Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Inkluive formelark og Laplacetabell Faglig kontakt under ekamen: Finn Faye Knuden tlf. 73 59 35 23 Sigmund Selberg tlf. 73 55 02 84 EKSAMEN I TMA430 MATEMATIKK 4N Bokmål Fredag 7. deember 2004 kl. 9 3 Helpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP 30S) Rottmann: Matematik formelamling Senurdato: 5. anuar 2005 Alle var kal begrunne, og det kal være med å mye mellomregning at fremgangmåten fremgår tydelig av bevarelen. Oppgave a) Finn den Laplacetranformerte av funkonen r(t) gitt ved 0 for t <, r(t) = for < t < 2, 0 for t > 2 b) Bruk Laplacetranformaonen til å løe initialverdiproblemet y + y = r(t) for t > 0, y(0) = y (0) = 0, hvor r(t) er definert om i forrige punkt.
TMA430 Matematikk 4N 2004 2 7 Side 2 av 5 Oppgave 2 a) Finn alle løninger på formen u(x, t) = F (x)g(t) av differenialligningen () u t = u xx, 0 < x < π, t > 0, med randbetingeler (2) u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0. Denne ligningen modellerer f.ek. temperaturfordelingen i en tynn metalltav. b) I tillegg til () og (2) innfører vi nå initialbetingelen (3) u(x, 0) = in(x) + 3 in(3x). Finn u(x, t) om oppfyller (), (2) og (3). Oppgave 3 der Det oppgi at Fourierintegralet til en funkon f(x) kan krive om [A(w) co(wx) + B(w) in(wx)] dw 0 A(w) = f(x) co(wx) dx og B(w) = π π f(x) in(wx) dx. a) Betem funkonene A(w) og B(w) for funkonen { 0 for x < 0, f(x) = e x for x > 0. (Vink: Formlene i Rottmann nedert på. 44 kan pare deg mye regning.) b) Bruk reultatet fra forrige punkt til å finne verdien av integralet 0 co w + w 2 dw. (Om du ikke klarte punkt (a), kan du likevel prøve å forklare hvordan du ville gå frem for å løe punkt (b).)
TMA430 Matematikk 4N 2004 2 7 Side 3 av 5 Oppgave 4 Sett opp dividert differanetabell for dataettet x k 0 2 3 4 f(x k ) 0 0-0 og bruk Newton interpolaonformel til å finne et polynom om interpolerer dataettet. Oppgave 5 Utfør én iteraon med Gau Seidel metode på ligningytemet 4x y z = 3 x 5y z = 8 2x y 6z = 2 med tartverdier x (0) = 2, y (0) = 2, z (0) =. Oppgave 6 Vi betrakter initialverdiproblemet ( ) x + x = 6 co t, x(0) = 2, x (0) = 3. a) Skriv om ( ) om et initialverdiproblem for et ytem av to førteorden differenialligninger. b) Gør ett kritt med Euler metode, med krittlengde h = 0., på ytemet du fant i punkt (a). Hvi du ikke klarte punkt (a), kan du iteden bruke følgende initialverdiproblem: dx dt = x y, dy dt = x + t, med { x(0) = 2, y(0) =.
TMA430 Matematikk 4N 2004 2 7 Vedlegg (Side 4 av 5) Formler i numerikk La p(x) være et polynom av grad n om interpolerer f(x) i punktene x i, i = 0,,..., n. Forutatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a, b], å gelder f(x) p(x) = (n + )! f (n+) (ξ) n (x x i ) Hvi nodene er evnt fordelt (inkludert endepunktene), og f n+ (x) M, da gelder ( ) n+ b a f(x) p(x) 4(n + ) M n Numerik derivaon: f (x) = h (f(x + h) f(x)) + 2 hf (ξ) f (x) = h (f(x) f(x h)) 2 hf (ξ) f (x) = h 2 (f(x + h) 2f(x) + f(x h)) 2 h2 f (4) (ξ) Newton metode for ligningytemet f(x) = 0 er gitt ved J (k) x (k) = f(x (k) ) i=0 x (k+) = x (k) + x (k) Iterative teknikker for løning av et lineært ligningytem Jacobi : Gau-Seidel : a i x = b i, = x (k+) i = a ii x (k+) i = a ii ( i b i ( = i b i i =, 2,..., n = a i x (k+) En 2. orden Runge-Kutta metode (Heun) for y = f(x, y): K = h f(x n, y n ) K 2 = h f(x n + h, y n + K ) y n+ = y n + 2 (K + K 2 ) =i+ =i+ ) ) Se ogå formlene i Rottmann.
TMA430 Matematikk 4N 2004 2 7 Vedlegg (Side 5 av 5) Tabell over Laplacetranformerte f(t) L(f) t t n (n = 0,, 2,... ) 2 n! n+ e at a co ωt in ωt coh at inh at e at co ωt e at in ωt 2 + ω 2 ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a) 2 + ω 2 ω ( a) 2 + ω 2