Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.
REA2024 - R2 Vår - 21.05.2012 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver IV V Del 1 Oppgave 1 1 a)............................................ 1 b)............................................ 1 c)............................................ 1 Oppgave 2 1 a)............................................ 1 b)............................................ 1 Oppgave 3 1 a)............................................ 1 b)............................................ 1 Oppgave 4 2 Oppgave 5 2 a)............................................ 2 b)............................................ 2 c)............................................ 2 Oppgave 6 3 Oppgave 7 3 Del 2 Oppgave 1 4 a)............................................ 4 b)............................................ 4 c)............................................ 4 Oppgave 2 4 a)............................................ 4 b)............................................ 4 c)............................................ 4 II
REA2024 - R2 Vår - 21.05.2012 Oppgave 3 5 a)............................................ 5 b)............................................ 5 c)............................................ 5 d)............................................ 5 Oppgave 4 5 a)............................................ 5 b)............................................ 5 c)............................................ 5 Oppgave 5 6 a)............................................ 6 b)............................................ 6 c)............................................ 6 Oppgave 6 6 a)............................................ 7 b)............................................ 7 c)............................................ 7 III
REA2024 - R2 Vår - 21.05.2012 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 1 Del 2 Sum 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4 5a 5b 1 1 2 2 2 2 2 3 1 2 24 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 36 4a 4b 4c 5a 5b 5c 6a 6b 6c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Totalt antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 1205 besvarelser: Karakter 1 2 3 4 5 6 Prosent [%] 10.8 15.9 21.2 20.2 25.1 6.9 Gjennomsnittet av de 1205 besvarelsene er 3.5. Karaktergrenser Karakter 1 2 3 4 5 6 I Poeng 12 24 35 45 56 I prosent 20 40 58 75 93 Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen En stort sett grei eksamen. Oppgavene på del 1 var kreative, og arbeidsmengden var passelig. Arbeidsmengden på del to var forholdsvis høy. Dog var de fleste oppgavene av normal vanskelighetsgrad. Noen vil antakeligvis ha problemer med geometrioppgaven og siste deloppgave på oppgaven med flyet. Forhåndssensur din mor liker små barn IV
REA2024 - R2 Vår - 21.05.2012 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) f (x) = 3 sin x. b) g (x) = 6π cos(πx). c) h (x) = 3e 2x [2 sin(3x) + 3 cos(3x) ]. Oppgave 2 a) log x 2 4 + C. b) Vis at oppgave. Oppgave 3 a) AB AC = ( 1, 1 4). b) AB AC = 0, og arealet er ABC = 3/ 2 2.12. Oppgave 4??) y = 2 e 3x2. Oppgave 5 a 16 = 31 og S 16 = 256 = 16 2. a n = 2n 1 og S n = n 2. S n > 400 n > 20. Oppgave 6 Figur Oppgave 7??) InduksjonsBevis Oppgave 1 a) Forklar at oppgave b) Vis at oppgave c) lim t y(t) = 160. Oppgave 2 a) Figur b) Lokalt toppunkt (0, 0), Lokalt toppunkt (4π, 0) Globalt toppunkt (π/2, 3.8687), Globalt bunnpunkt (5π/2, 0.1672). ( c) 12 1 + e π/2) 2 13.059 Oppgave 3 a) ABD = 15/2 = 7.5 b) α := 4x + 3z 12 c) Minste avstand d = 12 5 d) Vinkelen blir θ = arccos(9/25) 68.90 Oppgave 4 V
REA2024 - R2 Vår - 21.05.2012 a) C(2, 5) og y(x) = 0.5 5x + 0 b) 10π/3 10.47 c) 8π 3 8.38 Oppgave 5 a) O(v) = 2D cos v + 2D sin v og A(v) = D 2 cos v sin v = D2 2 sin(2v) b) Maks omkrets 2 2D c) Maks areal D 2 /2. Oppgave 6 a) Summen av rekken er A. b) Forklar at c) Forklar at. Omkretsen av trekanten går mot uendelig. VI
Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f(x) = 3 cos x b) g(x) = 6 sin(πx) + 7 c) h(x) = 3e 2x sin(3x) Oppgave 2 (4 poeng) Bestem integralet a) variabelskifte 2x x 2 4 ved å bruke b) delbrøkoppspalting Oppgave 3 (4 poeng) Punktene A(1, 1, 0), B(3, 1, 1) og C(0, 0, 0) er gitt. a) Bestem AB AC. Bruk resultatet til å betemme arealet av ABC b) Bestem AB AC. Bruk blant annet dette resultatet til å betemme arealet av ABC 1 av 8
REA2024 - R2 Del 1 Vår - 21.05.2012 z D O C y x A B Figur 1 Oppgave 4 (4 poeng) Løs differensiallikningen y = 6xy når y(0) = 2 Oppgave 5 (4 poeng) En rekke er gitt ved Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +... + a n a) Bestem a 16 og S 16. b) Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for a n og S n. c) Bestem hvor mange ledd rekken minst må ha for at S n > 400. 2 av 8
REA2024 - R2 Del 1 Vår - 21.05.2012 Oppgave 6 (4 poeng) Følgende informasjon er gitt om en kontinuerlig funksjon f. f(x) > 0 for alle x R f (x) < 0 for x, 2 2, f (x) = 0 for x = 2 og for x = 2. f (x) = 0 for x = 1 og for x = 2 Lag en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Oppgave 7 (4 poeng) Bruk induksjon til å bevise påstanden P (n) = a + ak + ak 2 + ak 3 +... + ak n 1 = a k n 1 k 1, n N 3 av 8
Del 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) En pasienten får 8 ml av en medisin hver time. Den totale mengden medisin i kroppen t timer etter at medisineringen har startet, er y(t) ml. I løpet av en time skiller kroppen ut 5 % av den totale medisinmengden. a) Forklar at y = 8 0.05y b) Vis at y(t) = 160 + 160e 0.05t når y(0) = 0. c) Bestem lim t y(t). Kommenter svaret. Oppgave 2 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 12e 0.5x sin(0.5x), x [ 0, 4 ] a) Tegn grafen til f b) Bestem eventuelle topp og bunnpunkter på grafen til f. c) Bestem arealet som er begrenset til f og x-aksen. 4 av 8
REA2024 - R2 Del 2 Vår - 21.05.2012 Oppgave 3 (8 poeng) Skissen nedenfor viser en pyramide OABCD som er plassert i et romkoordinatsystem. Hjørnene i pyramiden er O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 3, 0), C(0, 3, 0) og D(0, 0, 4). a) Bestem ved regning arealet av sideflaten ABD i pyramiden. b) Sideflaten ABD ligger i et plan α. Vis ved regning at planet α har likningen 4x + 3z 12 = 0 c) Bestem avstanden fra punktet O til planet α. d) Bestem ved regning vinkelen mellom de to planene som sideflatene ABD og BCD ligger i. Oppgave 4 (6 poeng) Figuren nedenfor viser en sirkelsektor OBC der C ligger i første kvadrant. Buen > BC er en del av sirkelen med likning x 2 + y 2 = 9. Punktet A har koordinatene (2, 0) og OAC = 90. y C F 1 F 2 O A B x Figur 2 a) Vis at koordinatene til C er (2, 5). Bestem likningen for den rette linjen gjennom O og C. b) Når flatestykket F 1 ( OAC) dreies 360 om x-aksen, får vi en kjegle. Bestem volumet av denne kjeglen ved hjelp av integralregning. c) Når flatestykket F 2 dreies 360 om x-aksen, får vi et kulesegment. Bestem volmet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralregning. 5 av 8
REA2024 - R2 Del 2 Vår - 21.05.2012 Oppgave 5 (6 poeng) På figuren er et rektangel med sider x og y innskrevet i en sirkel. Sirkelen har diameteren D. v er vinkelen mellom x og D- D y v x Figur 3 a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrives som O(v) = 2D cos v + 2D sin v Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet. b) Bruk O (v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D. c) Bruk A (v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er et kvadrat. Bestem det største areaet av rektangelet uttrykt ved diameteren D. Oppgave 6 (6 poeng) Sierpìnski-trekanten, som har sitt navn etter den polske matematikeren Waclav Franciszek Sierpiński (1882-1969), lages slik: 1. Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal A. Se figur 1. 2. Midpunktet på hver av sidene i trekantene er hvørnene i en hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2. 3. Vi gjentar denne prossesen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3-5 Vi tenker oss at denne prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den gjennomhulledefiguren vi står igjen med kalles Sierpìnski-trekanten. Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken ( 1 A 4 + 3 16 + 9 65 + 27 ) 256 +... 6 av 8
REA2024 - R2 Del 2 Vår - 21.05.2012 Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 5 a) Bestem summen av rekken ovenfor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpìnski-trekanten? b) Sidenene i 1 er lik a. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene i figurene 1-5 ovenfor er henholdsvis 3 3 2 a, 3 9 4 a, 3 27 8 a, og 3 81 16 a, c) Vi gjør prossesen som forklart ( i trinn ) 2 ovenfor n ganger. Forklar at omkretsen av de n 3 svarte trekantene da er lik 3 a 2 Forklar at 3 ( ) n 3 a når n 2 Hva forteller dette om omkretsen til Sierpìnski-trekanten? 7 av 8
REA2024 - R2 Del 2 Vår - 21.05.2012 Denne siden er med hensikt blank. 8 av 8