Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader lik summe av atall frihetsgrader til hvert av leddee. Altså er 1 i1 X σ 2 i µ 0 2 χ 2 - fordelt med frihetsgrader. Da vet vi at E[ 1 σ 2 i1 X i µ 0 2 ], dvs atall frihetsgrader, eller E[ i1 X i µ 0 2 ] σ 2 slik at 1 i1 X i µ 0 2 er e forvetigsrett estimator for σ 2. Variase til e χ 2 -fordelt variabel er to gager atall frihetsgrader, slik at V ar 1 X i µ 0 2 V ar σ2 i1 X i µ 0 2 /σ 2 σ4 i1 2 2 2σ4 b Hvis σ 2 > σ 2 0, ka e forvete store verdier av i1 X i µ 0 2. Det er derfor rimelig å forkaste for store verdier av dee observatore, dvs forkastigsområdet har forme { i1 X i µ 0 2 ] > k}. Kravet om ivå α betyr at α P forkasteh 0 H 0 riktig P i1 X i µ 0 2 ] > k σ 2 σ0 2 P i1 X i µ 0 2 ]/σ0 2 > k/σ0 σ 2 2 σ0 2 Derfor er k/σ0 2 χ 2 1 α, der χ 2 1 α, er 1 α kvatile i χ 2 -fordelige med frihetsgrader. E test med ivå α e blir derfor: Forkast H 0 år 1 σ 2 0 χ 2 1 α,. i1 X i µ 0 2 > c Med tallee i oppgave er i1 x i 100 2 19.4. Side σ 2 0 2 er p- verdie P χ 2 > 19.4/2 9.7 der χ 2 er e χ 2 -fordelt tilfeldig variabel med frihetsgrader. I dette tilfellet er P χ 2 9.24 0.9 og P χ 2 11.07 0.9, slik at p-verdie ligger mellom 0.0 og 0.1. Ovefor har vi bereget sasylighete for at e χ 2 -fordelt variabel skal være større e de realiserte verdie av testobservatore, som er e måte å defiere p-verdier. E alterativ ekvivalet defiisjo fås 1
ved å ta utgagspukt i at e test med ivå α gir forkastig hvis 9.7 > χ 2 1 α,. Høre side i ulikhete er avtagede i α, slik at p-verdie er miste sigifikasivå som gjør at ma forkaster ullhypotese. Oppgave 2 a Atagelser: b i x 1,..., x 12 er faste gitte tall ii E[e i ] 0, i 1,..., 12 slik at sammehege mellom E[Y ] og x er lieær. iii V are i σ 2, i 1,..., 12, dvs uavhegig av x 1,..., x 12. iv e i, i 1,..., 12 er uavhegige. Dessute atas ofte v e i N0, σ 2, i 1,..., 12. Egeskaper: Fra atagelsee i-iv ka det vises at estimatoree ˆβ 0 og ˆβ 1 er forvetigsrette og at V ar ˆβ 0, V ar ˆβ 1 og Cov ˆβ 0, ˆβ 1 ka utrykkes ved σ 2 og verdiee av de uavhegige variabele, x 1,..., x 12. ˆβ 1 yi x i x xi x 2 yi x i y i x i /12 x 2 i x i x i /12 381.26 16.078 280.869/12 21.873 16.078 16.078/12.208 0.331 1.728 Kofidesitervall: Med kofideskoiffisiet 1 α har kofidesitervallet gresee xi ˆβ 1 ± t 1 α/2, 2 s/ x 2 der 12 og t 1 α/2, 2 er 1 α/2-fraktile i t-fordelige med 2 frihetsgrader og s 2 RSS/ 2. Side t 0.97,10 2.23,har 9%-kofidesitervallet gresee 1.28 ± 2.23 41.64/10/ 21.873 16.078 16.078/12 dvs. 7.82, 23.64 2
c og Y Y 1 Y 2 Y 3. Y 11 Y 12, X x 1 z 1 x 2 z 2 x 3 z 3.. x 11 z 11 x 12 z 12 α α1 α 2 1.44 8 1.0 10 1.24 6.. 1. 12 1.4 9, Y e 1 e 2 e 3. e 11 e 12 d X T X 21.873 144.247 144.247 976.0 1.804 0.267 X T X 1, 0.267 0.040 381.26 X T y 234.908 ˆα1 1.804 0.267 381.26 ˆα 2 0.267 0.040 234.908 Estimert stadardfeil: 28.3/10 0.04 0.336, 0.471 Oppgave 3 a Se Rice for utledig: ME: λ i X i / SME:ˆλ i X i / Numerisk:ˆλ 0 9 + 1 7 + 2 3 + 3 1/20 16/20 0.8 3
b Se otat om kofidesitervall for utledig: Tilærmet fordelig til ˆλ for store verdier av, dvs λ > 10, ˆλ λ ˆλ tilærmet N0, 1 90% kofidesitervall har greser: ˆλ ± 1.96ˆλ/ Numerisk: 0.8 ± 1.96 0.8/20 0.8 ± 1.96 0.2 0.8 ± 0.39. c La Y i 1 år X i 0 og Y i 0 år X i 1, 2,, 20. Dette defierer 20 Beroulli forsøk: i To kjeeteg, Y i 1 eller Y i 0, ii uavhegighet side X 1,, X er uavhegige, iii kostat suksessasylighet P Y i 1 P X i 0 exp λ. Side atallet ulykkesfrie måeder, Y, er atallet suksesser, Y i 1, er Y biomisk fordelt Puksasylighet : P Y i y exp λ y 1 exp λ y, y 0,..., y Mometestimatore fies fra ligige logy/. i1 Y i exp λ, dvs. Numerisk: λ log9/20 0.798 0.8. Log likelihood: lλ log yλ + y log1 exp λ y λ SME fies fra ligige 1 y + y exp λ 0, y exp λ 1 exp λ som gir estimatore ˆλ logy/. Numerisk: ˆλ log9/20 0.798 0.8. d Fra setralgreseteoremet vil for store verdier av Y/ exp λ være tilærmet N0, 1 exp λ1 exp λ 4
fordelt. Da er også Y/ exp λ exp ˆλ1 exp ˆλ tilærmet N0, 1 fordelt slik at Y/ exp λ 0.9 P 1.96 < < 1.96 exp ˆλ1 exp ˆλ P Y/ 1.96 exp ˆλ1 exp ˆλ/ < exp λ < Y/ + 1.96 exp ˆλ1 exp ˆλ/ P logy/ + 1.96 exp ˆλ1 exp ˆλ/ < λ < logy/ 1.96 exp ˆλ1 exp ˆλ/ Numerisk: Det tilærmede kofidesitervallet blir derfor log0.4+1.96 0.4 0./ 20, log0.4 1.96 0.4 0./ 20 0.40, 1.46.