2P-Y eksamen våren 16 løysingsforslag Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4 C 04.03 --6 C 05.03 2 C 06.03 6 C Guro målte temperaturen utanfor hytta dei seks første dagane i mars. Sjå tabellen ovanfor. Bestem variasjonsbreidda, gjennomsnittet og medianen for temperaturmålingane. Variasjonsbreidda: 6 C ( 6 C) 12 C 2 C 0 C ( 4) C ( 6) C 2 C 6 C Gjennomsnitt: 0C 6 Temperaturen i stigande rekkjefølgje: 6 C 4 C 0 C 2 C 2 C 6 C Medianen: 0 C 2 C 1C 2 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 1 av 19
Oppgåve 2 (2 poeng) Det er 7,5 milliardar menneske på jorda. Gå ut frå at kvart menneske treng 2 L drikkevatn kvar dag. Om lag kor mange liter drikkevatn vil då alle menneska på jorda til saman trenge kvar månad? Skriv svaret på standardform. 9 11 Reknar at det er 30 dagar i ein månad: 7,5 10 230 4,5010 Oppgåve 3 (2 poeng) I butikk A kostar ei vare 150 kroner. I butikk B kostar den same vara 1 kronar. a) Kor mange prosent høgare er prisen i butikk A samanlikna med prisen i butikk B? 150 1 3 1 25% 1 12 4 Prisen i butikk A er 25 % høgare samanlikna med prisen i butikk B. b) Kor mange prosent lågare er prisen i butikk B samanlikna med prisen i butikk A? 150 1 3 1 % 150 15 5 Prisen i butikk B er % lågare samanlikna med prisen i butikk A. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 2 av 19
Oppgåve 4 (5 poeng) Tabellen under viser aldersfordelinga for dei 0 personane som bur i blokk Z på Tirilltoppen. a) Lag eit histogram som viser aldersfordelinga for personane som bur i blokk Z. Reknar ut histogramhøgde, og teiknar eit histogram, Alder Frekvens Histogramhøgde frekvens klassebredde 0,10 40 40 4 10 10, 2 10,30 60 60 6 10 30,50 1 50,60 2 10 60,80 40 40 2 Sum 0 b) Bestem gjennomsnittsalderen for personane som bur i blokka. 405 15 6025 40 55 4070 0 0 300 1500 800 1100 4280 6580 33,5 0 0 Gjennomsnittsalderen for personane i blokka er 33,5 år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 3 av 19
Oppgåve 5 (4 poeng) Marte er telefonseljar. Ho har fast grunnløn per time. I tillegg får ho eit fast beløp for kvart produkt ho sel. Ein time selde ho 2 produkt. Ho tente då til saman 170 kroner. Den neste timen selde ho 4 produkt. Denne timen tente ho til saman 2 kroner. a) Lag ei grafisk framstilling som viser samanhengen mellom kor mange produkt Marte sel i løpet av ein time, og kor mykje ho tener denne timen. Vi set talet på selde produkt lik x og timeløna som y. Så markerer vi dei to punkta (2,170) og (4,2) i eit koordinatsystem og trekkjer ei linje gjennom punkta. b) Bruk den grafiske framstillinga til å bestemme Marte si grunnløn per time og det beløpet ho får for kvart produkt ho sel. Vi finn skjeringspunktet mellom grafen og y-aksen, sjå figur i a) for å finne fast timeløn. Marte si faste timeløn er 1 kr. Stigningstalet til grafen er beløpet ho får per produkt ho sel Marte tener 25 kroner på kvart produkt ho sel. c) Kor mange produkt må Marte selje i løpet av ein time om ho skal tene 370 kroner denne timen? Løyser likninga 370 1 25x 25x 250 170 1 kr 25 kr 2 x 10 Marte må selje 10 produkt på ein time for å oppnå ei timeløn på 370 kr. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 4 av 19
Oppgåve 6 (2 poeng) Sorter tala i stigande rekkefølgje Vi skriv opp tala på standardform 0,046 10 4,6 10 46 4,6 10 1000000 46 10 4,6 10 7 6 4600000 4,6 10 4,6 10 8 11 9 0,46 10 4,6 10 5 6 7 Tala i stigande rekkefølgje 6 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 5 av 19
Oppgåve 7 (3 poeng) Ole har undersøkt kor mange land kvar elev i ei 2P-gruppe har besøkt. Han har sett opp ein tabell. Ovanfor ser du nokre av tala i tabellen. Teikn av tabellen, gjer utrekningar, og fyll inn tala som manglar. Det er elevar til saman. Vi reknar ut dei manglande verdiane som vist i tabellen. Talet på land 1,6 6,11 15 5 10 11,16 16,21 510 21 2 21,26 19 1 Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens 5 5 15 5 0,25 10 15 0,5 2 0,1 15 2 17 2 0,1 1 0,05 19 Oppgåve 8 (4 poeng) Det er 26 elevar i ei matematikkgruppe. 16 av elevane gjer leksene til kvar time. av elevane har karakteren 3 eller høgare i faget. 5 av elevane som ikkje gjer leksene til kvar time, har lågare karakter enn 3 i faget. a) Systematiser opplysningane i teksten over i ein krysstabell eller i eit venndiagram. Gjer lekser til kvar time Gjer ikkje lekser til kvar time Totalt Har karakteren 15 5 3 eller høgare Har lågare 1 5 6 karakter enn 3 Totalt 16 10 26 Vi vel tilfeldig éin elev frå gruppa. b) Bestem sannsynet for at eleven ikkje gjer leksene til kvar time og har karakteren 3 eller høgare i faget. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 6 av 19
Det er 5 elever som ikkje gjer leksene og som har karakteren 3 eller høgare. Sannsynet for å trekkje ut ein elev som ikkje gjer leksene og som har karakteren 3 eller høgare er 5 26. Ein dag er berre dei elevane som gjer leksene til kvar time, til stades. Vi vel tilfeldig éin av desse elevane. c) Bestem sannsynet for at eleven har lågare karakter enn 3 i faget. Det er 16 elevar som gjer leksene til kvar time, og det er 1 som har lågare karakter enn 3. Sannsynet for å trekkje ut ein elev av dei som gjer leksene og som har lågare karakter enn 3 er 1 16. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 7 av 19
Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillate, med unntak av internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (2 poeng) Ved ein skole er det 440 elevar. Elevane blir spurde om kor ofte dei brukar sykkelhjelm. Tabellen nedanfor viser resultata. Alltid 88 Nesten alltid 176 Nokre gongar 110 Aldri 22 Syklar ikkje 44 Bruk rekneark til å lage eit sektordiagram som illustrerer opplysningane i tabellen ovanfor. Det skal gå klart fram av diagrammet kor mange prosent kvar sektor utgjer. Vi legg opplysningane inn i reknearket, reknar ut prosentdelen som vist ved formlane. Vi markerer området og vel kommandoen «Set inn sektordiagram». For å få markert prosentdelen, høgreklikkar vi på diagrammet og vel «Formater dataetikettar». Oppgåve 2 (3 poeng) Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 8 av 19
Hans og Grete går til Høgfjell kvar dag. Nedanfor ser du kor mange minutt Hans har brukt på kvar tur dei to siste vekene. 25 30 26 24 32 25 27 30 28 31 24 35 32 33 a) Bestem gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet. Vi legg tala inn og lagar liste i rekneark i GeoGebra. Deretter finn vi gjennomsnitt med kommandoen «Gjennomsnitt[Liste1]», og standardavviket med kommandoen «Standardavvik[Liste1]», Gjennomsnittet er 28,7 og standardavviket er 3,5. Grete har i gjennomsnitt brukt like lang tid som Hans per tur dei siste 14 dagane, men standardavviket hennar er 1,2. b) Kva kan du ut frå dette seie om tidene Grete har brukt på turane, samanlikna med tidene Hans har brukt? Standardavviket seier noko om kor langt dei enkelte verdiane i gjennomsnitt ligg frå gjennomsnittsverdien. Grete har eit standardavvik som er mykje lågare enn Hans, samtidig som gjennomsnittet av tidene er den same. Det betyr at Grete har brukt mindre variert tid på turane. Turane hennar ligg nærmare gjennomsnittet i tidsbruk. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 9 av 19
Oppgåve 3 (6 poeng) Funksjonen B gjeven ved viser kor mange grader 21. juni 15. 4 3 2 B x 0,006 x 0,33x 5,7x 32,1 x 59,5 5 x 23 B x sola står over horisonten x timar etter midnatt i Bergen a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til B. Teiknar grafen i GeoGebra ved å bruke kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» b) Kor mange grader stod sola over horisonten då ho var på sitt høgaste? Vi brukar kommandoen «Ekstremalpunkt» og finn toppunktet A = (13,7, 52,4). Sjå figur i a. Sola var på sitt høgaste 13,7 timar etter midnatt, då var ho 52,4 grader over Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 10 av 19
horisonten. c) Kva tid stod sola grader over horisonten? Vi legg inn linja y=, og brukar kommandoen «Skjering mellom to objekt», og finn skjeringspunkta C = (7,6, ) og D = (19,7, ). Sjå figur i a. Sola stod grader over horisonten 7,6 timar og 19,7 timar etter midnatt. d) Kor mange grader steig sola i gjennomsnitt per time frå klokka 05.00 til klokka 12.00? Vi set inn punkta E = (5,B(5) og F = (12,B(12)) i GeoGebra, og brukar kommandoen «Linje» mellom dei to punkta. Vi finn gjennomsnittet ved å sjå på stigningstalet til linja. Sjå figur i a. Gjennomsnittsauken er 6,5 grader per time frå klokka 05.00 til klokka 12.00. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 11 av 19
Oppgåve 4 (6 poeng) Tenk deg at du skal lage figurar av blå og kvite rektangel som vist ovanfor. a) Skriv av tabellen nedanfor, og fyll han ut. Figur Talet på kvite Talet på blå rektangel Talet rektangel totalt rektangel 1 1 8 9 2 4 12 16 3 9 16 25 4 16 36 n 2 n 4 4 n 2 2 n b) Kor mange kvite rektangel treng du dersom du skal lage ein figur med totalt 81 rektangel? Løyser likninga i CAS GeoGebra For å lage ein figur med 81 rektangel totalt, har vi n = 7. Det vil då vere n 2 = 7 2 = 49 kvite rektangel. c) Kor mange blå rektangel treng du dersom du skal lage ein figur med totalt 1 296 rektangel? Løyser likninga i CAS GeoGebra For å lage ein figur med 1 296 rektangel, har vi n = 34. Det vil då vere 140 blå rektangel. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 12 av 19
Oppgåve 5 (6 poeng) Ei bedrift slapp ut 000 tonn CO2 i 15. Styresmaktene krev at bedrifta reduserer utsleppet av CO2 med 8 % kvart år dei neste 10 åra. a) Bruk rekneark til å lage eit oversyn som viser talet på tonn CO2 bedrifta kan sleppe ut kvart år dei neste 10 åra. Vi brukar ein vekstfaktor på 1-0,08 =0,92, og skriv inn følgjande i reknearket b) Kor mange prosent vil bedrifta totalt ha redusert utsleppet med i løpet av denne perioden? Utsleppet er redusert frå 000 til 8687,77 tonn. Vi reknar i CAS GeoGebra Bedrifta vil ha redusert utsleppet sitt med 57 % i løpet av 10 år. Ei anna bedrift slapp ut 30 000 tonn CO2 i 15. Styresmaktene krev at denne bedrifta halverer utsleppet i løpet av 5 år. Bedrifta vil oppfylle styresmaktene sine krav ved å redusere utsleppet av CO2 med ein fast prosentsats kvart år framover. c) Bestem denne prosentsatsen. Vi set vekstfaktoren som x, og reknar halvering av utsleppet på 5 år ved å løyse likninga i CAS GeoGebra Bedrifta må redusere utsleppet med 13 % kvart år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 13 av 19
Oppgåve 6 (5 poeng) Tenk deg at du har eit stykke papp med form som eit rektangel. Rektangelet er cm langt og 14 cm breitt. I kvart hjørne av rektangelet skal du klippe bort eit kvadrat. Dei fire kvadrata skal vere like store. Du skal så brette langs dei stipla linjene og lage ei øskje (utan lokk). a) Gjer utrekningar, teikn av, og fyll ut tabellen nedanfor. Lengda av kvar side i kvadrata som klippast bort Lengda av øskja Breidda av øskja Høgda av øskja Volumet av øskja 4 cm cm24 cm 12 cm 3 cm cm23 cm 14 cm 2,5 cm cm22,5 cm 15 cm X cm cm2 x cm 2 10 x cm 14 cm24 cm 6 cm 4 cm 288 cm 3 8 cm 3 cm 14 cm22,5 cm 9 cm 2,5 cm 14 cm 2 x cm 2 7 x cm 1483 cm 336 cm 3 3 1592,5 cm 337,5 cm X cm 3 3 2x 14 2 x x cm 4x 68x 280 x cm 3 2 3 3 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 14 av 19
Eg gjorde utrekningane i CAS GeoGebra b) Bruk grafteiknar til å bestemme kor lang kvar side i kvadrata som klippast bort, må vere for at volumet av øskja skal vere størst mogleg. Kor stor er volumet då? 3 2 Vi definerer funksjonen V x 4x 68x 280 og teiknar grafen i GeoGebra. Vi avgrensar x, sidelengda på kvadratet som klippast bort, mellom 0 og 7, fordi vi ikkje kan klippe bort meir enn den kortaste sida som er 14 cm. Brukar kommandoen «Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» for å finne toppunktet A. Når vi klipper bort eit kvadrat med sider på 2,7 cm i kvart hjørne, får vi ei øskje med eit maksimalt volum på omtrent 339 cm 3. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 15 av 19
Oppgåve 7 (8 poeng) Ved havoverflata er lufttrykket ca. 1 000 hpa (hektopascal). I denne oppgåva skal vi bruke sitat frå ulike nettstader og sjå på nokre modellar for kor stort luftrykket er x kilometer over havoverflata. a) Forklar at vi ut frå sitat 1 kan setje opp ein modell f der fx 1000 0,88 x Teikn grafen til f for 0 x 10 Vi har ein eksponentiell modell, der startverdien på 1000 går ned med 12 %, som svarar til ein vekstfaktor på 1 0,12 = 0,88, kvart år. Talet på år er x. Vi brukar kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt>» for å teikne grafen til funksjonen i GeoGebra. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 16 av 19
b) Forklar at sitat 2 gjev tabellen nedanfor. Bruk regresjon, og vis at opplysningane i tabellen gjev ein modell som er tilnærma lik modell f. Gje denne modellen namn g. Teikn grafen til g for 0 x 10 i same koordinatsystem som grafen til f. Høgde over havoverflata 0 5,5 11 16,5 (km) Lufttrykk (hpa) 1 000 500 250 125 Vi veit at luftrykket er 1000 hpa 0 km frå havoverflata. Vi får då halvdelen lik 500 hpa når vi er 5,5 km frå havoverflata, og på same måte halvdelen av 500 hpa = 250 hpa når vi er 11 km frå havoverflata, og 123 hpa for 16,5 km frå havoverflata. Set verdiane inn i rekneark i GeoGebra og brukar regresjonsanalyse med eksponentiell regresjonsmodell. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 17 av 19
Vi får modellen gx 1000 0,8816 x som svarar til funksjonen f. Vi teiknar grafen i same koordinatsystem. Sjå figur i a. c) Bruk sitat 3 til å bestemme ein modell h. Teikn grafen til h for 0 x 10 i same koordinatsystem som du har brukt tidlegare i oppgåva. Kommenter siste setning i sitat 3. 1 hpa 1000 hpa Luftrykket minkar med 125 hpa/km. 8 m 8000 m Vi får funksjonen hx 1000 125x Teiknar funksjonen med kommandoen Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]. Sjå figur i a. Siste setning leiar til at modellen passar best for avstandar under 1 km. Vi ser at grafen til funksjonen søkk konstant og viser null lufttrykk 8 km frå havoverflata, noko som ikkje stemmer. Vi er difor samde i at modellen er ei forenkling, som passar berre for x < 1. d) Bruk kvar av dei tre modellane f, h og h til å bestemme lufttrykket 8 848 meter over havoverflata. Samanlikn svara du får, med sitat 4, og kommenter. Vi markerer punkta A = (8,848, f(8,848)) = (8.848, 323), B = (8,848, g(8,848)) = (8,848, 328) og C = (8,848, h(8,848)) = (8.848, -106) i koordinatsystemet. Lufttrykket 8848 meter over havet vil etter modell f vere omtrent 323 hpa, etter modell g vil det vere 328 hpa, men modell h gjev negativt lufttrykk på -106 hpa. Både modell f og g gjev eit lufttrykk på omtrent ein tredjedel av lufttrykket ved havoverflata. Sitatet passar godt til desse modellane. Modell h derimot vil ikkje gjelde for denne avstanden frå havoverflata. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 18 av 19
Biletliste Solkurve: http://suncurves.com/ (15.10.15) Lufttrykk: http://skolediskusjon.no/forums/thread.aspx?id=1160 (27.06.15) http://www.yr.no/artikkel/mindre-trykk-og-varme-i-hoyden-1.7297472 (27.06.15) http://www.yr.no/artikkel/hvordan-beregnes-lufftrykket_-1.7150434 (17.10.15) http://naturfag.info/5jorden/b_atmosf.htm (17.10.15) Andre bilete, teikningar og grafiske framstillingar i oppgåvene: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 16 Side 19 av 19