Skisse av den ideelle læreplan i matematikk

ved Anita Valenta, Mona Nosrati, Roberth Åsenhus og Kjersti Wæge Skisse av den ideelle læreplan i matematikk Formål med faget Matematikk er en del av den globale kulturarven vår. Mennesket har til alle tider brukt og utviklet matematikk for å systematisere erfaringer, for å beskrive og forstå sammenhenger i naturen og i samfunnet og for å utforske universet. En annen inspirasjonskilde til utviklingen av faget har vært glede hos mennesker over arbeid med matematikk i seg selv. Faget griper inn i mange vitale samfunnsområder, som medisin, økonomi, teknologi, kommunikasjon, energiforvalting og byggevirksomhet. Solid kompetanse i matematikk er dermed en forutsetning for utvikling av samfunnet. Et aktivt demokrati trenger borgere som kan sette seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analyser og økonomiske prognoser. På den måten er matematisk kompetanse nødvendig for å forstå og kunne påvirke prosesser i samfunnet. Matematisk kompetanse er sammensatt og kan beskrives ved hjelp av fem komponenter eller fem tråder (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001) 1 : Forståelse: Den første komponenten er forståelse og innebærer å bygge opp begrepsmessige strukturer og se sammenhenger mellom ulike begreper, ideer og prosedyrer. Forståelse handler også om å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og veksle mellom ulike representasjoner ut fra hva som kan være nyttig for et gitt formål. Beregning: Beregning handler om å kunne utføre ulike matematiske prosedyrer nøyaktig, fleksibelt og hensiktsmessig. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest hensiktsmessig i en gitt situasjon. Beregning innebærer en forståelse av ikke bare hvordan en prosedyre skal eller kan gjennomføres, men også hvorfor den er gyldig. 1 National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. J. Kilpatrick, J. Swafford & B. Findell (red.). Washington, DC: National Academy Press. Merk: I LK06 tar man utgangspunkt i Niss og Jensen (2002, se http://pub.uvm.dk/2002/kom/) sin beskrivelse av matematikkompetanse. Det er store likheter mellom definisjonen til Kilpatrick et al. og beskrivelsen til Niss og Jensen, hovedforskjellen er at Kilpatrick et al. tar med engasjement og positiv innstilling til faget som en del av kompetansen. 1

Anvendelse (strategisk tankegang): Anvendelse eller strategisk tankegang innebærer å kunne gjenkjenne og formulere matematiske problem, representere dem på ulike vis, utvikle en løsningsstrategi og vurdere hvor rimelig løsning er. Med matematiske problemer menes det her problem fra hverdagen/samfunnet der matematikk kan anvendes, men også abstrakte matematiske problem og spørsmål. Resonnering: Det fjerde aspektet, resonnering, handler om å kunne forklare hvordan man tenker, kunne følge med i et logisk resonnement og kunne vurdere dets gyldighet. Videre innebærer resonnering å kunne se og begrunne sammenhenger mellom ulike begreper, egenskaper, framgangsmåter, kunne argumentere for gyldigheten av hypotese ved å utforme et resonnement ved å ta utgangspunkt i noe som er kjent og bygge opp veien mot det som er ukjent og skal undersøkes. Engasjement: Det siste aspektet av matematisk kompetanse handler om å se matematikk som fornuftig, nyttig og verdifull. Videre innebærer dette aspektet å ha tro på at det er mulig bli kompetent i matematikk og at innsats bidrar til læring. Disse fem komponentene et tett sammenflettet og avhengige av hverandre. De fem komponentene støtter hverandre, og det er viktig å påpeke at elevene må utvikle alle fem samtidig. Forbindelsen mellom de ulike komponentene blir da forsterket og elevene utvikler en matematisk kompetanse som er varig, fleksibel, nyttig og relevant. Algebraisk tenkning Vi skisserer nedenfor hvordan man kan se for seg utvikling av matematisk kompetanse knyttet spesielt til algebraisk tenkning. Med algebraisk tenkning menes det her prosesser knyttet til generalisering, resonnering om det generelle, struktur, mønster, sammenhenger, og formalisering av disse. Kaput (2008) 2 fremhever tre hovedområder av algebra i skolen: Algebra som studiet av strukturer i tall og aritmetikk (algebra som generalisert aritmetikk); Algebra som studiet av mønster, relasjoner og funksjoner; Algebra som matematisk modellering. Matematikkfaget i LK06 er delt inn i hovedområder. Det kan være mange fordeler ved det, men det kan også tenkes at en slik inndeling på læreplannivå kan gjøre det mer utfordrende å fremheve sammenhenger i matematikk. Spesielt er algebraisk tenkning noe som går på tvers av ulike matematiske temaer i skolen: Tall og regning - generalisering av og resonnering om egenskaper av operasjoner og regnestrategier. (fra 5 + 38 = 3 + 40 til a + b = (a - 2) + (b + 2)) Funksjoner - situasjoner innen matematikk eller fra virkeligheten der det er 2 Kaput, J. (2008) What Is Algebra? What Is Algebraic Reasoning? in Kaput, J., Carraher, D. and Blanton, M. (eds.) Algebra In The Early Grades. New York: Lawrence Erlbaum Associates, pp. 5-18 2

sammenheng mellom to størrelser (for eksempel proporsjonalitet) Måling måling som beskrivelse av en relasjon mellom to størrelser (det som måles og målenheten), ulike formler for areal, omkrets, volum, osv. Relasjoner som dukker opp her høyden av en bygning vs. dens overflate og lignende. Geometri geometriske mønster, figurtall relasjoner mellom variabler som en inngang til funksjonsbegrepet Statistikk og sannsynlighet når data er samlet inn, ser man etter noen mønstre og bruker funksjoner til å beskrive sammenhenger eller forutsi utvikling videre I denne skissen tar vi ikke standpunkt til om matematikkfaget bør deles i noen hovedområder, og hvilke områder dette i så fall bør være. Vårt utgangspunkt er at elevene skal utvikle matematisk kompetanse i algebraisk tenking. Vi beskriver de fem ulike komponentene av matematisk kompetanse knyttet til algebraisk tenkning for 2. trinn, 6. trinn og 1.året på videregående skole. Videre i skissen gir vi eksempler på oppgaver/aktiviteter som det kan jobbes med i skolen for å legge til rette for utvikling av elevenes kompetanse knyttet til algebraisk tenking. Oppgavene er utformet slik at elevene kan utvikle flere komponenter samtidig gjennom å arbeide med oppgavene. I denne skissen betraktes de grunnleggende ferdighetene som en integrert del av matematisk kompetanse, og de er på den måten integrert i beskrivelsen av kompetansen og i de ulike eksemplene på aktiviteter man kan jobbe med. Komponentene som utgjør matematisk kompetanse støtter hverandre gjensidig, og elevene skal utvikle alle fem komponentene. Undervisningen i én matematikktime kan fremheve en eller to komponenter, men elevene må etter hvert få arbeide med alle komponentene slik at sammenhengen mellom dem blir styrket. Man kan tenke på tilsvarende måte om ulike matematiske temaer i matematikk: det bør arbeides eksplisitt med de ulike temaene, men det er i tillegg svært viktig å arbeide med sammenhenger på tvers av temaer. Uansett om man ønsker å dele faget i noen hovedområder i læreplanen eller ikke, er det viktig å fremheve sammenhenger mellom ulike temaer i matematikk. Dette bør man også etterstrebe på læreplannivå. Vi har tatt utgangspunkt i modellen nedenfor, der man fremhever det spesielle for hver av de fem komponentene, men hvor det også er et mål å knytte tette forbindelser mellom dem. På tilsvarende måte skiller modellen mellom ulike matematiske temaer, men det er samtidig et mål å se dem i sammenheng med hverandre. Forståelse Beregning Anvendelse Resonnering Engasjement Tall og algebra Måling Geometri Statistikk 3

Algebraisk tenkning 2.trinn - Forståelse Forståelse innen algebraisk tenkning på 2.trinn innebærer å kunne representere naturlige tall, addisjon og subtraksjon ved hjelp av symboler, på tallinje, med konkreter og gjennom regnefortellinger 3. Det innebærer videre å kjenne til og kunne beskrive noen egenskaper av tall, for eksempel at noen tall er partall, andre oddetall, at tallene kan representeres som en sum eller differanse av to eller flere tall. Ulike relasjoner mellom tall, som likhet og ulikhet, større enn og mindre enn er også viktige begreper i denne sammenhengen. Det å kjenne til ulike egenskaper til addisjon og subtraksjon, for eksempel sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon, kommutativitet (at man kan bytte rekkefølgen av tallene i addisjon som i 26+37=37+26, men ikke i subtraksjon, 65-27 ikke er lik 27-65), assosiativitet (når tre tall skal adderes, kan man begynne med hvilke som helst to, f.eks: (4+87)+3=4+(87+3)), rollen til 0 (45-0=45, 45+0=45), er viktige aspekter for videre utvikling av tallforståelse og regning. Elevene bør utvikle varierte regnestrategier, og de bør utvikle forståelse for hvorfor de ulike strategiene kan brukes i gitte situasjoner (ved å ta i bruk en passende regnefortelling, for eksempel). Variabelbegrepet er sentralt i algebraisk tenkning, og på 2.trinn kan det handle om å beskrive variable størrelser i hverdagssituasjoner og i enkle matematiske problem, og å kunne utrykke sammenhenger mellom dem ved bruk av ord. 6.trinn Forståelse innen algebraisk tenkning på 6. trinn innebærer å kunne representere hele tall (positive og negative), brøk og desimaltall symbolsk, på tallinje, ved konkreter og regnefortellinger. Det innebærer videre å kunne representere regneoperasjoner og ulike regnestrategier symbolsk, på tallinje og gjennom regnefortellinger. Kjennskap til grunnleggende egenskaper ved de fire regneoperasjonene samt kjennskap til relasjonene mellom regneoperasjonen er viktig i denne sammenhengen. Begrepsforståelse innebærer også å kjenne til og kunne beskrive noen egenskaper av tall, for eksempel at tall kan representeres som en produkt av to eller flere faktorer, eller som kvotient av to tall, at noen tall er kvadrattall, noen er delelig med et gitt tall, mens andre har en rest ved deling med det tallet. Det er viktig at elevene utvikler forståelse for hvorfor en regnestrategi, egen eller andres, kan 3 I skissen bruker vi betegnelsen regnefortelling for en fortelling som tar utgangspunkt i en hverdagssituasjon som er gjenkjennelig for elevene. En regnefortelling inneholder noen tall og legger opp til en diskusjon om tall, regneoperasjoner og/eller ulike sammenhenger. For eksempel: Anne har 56 klistremerker og Inga har 34. Anne har bestemt seg å gi noen klistremerker til Inga slik at de har like mye. Hvordan kan de finne ut hvor mange klistremerker Anne bør gi til Inga? En regnefortelling trenger ikke å inneholde et spørsmål som elevene jobber med, for eksempel kunne fortellingen ovenfor inneholde en fortsettelse om hvordan Anne og Inga har fordelt klistremerkene. Det viktige er at regnefortellingen kan brukes som et utgangspunkt for diskusjoner om tall og regneoperasjoner. 4

brukes og er gyldig. Begrunnelsen kan ta utgangspunkt i en passende regnefortelling, eller i strategier og egenskaper av tall og operasjoner som er allerede kjent. Videre vil det å kunne identifisere variable størrelser i hverdagssituasjoner og i matematiske problem, kunne beskrive sammenhenger mellom den ved bruk av algebraiske symboler og, i tilfeller der det er hensiktsmessig, kunne representere sammenhengen i koordinatsystemet være viktig for videre utvikling av algebraisk tenking. Ligningsbegrepet, forståelse av likhetstegnet og rollen av variabelen(e) i en ligning er viktig i denne sammenhengen. 1.vg Forståelse innen algebraisk tenkning på 1.året på videregåendeskole innebærer å kunne representere tall, regneoperasjoner og ulike sammenhenger mellom dem ved hjelp av algebraiske symboler, på tallinje og ulike kontekster (f.eks. at uttrykket a=2b beskriver en relasjon mellom to tall, a og b, der a er det dobbelte av b; at det svare til en kontekst der for eksempel en person har dobbelt så stor timelønn som en annen). Spesielt, forståelse innebærer kjennskap til ulike typer standardisert symbolsk notasjon (som potenser) og sammenheng med andre måter å representere tall og operasjoner (at a^5=a a a a a, for et gitt reelt tall a) og også forståelse for at symbolet for variabler (som a ovenfor) ikke er gitt, at ulike symbol kan brukes men at det er essensielt at man alltid definerer hva symbolet står for. Videre er ulike egenskaper av tall (som delelighet eller primtallsfaktorisering) og hvordan disse kan uttrykkes algebraisk viktige elementer innen algebra. Elevene bør ha forståelse for grunnleggende egenskaper av regneoperasjoner (kommutativitet, assosiativitet, distributivitet, identitetselement), og hvordan ulike sammenhenger og prosedyrer bygger på dem. Det å utvikle flere ulike fremgangsmåter, se sammenhenger mellom dem og kunne begrunne dem (ved å ta i bruk ulike representasjoner eller bygge på noe som er kjent fra før) er viktig for forståelse. Variabelbegrepet er sentralt både innen arbeide med funksjoner og ligninger/ligningssystem. Elevene bør ha en forståelse av funksjon som en relasjon mellom to eller flere størrelser/variabler, der en variabel avhenger av den(de) andre og er entydig bestemt av den(dem), og de bør kjenne til ulike typer funksjoner. Elevene bør kunne representere en funksjon på ulike måter, symbolsk, grafisk, i form av en tabell eller ved å bruke hverdagsspråk, og de bør kunne velge representasjoner ut fra hva som kan være hensiktsmessig i en gitt situasjon. Arbeidet med ligninger på 1.vg innebærer flere typer ligninger og ligningssystem, og det er viktig at elevene forstår ligninger (og ligningssystem) som vilkår som er oppfylt for noen verdier av de involverte variablene, mens det ikke er oppfylt for noen andre. Det er videre viktig at elevene utvikler forståelse for likheter og forskjeller mellom ligninger og funksjoner (for eksempel at alle fuknsjoner kan betraktes som ligninger, men ikke omvendt; at variablene har ulik rolle i funksjoner, avhengige/uavhengige, mens det ikke skilles mellom dem i ligninger). Ulike måter å representere ligninger, symbolsk, grafisk og ved å bruke hverdagsspråk er viktige også her. Utvikling av varierte fremgangsmåter begrunnelser for deres gyldighet, er viktige for utvikling av fleksibilitet og dybdeforståelse. 5

Algebraisk tenkning Beregning 2. trinn Beregninger innen algebraisk tenkning på 2.trinn handler om å utvikle og bruke varierte regnestrategier innen addisjon og subtraksjon. Et sentralt aspekt her er det å kunne velge en hensiktsmessig strategi for et gitt regnestykke, en strategi der man utnytter relasjoner mellom de gitte tallene og egenskaper av den gitte operasjonen. 6.trinn Beregninger innen algebraisk tenking på 6. trinn innebærer å utvikle og bruke varierte regnestrategier. Man bør videre kunne bruke matematisk notasjon (som parenteser) for å presentere regnestrategiene skriftlig. Det å bruke digitale hjelpemidler, som kalkulator, er også et viktig element her. Et sentralt aspekt når det gjelder algebraisk tenkning og regning er å kunne velge en hensiktsmessig strategi for et gitt regnestykke, en strategi der man utnytter relasjoner mellom de gitte tallene og egenskaper av den gitte operasjonen. Beregninger i algebra innebærer også å kunne løse ligninger på ulike måter, avhengig av hva som kan være hensiktsmessig for en gitt ligning. Videre innebærer dette aspektet å kunne manipulere med enkle algebraiske uttrykk som inneholder to variabler (for eksempel uttrykke den ene variabelen ved hjelp av den andre om omvendt). 1.vg Beregninger innen algebraisk tenkning på 1.vg. innebærer å utvikle og bruke ulike fremgangsmåter i arbeid med tall og algebraiske uttrykk. Man bør kunne bruke matematisk notasjon for å presentere ulike sammenhenger og fremgangsmåter skriftlig. Manipulasjon med algebraiske uttrykk er viktig del av kompetansen innen algebra, men det er viktig at det bygger på en forståelse av de underliggende algebraiske strukturene (som egenskaper til regneoperasjonene og ulike tallmengder). Bruk av digitale hjelpemidler både til utforskning og beregning, er også et viktig element her. Beregning i algebra innebærer også å kunne løse ulike typer ligninger og ligningssystem. Et sentralt aspekt her er å utvikle flere fremgangsmåter og det å kunne velge en hensiktsmessig fremgangsmåte avhengig av type ligninger, de involverte tallene, tilgjengelige hjelpemidler. Innen arbeidet med funksjoner handler beregning om å kunne skifte mellom ulike representasjoner, kunne velge representasjon som er hensiktsmessig for å utforske ulike aspekter ved en gitt funksjon (som stigning, form, verdien i et gitt punkt, maksimal verdi og lignende). 6

Algebraisk tenkning Anvendelse 2. trinn Anvendelse innen algebraisk tenkning på 2.trinn innebærer å kunne gjenkjenne og formulere et matematisk problem/spørsmål ved å ta i bruk begrepene nevnt ovenfor, kunne representere problemet på en hensiktsmessig måte, utvikle en løsningsstrategi og vurdere hvor rimelig svaret er. Spesielt viktige her er problemer knyttet til det å kjenne igjen en sammenheng/mønster mellom to størrelser, kunne beskrive sammenhengen generelt ved å bruke matematiske operasjoner og representere størrelser i form av ord eller symboler. Størrelser kan være fysiske (alder av to personer, målenhet/det som måles, statistiske data) eller de kan være knyttet til enkle tallfølger eller figurtall. 6.trinn Anvendelse innen algebraisk tenkning på 6.trinn innebærer å kunne gjenkjenne og formulere et matematisk problem/spørsmål ved å ta i bruk begrepene nevnt ovenfor, kunne representere problemet på en hensiktsmessig måte, utvikle en løsningsstrategi og vurdere hvor rimelig svaret er. Spesielt viktige her er problemer knyttet til det å kjenne igjen en sammenheng/mønster mellom to størrelser/variabler, kunne beskrive sammenhengen på ulike måter ved å bruke matematisk notasjon, kunne manipulere med enkle algebraiske uttrykk for å få frem (andre) sammenhenger eller finne mulige løsningsstrategier. Utgangspunktet her kan være knyttet til ulike spørsmål innen tall og regneoperasjoner (for eksempel det å hente ut informasjon fra en tekst, beskrive den ved å bruke matematisk notasjon), innen måling (sammenheng mellom ulike målenheter, relasjoner mellom ulike variabler i formler for areal og lignende), statistikk (presentere og beskrive datamaterialet), eller de kan være knyttet til ulike tallfølger eller figurtall. 1.vg Anvendelse omhandler også på videregående nivå det å kunne gjenkjenne og formulere et matematisk problem/spørsmål ved å ta i bruk begrepene nevnt ovenfor, kunne representere problemet på en hensiktsmessig måte, utvikle en løsningsstrategi og vurdere hvor rimelig svaret er. På dette nivået jobber elevene med mer åpne og komplekse oppgaver, både når det gjelder spørsmål som kommer fra hverdagssituasjoner eller samfunnet, men også fra mer abstrakte matematiske problemstilling (for eksempel spørsmål om tall med en gitt struktur som tall på formen 3k+1). Matematisk modellering bør ha en sentral plass i arbeid med problemstillinger fra hverdagen og samfunnsvitenskapelige og naturvitenskapelige spørsmål. Elevene bør kunne finne og formulere egne problemstillinger, identifisere relevante variable, og i visse situasjoner også velge å holde noen variabler konstante for å forenkle problemet. 7

Algebraisk tenkning Resonnering 2. trinn Resonnering innen algebraisk tenkning på 2.trinn innebærer å se at veien til et svar finnes ikke bare gjennom én strategi eller én tankemåte. Det som fungerer godt for en elev, fungerer ikke nødvendigvis godt for en annen, men det å kunne begrunne sin tankegang og kunne følge med i an annens resonnement og sammenligne ulike fremgangsmåter er et sentralt aspekt innen algebraisk tenkning og matematikk generelt. På 2.trinn kan resonnering om ulike egenskaper av tall og addisjon/subtraksjon gjerne ta utgangspunkt i ulike regnefortellinger. Det å bruke moteksempler, og det å begrunne en generell sammenheng/strategi ved å prøve å finne hva som skjer og hvorfor, gjerne med et eksempel (som da blir et generisk eksempel) vs. det å sjekke på et par eksempler er viktig å skille mellom. 6.trinn Resonnering innen algebraisk tenkning på 6.trinn innebærer å se at det kan finnes ulike fremgangsmåter og at det er viktig for forståelsen å begrunne ulike fremgangsmåter, diskutere likheter og forskjeller. Resonnering innebærer også å kunne begrunne en tankegang og kunne følge med i an annens resonnement, både når det gjelder regnestrategier og andre typer sammenhenger som diskuteres. Videre er det viktig å kunne sammenligne ulike fremgangsmåter, og vurdere deres gyldighet. I utforskning av egenskaper av tall, gyldighet av strategier eller andre typer sammenhenger på 6.trinn, kan et logisk resonnement utformes ved å representere sammenhengen på ulike måter, bruke moteksempler, generiske eksempler og/eller variabler. 1.vg Resonnering handler om å kunne argumentere for hvorfor en fremgangsmåte er gyldig, eller hvorfor et resultat holder mål. Samtidig er det viktig å understreke at resonnerende tankegang i like stor grad bør gjøre elevene i stand til å påpeke hvorfor en fremgangsmåte eller et resultat ikke stemmer. Elevene kunne følge, bruke og sette seg inn i et algebraisk resonnement som er formulert av andre enn dem selv. De bør også kunne sette seg inn i enkle matematiske bevis og avgjøre om beviset holder. Videre bør de kunne formulere sitt resonnement på en måte som er lett tilgjengelig for andre. Resonnement kan utformes ved å representere sammenhengen på ulike måter (også ved bruk av algebraiske symboler), bruke moteksempler, bygge på matematiske ideer og resultatet man kjenner fra før. Arbeidet med resonnering og bevis bør være eksplisitt. 8

Algebraisk tenkning Engasjement 2. trinn Engasjement innen algebraisk tenkning på 2.trinn handler om å se på det å søke etter og bruke relasjoner mellom tall og operasjoner som nyttig og interessant. Elevene bør se nytten av å representere tall, operasjoner og forskjellige sammenhenger på ulike måter. De bør også se verdien av å utvikle flere fremgangsmåter for samme type problem. Engasjementet innebærer også at elevene opplever at det går an å forstå noe etter hvert selv om det kan virke vanskelig i starten. Det som skal til er at man er villig til å gjøre en innsats og at man jobber med det som er vanskelig. 6.trinn Engasjement innen algebraisk tenkning på 6.trinn innebærer å se som verdifullt å representere tall, operasjoner og forskjellige sammenhenger på ulike måter, deriblant spesielt ved bruk av algebraisk notasjon. Det handler videre om å oppleve som meningsfullt det å se på relasjoner mellom ulike størrelser, oppdage strukturer og mønster. Engasjement innebærer også å ha tro på at det er mulig å forstå (begreper, symbolske uttrykk, fremgangsmåter) og lære å tenke algebraisk og jobbe med algebra hvis man gjør en innsats. 1.vg Engasjement på videregående nivå ligger i stor grad i det å stille seg åpen, nysgjerrig og undersøkende til algebraiske problemstillinger, strukturer og uttrykk. Det gjelder å være åpen for å utforske det algebraiske landskapet og å være villig til å akseptere at man gjerne må investere god tid og gjøre en innsats for å bli kjent med begrepene det arbeides med. Et metaperspektiv på algebraisk tenking, med andre ord en bevissthet hos elevene om sine egne tankeprosesser bør stå sentralt her. Da handler arbeid med matematikk ikke bare om noe fremmed, men om samspillet mellom ens egen kognitive utvikling og matematikkfaget som en menneskelig aktivitet. 9

Eksempler på aktiviteter som kan fremme algebraisk tenkning på 2.trinn Algebraisering i arbeidet med tall og regneoperasjoner REGNEFORTELLINGER Markus har 19 kroner, Inga har 20 kroner og Benjamin har 21 kroner. Hvor mye har de til sammen? Mulige diskusjonsspørsmål: - Hvordan kan vi finne ut hvor mye penger Markus, Inga og Benjamin har til sammen? - Er det ulike måter å finne det ut? Eksempler på diskusjonsmomenter: Spiller det noe rolle hvilke to tall vi legger sammen først, hvorfor/hvorfor ikke? Tiere/enere-oppdeling Flytting av 1 fra 21 til 19, så telle i steg på 20. - Hvordan kan vi skrive ned det vi har snakket om, hvordan kan vi skrive ned regnefortellingen som et regnestykke, hvordan kan vi skrive ned de ulike måtene vi har brukt? - Hvordan kan vi skissere de ulike måtene på tallinja? - Hva er likt og hva er forskjellig i de ulike måtene vi har brukt for å finne summen av 19, 20 og 21? Videre kan diskusjonen gå på for eksempel: Vi skulle finne ut hvor mye 19+20+21 var. Og da så vi at det gikk an å flytte 1 fra det siste tallet (21) til det første tallet (19), og så fikk vi tre ganger tallet i midten (20). - Er det alltid slik at vi får tre ganger tallet i midten når vi skal legge sammen tre tall? - Hvordan kan vi undersøke det? - Eksempler der det blir slikt, eksempler der det ikke blir slikt? Hvordan må tallene være for at det skal gå an? TALLSETNINGER 19+32=20+31, er det likt eller ikke? Mulige diskusjonsspørsmål: - Er 19+32 like mye som 20+31? Hvordan kan vi vite det? - Hva hvis vi ser på noen store tall som vi ikke orker å regne på, som 47+34= 48+33, er det likt her? Hvordan kan vi vite om det stemmer uten å regne? - Kan man alltid flytte 1 fra det ene tallet til det andre i addisjon, og svaret blir det samme? - Hvordan kan vi være sikre på at det går? Hvis vi tenker på en regnefortelling, kan vi se at det blir likt uten å regne ut? (bruker regnefortelling og illustrasjon, gjerne både som to mengder som slås sammen, men også på tallinja). - Så vi KAN flytte 1 i addisjon, uansett hvilke tall det er. Når kan det være smart å gjøre det, hva kan være et regnestykke der det blir mye lettere å regne ut hvis vi flytter 1? Videre kan diskusjonen gå på for eksempel: 43-19=44-18, er det likt eller ikke? - Kan vi gjøre det samme som i stad hvis det står minus og ikke pluss? Er 43-19=44-19, hva tror dere, prøv å tenke uten å regne. Tenk på en regnefortelling med minus. - Så det går ikke an. Hva kan gå an i subtraksjon da, vi ser på det. 43-19=44-?. Hvis vi trekker 1 dra det ene tallet, hva kan vi gjøre med det andre tallet for at det skal bli likt? Etter hvert kan man også jobbe med tallsetninger av typen: 34+11=?+15 - Hvilket tall kan det være der det er? for at disse to sidene skal være like? - Hvilket tall kan det være der det er? for at venstre siden blir mindre enn høyre siden? 10

Aktiviteter knyttet til sammenheng mellom to størrelser HVERDAGSSITUASJONER Stine er 7 år gammel, og hennes bror Martin er 12 år TALLFØLGER OG FIGURTALL Se på tallfølgen 2, 4, 6, 8, 10, Mulige diskusjonsspørsmål: Mulige diskusjonsspørsmål: - Hvor gammel var Martin da Stine ble født? - Hvor gammel blir Martin om 3 år? Hva med Stine? - Når Martin er 21, hvor gammel er Stine da? - Vi vet ikke hvor gammel Martin blir når han gifter seg en dag, men om vi visste det, hvordan kunne vi regnet ut Stines alder da? - Så, uansett hvor gammel Martin er, så er Stine 5 år yngre. Hvordan kan vi skrive det? (for eksempel Stines alder=martins alder-5 ). - Hvordan kan vi tegne det hele på tallinja? Videre kan man diskutere subtraksjon som differanse mellom to tall (alder), og koble det til diskusjon om regnestrategi legge på/trekke fra like mye fra begge tall i subtraksjon, og for hvilke regnestykker den strategien kan være nyttig å ta i bruk. - Hva kan være det neste tallet? Hvorfor tror du det? - Tall nummer 1 er 2, tall nummer 2 er 4, tall nummer 3 er 6. Hva blir tall nummer 10 i rekka? Nummer 25? - Jeg har et favorittall, men vil ikke fortelle ennå hvilket det er, vi kan kalle det tallet #. Men kan dere si hvilket tall blir nummer # i rekka? (for eksempel #+#). Hvis jeg sier at det blir 18, da vet dere hvilket tall som er #? Videre kan man gå over til figurtall som svarer til samme tallrekka (to like lange tårn med klosser). Diskusjonen videre kan handle om partall og oddetall. - Hvordan man kan se ut fra representasjon med klosser om et tall er partall eller oddetall? - Summen av to partall, blir den alltid partall? Hva med oddetall? Osv. 11

Flere aktiviteter knyttet til sammenheng mellom to størrelser MÅLINGSENHETER Elever deles i to grupper. Begge gruppene skal måle lengden av tavla, men de skal bruke to ulike pinnelengder som målenheter. STATISTISK DATA Arbeid med statistisk data, for eksempel en oversikt over fødselsdato for hver av elevene i klassen og hvor mange tenner hun/han har mistet. Momenter som kan diskuteres: - Hva vil det si å måle en lengde? Hva kan vi måle med, hvorfor trenger vi noe å måle med? - Får man samme tall uansett hva man måler med? - Hvem får større/mindre (mål)tall av de to gruppene, tro? Hvorfor? - Hvis den ene pinnen er like lang som to pinner av den andre typen, hvordan vil det måltallene være når vi måler lengden? Hvis jeg er 24 korte pinner høy, hvor mange lange pinner blir det? Osv. Mulige diskusjonsspørsmål: - Kan det være at de som er født på sommeren har mistet flere tenner (per dags dato) enn de som er født på vinteren? - Stemmer det med data i vår klasse? (Hvis ja, kan man samle mer data, fra andre klasser og sjekke om det fortsatt stemmer) - Er det noen andre sammenhenger man kan se/sjekke når det gjelder fødselsdato og antall tenner man har mistet? Hvordan kan vi undersøke om det kan stemme eller ikke? 12

Eksempler på aktiviteter som kan fremme algebraisk tenkning på 6.trinn Algebraisering i arbeidet med tall og regneoperasjoner REGNEFORTELLINGER Regnefortellinger kan, som på 2.trinn, brukes til å utvikle tallforståelse, forståelse for operasjoner og utvikle varierte regnestrategier. Aktiviteter kan ha nokså lik form, men de bør være mer komplekse. Det er flere typer tall (positive og negative, brøk, desimaltall, prosent) nå og det er fire regneoperasjoner Flere egenskaper av tall og operasjoner som skal diskuteres. Videre bør det være en utvikling i bruk av matematisk notasjon, som bruk av parenteser, potenser og lignende, og utvikling i bruk av algebraiske symboler. Regnestrategiene og egenskapene bør beskrives generelt, ved bruk av matematisk notasjon. Eksempel: På et garnfabrikk har de et parti av silkegarn, 1200 meter som skal deles i nøster. Det skal være 8 meter i hvert nøste. De har også et parti av ullgarn, 600 meter som skal deles i nøster med 4 meter i hvert nøste. Får de flere nøster med silkegarn eller ullgarn? - Skrive opp ulike fremgangsmåter på tavla, diskutere likheter og forskjeller. (Få frem at det er divisjonsstykker 1200:8 og 600:4 det er snakk om her) - Så, regnestykkene 1200:8 og 600:4 har samme svar. Ser dere noen relasjoner mellom tallene i regnestykkene? (begge er halvert/delt med 2) - Kan det være slik i divisjon at det alltid blir samme svar når vi halverer begge tallene? (Undersøke ev. på flere eksempler, utforme begrunnelse ved å bruke regnefortellingen ovenfor, eller ta i bruk det man vet om brøk, eller andre egenskaper man kjenner til fra før). Skrive opp som ( ) ( ). - Hva hvis vi deler begge tallene ikke med 2 (som i halvering), men med 3? Begrunnelse. - Hva hvis vi deler begge tallene med 10? Som i 600:4=60:0,4 - Begrunnelse? For hvilke divisjonsstykker kan det være lurt å dele begge tallene med et tall? TALLSETNINGER OG LIGNINGER Arbeide med ligninger, likhetstegnet og ulike måter å løse en ligning på er mer eksplisitt enn på 2.trinn. Det er viktig å se de(n) ukjente i en ligning som variabler som for noen verdier gir en likhet (og er dermed løsninger av ligningen), mens andre verdier gir ulikhet. For å fremme dette kan vet være en ide å jobbe med ligninger som har ingen eller mange løsninger, eller ligninger med to variabler (uendelig mange løsninger), f.eks: - For hvilke verdier av a blir det en likhet her: 45-a=35? - Hva med 45-a=35-a? - Hva med 45-a=45-a? - For hvilke verdier av a og b blir det en likhet: 45-a=35-b? Ligninger med to variabler, som den siste, vil da kunne lede videre til det å uttrykke sammenhengen mellom variablene som skal være oppfylt for å få en løsning (som at a=b+10 i det siste eksemplet), noe som videre kan føre til funksjonsbegrepet. Med utgangspunkt i forståelse for likhet og likhetstegn, skal elevene utvikle forståelse for at man kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme tall på begge sidene av ligningen, at løsninger av ligningen forblir de samme. Dette kan brukes i for å finne løsninger, men det er viktig at elevene jobber også med ligninger der man kan bruke tallforståelse (som i eksemplene ovenfor) eller prøve seg frem siden disse fremgangsmåtene fremhever begreper ligning, variabel og ligningsløsning. Elever kan gjerne jobbe med kvadratiske ligninger ved å prøve seg frem, og ikke ved å få en metode for hvordan man løser slike ligninger. Det kan være en undersøkende aktivitet både når det gjelder ligninger og mulige løsninger, kvadrattall, desimaltall, egenskaper av operasjoner og tall. Eksempel: Mulige diskusjonsspørsmål: - For hvilke verdier av x vil man få likhet i ligningen ovenfor? Hvilke(t) tall kan x være? - Hvordan bør tallet x være, hvordan kan vi beskrive det med ord? (kvadratet av tallet minus tallet bør være lik 0; kvadratet av tallet bør være likt tallet selv). Hvilke tall har den egenskapen? - Hva med ligning x(x-1)=0? Sammenheng med den første? Hva med x(x-2)=0? Hva med x(x-1)=1? 13

Aktiviteter knyttet til sammenheng mellom to størrelser HVERDAGSSITUASJONER Ulike kontekster fra hverdagen eller samfunnet mer generelt, av samme type som for 2.trinn, men mer komplekse nå, både når det gjelder type tall og type sammenhenger som kommer frem. Sammenhengen mellom variablene bør også kunne skrives ned algebraisk, og gjerne skisseres i koordinatsystemet der det er hensiktsmessig. Manipulering av enkle algebraiske uttrykk for å se sammenhengen på en annen måte eller fremheve noen aspekter bør også være med. TALLFØLGER OG FIGURTALL Diskusjoner knyttet til tallfølger er av samme type som på 2.trinn, men mer komplekse tallfølger og figurtall, fremheve ulike måter å se strukturen på og skrive ned algebraisk. Eksempel: På en skole har elevene bestemt seg for å selge saft rundt i byen og gi inntekten til TV-aksjon. Hver flaske med (konsentrert) saft koster 32 kroner, og en flaske er nok til å blande ut 12 glass. Prisen per glass har de tenkt å sette til 5 kroner. Mulige spørsmål: - Hvis de kjøper 10 flasker med saft, hvor mange glass blir det å selge? Hvor mye tjener de hvis de klarer å selge alt (og når man trekker fra utgifter for saftinnkjøp)? Hva hvis de kjøper 15 flasker? Enn hvis de kjøper 23? - Hvor mye tjener de per flaske? Hvis de kjøper k flasker med saft, hvor mye kan de tjene hvis de selger alt? (utrykke algebraisk og gjerne skissere sammenhengen i et koordinatsystem) - Hvis de ønsker å tjene over 3000 kroner, hvor mange flasker bør de kjøpe? Mulige spørsmål: - Beskriv hvordan du ser figuren, hva den består av og hvordan den kan utvikle seg videre? - Hvordan vil den 10-ende figuren se ut? Hvor mange kryss vil den ha? Hva med den 100- ende? - Hva med figur nummer k i rekka? Hva vet vi om den? Hvordan ser den ut? Hvor mange kryss består den av? (Det er viktig her å få frem ulike måter å se tallfølgen på. De vil da gi ulike måter å uttrykke den k-te figuren, som for eksempel 1+4k, men også som (1+2k)+2k eller 4(k+1)-3). - Hvis det er tre ulike personer som foreslår de tre ulike utrykkene ovenfor, kan vi prøve å gjette hvordan de ser figurene? - Hva er sammenheng mellom disse uttrykkene? Gir de samme antall kryss? 14

Flere aktiviteter knyttet til sammenheng mellom to størrelser MÅLING Innen måling er det en del formler for areal, omkrets, volum, og lignende som beskriver sammenheng mellom ulike størrelser av en figur. Diskusjoner kan for eksempel være: STATISTISK DATA Se etter sammenhenger i innsamlet statistisk data, utforme hypoteser om mulige sammenhenger mellom ulike variabler, skrive dem ved å bruke algebraisk notasjon (når det er hensiktsmessig), vurdere hypoteser ut fra data. Eksempel: - Hvor mange centikuber er det plass til i et prisme med dimensjoner 5, 6 og 10? (altså, hva er volumet)? - Hva hvis det har dimensjoner 5, 6 og 11? Enn 4, 6, 10? Hva med et prisme med dimensjoner l, b og h? - Hvordan endres volumet når høyde endres (og lengde og bredde ikke endres)? Her kan man velge fast lengde og bredde (5 og 7 for eksempel), undersøke relasjon mellom høyde og volum, presentere i en tabell og i koordinat system. Diskutere for eksempel hvordan man kan finne høyde hvis volum er kjent? - Hvordan kan man beskrive utviklingen av antall innbyggere i vår kommune som er presentert i grafen? Hva kan være årsak til at antallet går opp fra 2002? - Hvis antallet skal fortsette å gå opp på samme måte, hvor mange innbyggere vil det være i 2050? Virker det rimelig? Hvorfor/hvorfor ikke? Hva er det som påvirker antallet? - Det var en som foreslå at formelen som kan brukes for å beskrive utviklingen (sånn omtrent) er y=100x der x er år og y antall innbyggere. Hvordan stemmer det med data? En det noen andre formler som passer bedre? 15

Eksempler på aktiviteter som kan fremme algebraisk tenkning på 1.vg Algebra i arbeidet med strukturer i tall og operasjoner EGENSKAPER OG STRUKTURER AV TALL Eksempel: Hva er det som kjennetegner tall som er delelig med 3? - Hvordan kan man beskrive tall som er delelig med 3? (3 gangen noe) - Hvis man skal bruke noen klosser, hvordan kan man ordne klosser slik at man ser med en gang om antall klosser er et tall som er delelig med 3 eller ikke (3 like lange stolper, for eksempel)? - Enn hvis vi skal prøve å skrive ned et tall (hvilket som helst) som er delelig med 3, hvordan kan vi gjøre det? Hvis vi skriver bare tallet t, så er det ikke åpenbart at det er delelig med 3. (fra 3 ganger noe til 3k). - Summen av to tall som er delelig med 3, er den også delelig med 3? Undersøke ved å bruke representasjon med klosser, men også ved å bruke algebraisk notasjon (3k+3r=3(k+r)) Hva med tall som gir rest 1 når de deles på 3? - Hvordan kan de beskrives ved å bruke klosser? Symbolsk? - Summen av to slike tall, vi den også gi rest 1 når den deles med 3? Hvorfor/hvorfor ikke? ALGEBRAISKE UTTRYKK Diskusjon om ulike regler man bruker i symbolmanipulering med algebraiske uttrykk. Et eksempel: Er = for alle mulige tall a og b? - Hva betyr det algebraiske uttrykket ovenfor? - Hva står a og b for? Hva er det det spørres om? - Hvordan kan vi finne ut om de to sidene blir like for alle mulige verdier av a og b? (Excel kan brukes til å undersøke det) - Hva kan være en situasjon/regnefortelling som svarer til det uttrykket? Hvordan kan vi se ut fra den om de to sidene blir like alltid? - Det vi vet om de ulike regneoperasjonene, er det noe av det vi kan bruke til å finne ut om dette stemmer eller ikke? - Det er noen som foreslår at man forkorter 3 i teller en og nevneren slik at =a+b. - Stemmer det for alle mulige a og b? - Hvorfor/hvorfor ikke? (Finne et moteksempel eller bruke egenskaper av operasjoner). - Stemmer det for noen verdier av a og b? Hvilke? 16

Algebra i arbeidet med strukturer i tall og operasjoner LIGNINGER OG LIGNINGSSYSTEM - Er det noen verdier av tallet x som er slik at både 2x+1=5 og 4x+2=10 - Hva med 2x+1=5 og 2x+2=5? - Er det noen verdier av x og y slik at 2x+1=y og 2x+2=y - Lag selv et lineær ligningssystem (med to variabler) som ikke har en løsning, og lag en som har en løsning. - Hvordan form en lineær ligning skissert i et koordinatsystem? (gjerne ved bruk av Geogebra) - Hvor mange løsninger kan et system med to lineære ligninger ha? Hva med et system med tre lineære ligninger (fortsatt to variabler) - Hva med et ligningssystem (to variabler) som består at en kvadratisk ligning og en lineær ligning? Hvor mange løsninger kan det være? Bruk Geogebra til å undersøke. 17

Aktiviteter knyttet til sammenheng mellom størrelser, modellering og funksjoner FIGURTALL, TALLFØLGER OG TALLREKKER Betrakt følgene figurer som er laget av pinner og tenk at man fortsetter å lage slike figurer videre: Omkrets Hva er omkretsen av figur nr.k målt i antall pinner? Sammenlikn ulike løsningene. Hva er likt, hva er forskjellig? Hvordan kan det skje at man får ulike uttrykk? Hva er sammenhengen mellom de ulike uttrykkene? Kan en figur av denne typen ha omkrets 132? Hva med 205? Hvilke omkrets er mulige? Gitt et tall t, hvordan kan man avgjøre om det finnes et figur av denne typen som har omkrets t? Hvilke egenskaper må t ha? Antall pinner Hvor mange pinner trengs det til å lage figur nr.k? Sammenlikn ulike løsningene. Hva er likt, hva er forskjellig? Hvordan kan det skje at man får ulike uttrykk? Hva er sammenhengen mellom de ulike uttrykkene? Hvis man har 75 pinner og skal lage en slik figur, hva er den største figuren man kan lage? Er det noen pinner igjen eller bruker man alle 75? Tenk at du har s pinner. For hvilke tall s kan man lage en slik figur slik at ingen pinner blir igjen? Hva slags egenskaper må tallet s ha? MODELLERING Her er det viktig å ta utgangspunkt i noe som kan bety noe for elevene og der de kan bestemme hvordan de går frem, hvilke variabler som kan spille en rolle i situasjonen og hvordan relasjonen mellom dem kan beskrives matematisk. Eksempel 4 : I det siste har det vært en økning i antallet av sykkeltyverier på skolen. Elevene er frustrerte både på grunn av tyverier, politiets manglende reaksjon og forsikringsselskapenes lave utbetalinger. Læreren foreslår at de skal finne en modell for utbetaling av erstatninger, en modell som er rettferdig både for sykkeleiere og forsikringsselskaper. (gruppearbeid) - Bør erstatningssummen være den samme uansett hva slags sykkel? - Hva bør den avhenge av? (mulige forslag: pris på ny sykkel, kvalitet, sykkelens alder og/eller tilstand, om sykkelen hadde lås). Velge 2-3 variabler som kan være viktige. - Sette opp en oversikt hva erstatningen bør være for de ulike verdiene av variablene som er valgt. Prøve å finne en ordning, en regel (funksjon) som kan brukes til regne ut forsikringen. - Beskrive ordningen i form av en funksjon, ved å bruke algebraiske symboler. - Sammenligne ulike løsninger i klassen, vurdere likheter og forskjeller, rimeligheten osv. - Velge en modell som presenteres skriftlig (hvordan erstatningsbeløpet bør regnes ut, hvilke variabler det bør avhenge av hvorfor) i form av en rapport som sendes til forsikringsselskapet. 4 Ideen fra Schou, John, Skott, Jeppe, Jess, Kristine & Hansen, Hans Christian (2008). Matematik for lærerstuderende : Omega : 4.-10. klassetrin. Frederiksberg, Forlaget Samfundslitteratur. 18

19