Aktive antenner for ultrabredbånd-radar til deteksjon av brystkreft

Fys-3921 Mastergradsoppgave i kommunikasjon og mikroelektronikk Aktive antenner for ultrabredbånd-radar til deteksjon av brystkreft Kristoer Ryeng Oktober 2008 Det matematisk-naturvitenskaplige fakultet Institutt for fysikk og teknologi Nordlysobservatoriet Universitetet i Tromsø, 9037 Tromsø

Sammendrag Motivasjonen for denne oppgaven er en aktiv, smertefri og ufarlig metode for deteksjon av brystkreft ved bruk av ultrabredbånd mikrobølgeradar. Montering av lavstøyforsterker direkte etter mottakerantennen har en positiv eekt på signal-til-støyforholdet i radar-systemet, og en vesentlig del av oppgaven er å måle lavstøyforsterkeren gir. Grunnleggende teori om mikrobølger, antenner, forsterkere, støy og ultrabredbåndssystemer presenteres. Målesystemet som benyttes blir delvis karakterisert og tre radarsystemer blir presentert, monostatisk radar, bistatisk radar og bistatisk radar med tilkoplet lavstøyforsterker. De tre radarsystemene og deres evne til å detektere metalliske plan- og kulere- ektorer ble så målt og vurdert. Alle radarsystemene detekterte planreektoren på 37x40mm, men bare det monostatiske systemet klarte å detektere kulereektoren med radius 15mm. Det skyldes blant annet at de bistatiske systemene har lenger signalvei, og en omfattende justering av systemene bør utføres for å redusere denne. Monteringen av aktivt element kk mindre eekt enn forventet, trolig fordi cross-talk mellom sender- og mottakerantenne var så stor at forsterkeren gikk i metning. Det kan i såfall kompenseres med å sende mindre eekt, men vil ikke være en ideell løsning. Til tross for dette, er tilsynelatende faseinformasjonen i signalet beholdt, slik at man har fått resultater av målingene som er gjort med forsterkeren. Det skal dog ikke utelukkes at man fått større utbytte dersom forsterkeren hadde operert i sitt egentlige operasjonsområde. i

Forord Arbeidet med denne mastergradsoppgaven har vært utfordrende og krevende, men samtidig spennende og givende, og har dannet et solid fundament for min videre karriere. Jeg ønsker å takke mine veiledere dr. Yngve Birkelund og professor Svein Jacobsen for et godt samarbeid, og god hjelp når ting har gått i stå. Det har vært meget god hjelp å hente både praktisk og teoretisk, og de skal begge ha en stor del av æren for dette arbeidet som er gjort. Jeg kan trygt si at uten Yngve og Svein hadde jeg ikke vært der jeg er i dag. Stor takk til min kone Aina, som har gitt uvurderlig støtte og oppmuntring når jeg har trengt det mest gjennom hele studiet. Takk fortjener også Karl Magnus Fossan og Øystein Klemetsen, som begge har hjulpet meg ere ganger, og har bidratt gjennom diskusjon og reeksjon. Kristoer Ryeng Tromsø, 1. oktober 2008 iii

Innhold Sammendrag Forord i iii Introduksjon 1 1 Teori 5 1.1 Transmisjonslinjeteori....................... 5 1.2 Antenneteori........................... 9 1.3 Forsterkning............................ 13 1.4 Støy i mikrobølgesystemer.................... 17 1.5 Lavstøyforsterkere......................... 24 1.6 Ultrabredbåndssystemer..................... 25 2 Metoder 27 2.1 Karakterisering av målesystemet................. 27 2.2 Radarmålinger.......................... 32 3 Måleresultater og diskusjon 35 3.1 Karakterisering av målesystemet................. 35 3.2 Radarmålinger.......................... 45 4 Konklusjon 79 A Datablader 83 B Programvare 87 v

Introduksjon Dette er en oppgave om aktive ultrabredbåndssystemer (UWB-systemer) og anvendelser innen medisinsk mikrobølgeteknikk. Antennekonstruksjonen er et særdeles viktig moment i UWB-systemer, og denne oppgaven skal vise eekten man får ved å sette en lavstøysforsterker direkte etter antennen i en bistatisk UWB-radar. Ultrabredbåndssystemer har blitt populære til mange anvendelser. Kommunikasjon, både i nær og fjernfeltet, er trolig det dominerende forskningsfeltet innen UWB [1], men UWB benyttes også i radarsystemer [2, 3] og har ere fordeler som viser seg fordelaktige innen medisin. Brystkreft (cancer mammae) er som de este krefttyper ukontrollert celledeling forårsaket av mutasjon av cellegenene som kontrollerer vekst og celledeling. Det er langt fra alle muterte celler som leder til kreft, da kroppens immunforsvar tar hånd om de este. Et stort antall av de muterte cellene har lavere overlevelsesevne enn de normale cellene og dør, mens mange muterte celler har normale kontrollfunksjoner i behold, slik at de ikke vokser ukontrollert. Det må dessuten være en opphopning av unormale celler i samme område for å skape kreft [4]. Det er mange potensielle kilder til disse mutasjonene, og blant de mest kjente er ioniserende stråling, som røntgenstråling, gammastråling og partikkelstråling fra radioaktive kilder. Ioner som dannes i vev er svært reaktive, og kan ødelegge DNA-trådene i cellene, med påfølgende mutasjoner. Ultra- olett lys kan gjøre enkelte personer mer disponert for kreft. Visse kjemiske stoer (carcinogener) øker muligheten for mutasjoner. Fysiske irritasjoner i vev har vist seg å kunne lede til kreft. Skaden på vevet fører til hurtig mitose og cytokinese (ledd i celledelingen) for å erstatte de ødelagte cellene, og jo hurtigere mitosen foregår jo større er sjansen for mutasjon i de nye cellene. Laboratorieundersøkelser på dyr har vist at enkelte virusinfeksjoner kan forårsake kreft. Forskning viser dessuten at de este krefttyper krever ikke bare én mutasjon, men to eller ere. Enkelte familier er overdisponert for kreftutvikling, og dette tyder på at det har forekommet en mutasjon i tidligere slektsledd, som har blitt brakt videre, og gjentatte mutasjoner har utviklet seg til kreft [4]. Forskning utført med mammogra-screening ved Universitetet i Oslo og NTNU viser at gjennomsnittstiden en tumor trengte for å fordoble størrelsen fra 10mm til 20mm i diameter, var 1.7 år. Undersøkelsene viste også at 5% av de undersøkte tumorene fordoblet størrelsen på mindre enn 36 dager, mens 5% brukte mer enn 6.3 år, og vekstratene var sterkt avhengig av alder. Evnen til å detektere en tumor i målingene (sensitiviteten) ble estimert å øke 1

dramatisk med størrelsen på tumoren, økning fra 26% ved 5mm til 91% ved 10mm diameter [5]. Tidlig deteksjon og behandling er nøkkelfaktorer for å berge livet og livskvaliteten til pasienter med brystkreft (cancer mammae). Per i dag er røntgen-mammogra den dominerende teknikken for å oppdage tumorer i brystet, sammen med selvundersøkelse av brystene [6, 7]. Det er estimert at mammogra reduserer brystkreft-relaterte dødsfall med 20-30% [8]. Disse undersøkelsene har blitt kritisert, og noe av kritikken går ut på at det er vanskelig å måle forbedringer i dødelighet som følge av undersøkelser. Tall før og etter man begynte med undersøkelser gir dog en indikasjon, og studier av disse tallene antyder at mammogra har redusert antall dødsfall som følge av brystkreft. I 2001 publiserte The Lancet en kontroversiell artikkel som påstod [9]: (...) there is no reliable evidence that screening for breast cancer reduces mortality. Samme år konkluderer Cochrane Collaboration [10]: (...) for every 2000 women invited for screening throughout 10 years, one will have her life prolonged. In addition, 10 healthy women, who would not have been diagnosed if there had not been screening, will be diagnosed as breast cancer patients and will be treated unnecessarily. It is thus not clear whether screening does more good than harm. Falske positiver er et stort problem ved mammogra som undersøkelsesmetode for brystkreft. UK Million Woman Study indikerte at av over 978000 mammogrammer, ble 7.2% kvinner bli tilbakekalt for nærmere undersøkelser [11]. Det vil kreves re biopsier (celle- eller vevsprøver) for å diagnostisere ett tilfelle av kreft, noe som medfører store økonomiske kostnader såvel som den psykologiske belastningen man påfører kvinnene. Et prøveprosjekt ble startet i Akershus, Hordaland, Oslo og Rogaland i 1995/96, og i 2000 viste undersøkelsene at 4.2% av omlag 127000 kvinner som ble undersøkt kk kreftutslag i mammograundersøkelsen. Det er forholdsvis stor forskjell mellom de to undersøkelsene, Deteksjonsraten var 0.67%, altså at 67 av 10000 kvinner som ble undersøkt kk diagnosen brystkreft [12]. Falske negativer er på sin side et like stort problem, spesielt siden tidlig behandling er viktig for en vellykket behandling. Undersøkelser viser at mellom 5 og 35% av mammograundersøkelsene kan gi negativt utslag til tross for at kvinnen hadde tegn på brystkreft [13, 14]. Det er rapportert om at mammograundersøkelser kan gi feil resultat, enten falsk positiv eller falsk negativ, i så mye som 75% av enkelte undersøkelser [15]. Det er dog verdt å merke seg at dette er worst case, ikke gjennomsnittstall. I tillegg til nokså lav spesisitet og sensitivitet, har mammogra ytterligere svakheter. Mange pasienter opplever smerte under undersøkelsen som følge av brystkompresjon [16]. Det er også en viss strålingsfare forbundet med mammogra da metoden baserer seg på røntgenstråling som er ioniserende av natur, og enkelte grupper er mer utsatt for kreftfare som følge av 2

stråling [17]. Mammogra har også mindre nytteverdi for deteksjon av brystkreft hos unge kvinner fordi brystvevstettheten er høyere for denne gruppen, og metoden må derfor alltid suppleres med ultralydsundersøkelse [18]. En annen teknikk som benyttes i dag er magnetisk resonansavbildning (MRI). Denne metoden har vist seg å være 27-36% mer sensitiv for deteksjon av kreftceller enn mammogra, men den er samtidig mindre spesikk da den har ere falske positive utslag for kreft [19]. Infrarød termogra, nær-infrarød optisk avbildning, positronemisjonstomogra (PET), elektrisk impedansavbildning, scintigrask metode og mikrobølgeradiometri er andre teknikker som brukes i større eller mindre grad. Ultralyd brukes som en tilleggsundersøkelse der mammogra ikke gir tilstrekkelig sikkerhet. Avbildningsteknikker er nyttige for å bestemme tilstedeværelsen av metastatiske sykdommer, men de brukes ikke til diagnostisering. Bare mikroskopisk evaluering av biopsier kan gi en kreftdiagnose. Ultrabredbånds mikrobølgeradar for deteksjon av brystkreft er en lovende metode for deteksjon av brystkreft på et tidlig stadium. Ved å benytte frekvenser mellom 1 og 10Ghz i et aktivt radarsystem, utnytter man at ondartede tumorer og det omliggende brystvevet har signikant dielektrisk kontrast i mikrobølgeområdet [20, 21]. Forsøk har antydet en penetreringsdybde på 7.5cm for UWB-radar med båndbredde 2-10GHz [22]. Lavere frekvenser skal teoretisk øke denne dybden [23]. Selv om aktiv mikrobølgeavbildning ikke tilbyr høyere romlig oppløsning enn røntgenmammogra, har denne metoden potensiale til å tilby høyere sensitivitet og spesisitet. Dessuten er ikke mikrobølgeavbildning ioniserende eller invasiv, og krever ikke kompresjon av brystet. Teknikken medfører derfor mindre smerte, og faren for utvikling av kreft som følge av undersøkelsen er mye mindre enn for mammogra. Begrepet aktive antenner innebærer at det er en forsterker tett på antennen, slik at man kan få et signal som er mer robust mot støypåvirkning senere i systemet, selv om signal-til-støyforholdet er svært lavt[23]. Denne mastergradsoppgaven dreier seg om forbedring av signalet fra antennene som ble laget i prosjektoppgaven [24], mens det i prosjektoppgaven ble fokusert på den praktiske produksjonen av antennene. To lavstøysforsterkere er kjøpt inn, én som er en selvstendig komponent og én som har avtakbare SMA-konnektorer, slik at man kan lodde den direkte på kretskortet. I en eventuell prototype på et ferdig system vil det i høyeste grad være ønskelig, men til denne oppgaven er det fordelaktig å enkelt kunne montere og demontere forsterkeren fra resten av systemet. Mastergradsoppgaven er delt i re. Først kommer en presentasjon av basisteori for arbeidet som er gjort. Deretter kommer et kapittel som presenterer metodikken og måleoppsettet som er brukt, før det kommer et tredje kapittel der måleresultater presenteres og diskuteres. Til slutt kommer konklusjon av arbeidet somer er gjort og motivasjon for videre arbeid. Som vedlegg ligger datablader og informasjon om programvare som er anvendt. 3

Kapittel 1 Teori 1.1 Transmisjonslinjeteori 1.1.1 En enkel modell Anta en enkel modell som i gur 1.1, med en generator med kildeimpedans Z G koplet til en last Z L via en transmisjonslinje Z 0. Da er eekten avlevert til lasten gitt ved eekten til innkommende bølge minus eekten til reektert bølge, som propagerer i motsatt retning relativt til innkommende bølge. Dersom Z L = Z 0, vil den innkommende bølgen absorberes fullstendig i lasten, og det reekteres ingen bølge. Dersom Z L Z 0, vil en større eller mindre del av den innkommende bølgen reekteres tilbake, gitt at transmisjonslinjen ikke består av en kvartbølgetransformator. Når en bølge propagerer i en tapsfri transmisjonslinje, er de generelle løsningene for spenningen og strømmen for et punkt z gitt ved V (z) = V 0 + e jβz + V0 e jβz, (1.1) I(z) = V 0 + e jβz + V 0 e jβz, (1.2) Z 0 Z 0 der β = 2π/λ, og V + 0 og V 0 er henholdsvis innkommende og reektert spenning i ved et gitt referanseplan [23]. En kvartbølgetransformator er en transmisjonslinje med en lengde på en kvart bølgelengde for en gitt frekvens, og vil sørge for perfekt impedanstilpasning for bølger med denne frekvensen og dens odde multipler. Bølger med andre frekvenser vil være mistilpasset. En kvartbølgetransformator er vist i Figur 1.1: Modell av transmisjonslinje 5

Figur 1.2: Kvartbølgetransformator for impedanstilpasning gur 1.2. For å gi Γ = 0 må Z inn = Z 0, som igjen medfører at den karakteristiske impedansen Z 1 er gitt som [23] Z 1 = Z 0 R L. (1.3) 1.1.2 To-portsnettverk Et to-portsnettverk (se gur 1.3) har typisk én inngang og én utgang. For et to-portsnettverk deneres reeksjonskoesienten Γ som forholdet mellom reektert og innkommende bølge: Γ = reektert bølge innkommende bølge (1.4) Γ L = a 2 b 2 = Z L Z 0 Z L + Z 0, (1.5) Γ G = a 1 b 1 = Z G Z 0 Z G + Z 0, (1.6) Γ inn = b 1 a 1 = Z inn Z 0 Z inn + Z 0, (1.7) Γ ut = b 2 a 2 = Z ut Z 0 Z ut + Z 0. (1.8) Γ L er forholdet mellom bølgen som reekteres fra lasten til to-portsnettverket og bølgen avlevert til lasten. Γ G angir forholdet mellom bølgen som avleveres fra generatoren og bølgen som reekteres tilbake til generatoren fra nettverket når den er tilkoplet. Γ inn er forholdet mellom bølgen som reekteres fra nettverket og bølgen som går inn i nettverket, mens Γ ut er forholdet mellom bølgen avlevert fra nettverket og bølgen reektert fra lasten. Hver port, i, har to tilknyttede noder, a i som er amplituden på bølgen som ankommer port i, og b i som er amplituden på bølgen som reekteres fra port i. 6

Figur 1.3: Toportsnettverk Figur 1.4: N-portsnettverk med forskjellig karakteristisk impedans 1.1.3 N-portsnettverk og S-matrisen Et nettverk med mer enn to porter vil være fullstendig karakterisert av spredningsmatrisen S, eller S-matrisen som den gjerne også kalles, hvor hvert matriseelement kalles for en spredningsparameter. Spredningsparametrene er et verktøy for beregning av ustabilitet, inngangs- og utgangsimpedanser, maksimal forsterkning og overføringsforsterkning i mikrobølgekomponenter som for eksempel lavstøyforsterkere (LNA). Gitt ett N-ports nettverk som vist i gur 1.4 der hver port i har en karakteristisk impedans Z 0i, inngående spenning V i +. Da kan man denere oss et sett med bølgeamplituder som V i a i = V + i / b i = V i / og reektert spenning Z 0i, (1.9) Z 0i. (1.10) Den generelle spredningsmatrisen S vil da relatere de inngående og re- ekterte bølgevektorene som b = Sa, (1.11) 7

hvor spredningsparametrene S ij for port i og j er gitt ved S ij = V i V + j Z0j (1.12) Z0i V + k =0,k j og a og b er vektorer med alle verdiene for a i og b i. I mange tilfeller vil den karakteristiske impedansen være lik på alle porter. Da forenkles likning 1.12 til S ij = V i V + j V + k =0,k j. (1.13) Den store fordelen med spredningsmatrisen er at den enkelt kan bestemmes ved hjelp av en nettverksanalysator. Da terminerer man de portene man ikke måler på med en bredbåndet last, og måler to og to porter. Spredningsmatrisen er generelt frekvensavhengig, slik at man må lese av verdier eller plotte grafer for det aktuelle frekvensområdet. 8

1.2 Antenneteori I denne delen vil de viktigste antennekarakteristikkene som man trenger for å beskrive egenskapene til en antenne forklares. Dette inkluderer strålingsmønster, direktivitet, impedansbåndbredde, forsterkning og eektivitet. Kjenner man disse egenskapene, vil man lettere kunne velge riktig antenne til riktig formål. 1.2.1 Strålingsmønster Strålingsmønsteret er viktig, fordi det forteller en i hvilke retninger man kan forvente oss å nne signal fra antennen, og er dermed et hjelpemiddel i å velge riktig antenne til gitt bruk. IEEE denerer antennestrålingsmønster slik [25]: A mathematical function or a graphical representation of the radiation properties of the antenna as a function of space coordinates. De skriver videre at i de este tilfeller, bestemmes strålingsmønsteret i fjernfeltet, og er representert som en funksjon av retningskoordinater. Strålingsegenskaper inkluderer eektukstetthet, strålingsintensitet, feltstyrke, direktivitet, fase eller polarisasjon. Dette prosjektet baserer seg dog på eekter i nærfeltet til antennene, opptil 10 cm fra antennen. Tredimensjonale strålingsmønstre er målt i et sfærisk koordinatsystem og indikerer relativ styrke på utstrålt eekt i fjernfeltsfæren som omringer antennen. I et sfærisk koordinatsystem er elevasjonsplanet vanligvis x-z-planet (måling av θ mens φ = 0 ), mens x-y-planet (måling av φ mens θ = 90 ) indikerer planet for azimut (vinkelen langs horisonten i horisontalkoordinater). Elevasjonsplanet vil typisk inneholde den elektriske feltvektoren (E-planet), mens azimut-planet vil inneholde den magnetiske feltvektoren (H-planet). I gur 1.5 ser man det tredimensjonale strålingsmønsteret til en dipol-antenne, som minner om en torus. Dette blir i mange sammenhenger regnet som en omnidireksjonell antenne, selv om en helt omnidireksjonell antenne ikke vil ha nullpunkter i z-retningen. Dipolantennen vil ikke stråle i det hele tatt i z- retning. Generelt trengs det mange todimensjonale strålingsdiagrammer for å få et komplett bilde av det tredimensjonale strålingsmønsteret. De to viktigste målingene er likevel strålingsmønsteret til E-planet og H-planet, som man også ser i gur 1.5. 1.2.2 Impedansbåndbredde Impedansbåndbredde er et mål for hvilket frekvensområde antennen er tilstrekkelig tilpasset til inngangslinjen, slik at mindre enn 10% av innkommende signal går tapt pga reeksjoner [27]. Reeksjoner er bestemt av en reeksjonskoesient, Γ (se likning 1.8), som er en relasjon mellom linjeimpedans og lastimpedans. Lasten i dette tilfellet er antennen, som igjen er lastet mot kroppsvev. Siden det opereres med stor båndbredde, lar det seg ikke gjøre å ha en perfekt tilpasset linje/last til en hver tid. Det faktum at kroppsvev ikke har lik permittivitet, bidrar også til mistilpasning mellom antennen og resten av systemet for enkelte frekvenser, og hvilke frekvenser som er tilpasset vil 9

Figur 1.5: Strålingsmønster til dipolantenne. [26] variere med hvor på kroppen det blir målt, og til en viss grad hvem man måler på. Brystvev på unge kvinner vil ha en annen karakteristikk enn på eldre kvinner. Reeksjonskoesienten Γ ble i seksjon 1.1.2 denert som Γ = V 0 V 0 + = Z L Z 0 Z L + Z 0 (1.14) der Z 0 og Z L er henholdsvis transmisjonslinjeimpedansen og lastimpedansen. I dette prosjektet vil kroppsvev være last for antennen, som igjen er last for transmisjonslinjen inn på antennen. Reeksjonskoesienten Γ er ekvivalent med S 11 -parameteren i spredningsmatrisen. Perfekt impedanstilpasning vil gi Γ = 0, mens åpen og kortsluttet krets gir henholdsvis Γ = 1 og Γ = 1. Alle komponenter i en mikrobølgekrets må være impedanstilpasset for å ikke få reeksjoner, så antennen må være tilpasset til både transmisjonslinjen og kroppsvevet. Spenningen og strømmen gjennom transmisjonslinjen som en funksjon av avstand fra lasten er gitt som [23] V (z) = V 0 + e jβz + V 0 + e jβz, (1.15) I(z) = V 0 + e jβz + V 0 + e jβz, (1.16) Z 0 Z 0 der β = 2π. λ Reeksjon på terminalene til antennen er hovedproblemet knyttet til impedanstilpasning, og som tidligere nevnt vil man med en bredbåndet antenne aldri kunne oppnå en helt tilpasset forbindelse, fordi linjeimpedansen er tilnærmet konstant, mens lastimpedansen er frekvensavhengig. Det motiverer til å nne kriterier for tilfredsstillende tilpasning. Tidsmidlet eektyt måler man som oftest langs en transmisjonslinje for å bestemme midlere eekt levert til lasten. Midlere innkommende eekt er gitt som [23] P i,avg = 10 V + 0 2 2Z 0. (1.17)

På samme måte er reektert eekt gitt som [23] V + P r,avg = Γ 2 0 2, (1.18) 2Z 0 mens midlere eekt faktisk levert til last, er gitt som summen av det man sender inn og det som blir reektert: V + 0 2 P avg = 2Z 0 [ 1 Γ 2 ]. (1.19) Siden eekten levert til lasten er proporsjonal med (1 Γ 2 ), kan man regne ut en verdi for Γ som gir oss mindre enn 10% reektert energi. Denne verdien for Γ = 0.3162. Den reekterte energien gir oss stående bølgeeekter. Disse måles av VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), og er også et mål på forholdet mellom maksimal og minimal amplitude på de stående bølgene, gitt av V SW R = V max V min = 1 + Γ 1 Γ. (1.20) Ofte søker man å oppnå VSWR mindre enn 2.0, da dette i mange tilfeller gir en tilstrekkelig impedanstilpasning. Returtap (eng.: return loss), RL, er enda et mål på kvaliteten på impedanstilpasningen og avhenger også av reeksjonskoesienten Γ, eller spredningsparameteren S 11. Det er gitt som [23] RL = 10log S 11 2 db = 20log Γ db. (1.21) Det er god impedanstilpasning dersom RL > 10dB, Γ < 0.3162 og V SW R < 2.0. Dette betyr at S 11 -parameteren må være mindre enn 10dB, og dette vil være kriteriet for en god antenne med tanke på impedanstilpasning videre i prosjektet. 1.2.3 Andre parametre Direktivitet: Direktivitet er denert som forholdet mellom strålingsintensiteten i en gitt retning fra antennen og strålingsintensiteten midlet over alle retninger. Midlere strålingsintensitet er lik total utstrålt eekt dividert på 4π. Dersom retningen ikke er spesisert, er det underforstått at retningen er der det observeres maximum intensitet [25]. Det kan uttrykkes matematisk som D = U max U avg = 4πU max P rad = 4πU max π 2π (1.22) θ=0 φ=0u(θ, φ) sin θdθdφ. Direktivitet er en dimensjonsløs størrelse, og uttrykkes vanligvis i db, som D(dB) = 10 log(d). En antenne som stråler like mye i alle retninger, kaller man en isotropisk eller omnidireksjonell antenne, og det kan enkelt vises at en slik antenne har direktivitet D = 1, eller 0dB [23]. 11

Esiens: Strålingsesiens er et mål på hvor stor andel av innsendt eekt som antennen utstråler, og kan uttrykkes ved η rad = P rad P in = P in P loss P in = 1 P loss P in, (1.23) hvor P rad er eekt utstrålt av antennen, P in er eekt tilført inngangen på antennen og P loss er eekttapet i antennen. Merk at dette eekttapet er ikke som følge av eventuell dårlig tilpasning av antennen, eller polarisasjonsmistilpasning, men utelukkende dissipative tap som følge av konduktiviteten til metallet, eller dielektrisk tap inni antennen [23]. Forsterkning: Antenneforsterkningen (eng.: antenna gain) er denert som produktet mellom direktivitet og esiens: G = η rad D. (1.24) Forsterkningen er følgelig alltid mindre enn eller lik direktiviteten, og uttrykkes vanligvis i db, som G(dB) = 10 log(g) [23]. Half-power beamwidth (HPBW): I et strålingsmønster som inneholder retningen til maximum av en lobe, er vinkelen mellom de to retningene der strålingsintensiteten er halvparten av maximumsverdien denert som halfpower beamwidth, eller halveektsstrålevidde [25]. Polarisasjon: Polarisasjonen til en antenne er denert som polarisasjonen til bølgen sendt av antennen i en gitt retning. Dersom retningen ikke er spesi- sert, antar man at polarisasjonen er polarisasjonen i retningen til maximum forsterkning [25]. 12

Figur 1.6: Toportsnettverk med generelle kilde- og lastimpedanser 1.3 Forsterkning Forsterkning er en av de mest grunnleggende kretsfunksjoner man har i mikrobølgekretser. En forsterker er en toports komponent som får et signal på inngangen og sender ut et tilnærmet likt signal med større amplitude eller eekt på utgangen. Forsterkere har et operasjonsområde der utgang og inngang er lineært avhengige av hverandre. Dette omtales gjerne som dynamisk omfang, som også diskuteres i seksjon 1.4.1. 1.3.1 Forsterkning i et toportsnettverk Betrakt toportsnettverket vist i gur 1.6. Det er ønskelig å utlede uttrykk for tre typer forsterkning ved hjelp av S-parametrene til toportsnettverket og reeksjonskoesientene til kilden og lasten [23]. Eektforsterkning = G = P L /P inn er forholdet mellom eekten avlevert til lasten og eekten levert på inngangen til toportsnettverket. Tilgjengelig forsterkning = G A = P AG /P AL er forholdet mellom maksimal tilgjengelig eekt inn på nettverket og maksimal tilgjengelig eekt avlevert til last. Overføringsforsterkning (eng. transducer gain) = G T = P L /P AL er forholdet mellom eekt levert til lasten og eekt tilgjengelig fra kilden. Disse denisjonene skilles hovedsaklig av måten lasten og kilden er tilpasset til toportskomponenten, og dersom både inngang og utgang er konjugert tilpasset, vil forsterkningen være maksimalisert og G = G A = G T. Ser man på gur 1.6, er reeksjonskoesienten når man ser mot lasten Γ L = Z L Z 0 Z L + Z 0, (1.25) mens reeksjonskoesienten når man ser mot kilden er Γ G = Z G Z 0 Z G + Z 0, (1.26) og Z 0 er den karakteristiske impedansreferansen for S-parametrene til toportsnettverket. 13

Inngangsimpedansen vil generelt sett være mistilpasset med en reeksjonskoesient Γ inn, som kan vises å være lik Γ inn = V 1 V 1 + = S 11 + S 12S 21 Γ L 1 S 22 Γ L = Z inn Z 0 Z inn + Z 0 (1.27) der Z inn er impedansen når man ser på port 1 av det terminerte nettverket. Likeledes er utgangsimpedansen mistilpasset med en reeksjonskoesient Γ ut når man ser mot port 2 og port 1 er terminert av Z G : Spenningsdeling gir at Γ ut = b 2 a 2 = S 22 + S 12S 21 Γ G 1 S 11 Γ G (1.28) Z inn V 1 = V G = a 1 + b 1 = a 1 (1 + Γ inn ) (1.29) Z inn + Z G og med likningene 1.7 og 1.8 kan man nne uttrykk for Z G og Z inn som kan settes inn i likning 1.28. Da kan man nne et uttrykk for a 1 a 1 = V G 2 (1 + Γ G ) (1 Γ G Γ inn ). (1.30) Antas det toppverdier for alle spenninger og likning 1.30 anvendes, vil midlere eekt levert til nettverket være P inn = 1 V + 1 2 (1 Γ inn 2 ) = V G 2 2Z 0 Eekten avlevert til last er 8Z 0 1 Γ G 2 1 Γ G Γ inn 2 (1 Γ inn 2 ) (1.31) P L = b 2 2 2Z 0 (1 Γ L 2 ). (1.32) Da kan man løse ut b 2 fra likning 1.27 og substituere det inn i likning 1.32, noe som gir P L = b 2 2 2Z 0 (1 Γ L 2 ) = a 1 2 S 21 2 (1 Γ L 2 ) 2Z 0 1 Γ L S 22 2 = V G 2 1 Γ G 2 S 21 2 (1 Γ L 2 ) 8Z 0 1 Γ L S 22 2 1 Γ inn Γ G 2 (1.33) der uttrykket for a 1 fra likning 1.30 er innsatt. Da kan eektforsterkningen uttrykes som [23] G = P L P inn = S 21 2 (1 Γ L 2 (1 Γ inn 2 ) 1 S 22 Γ L 2. (1.34) 14

Eekten kilden kan levere, P AG er den maksimale eekten som kan tilføres nettverket, og maksimal eektoverføring oppnås når kilden og nettverket er konjugert tilpasset hverandre, Z inn = Z G. Det gir P AG = P in Γinn =Γ G = V G 2 8Z 0 1 Γ G 2 (1 Γ G 2 ). (1.35) Den maksimale eekten som kan avsettes i lasten er på tilsvarende måte gitt ved P AL = P in Γut=Γ G = V G 2 S 21 2 (1 Γ ut 2 ) 1 Γ G 2 8Z 0 1 Γ uts 22 2 1 Γ inn Γ G 2 Γut=Γ L = V G 2 8Z 0 1 Γ G 2 S 21 2 1 Γ G S 11 2 (1 Γ ut 2 ). (1.36) Da er den tilgjengelige eektforsterkningen gitt ved følgende uttrykk [23] G A = P A G P AL = og overføringsforsterkningen gitt ved S 21 2 (1 Γ G 2 ) 1 Γ G S 11 2 (1 Γ ut 2 ). (1.37) G T = P L P AL = S 21 2 (1 Γ G 2 )(1 Γ L 2 ) 1 Γ G Γ inn 2 1 Γ L S 22 2 (1.38) Dersom komponenten er en lavstøyforsterker, vil S 12 0, og Γ inn = S 11 siden forsterkeren er tilnærmet unidireksjonell. Da vil overføringsforsterkningen for et slik nettverk være gitt som G TU = P L P AL = S 21 2 (1 Γ G 2 )(1 Γ L 2 ) 1 Γ G S 11 2 1 Γ L S 22 2 (1.39) Merk at dersom nettverket er reeksjonsfritt tilpasset, vil likning 1.39 reduseres til G T = S 21 2. Forsterkeren som anvendes i denne oppgaven er impedanstilpasset antennen og nettverkanalysatoren, og det vil være en god tilnærming å bruke det reduserte uttrykket for G TU. 1.3.2 Forsterkning i kaskade Forsterkere må være impedanstilpasset både før og etter den aktive komponenten, og design av forsterkere må ta hensyn til dette. Denne tilpasningen er skissert i gur 1.7 Det er hensiktsmessig å studere overføringsforsterkningen med likning 1.38, og de forskjellige blokkene i gur 1.7 har overføringsforsterkning gitt ved: G G = 1 Γ G 2 1 Γ G Γ inn 2 (1.40) G 0 = S 21 2 (1.41) G L = 1 Γ L 2 1 Γ L S 22 2 (1.42) 15

Figur 1.7: Forsterkning i kaskadekopling Siden forsterkning er multiplikativ, blir da den totale overføringsforsterkningen for hele systemet G T = G G G 0 G L [23]. 1.3.3 Stabilitet Den maksimale unidireksjonelle forsterkningen får man når inngang og utgang er konjugert tilpasset, altså at Γ G = S 11 (1.43) Γ L = S 22 (1.44) Det fører til at likningene 1.41, 1.42 og 1.42 kan skrives som G G,max = G L,max = G T U,max = 1 1 S 11 2 (1.45) 1 1 S 22 2 (1.46) S 21 2 (1 S 22 2 )(1 S 11 2 ) (1.47) Fra likning 1.47 kan man observere at dersom S 11 = 1 eller S 22 = 1, vil maksimal forsterkning være uendelig stor, og det vil være en ustabil situasjon. I situasjoner der S ii > 1 har man en potensiell ustabil situasjon. Når man designer forsterkere er det foretrukket at S 21 S 12, eller aller helst at S 21 S 12. Har kilde- og lastimpedansen positive reelle deler, vil dessuten Γ G og Γ L 1. Dersom Γ inn < 1 og Γ ut < 1 for alle passive kilde- og lastimpedanser, har man en ubetinget stabil situasjon. For unidireksjonelle nettverk betyr det at S 11 = 1 og S 22 = 1. Dersom Γ inn < 1 og Γ ut < 1 kun for et gitt område av kilde- og lastimpedanser, har man en betinget stabil situasjon, da kilde- og lastimpedanser utenfor dette området kan gi ustabile situasjoner [23]. 16