DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Siden det denne gang ikke er behov for noen formler, utover de som er oppgitt etter hvert og de som dere forventes å kunne er det ikke med noe eget formelark. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 3 oppgaver på 7 sider (inkludert denne forsida). 1
u u -40-20 0 20 40 x 1 y 40 20 0 m -20-40 golv Figur 1: Prinsippskisse av et mekanisk system med fjør. Oppgave 1 Denne oppgaven teller totalt 50 poeng. Vi skal her lage en modell for et enkelt fysisk system, et lodd som henger i ei fjør. Virkelige system der tilsvarende modeller kan brukes kan være last som henger i en heisekran og som forsiktig, og passe fort, skal settes ned på et underlag uten at det blir skadelige støt på lasta eller rykk i vaieren. Virkeligheten kan ytterligere kompliseres ved at underlaget ikke er fast men for eksempel et forsyningsskip og med bølger på sjøen. Systemet: Figur 1 viser systemet, egentlig modellen av systemet, slik vi har det her. Et lodd (block) henger i ei elastisk (elastic) snor (cord). Snora går over ei trinse (pulley) og bort til ei snelle (reel) med sveiv (crank or handle). Snora kan rulles opp på snella. Dette gir pådraget (input) til vårt system. Modellen: Modellen er ei forenkling av det fysiske systemet. Den elastiske snora modelleres som ei snor med ei ideell fjør (spring). Både snor, fjør og trinse tenkes som masseløse. Trinsa er uten friksjon. Det er heller ikke demping i modellen på andre måter, så som friksjon eller luftmotstand. Pådraget gis her ved at en sveiver manuelt på snella, dermed har en ikke noen enkel målbar kraft eller ei spenning som en gir in til en motor. I modellen er pådraget gitt som horisontal forskyvning av et gitt punkt på snora. 2
Loddet har masse 1 kg. Posisjon for loddet angis som høyde der referansepunkt er 40 cm over gulvet, se figur. Referansepunkt for pådraget er tilsvarende, når loddet henger stille 40 cm over gulvet er pådraget null, merk at pådrag er posisjon for det gitte punktet på snora. Vi må også anta at vi har tilstrekkelig kontroll med pådraget slik at vi unngår slakk i snora, og at snora er alltid stram. Fordi snora er masseløs og en har ei fjør i modellen, kan en likevel ha sprang i pådraget. Fritt-fall-akselerasjonen regnes i modellen som g = 10 [m/s 2 ]. Nyttig å vite fra fysikken: Krafta fra ei fjør er gitt av Hookes lov F = kx. (1) der x er hvor langt fjøra er strukket fra hvilestilling og k er en konstant gitt for fjøra. For et system er sum av kreftene lik masse ganger akselerasjon. Akselerasjon er den tidsderiverte av farten, og farten er den tidsderiverte av posisjonen, F = ma, a = ẍ = v = dv dt, Nyttig å vite fra matematikken: Gitt ei 2 2 matrise [ ] [ 0 1 0 a A = a 2, da er A 1 2 = 0 1 0 v = ẋ = dx dt. (2) ]. (3) der a er et positivt reelt tall. Videre har vi at [ ] [ e A cos a a = 1 sin a, e AT = a sin a cos a cos at a sin at a 1 sin at cos at ]. (4) og vi har egenverdier for A lik ±ja, der j = 1. Egenverdier for e A er cos a ± j sin a og egenverdier for e AT er cos at ± j sin at. Egenverdier for ei (vilkårlig kvadratisk) matrise A er definert som verdier for λ slik at det(λi A) = 0. Rekkeutvikling av e x, cos x og sin x er e x = n=0 1 n! xn = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + (5) cos x = 1 1 2! x2 + 1 4! x4 1 6! x6 + (6) sin x = x 1 3! x3 + 1 5! x5 1 7! x7 + (7) 3
Hvis massen økes fra 1 kg til 2 kg, uten å øke størrelsen på loddet, så strekkes fjøra så mye at loddet når akkurat til golvet, fjøra strekkes da 40 cm. a. (3p) Hva er fjørkonstanten k? b. (2p) Gi også enhet for denne. Nå vil vi bruke vår kunnskap fra systemidentifikasjon til å finne posisjon og fart for loddet til enhver tid så nøyaktig som mulig, men basert på modellen beskrevet foran og vist i figur 1. Masse for loddet er nå 1 kg som i utgangspunktet. Vi har tilgjengelig måling avstanden fra golvet. Dessverre er det mye usikkerhet her, men måling antas å være forventningsrett, hvit og Gaussisk og med standardavvik 5 cm. Pådraget har en mer nøyaktig informasjon om, målestøy her antas å være forventningsrett, hvit og Gaussisk og med standardavvik 5 mm. Tilstandsrommodellen for systemet i figur 1 er ẋ 1 = x 2 (8) ẋ 2 = k m (u + v x 1) (9) y = x 1 + w (10) x 1 er posisjon for loddet, og x 2 er farten for loddet. Støyen v er her er målefeilen (usikkerheten) for pådraget u. Det sanne pådraget er da egentlig u+v, der u er eksakt den målte verdien. Det ekstra strekket i fjøra er da gitt ved (u+v x 1 ). Det normale strekket i fjøra, som på grunn av valgte nullpunkt på enhetene angis som 0, oppveier nøyaktig for tyngden av loddet. Vi har ei måling y i modellen, det er tilstanden x 1 som måles, og målestøyen her er w. Varians for w er da (0.05[m]) 2 = 0.0025 [m 2 ]. På samme måte har vi at varians for v er da (0.005[m]) 2 = 0.000025 [m 2 ]. På matriseform skrives kontinuerlig tilstandsrommodell for systemet som c. (10p) Finn matrisene A, B, C, D og E. ẋ = Ax + Bu + Cv (11) y = Dx + Eu + w (12) d. (2p) Finn egenverdiene for det kontinuerlige systemet ovenfor. En håndregel for tidssteget ved diskretisering er at T bør være mindre eller lik en tidel av den inverse av den største av absoluttverdiene av egenverdiene for det kontinuerlige systemet, altså: T e. (1p) Hva bør T være i henhold til dette? 0.1 {eig(a)} max. (13) Nå skal dere diskretisere den kontinuerlige tilstandsrommodellen ovenfor, ved å bruke nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode. Samplingsfrekvens skal være 100 Hz. f. (2p) Hva blir nå tidssteget T? 4
En diskret tilstandsrommodell skrives ofte på følgende form x(k + 1) = Φx + Γu + Ωv (14) y = Dx + Eu + w (15) g. (2+2+1+1 p) Gi matrisene Φ, Γ, D og E. (nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode.) Merk at v i (14) ikke er som i (9). Her i ligning (14) har en v = [v 1 v 2 ] T der v 1 er en prosesstøy som virker på x 1 (posisjon), variansen for denne er svært liten, σv 2 1 = 10 10 [m 2 ]. v 2 er en prosesstøy som virker på x 2 (farten), denne henger sammen med målestøyen v i (9). Vi lar matrisa Ω være en identitetsmatrise. h. (2p) Finn varianse for v 2, σ 2 v 2. i. (2p) Finn egenverdiene for diskrete systemet (Eulers forovermetode) ovenfor. Dette kan være noe vanskelig siden det er en del regning som må gjøres. Eksakt diskretiser av en kontinuerlig tilstandsrommodell med nullteordens holdeelement og tidssteg T er gitt ved Φ = e AT (AT )2 = I + (AT ) + + 2! T Γ = e Aτ dτ B = (IT + AT 2 2! 0 (AT )3 3! + A2 T 3 3! +... (16) ) +... B. (17) j. (4+4p) Finn Φ og Γ matrisene ved eksakt diskretisering. Sammenlign med verdiene for Eulers forovermetode. k. (2p) Finn egenverdiene for diskrete systemet (eksakt diskretisering) ovenfor. En grupperer ofte et systems stabilitetsegenskaper i følgende tre grupper Asymptotisk stabilt system. Marginalt stabilt system. Ustabilt system. l. (3p) Hva er definisjonen for hvert av disse. m. (2p) Hvordan er stabilitet for modellen av dette systemet, det kontinuerlige systemet satt opp i 1c eller systemet med eksakt diskretisering satt opp i 1j. n. (2p) Hvordan er stabilitet for modellen av dette systemet når en har diskretisert med Eulers forovermetode, altså det diskrete systemet som satt opp i 1g. o. (3p) Hvordan vil du vurdere stabiliteten for et virkelig fysisk system som vist i figuren, der en ikke har gjort de forenklingene som er gjort i modellen. 5
Oppgave 2 Denne oppgaven teller totalt 30 poeng. Den fullstendige lineære tilstandsrommodellen for en gitt prosess er x(k + 1) = Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), (18) y(k) = D(k)x(k) + E(k)u(k) + w(k). (19) Ved utvikling av Kalmanfilteret er denne imidlertid redusert til x(k + 1) = Φx(k) + v(k), (20) y(k) = Dx(k) + w(k). (21) Anta at det er n prosesstilstander i modellen, s pådrag og l målinger. a. (10 p) Forklar hva de ulike symbolene (det vil si matriser og vektorer) i ligningene ovenfor er og hvilken dimensjon de har. Nå skal dere forklar hvorfor en kan forenkle slik en har gjort fra ligningene (18) og (19) til ligningene (20) og (21). Endringene er i punkt b til e nedenfor. b. (1 p) Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D. c. (2 p) Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). d. (1 p) Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. e. (1 p) E(k) har blitt satt til null. f. (4 p) Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til støy for utledning av Kalman-filter. g. (1 p) Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til initialtilstand for utledning av Kalman-filter. Kalmanfilteret sies å være en rekursiv optimal tilstandsestimator. Det er lineært, forventningsrett og har minimum varians. Hva mener en i denne sammenheng med h. (2 p) rekursiv, i. (2 p) optimal, j. (2 p) lineær, k. (2 p) forventningsrett l. (2 p) og minimum varians. 6
Oppgave 3 En generell modellen brukt for minste kvadraters metode (Least Squares) ofte forkortet LS, er y(k) = φ T (k)θ + e(k), (22) LS-estimatet av parametrene finnes med ˆΘ(k) = [Φ T (k)φ(k)] 1 Φ T (k)y (k). (23) Vi skal nå estimere en enkel parameter med LS-metoden, og vi kan gjøre det så enkelt at vi måler parameteren direkte. Det er likevel målestøy. Vi måler nå følgende tre verdier for den ukjente parameteren: 26, 25, 30. a. (6 p) Sett opp ligningssytemet for LS-estimatet. b. (4 p) Løs ligningssytemet. Hva bli LS-estimatet? RLS med glemmefaktor kan implementeres med følgende ligninger 1. Ved tidssteg k har en P (k 1) og ˆΘ(k 1) fra forrige tidssteg (eller initielle verder for disse). En får nå ny måling y(k) og grunnlag for å danne ny datavektor φ(k). 2. Beregner K(k) med K(k) = 3. Beregner estimeringsfeilen ɛ(k) med P (k 1) φ(k) φ T (k) P (k 1) φ(k) + λ 4. Oppdaterer parameterestimatet ˆΘ(k) med 5. Oppdaterer P (k) med 6. Øker k og går til punkt 1. (24) ɛ(k) = y(k) φ T (k) ˆΘ(k 1), (25) ˆΘ(k) = ˆΘ(k 1) + K(k)ɛ(k). (26) P (k) = [I K(k)φ T (k)]λ 1 P (k 1) (27) Vi skal nå gjennomføre et steg av RLS-algoritmen, med to ulike verdier for glemmefaktoren. For verdier for P (k 1) og ˆΘ(k 1) kan det være litt usikkert kva en skal bruke. Her velger vi å bruke P (k 1) = 0.05, det svarer til stasjonærverdien for P (k) hvis en har λ = 0.95. For parameterestimatet bruker vi ˆΘ(k 1) = 26. Målingen i steg k er y(k) = 28. c. (2 p) Bruk λ = 0.98 og finn ˆΘ(k) og P (k). d. (2 p) Bruk λ = 0.9 og finn ˆΘ(k) og P (k). e. (2 p) Kommenter forskjellen mellom resultatene for ˆΘ(k) i 3c og 3d, prøv å forklare hvorfor de blir som de blir. f. (2 p) Vis at stasjonærverdien for P (k) er P s (k) = 1 λ når λ < 1. g. (2 p) Vis at stasjonærverdien for K(k) er K s (k) = 1 λ når λ < 1. 7