Skriftlig eksamen i Matematikk 1, 4MX15-10E1 A 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 19. desember 2011. BOKMÅL Sensur faller innen onsdag 11. januar 2012. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. torsdag 12. januar 2012 (se http://www.hist.no/studentweb). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 timer Hjelpemidler: Ingen Informasjon: Oppgavesettet er på 5 sider og består av 4 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Hver oppgave teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. OPPGAVE 1 a) Gi to ulike tolkninger av brøken. b) Lag en regnefortelling til multiplikasjonsstykket. Forklar hvordan du finner svaret ved hjelp av regnefortellingen. I en klasse hvor elevene har jobbet en stund med brøk og brøkbegrepet, presenterer læreren en dag følgende problem: Forrige helg skulle min kone og jeg kjøre til hytta. Vi hadde nettopp fylt bensin, så tanken var full da vi dro. Etter en stund stoppet vi for å kjøpe med oss litt mat. Vi hadde da kjørt ca. av veien. Jeg kastet et blikk på bensinmåleren og så at vi fortsatt hadde igjen på tanken. Ville vi nå fram til hytta uten å fylle mer bensin?
Følgende dialog finner sted i klassen: Aina: Vi må vite hvor langt det er til hytta di og hvor stor tank bilen har! Lærer: La oss nå se hva vi allerede vet (skriver på tavla): Har kjørt av veien. Tanken er nå full. Sam: Å, vi trenger ikke vite hvor langt det er, for du er jo nesten framme, sant, du har bare en kvart en kvart vei igjen liksom, og så har du mer enn en kvart tank bensin! c) Hvordan kan Sam ha tenkt? Er vurderingene han gjør korrekte? Etter å ha jobbet en stund med problemstillingen kommer flere av elevene fram til at familien har nok bensin til å nå fram til hytta uten å fylle. Aina har satt opp regnestykket som en del av sin begrunnelse for dette, mens Birger har satt opp regnestykket som en del av sin begrunnelse. d) Løs divisjonsstykkene og. Forklar hvordan Aina og Birger kan bruke disse regnestykkene til å begrunne løsningene sine. OPPGAVE 2 Elevene Omar, Per og Anne i 8. trinn er kommet til klassefinalen i et terningspill. For anledningen er premien en pose twist. Reglene for spillet er som følger: En vanlig terning kastes. Viser den fem eller seks, så flytter Omar én plass fram. Ved tre eller fire, så flytter Per én plass fram og dersom terningen viser en eller to så flytter Anne én plass fram. Den som først har flyttet ti plasser fram, vinner spillet og dermed twistposen. a) Er dette et rettferdig spill? Begrunn svaret ditt. b) Etter at terningen har blitt kastet sju ganger har Omar flyttet fire plasser fram, Per har flyttet én plass fram og Anne har flyttet to plasser fram. Følgende dialog finner sted: Lærer: Omar: Hva er sannsynligheten for at du, Omar, får flytte ytterligere to plasser fram i løpet av de to neste kastene? Enkelt! Det er jo en tredjedels sjanse for at jeg får flytte en plass fram hver gang det kastes, så det må bli en tredjedel pluss en tredjedel, altså to tredjedeler.
i) Kommenter Omars utsagn. ii) Finn den riktige løsningen på lærerens spørsmål og forklar hvordan man kunne ha illustrert dette for Omar. c) De tre elevene fortsetter spillet, og etter 25 kast har Omar flyttet åtte plasser fram, Per har flyttet ni plasser fram og Anne har flyttet åtte plasser fram. Det ringer ut til friminutt og spillet kan ikke fullføres. Følgende dialog finner sted: Anne: Per: Ingen vant, så vi deler innholdet i twistposen på tre! Nei, det blir urettferdig. Vi må fordele dem etter hvor stor sjanse det er for at den enkelte av oss vinner. Utfør beregningene som Per foreslår og vurder hvorvidt Anne vil «tjene» på Pers fordelingsforslag sammenlignet med sitt eget. OPPGAVE 3 a) En seiglivet myte om matematikkfaget er at i matematikk er det alltid bare ett riktig svar. Vis med to eksempler innenfor temaet areal og omkrets at dette ikke trenger å være tilfelle. Du skal ha med forklaringer til eksemplene dine. b) Forklar hva som menes med relasjonell forståelse, og vis hvordan du kan legge opp til at elevene skal utvikle en slik forståelse for areal av trekanter. c) Figuren under viser en oppgave i ei lærebok. Ved siden av er tre elevers svar på oppgaven. Gi en analyse av hver av de tre elevsvarene. Finn arealet av trekanten under Aud: Vi kan ikke finne arealet når vi ikke vet den siste sidekanten. Bork: Vi må tegne ei linje som er parallell med den nederste, den som er 3 cm, og gjennom hjørnet på toppen. Da kan vi måle høyden og regne ut arealet. Cirja: Men kan vi ikke ta 6 cm som grunnlinja og da blir høyden 3 cm?
OPPGAVE 4 a) Lag fem forskjellige regnefortellinger/tekstoppgaver til regnestykket, slik at svaret blir I. 6 med 3 i rest II. 6,25 III. og IV. V. 6 b) Forklar kort forskjellen mellom delingsdivisjon og målingsdivisjon og avgjør hvilken av de to typene du har brukt i hvert av de fem tilfellene i a). c) Klassen din er i starten av arbeidet med divisjon og jobber med oppgaven. På figuren under ser du hvordan to av elevene løser oppgaven. Jesper har løst oppgaven slik: Jakob har løst oppgaven slik: Gi en analyse av de to elevenes løsninger.
d) Både Stig og Petra har fått 6,25 som svar på oppgaven i c). De sjekker svaret ved å multiplisere. Under ser dere (Stig til venstre) hvordan de har multiplisert. Analyser de to multiplikasjonsstrategiene de har brukt. Lykke til!
Skriftleg eksamen i Matematikk 1, 4MX15-10E1 A 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 19. desember 2011. NYNORSK Sensur fell innan onsdag 11. januar 2012. Resultatet blir tilgjengeleg på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. torsdag 12. januar 2012 (sjå http://www.hist.no/studentweb). Vi gjør merksam på at frist for eventuelt å be om grunngjeving er 1 veke frå karakteren er offentleggjort iht. lov om universiteter og høgskular. Timar: 6 timar Hjelpemiddel: Ingen Informasjon: Oppgåvesettet er på 5 sider og inneheld 4 oppgåver. Du skal svare på alle oppgåvene og grunngje alle svara. Kvar oppgåve tel i utgangspunktet likt, men den endelege karakteren vil byggje på ei totalvurdering av svara. OPPGÅVE 1 e) Gje to ulike tolkingar av brøken. f) Lag ei rekneforteljing til multiplikasjonsstykket. Forklar korleis du finn svaret ved hjelp av rekneforteljinga. I ein klasse kor elevane har jobba ei stund med brøk og brøkomgrepet, presenterer læraren ein dag følgjande problem: Førre helg skulle kona mi og eg køyre til hytta. Vi hadde nettopp fylt bensin, så tanken var full då vi drog. Etter ei stund stoppa vi for å kjøpe med oss litt mat. Vi hadde då køyrd ca. av vegen. Eg kasta ein blink på bensinmålaren og såg at vi framleis hadde att på tanken. Ville vi nå fram til hytta utan å fylle meir bensin? Følgjande dialog finn stad i klassen:
Aina: Vi må vite kor langt det er til hytta di og kor stor tank bilen har! Lærar: Lat oss no sjå kva vi allereie veit (skriv på tavla): Har køyrd av vegen. Tanken er no full. Sam: Å, vi treng ikkje vite kor langt det er, for du er jo nesten framme, sant, du har berre ein kvart ein kvart veg att liksom, og så har du meir enn ein kvart tank bensin! g) Korleis kan Sam ha tenkt? Er vurderingane han gjer korrekte? Etter å ha jobba ei stund med problemstillinga kjem fleire av elevane fram til at familien har nok bensin til å nå fram til hytta utan å fylle. Aina har sett opp reknestykket som ein del av si grunngjeving for dette, medan Birger har sett opp reknestykket som ein del av si grunngjeving. h) Løys divisjonsstykka og. Forklar korleis Aina og Birger kan nytte desse reknestykka til å grunngje løysingane sine. OPPGÅVE 2 Elevane Omar, Per og Anne i 8. trinn er komne til klassefinalen i eit terningspel. For høvet er premien ein pose twist. Reglane for spelet er som følgjer: Ein vanleg terning vert kasta. Syner den fem eller seks, så flyttar Omar ein plass fram. Ved tre eller fire, så flyttar Per ein plass fram og dersom terningen syner ein eller to så flyttar Anne ein plass fram. Den som fyrst har flytta ti plassar fram, vinn spelet og dermed twistposen. a) Er dette eit rettferdig spel? Grunngje svaret ditt. b) Etter at terningen har vore kasta sju gongar har Omar flytta fire plassar fram, Per har flytta ein plass fram og Anne har flytta to plassar fram. Følgjande dialog finn stad: Lærar: Omar: Kva er sannsynet for at du, Omar, får flytte ytterligare to plassar fram i løpet av dei to neste kasta? Enkelt! Det er jo ein tredjedels sjanse for at eg får flytte ein plass fram kvar gong det vert kasta, så det må verte ein tredjedel pluss ein tredjedel, altså to tredjedelar. i) Kommenter Omars utsegn.
ii) Finn den riktige løysinga på læraren sitt spørsmål og forklar korleis ein kunne ha illustrert dette for Omar. c) Dei tre elevane held fram spelet, og etter 25 kast har Omar flytta åtte plassar fram, Per har flytta ni plasser fram og Anne har flytta åtte plassar fram. Det ringer ut til friminutt og spelet kan ikkje fullførast. Følgjande dialog finn stad: Anne: Per: Ingen vann, så vi deler innhaldet i twistposen på tre! Nei, det vert urettferdig. Vi må fordele dei etter kor stor sjanse det er for at den einskilde av oss vinn. Utfør utrekningane som Per set fram og vurder om Anne vil «tene» på Per sitt fordelingsforslag samanlikna med sitt eige. OPPGÅVE 3 d) Ein seigliva myte om matematikkfaget er at i matematikk er det alltid berre eitt riktig svar. Vis med to døme innafor temaet areal og omkrins at dette ikkje treng vere tilfelle. Du skal ha med forklaringar til døma dine. e) Forklar kva som meinast med relasjonell forståing, og vis korleis du kan leggje opp til at elevane skal utvikle ei slik forståing for areal av trekantar. f) Figuren under syner ei oppgåve i ei lærebok. Ved sida av er tre elevsvar på oppgåva. Gje ein analyse av kvar av dei tre elevsvara. Finn arealet av trekanten under Aud: Vi kan ikkje finne arealet når vi ikkje veit den siste sidekanten. Bork: Vi må teikne ei line som er parallell med den nedste, den som er 3 cm, og gjennom hjørnet på toppen. Då kan vi måle høgda og rekne ut arealet. Cirja: Men kan vi ikkje ta 6 cm som grunnlina og då vert høgda 3 cm?
OPPGÅVE 4 a) Lag fem ulike rekneforteljingar/tekstoppgåver til reknestykket, slik at svaret vert I. 6 med 3 i rest II. 6,25 III. og IV. V. 6 b) Forklar kort skilnaden mellom delingsdivisjon og målingsdivisjon og avgjer kva for ein av dei to typane du har nytta i kvart av dei fem tilfella i a). c) Klassen din er i starten av arbeidet med divisjon og jobbar med oppgåva. På figuren under ser du korleis to av elevane løyser oppgåva. Jesper har løyst oppgåva slik: Jakob har løyst oppgåva slik: Gje ein analyse av dei to elevane sine løysingar.
d) Både Stig og Petra har fått 6,25 som svar på oppgåva i c). Dei sjekkar svaret ved å multiplisere. Under ser du (Stig til venstre) korleis dei har multiplisert. Analyser dei to multiplikasjonsstrategiane dei har nytta. Lykke til!