48 Praktisk reguleringsteknikk Figur 2.18: Simulering av nivåreguleringssystemet for flistanken. Regulatoren er en PI-regulator. (Resten av frontpanelet for simulatoren er som vist i figur 2.14.) Kompenseringsegenskaper: Det statiske reguleringsavviket blir null etter spranget i forstyrrelsen (til tross for at u 0 har feil verdi pga. spranget). [Slutt på eksempel 10] 2.6.6 PID-regulator Vi kan være fornøyde med PI-regulatoren, siden den gir null statisk reguleringsavvik. Men i noen tilfeller er det fordelaktig med hurtigere regulering enn hva PI-regulatoren gir. Dette kan oppnås ved å inkludere et
Praktisk reguleringsteknikk 49 ledd i pådragsberegningen som er proporsjonalt med den deriverte eller endringsraten av avviket e. I PID-regulatoren (proporsjonal + integral + derivat) beregnes da pådraget ihht. (2.12) slik: u e z Z } { K t p de u = u 0 + K p e + edτ + K p T d (2.31) {z} T i 0 u p {z } {z } u i u d u d betegnes derivatleddet. K p er proporsjonalforsterkningen. T i [sek] eller [min] er integraltiden. T d [sek] eller [min] er derivattiden (engelsk: derivative time). I noen kommersielle regulatorer benyttes derivatforsterkningen K d for K p T d. PID-regulatoren virker slik: Anta at reguleringsavviket er økende. Da er avvikets deriverte positiv, og derivatleddet vil bidra positivt til pådraget. Dette kan gi hurtigere regulering. Alle kommersielle regulatorer implementerer en PID-regulator. Men ingen implementerer (2.31)! Den er nemlig en ideell PID-regulator der D-leddet må modifiseres for at den skal virke i praksis.vi kommer inn på dette nedenfor. Eksempel 11 PID-regulering av flisnivå i flistank Figur 2.19 viser simulerte forløp av pådrag, referanse, nivå (prosessutgang) og utstrømning (forstyrrelse) for nivåreguleringssystemet for flistanken med PID-regulator (inkl. lavpassfilter i D-leddet). Regulatorparametrene er K p =1, 86, T i =9, 0 min og T d =2, 25 min (verdiene er funnet vha. Ziegler-Nichols lukket-sløyfe-metode, jf. underkap. 4). Forholdene for simuleringen ellers stort sett som i eksempel 9. Simuleringen viser følgende: Følgeenskaper: Nivået svinger seg inn til den nye referanseverdien uten statisk reguleringsavvik, som for PI-regulatoren, jf. eksempel 10. Innsvingningen skjer litt raskere enn med PI-regulatoren. Kompenseringsegenskaper: Det statiske reguleringsavviket blir null etter spranget i forstyrrelsen, som for PI-regulatoren, og innsvingningen skjer litt raskere enn med PI-regulatoren. La oss se hvordan de enkelte pådragsleddene i PID-regulatoren virker. Figur 2.20 viser diverse tidsresponser etter et sprang i utstrømningen w ut
50 Praktisk reguleringsteknikk Figur 2.19: Simulering av nivåreguleringssystemet for flistanken. Regulatoren er en PID-regulator. (Simulatorens frontpanel er ellers som i figur 2.14.) (forstyrrelsen). Regulatorparametrene er som angitt ovenfor. Vi ser at D-leddet u d reagerer brått og at dens verdi går mot null stasjonært (den deriverte av et avvik som er konstant, er null). I-leddet u i reagerer relativt tregt, men endrer verdi så lenge avviket, som er differansen mellom h r og h er forskjellig fra null. I-leddet går mot en (ny) konstant verdi etter spranget i w ut. P-leddet u p reagerer raskere enn I-leddet, men tregere enn D-leddet, og dens verdi går mot null, hvilket skyldes at K p e går mot null når e går mot null, hvilket skjer takket være I-leddet. [Slutt på eksempel 11]
Praktisk reguleringsteknikk 51 Figur 2.20: Tidsresponser i bl.a. pådragsleddene og i nivået etter et sprang i utstrømningen w ut (forstyrrelsen) Målestøy og lavpassfilter i D-leddet Det er en ulempe ved PID-regulatoren: Den kan gi uakseptabelt urolig pådrag ved høyfrekvent støy i prosessmålingen, og det er alltid slik målestøy i større eller mindre grad. Støyen kan stamme fra elektroniske støykilder eller fra selve måleprinsippet, som ved ultralydbasert nivåmåling av en overflate med bølger. Det urolige pådraget skyldes D-leddet, som deriverer ikke bare referansen og prosessmålingen, men også støy i prosessmålingen. Vi kan se problemet slik: Anta at støyen w inngår i det fysiske målesignalet y m slik: y m = y + w, dery er det støyfrie eller ideelle målesignalet. Se figur 2.21. Anta at y r y m er det fysiske avvikssignalet
52 Praktisk reguleringsteknikk v y r Reg. u Prosess y Målestøy w y m y (målt) Måleelement Figur 2.21: Målestøy i reguleringssløyfen som skal inngå i D-leddet. Da er u d = K p T d d(y r y m ) = K p T d d [y r (y + w)] = K p T d d(y r y) {z } de +K p T d dw (2.32) Støyens deriverte dw/ vil altså inngå i pådraget. Hvis støyen er høyfrekvent, vil dens deriverte kunne få meget store verdier, og pådraget vil kunne bli (svært) urolig. Det kan vi se ved å anta at w er sinusformet: w(t) =W sin(ωt) (2.33) Den deriverte av w er dw = {z} ωw sin(ωt) (2.34) A w Hvis frekvensen ω er stor, blir den derivertes amplitude A w = ωw stor, og leddet K p T d dw/ i D-leddet kan da bli stort. En god del forbedring mht. målestøyens virkning på pådraget kan oppnås ved å lavpassfiltrere reguleringsavviket før det deriveres, og dette er en standard løsning. Hvis vi bruker betegnelsen e f om det filtrerte avviket, kan vi skrive den modifiserte PID-regulatoren slik: u = u 0 + K p e {z} Z K t p + T i 0 u p {z } u i de f edτ + K p T d (2.35) {z } u d Filteret kan være et 1. ordens lavpassfilter. Det er hensiktsmessig å representere filteret med sin Laplace-transferfunksjon. Sammenhengen mellom e f og e kan da skrives e f (s) = 1 e(s) (2.36) T f s +1
Praktisk reguleringsteknikk 53 der T f er filterets tidskonstant, som vanligvis gis verdi slik: T f = at d (2.37) der T d er derivattiden og a er en konstant som oftest velges mellom 0,05 og 0,2. I utgangspunktet kan vi sette a =0, 1. Figur 2.22 viser simuleringer av et reguleringssystem (ikke flistanken denne gang). Både referansen y r, prosessmålingen y m og pådraget u er vist. Figur 2.22: Simulering av reguleringssystem med PID-regulator og målest øy for 3 forskjellige situasjoner, se teksten. Regulatoren er en PID-regulator der K p og T i har konstante verdier i simuleringen. Referansen er konstant. Det er simulert med random (tilfeldig) målestøy w uniformt fordelt mellom ±0, 2%. Simuleringen viser tre situasjoner: Fra t = 120 til 140 sek: Intet D-ledd, dvs. PI-regulator (T d er satt lik null i PID-regulatoren). Simuleringen viser naturlig nok noe støy i pådraget. Støyen forplanter seg til pådraget via særlig P-leddet, men også litt via I-leddet. Fra t = 140 til 160 sek: Ordinær PID-regulator med lavpassfilter med a-verdi lik 0,1. Støyens utslag i pådraget er større enn ved PI-regulator pga. støyens forsterkning gjennom D-leddet. Dette demonstrerer at PID-regulatoren gir mer støyfylt pådrag enn PI-regulatoren.
54 Praktisk reguleringsteknikk Fra t = 160 til 180 sek: PID-regulator med (tilnærmet) ideelt D-ledd, dvs. at lavpassfilteret i D-leddet er (tilnærmet) fjernet. Støyens utslag i pådraget er nå meget stort. Dette demonstrerer at lavpassfilteret i D-leddet er viktig for dempning av målestøyens utslag i pådraget. Ovenfor var målestøyen et random signal med null middelverdi. Hvis middelverdien, m w, er forskjellig fra null, oppstår et stasjonært reguleringsavvik forskjellig fra null, siden m w vil arte seg som et tillegg til referansen, og PID-regulatoren vil sørge for at prosessutgangen y vil følge denne falske referansen. Hvordan få P og PI og PD fra PID? Kommersielle regulatorer implementerer en PID-regulatorfunksjon. De andre regulatorfunksjonene kan fås fra PID-regulatoren (2.35) slik: P-regulator fås ved å sette T i så stor som mulig (jeg pleier å sette 1000000) og T d =0. I noen kommersielle regulatorer kan du angi tallet 0 7 i parameterfeltet for T i som en kode for at integralleddet er fjernet. PI-regulator fås ved å sette T d =0. PD-regulator (lite brukt, riktignok) fås ved å fjerne I-leddet, jf. punktet for P-regulator ovenfor. Blokkdiagram for PID-regulatoren Figur 2.23 viser et blokkdiagram for PID-regulatoren gitt ved (2.35). Transferfunksjon for PID-regulatoren I noen sammenhenger trengs en transferfunksjonsmodell av PID-regulatoren (2.35). Det er tilfelle ved frekvensresponsanalyse av en reguleringssløyfe (frekvensresponsen finnes gjerne på basis av transferfunksjonsmodellen for systemet), ved analytisk beregning av tidsresponser vha. Laplaceregning og ved simulering når det er tilstrekkelig 7 litt merkelig