OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c Sylinder 14 3d Pyramide *).. 20 3e Kjegle *)... 21 3f Kule *).. 21 *) På barnetrinnet lærer ikke elevene å regne ut overflaten til disse figurene.
Innledning til overflate 1 INNLEDNING TIL OVERFLATE Når vi skal finne overflaten til geometriske figurer, snakker vi alltid om tredimensjonale figurer. På barnetrinnet vil det si kube (terning), prisme og sylinder. I dette kapitlet tar jeg også med pyramide, kjegle og kule, selv om disse figurene vil være for vanskelige for de fleste i barneskolen. Noen vil likevel kanskje finne det spennende å prøve seg på litt vanskeligere stoff, og da vil det i så fall være greit om de kan få litt oppmuntring og veiledning til det. Grunnleggende om overflate 2 GRUNNLEGGENDE OM OVERFLATE Når vi skal finne overflaten til en figur, betyr det at vi skal finne arealet av figurens sider. Vi snakker altså om 2-dimensjonale beregninger. Dette er lettest å se dersom figurene brettes ut, altså at alle sidene legges ved siden av hverandre. Å finne overflaten til en figur betyr å finne arealet til alle sidene. Dette er vist i kapitlet som heter Geometriske figurer. Når en tredimensjonal figur er brettet ut, er det for det første enklest å se hvor mange sider figuren har, og for det andre hvilke mål som er oppgitt. Etter at figuren er tegnet som utbrettet figur er det derfor klokt å skrive på alle kjente mål. Noen ganger kan det være at vi må regne oss frem til de nødvendige målene. I det følgende skal jeg vise hvilke mål som er nødvendig for å kunne regne ut arealet av overflate. O - 2
3 OVERFLATE TIL: 3a KUBE En kube har form som en terning. Det vil si at alle sidene er like store. Overflate til kube Dette er nærmere forklart i kapitlet Geometriske figurer Kubens overflate består derfor av 6 kvadratiske sider. s Høyde: 3 cm s s Lengde: 3 cm Bredde: 3 cm Det kan være litt vanskelig å holde side, lengde, bredde og høyde fra hverandre. I en kube kalles alle linjer for side. Det er fordi alle sidene er like lange. Legg merke til at vi snakker om lengdemål når vi snakker om siden i en kube. Samtidig snakker vi jo også om at en kube har 6 sider. Da mener vi de seks flatene som til sammen danner overflaten i kuben. Og da handler det om areal, ikke lengde. Altså betyr side to forskjellige ting når vi snakker om kube. Kanskje burde vi kalle det side og sideflate, for å holde det litt fra hverandre. O - 3
Bretter vi ut en kube, får vi en figur som består av seks like store kvadrater, for eksempel slik: Hvordan du regner ut arealet av et kvadrat er forklart i kapitlet som heter Areal. Formelen er: a = s 2 Som den utbrettede figuren viser, består altså kuben av seks nøyaktig like kvadrater. For å finne arealet til hele overflaten, kan vi altså regne ut arealet til et kvadrat og deretter gange med 6. Formelen for overflaten til en kube blir derfor: Formel 1: O = s 2 6 Hvis vi skal finne overflaten til kuben på forrige side, regner vi det altså slik: Formel 1: O = s 2 6 O = 3cm 2 6 O = 3cm 3cm 6 O = 9 cm 2 6 O = 54 cm 2 O - 4
3b RETT PRISME Mange vil kanskje bli litt overrasket når det gjelder formen til et rett prisme. Jeg lærte meg ordet prisme som liten knyttet til taklamper med mange glassfigurer på. Figurene, prismene, var vakkert slepet og reflekterte lyset fra lyspærene på en fantastisk måte. Slike prismer var sjelden helt rette. De var som regel heller ikke firkantet. De kunne være skråskjærte og smalere øverst enn nederst. Et prisme til en prismekrone kunne for eksempel se slik ut: Det er ikke slike prismer vi snakker om når vi snakker om rette prismer. På et rett prisme er alle linjer og vinkler rette, mer som en fyrstikkeske: Alle rettvinklede figurer som har seks sider, der to og to sider er like, kaller vi rette prismer. Det er prismer vi tegner når vi tegner høyhus, kasser, murstein, skap og andre firkantede figurer. Ser vi nøye på et rett prisme vil vi se at den består av seks sideflater, akkurat som kuben. En kube er faktisk et rett prisme med en helt spesiell form. O - 5
2 cm 6 cm 4 cm På en slik tegning vil vi se at tre og tre kanter er like. I virkeligheten er det fire og fire kanter som er like, men den siste kanten ser vi ikke. Hvis vi fargelegger kantene er det lettere å se hvilke kanter som er like. 2 cm 6 cm 4 cm På dette rette prismet ser vi at en sideflate dannes av ulike kanter. Hvis vi tenker oss at vi bretter ut sidene, slik vi gjorde med kuben, vil vi kunne få en slik figur. O - 6
Hvis vi tegner inn de fargede kantene fra den forrige figuren, vil vi se hvilke kanter som hører til hvilke sider: 6 cm 2 cm 4 cm Vi ser at det er noen linjer som ikke har fått farge. Det er der prismet må deles for å få brettet det ut. Vi kan sette inn farge på de linjene også. 6 cm 2 cm 4 cm Nå er det enklere å se at hver sideflate dannes av to og to ulike kanter. Samtidig kan vi se at to og to sideflater er like. O - 7
Det tredje vi oppdager er at sideflatene til et rett prisme er seks rektangler. Å finne overflaten til dette prismet vil si å finne hvor stort areal de seks rektanglene har til sammen. Hvordan du finner arealet til et rektangel er forklart i kapitlet som heter Areal. Det er flere måter å tenke på for å få til dette. Felles for dem alle er at vi må ta utgangspunkt i formelen til arealet av et rektangel: A = g h Fremgangsmåte 1: Vi kan tenke oss at sideflatene får hvert sitt navn: s1, s2, s3, s4, s5 og s6. s6 6 cm s1 s2 s3 s4 2 cm s5 4 cm Da ser vi for eksempel at arealet til s1= 6 cm 4 cm. Vi kan på samme måte regne ut arealet til hvert av de seks rektanglene: O - 8
A s1: 6 cm 4 cm = 24 cm 2 A s2: 6 cm 2 cm = 12 cm 2 A s3: 6 cm 4 cm = 24 cm 2 A s4: 6 cm 2 cm = 12 cm 2 A s5: 4 cm 2 cm = 8 cm 2 A s6: 4 cm 2 cm = 8 cm 2 Legger vi sammen disse svarene, vil vi finne arealet til overflaten til dette prismet: 24 cm 2 + 12 cm 2 + 24 cm 2 + 12 cm 2 + 8 cm 2 + 8 cm 2 = 88 cm 2 Men så var det å finne ut en formel for denne fremgangsmåten. Da må vi først finne ut hva som er lengde, bredde og høyde i prismet. For å bestemme dette vil det være klokt å gå tilbake til den opprinnelige figuren: 2 cm 6 cm 4 cm Det er naturlig å kalle den lengste kanten for lengde. Da gir de to andre størrelsene seg selv: Lengde (l) Bredde (b) Høyde (h) = 6 cm = 4 cm = 2 cm Så kan vi jo sette opp de seks regnestykkene igjen: A s1: 6 cm 4 cm = 24 cm 2 l b A s2: 6 cm 2 cm = 12 cm 2 l h A s3: 6 cm 4 cm = 24 cm 2 l b A s4: 6 cm 2 cm = 12 cm 2 l h A s5: 4 cm 2 cm = 8 cm 2 b h A s6: 4 cm 2 cm = 8 cm 2 b h O - 9
Dermed kan vi lage denne formelen: Formel 1: A = l b + l h + l b + l h + b h + b h Vi kan jo rydde litt opp, slik at den ser litt penere ut. Da kan vi gjøre to ting på en gang. For det første kan vivise utregningen for hver sideflate ved hjelp av parenteser, og for det andre kan vi sette like regnestykker ved siden av hverandre:: Formel 1: A = (l b) + ( l b) + (l h) + (l h) + (b h) + (b h) Fordelen med denne fremgangsmåten er at det er oversiktelig og greit å tenke med utgangspunkt i de seks sideflatene til et prisme. Ulempen er at det blir mange regnestykker å holde styr på, og det blir en lite oversiktelig og lang formel. Så se litt på den neste fremgangsmåten. Fremgangsmåte 2: Mye av det forberedende arbeidet er likt med fremgangsmåte 1. Vi har et rett prisme med disse målene: Lengde (l) Bredde (b) Høyde (h) = 6 cm = 4 cm = 2 cm 2 cm 6 cm 4 cm Ser vi litt nærmere på prismet vil vi se at to og to sideflater er like. Det kan vi bruke. Vi trenger nemlig bare å regne ut 1 side, som vi deretter ganger med 2: O - 10
Den første siden blir lengde ganger bredde (Det betyr bunnen og toppen av prismet). A1 = 6 cm 4 cm 2 = 48 cm 2 A2 = 6 cm 2 cm 2 = 24 cm 2 A3 = 4 cm 2 cm 2 = 16 cm 2 Legger vi sammen disse svarene får vi: 48 cm 2 + 24 cm 2 + 16 cm 2 = 88 cm 2 Men så var det å sette opp formelen for denne måten å tenke på. A1 = 6 cm 4 cm 2 = l b 2 A2 = 6 cm 2 cm 2 = l h 2 A3 = 4 cm 2 cm 2 = b h 2 Altså får vi: Formel 2: A = l b 2 + l h 2 + b h 2 Med litt opprydning blir dette: Formel 2: A = (l b)2 + (l h)2 + (b h)2 Dette ble jo en mye enklere formel! Men den kan bli enda enklere. Se på fremgangsmåte 3! O - 11
Fremgangsmåte 3: Hvis du tenker deg at et rett prisme består av 2 og 2 like sider, kan du kanskje også tenke deg at det består av 3 ulike sider? Og at hver av de tre ulike sidene har en side som er helt lik? Det kan vi bruke til å gjøre utregningen enda enklere: A1 = 6 cm 4 cm = 24 cm 2 A2 = 6 cm 2 cm = 12 cm 2 A3 = 4 cm 2 cm = 8 cm 2 Legger vi disse tre sidene sammen, får vi: 24 cm 2 +12 cm 2 +8 cm 2 = 44 cm 2 Hvis vi ganger dette svaret med 2, får vi: 44 cm 2 2 = 88 cm 2.. og slik blir formelen til fremgangsmåte 3: A1 = 6 cm 4 cm A2 = 6 cm 2 cm A3 = 4 cm 2 cm = l b = l h = b h = l b + l h + b h. Og så må vi altså gange med 2 Altså får vi: Formel 3: A = ((l b) + (l h) + (b h)) 2 Det blir kanskje litt rotete med så mye parenteser. På grunn av parentesreglene kan vi rydde opp litt ved å fjerne de små parentesene. Da får vi Formel 3: A = (l b + l h + b h) 2 O - 12
De tre formlene gjelder dersom grunnflaten i prismet er et rektangel. Hvis grunnflaten er kvadratisk blir det enklere. Da får du disse forholdene: h 6 cm S S 2 cm 2 cm I en slik figur har du en topp og en bunn som er like, nemlig kvadratiske, og de fire sidene er også like. Dermed kan vi bygge opp en ganske enkel formel: Formel 4: O.fl. = 2 s 2 + 4 l b I eksemplet på tegningen kan vi bruke denne formelen: Formel 4: O.fl. = 2 s 2 + 4 l b O.fl. = 2 2 2 + 4 6 2 O.fl. = 2 4 + 4 12 O.fl. = 8 + 48 = 56 O.fl. = 56 cm 2 O - 13
3c SYLINDER Tenk deg at du skal kle en tom hermetikkboks med papir. Hvordan må det papiret se ut? For det første trenger du en sirkel for å dekke bunnen. Deretter må du få dekket siden på sylinderen. Selve røret. For å få til det kan du for eksempel slå papiret rundt boksen og tegne opp: Når du klipper ut den figuren du fikk, og legger til papiret du dekket bunnen med vil du få en slik figur: O - 14
For å finne overflaten til en sylinder må vi tenke oss at sylinderen både har en topp og en bunn som en hermetikkboks som ikke er åpnet. Da blir den endelige figuren kanskje slik: Her ser vi at overflaten til en sylinder faktisk er et rektangel og 2 sirkler. Å finne overflaten til sylinderen vil si å finne arealet til disse tre figurene. Hvordan du finner arealet til rektangel og sirkel er forklart i kapitlet Areal O - 15
Se litt nærmere på rektangelet: Den korte siden vil være høyden på sylinderen, men hva med den lange siden? høyden? Den lange siden tilsvarer omkretsen tilbunnen/toppen! Det er altså diameteren til sirkelen. Omkrets: Selve sirkellinjen. Diameter: En rett linje gjennom sentrum som deler sirkelen i to like store deler. For å finne arealet til rektangelet må vi altså vite omkretsen til sirklene. Formelen for omkretsen til sirkelen er: O = 2 r Der r betyr radius. Radius: En rett linje som går fra sirkelens sentrum og ut til sirkellinjen. Radius er halvparten av diameter Fordi 2 radiuser er det samme som en diameter, trenger vi egentlig bare å kjenne diameteren, og gange den med, altså 3,14. Dermed får vi dette regnestykket for å finne arealet av rektangelet: A = 2 r h Så var det de to sirklene, som vi også må finne arealet til. Til det bruker vi formelen for areal av sirkel: A = r 2 Fordi vi har to sirkler, må vi gange med 2: A = 2 r 2 O - 16
Nå ble det kanskje litt for mange arealer å holde styr på. Vi gir de forskjellige arealene egne navn: Arealet av sylinderen kan vi kalle overflate (O) Arealet av sirkelen kaller vi A s Arealet av rektangelet kaller vi A r O: Arealet til sylinderen A r : Arealet til rektanglet A s : Arealet til sirkelen Setter vi så dette sammen, vil vi få et uttrykk som viser hvordan vi kan regne ut arealet til overflaten til sylinderen: O.fl. = A r + 2 A s Nå kan vi sette inn formlene i stedet for arealnavnene for å lage formelen for overflaten til sylinderen: Formel 1: O.fl. = (2 r h) + (2 r 2 ) Og det er en helt grei formel å bruke. Men den kan gjøres litt enklere. Du ser at vi i begge de to leddene (Ar og As) må gange med 2. Vi kaller derfor 2 for en felles faktor. I stedet får å gjøre det to ganger, kan vi gjøre det én gang til slutt. Da regner vi ut de to leddene og legger dem sammen først. Vi kan også erstatte de to parentesene med bare en, der den felles faktoren settes utenfor parentesen. Ledd: 2 tall som skal legges sammen. Her er de to leddene A r og A s Faktor: I et gangestykke heter tallene vi skal gange med hverandre for faktorer. Felles faktor: Hvis de to leddene inneholder like faktorer, kaller vi det felles faktor. Her er det to felles faktorer, nemlig 2 og. Gjør vi det slik, vil formelen bli litt endret: Formel 2: O.fl. = 2( r h + r 2 ) Vi ser at også er en felles faktor. Da kan vi også sette den faktoren utenfor parentesen. Formel 3: O.fl = 2 (r h + r 2 ) O - 17
Nå kan vi bruke de tre formlene til å regne ut overflaten til en sylinder. Vi begynte med å tenke oss en hermetikkboks. En helt vanlig hermetikkboks har omtrent disse målene: Diameter 10 cm høyden 12 cm La oss først se hvordan formel 1 virker: Formel 1: O.fl. = (2 r h) + (2 r 2 ) Vi setter tallene inn i formelen Husk at radius er halvparten av diameter. Her vil radius være 5 cm. For oversiktens skyld sløyfer jeg benevningen: Så regner vi ut leddene: O.fl. = (2 5 10) + (2 5 2 ) O.fl. = (100 ) + ( 50) O.fl. = (314 + 157) Og så legger vi leddene sammen: O.fl. = (314 + 157) = 471 O.fl. = 471 cm 2 Så prøver vi formel 2: Formel 2: O.fl. = 2( r h + r 2 ) O.fl. = 2( 5 10 + 5 2 ) O.fl. = 2( 50 + 25) O.fl. = 2(157 + 78,5) O.fl. = 2(235,5) = 471 O.fl. = 471 cm 2 O - 18
Til slutt prøver vi formel 3: Formel 3: O.fl = 2 (r h + r 2 ) O.fl = 2 (5 10 + 5 2 ) O.fl = 2 (50 + 25) O.fl = 2 (75) Så ganger vi først inn 2: Og til slutt ganger vi inn : O.fl = (2 75) = ( 150) O.fl = ( 150) = 471 O.fl = 471 cm 2 De tre formlene er bygget opp på grunnlag av tre ulike måter å se overflaten til en sylinder. Alle tre fungerer greit, men særlig fordi vi i formel 3 bare trenger å gange med 3,14 én gang, vil nok den formelen være den enkleste å bruke for mange. Det er likevel slik at valg av formel viser hvordan du tenker, så det greieste er nok å bruke den formelen som du best forsto da vi bygget dem opp. Det er nemlig et poeng at du må kunne klare å finne tilbake i utregningen dersom du har gjort en feil. Og det er enklest å avsløre en feil når du har forstått hva du har gjort. De tre neste figurene, pyramide, kjegle og kule, er figurer som ligger utenfor hva elever på barnetrinnet lærer. Jeg tar dem likevel med, men det vil føre for langt å forklare oppbygningen av formlene. De tre figurene presenteres derfor med tegning, utbrettet tegning (kule vises ikke utbrettet) og formel. O - 19
3d PYRAMIDE En pyramide består av en kvadratisk grunnflate og 4 trekantede sider. De fire trekantene er helt like. Når vi regner ut overflaten til en pyramide må vi altså regne ut arealet av et kvadrat (grunnflaten) og fire like trekanter. Hvordan du regner ut arealet av kvadrat og trekanter er forklart i kapitlet Areal Formelen for overflaten til en pyramide blir derfor: Formel 1: O.fl. = s 2 + 4( g h 2 ) Det er viktig å være oppmerksom på to ting: 1. Siden i kvadratet (s) og grunnlinjen i trekanten (g) er like 2. Med høyden (h) menes høyden i trekanten, ikke høyden i pyramiden. O - 20
3e KJEGLE En kjegle er i grunnen en pyramide, der grunnflaten er en sirkel i stedet for et kvadrat. Men dermed blir det ganske vanskelig å regne ut overflaten til kjeglen, fordi den bare har én side, og den siden er en del av en stør sirkel. Formelen til overflaten av en kjegle er: Formel 1: O.fl. = r 2 r h 2 = r a 3f KULE Formelen for overflaten til en kule er: Formel 1: O.fl.: = 4 r 2 O - 21