Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > 88 85 Z > 3/σ.. σ σ Z 3/σ..2 3/σ.28 σ 3/.28 2.344.3 X µ X > 9 σ > 9 µ Z > 9 85 Z 2.4.4 σ 2.34.9838.62.5 b Vi har 6 uavhegige forsk spydkast, kast over 88 meter suksess, suksess. p, mao. e biomisk fordelig. X 3 X < 3 X 2+X +X.6 6 X 2 p x p x. 2.9 4.984.7 x 2 6 X..9 5.3543.8 6 X..9 6.534.9 X 3.984+.3543+.534.59. Legste kast over 88 meter mist e suksess. c Gjeomsitt: X X.534.4686. x x i 5 5 x i 86.8+84.4+88.3+9.6+85.4 87.m.2 5 i i aug2-lf 6. september 22 Side
Empirisk stadardavvik: s x i x 2 4 i 5 x i 87. 2 i 86.8 87. 2 +84.4 87. 2 4.3 +88.3 87. 2 +9.6 87. 2 +85.4 87. 2 2 2.447m.4 d Vi får følgede hypotese: Teststatistikk: H : µ 85m mot H : µ > 85m.5 t x µ s/ 87. 85 2.447/.92.6 5 Kritisk verdi: t α, t.5,4 2.32. Side t < t.5,4 ka vi ikke forkaste H ved sigifikasivå.5. Alterativt, p-verdi:.5 < T > t <.75, side p-verdi>.5 ka vi ikke forkaste H ved sigifikasivå.5. e Et kofidesitervall er et itervallestimat av e parameter. Et prediksjositervall er et itervallestimat av e y observasjo. Et prediksjositervall er gitt ved x t α/2, s +, x+t α/2, s + 87.±2.776 2.447 6/5.7 Så prediksjositervallet til det sjette spydkastet er 79.66, 94.54. Oppgave 2 Normalfordelig: Dybdemåligee fra Rybekke ser ormalfordelt ut fordi. og 3. kvatil er tilærmet like lagt fra mediae og det er få ekstremobservasjoer. Dette vil gi e ærmest symmetrisk fordelig som kjeeteger bl.a. ormalfordelige. Dataee fra Sylsjødamme har e mer skjev fordelig da 3. kvatil ligger betraktelig legre fra mediae e. kvatil. De har i tillegg flere og mer ekstreme observasjoer. Derfor er disse trolig ikke ormalfordelt. Forvetet sødybde: Vil være høyere ved Sylsjødamme e ved Rybekke pga oe ekstremt høye verdier, me de store variasjoe i dataee vil trolig gjøre at forskjelle mellom stedee ikke er statistisk sigifikat, mao forvetet sødybde er like. Varias: ser ut til å være betraktelig større ved Sylsjødamme e ved Rybekke pga legre avstad mellom mediae og 3. kvatil og de store ekstremobservasjoee. Oppgave 3 Vi fier først de kumulative sasylighetsfordelige: F X x X x x f X udu x u e du x e u x e 3.
a X 2 e 2 4 e 2.67 3.2 EX xf X xdx Setter i u x og du dx du dx, ue u du u e u e u x x e e u du + dx 3.3 e u du 3.4 + 4 mg 3.5 X < 4 X > 2 b La x x...,x. X < 4 X > 2 e 4 4 +e 2 4 e 2 4 2 x dx e x 2 < X < 4 e x/4 4 2 e 2 3.6 e 2.393 3.7 u e u 2/ 2/ e u du EX X > 2 3.8 2 2 e + e u 2/ 2 2 e +e 2 3.9 e 2 2 + 2+ 6 mg 3. Lx f X x i i i lx llx l lx x i e e x i i 3. x i 3.2 i + 2 x i 2 x i i i 3.3 x i x 3.4 i Side lx ˆ SME x. > for < x og lx Eˆ E x E < for > x er x et globalt maksimum og x i i Ex i i 3.5 i
Fier Ex 2 : x 2 x e x 2 x e x 2 Ex 2 x 2 f X xdx dx dx dx 2e 3.6 2 u 2 e u du u 2 2 e u 2 u e u du 3.7 2 2 ue u du 2 u e 2 u e u du 2 2 3.8 Dermed er Varx Ex 2 Ex 2 2 2 2 2. Ma ka også gjekjee f X x e x som ekspoetialfordelige med forvetig og varias 2. Varˆ Var x i i 2 i Varx i 2 i 2 2 x 3.9 c Side X i ee er uavhegige og idetisk fordelt, sier setralgreseteoremet at X er ormalfordelt med forvetig og varias 2 /. Dette ka brukes til å tilærme kofidesitervallet til da z α/2 < X X/ < z α/2 α 3.2 X z α/2 X < < X +z α/2 X α 3.2 Med α.5 og X 5.2 mg får vi: 5.2±.96 5.2 5 3.76,6.64 3.22 Alterativt, ka ma rege kofidesitervallet eksakt: z α/2 < X / < z α/2 α 3.23 X +z α/2 / < < X z α/2 / α 3.24 Med α.5 og X 5.2 mg får vi: 5.2.96/ 5 4.7,7.9 3.25 d Vi har Y 2X og f Xx e x. Vi setter y 2x x y 2 wy 3.26 og får w y 2. Vi fier tetthetsfuksjoe til Y: g Y y f X wy w y e y 2 2 2 e y 2 y > 3.27
Videre er e kjikvadratfordelig defiert som h Y y ν 2 ν/2 Γν/2 yν/2 e y/2 3.28 ogviseratg Y y h Y y νårν 2,maoY er e kjikvadratfordelig med 2 frihetsgrader. La Ỹ i Y i. Dette er e sum av uavhegige kjikvadratfordelte variabler med 2 frihetsgrader, derfor er Ỹ kjikvadrafordelt med ν i2 2 frihetsgrader. Vi ka skrive Ỹ Y i 2X i / 2 X i / 2 X/ 3.29 i i Et kofidesitervall for e kjikvadrafordelt variabel er χ 2 α/2,ν < Ỹ < χ2 α/2,ν α 3.3 χ 2 2 X α/2,ν < < χ2 α/2,ν α 3.3 2 X 2 X < < α 3.32 χ 2 α/2,ν 2 5 5.2 29.6 χ 2 α/2,ν i < < 2 5 5.2 74.2 Så det eksakte 95% kofidesitervallet for er 4., 7...95 3.33