ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3) 4. Estimere estimat estimator 5. Itervallestimerig (kofidesitervall) (kp. 5.4) i målemodell med a) ormalatakelse og kjet varias eller med b) ormaltilærmig i biomisk modell med ormaltilærmig (Pukt)estimerig (Itervall)estimerig 3
Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x x... x ) av ph i Breiavatet; 6.00 5.59 5.74 3.43 5.30 6.48 5.5 4.8 4.5 6.0 Gjeomsitt: 5.7 Vi bruker 5.7 som estimat av virkelig ph. μ (Målemodelle: Målig x i betraktes som utfall av e tilfeldig variabel X i der μ =E(X i )=virkelig ph.) 4 Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x x... x ) av ph i Breiavatet; 6.00 5.59 5.74 3.43 5.30 6.48 5.5 4.8 4.5 6.0 Gjeomsitt: 5.7 Vi bruker 5.7 som estimat av virkelig ph. μ Vi skal å se hvorda vi ka estimere et itervall som vi ka ha tillit til at dekker virkelig ph μ. 5.7 5 er e meget god måte å rapportere resultater på. puktestimatet i midte (i de fleste typer kofidesitervall) bredde på itervallet forteller om grad av statistisk usikkerhet 6
. Mer om hva kofidesitervall er. i ulike situasjoer: i stor med stor ( for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og ukjet varias: etter at vi har gjeomgått t-fordelig!) 7. Mer om hva kofidesitervall er. i ulike situasjoer: i stor med stor 8 Eks.: ph i Breiavatet. Dersom vi bruker målemodelle med ormalatakelse og kjet varias så er formele for et 95% kofidesitervall for forvetige: x.96 x +.96 9 3
Eks.: ph i Breiavatet. målemodelle: x x... x utfall av X X... X u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall i dette tilfellet (ikke valig situasjo i praksis). 0 Eks.: ph i Breiavatet. målemodelle: x x... x utfall av X X... X u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall i dette tilfellet (ikke valig situasjo i praksis). Utreget 95% kofidesitervall: x.96 = 5.7.96 = ( 4.65 5.89 ) 0 x +.96 5.7 +.96 0 Eks.: ph i Breiavatet. 6.00 5.59 5.74 3.43 5.30 6.48 5.5 4.8 4.5 6.0 Gjeomsitt: 5.7 Et 95% kofidesitervall for virkelig ph er (uder de agitte forutsetigee): ( 4.65 5.89 ) 300 400 500 600 700 Vi ka ha tillit til at dette itervallet dekker virkelig ph. 4
Hvorfor skal Vi ka ha tillit til at itervallet ( 4.65 5.89 ) dekker virkelig ph? Hvor kommer tallet.96 fra? Hvorfor er formele som de er? Hvorfor 95%? 3 Bytt ut målegjeomsittet x = ( x + L + x 0 ) med 0 tilhørede gjeomsitt av tilf.var.: X = ( X + L + X 0 ). 0 De tilfeldige variabele X represeter utfall vi kue ha fått av målegjeomsitt (med samme forvetig og varias). Da: Med L = X.96 ka vi vise at : og U = X +.96 P ( L μ U ) = 0.95 4 Obs.: L og U er tilfeldig variabel-versjoe av slik vi bereget edre- og øvregrese i 95%- itervallet. Obs.: Forvetige er et fast (me ukjet) tall. Obs.3: Dersom vi hadde gjort mage gager 0 måliger av ph (vi ka forestille oss det) ville 95% av slike itervall dekke virkelig ph (forvetige)!! Obs.4: Tallet.96 heger samme med 95%. (Dette skal vi forklare ærmere!) 5 5
Tekte kofidesitervall fra tekte sett av måliger: 0604--pH-måliger.xls 300 400 500 600 700 6 Begruelse for: P ( L μ U) = α... 7. Mer om hva kofidesitervall er. i ulike situasjoer: i stor med stor 8 6
for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias; ( α) 00% kofidesitervall: x z x + z α / α / Her er er z er det tallet som har α sasylighet til høyre for seg i N( 0) - fordelige. α N(0) 05 04 03 0 0 00 α -40-30 -0-0 00 0 0 30 40 z α 9 Tabell med oe verdier for z α : α 0. 0.05 0.05 0.0 z α.8.645.960.36 0. Mer om hva kofidesitervall er. i ulike situasjoer: i stor med stor 7
Valigvis er det urealistisk at variase er kjet. Det ka også være urealistisk med ormalatakelse. Dersom er stor ka vi lage kofidesitervall for forvetige i målemodelle ute ormalatakelse og ute kjet varias. Setralgreseteoremet: Gjeomsittet av X X... X er tilærmet ormalfordelt år er stor. X ~ N μ eller (stadardisert) : X -μ ~ N ( 0) 3 De estimatore S fortsatt : ukjete ka erstattes med og resultatet gjelder X -μ ~ N S ( 0) ˆ = S = ( ) Xi X i= 4 8
Da får vi: for forvetige i målemodelle med ormaltilærmig og ukjet varias; tilærmet ( α) 00% kofidesitervall: x z S x + z α / α / S 5 Eks.:... Begruelse:... 6. Mer om hva kofidesitervall er. i ulike situasjoer: i stor med stor 7 9