reduksjon i konsum av gode, siden to negative effekter. Og en usikker effekt å gode, to effekter som trekker i hver sin retning, total effekten avhenger av hvilken effekt som dominerer. Total effekt: x, x? I figuren ser vi en liten nedgang i x som vil si at inntektseffekten dominerer, men det behøver altså ikke å være slik. Kan også vise de to effektene analytisk. Har i ogave a) funnet de ukomenserte ettersørselsfunksjonene x x (,, m) x x (,, m)
Kan benytte utgiftsminimeringsroblemet for å utlede de komenserte ettersørselsfunksjonene (Hicks). Finne lavest mulig inntekt for å orettholde nytte U U( x, x ). Bruker Lagrange: L x + x λ( U( x, x ) U) Førstordensbetingelser : L λ 0 i) L λ 0 ii) L U ( x, x ) U iii ) i) ogii) gir: i') iii) og i ) gir oss en modell som gir x og x som funksjoner av de eksogene variablene, og U. x x (,, U) h h x x (,, U) h h For at en inntekt m som er slik at x+ xakkurat gir nytte U, så vil de to ettersørselsfunksjonene gi samme otimum:
x (,, U) x (,, m) h x (,, U) x (,, x + x ) h Differensierer mh : h m + m h + x m Kan løse for og finne den såkalte slutsky likningen: h x m Direkte slutskylikning gir totaleffekten av risøkningen h gir den komenserte effekten, eller substitusjonseffekten x m gir inntektseffekten Kan finne den indirekte slutsky-likningen å tilsvarende måte og få: h x x x x m Hvis vi hadde sett å slutsky substitusjonseffekt ville vi fått S x x x x m Hicks og Slutsky er like for små risendringer
d) Antar igjen at vi ser å et to-gode tilfelle (kan tenke å gode som den vi er interresert i å se å effekt fra, og gode som alle andre goder). Budsjettlinje: x+ x m Øker så inntekten og risen å gode med 5%. x + ( + 0,05) x ( + 0,05) m x+ x m ( + 0, 05) Vi ser at dette fungerer som en 5% risreduksjon å gode. Grafisk: A B Utgangsunkt i unkt A å den orginale budsjettlinjen. Øker så inntekten først. Da vil budsjettlinjen skifte utover til ny budsjettlinje (stilet linje). Øker så risen å gode. Da vil den stilete budsjettlinjen dreie innover til den nye budsjettlinjen. Denne skjærer y-aksen i samme unkt som den orginale budsjettlinjen, mens den skjærer x-aksen i en høyere verdi for x. De to effektene fungerer altså til sammen slik som en risreduksjon å gode ville gjort. Kan da finne effekten å ettersørselen etter de to godene. Har en substitusjonseffekt som trekker i retning av økt ettersørsel etter gode, gode har blitt relativt billigere, gode har blitt relativt dyrere: x, x Har en inntektseffekt som trekker i retning av økt ettersørsel etter begge goder (økt realinntekt), x, x Vi ser at totaleffekten er at ettersørselen etter gode har økt, mens effekten å ettersørselen etter gode er usikker. x, x?
OPPGAVE : a) Når vi ser å skalaavkastning, så tenker man å hvordan roduksjonsmengden endres når man endrer mengden av innsatsfaktorene brukt i roduksjonen. Har roduktfunksjon: Y f( x, x) Der Y er roduktmengde, x er innsatsfaktor og x er innsatsfaktor. Produsert kvantum er altså en funksjon av bruken av innsatsfaktorer for gitt teknologi. (Formen å f-funksjonen bestemmes av teknologi). Antar effesient roduksjon, slik at den eneste måten å øke roduksjonsmengden å er å øke bruken av innsatsfaktorer. Produktfunksjonen gir da maks Y for gitt x og x. Skalaavkastning er gitt ved skalaelastisiteten ε. Denne sier tilnærmet hvor mange rosent roduksjonen øker når man øker bruken av alle innsatsfaktorene med %. Dersom man bare øker bruken av en innsatsfaktor, så finner vi grenseelastisiteten og summen av alle grenseelastisitetene gir skalaelastisiteten. ε > er tiltakende skalaavkastning, en % økning av alle innsatsfaktorene gir mer enn en % økning i roduksjonsmengde. ε gir konstant utbytte med hensyn å skalaen, en % økning i alle innsatsfaktorene gir en % økning i roduksjonsmengden(y). ε < gir avtakende utbytte mh. skalaen, %økning i alle innsatsfaktorene gir mindre enn % økning i Y. Kan også se å roduktfunksjonen. Ser å situasjon der bruken av innsatsfaktorene øker med en konstant t. Ser så om økningen i Y er større, mindre eller lik t: f( t x, t x ) t f( x, x ) konstant skalautbytte f( t x, t x ) < t f( x, x ) Tiltakende skalautbytte f( t x, t x ) > t f( x, x ) Avtakende skalautbytte For å vise at summen av grenseelastisitetene gir skalaelastisiteten tar vi utgangsunkt i roduktfunksjon der vi øker bruken av x og x med en faktor t. Deriverer mh t: Y f( tx tx ), Y f( tx tx ) f( tx tx ) x + x t,, Y t f( tx tx ) x f( tx tx ) x + Y Y Y,, ε ε + ε
b) Y A x x a b Først finner vi grenseelastisitetene, dvs hvordan roduksjonen åvirkes av en økning i en av innsatsfaktorene, mens den andre holdes konstant. Summen av grenseelastisitetene gir skalaelastisiteten. For x: Y a Y a Ax x a b x ε Y x a Y x Y x Y a For x: Y b Y b Ax x a b x ε Y x b Y x Y x Y b Skalaelastisitet: ε ε+ ε a+ b Dersom ε ε+ ε a+ b>, så er det tiltakende utbytte mh skalaen. Dersom ε ε+ ε a+ b, så er det konstant utbytte mh skalaen Dersom ε ε+ ε a+ b<, så er det avtakende utbytte mh skalaen. c) Betrakter en bedrift som er risfast kvantumstilasser (FK) og har den generelle roduktfunksjonen Y f( x, x) Han står da overfor følgende rofittmaks-roblem: Maks π f ( x, x ) w x w x x, x Førsteordensbetingelser π f w 0 f w π f w 0 f w
I otimum er verdien å grenseroduktiviteten lik kostnaden for hver av innsatsfaktorene. Verdien å det den siste enheten innsatsfaktor roduserer, er lik det denne enheten koster å anskaffe. Dersom f.eks f>w, så vil verdien å grenseroduktiviteten være større enn utgiften, og det vil lønne seg å anskaffe mer av faktoren x. Vi har videre at forholdet mellom grenseroduktivitetene, må være lik forholdet mellom faktoravlønningen, uavhengig av ris: f f w w Dette er F.O.B for kostnadsminimering, og det vil si at kostnadsminimering er en nødvendig betingelse for rofittmaksimering. De to FOB gir oss ettersørselsfunksjonene til innsatsfaktorene: x x ( w, w, )? x x ( w, w, )? + + Sammen kan disse settes inn i roduktfunksjonen, og vi får at tilbud er gitt ved: Y Y( w, w, ) + Kan så se å andreordensbetingelsene, AOB: π f For at maksimum må denne være mindre enn null; π f f < 0 f < 0 π f Igjen; f < 0 f < 0 Samtidig må: f f f >0 Da har vi et maksimumsunkt, og AOB er ofylt. Dette betyr at vi må ha avtakende skalautbytte, ε <, for ε < vil vi ha AOB vil ikke være ofylt. f og f > 0. Og
Vi har sett at for at AOB skal være ofylt, så må vi ha at grenseroduktivitetene til de to innsatsfaktorene må være avtakende. For å se å skalaegenskaene, kan det også være nyttig å se å konstnadsstrukturen til bedriften. Indirekte rofitt-maks: π Y C( Y) FOB : π C'( Y) 0 Y MC AOB π C ''( Y ) < 0 dvs C ''( Y ) > 0 Y I rofittmaks. må vi befinne oss å den stigende delen av MC-kurven. Samtidig må vi ha π > 0, å langsikt vil det si at ACmin. Det kan vises at gjennomsnittskostnadene når sitt minimum der ACMC. Det kan også vises at der er ε. For AC>MC vil ε >, tiltakende utbytte mh skalaen, og for ε < har vi AC<MC. Vi må befinne oss å den voksende delen av MC, og vi må ha MC>AC dvs ε < og avtakende utbytte å skalaen. Vi må enten ha en situasjon der vi har en ultra ari assum rosess Ultra ari assum:, C MC Må befinne oss å denne del av MC (gir tilbudskurve) AC ε > ε ε < Y Ultra ari assum: ε > for små Y. ε < for store Y. ellers så må vi ha en situasjon der MC>AC hele tiden.
, C MC AC ε < hele tiden Y For ε < vil bedriften ha større utgifter enn inntekter konkurs. P<AC. Vi må altså ha avtakende utbytte å skalaen for at vi skal ha et rofittmaks. d) Når x er gitt for kort sikt, så har vi x x, og kan skrive roduktfunksjonen: Y f( x, x ) Pr ofittmaksimering : π f( x, x ) wx w x FOB π f( x, x ) w f w 0 I otimum er verdien av grenseroduktiviteten lik kostnaden, dvs verdien å det den marginale innsatsfaktoren roduserer, er lik det det koster å anskaffe den marginale innsatsfaktoren. AOB π f( x, x ) f x π For at AOB skal være ofylt, dvs at vi skal ha et rofitt maks, så må <0. Da må f<0, dvs f <0. Vi må ha avtakende grenseroduktivitet. Kan nå se å hvordan en roduktrisøkning åvirker tilbud. Må da først finne hvordan en roduktrisøkning åvirker bruken av faktor. Bruker FOB til dette, deriverer FOB mh.
f w der x x ( ) f + f 0 f > 0 da f < 0 f Økning i, gir økt bruk av x. Grafisk: w For gitt w,vil gi x 0 x x x Kan så ved hjel av roduktfunksjonen finne effekt å Y. Deriverer denne mh. Igjen : xx() Y f( x, x ) Y f( x, x ) f 0 > Økt gir økt Y. En økning i roduktris gir økt bruk av innsatsfaktor x, og gir økt tilbud. e) Skal se å økt bruk av den faste faktoren x, x. Ser først å hvordan dette vil åvirke bruk av faktor, x. FOB for rofittmaksimering ga oss i c) at: f w MP w
Om x o gir økt eller redusert bruk av x avhenger av hvordan x åvirker grenseroduktiviteten i x. MP Dersom x gir MP, dvs > 0, for f > 0 så vil x x. Da er de to godene teknisk komlementære. De brukes sammen, og økt bruk av x gir økt ettersørsel etter x. Vi har > 0. Y Fra roduktfunksjonen har vi > 0 For teknisk komlementære goder vil økt bruk av x, gi økt x og økt Y. MP Dersom x gir MP, dvs < 0 teknisk alternative. Vi har da < 0 For normale goder er det rimelig å anta at, f 0 så vil x x <. Da er de to godene Y > 0 Altså for teknisk alternative goder; x x, Y f) Anta at det ikke er substitusjonsmuligheter i roduksjonen. Da er Y min { x, x } Antar fortsatt at x er gitt lik x. Når det ikke er substitusjonsmuligheter så må man, for å kunne øke roduksjonen av Y, øke begge innsatsfaktorene. Produksjonen er avhengig av et gitt forhold mellom bruken av de to innsatsfaktorene. Det å bare øke bruken av den ene innsatsfaktoren har ingen effekt å roduksjonen. Isokvanten har i roduksjonsteorien sammensetning av x og x som gir samme roduktmengde Y. Når limitasjonsloven gjelder har isokvantene en L-form x Y > Y > Y0 x Y Y Y 0 x
For gitt x, vil en roduktrisøkning ikke ha noen innvirkning å rodusert mengde eller å ettersørselen etter x. Det er ikke noe oeng i å øke x da dette bare gir økte kostnader, og ikke økt roduksjon. Profittmaksimerende bedrifter vil da ikke ettersørre mer x. Da ser vi at x og x er samme som før, det vil si at for gitt teknologi så er der ingen endring i roduksjon Y. Det eneste som er endret er risen. Dersom det ikke er substitusjonsmuligheter betyr en økning i x, en økning i x, og dermed en økning i Y. Økt tilgang å x, x, gjør at bedriften kan rodusere mer ved å øke bruken av x, slik at forholdet mellom x og x er otimalt for nye x. Da vil også Y øke.