Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen for derivasjon. uv u v uv der u 5 og v cos 5 cos 5 sin 5cos 5 sin 5cos sin f b) g sin u uv uv der u sin og v v v Vi bruker kvotientregelen for derivasjon. cos sin cos sin g Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) 0 e d 0 0 e e e e e e e 0 0 b) e d Vi bruker delvis integrasjon e d e d e e d e e C e C Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side av 9
Oppgave 3 (5 poeng) Gitt punktene A,0,0, B 0,3,0, C 0,0,4 og O 0,0,0. a) Bestem ABAC og ABAC. 0, 3 0, 0 0, 3, 0 AB 0, 0 0, 4 0, 0, 4 AC, 3, 0, 0, 4 AB AC 30 04 4 e ey ez AB AC,3, 0, 0, 4 3 0 0 4 34 00, 4 0, 0 3, 8, 6 b) Bestem volumet av tetraederet ABCO. Volumet V av tetraederet er gitt ved V AB AC AO, 8, 6, 0, 0 80 60 4 4 6 6 6 6 c) Punktene A, B og C ligger i planet. Vis at likningen til planet kan skrives y z 3 4 Vi har at ABAC, 8, 6. Dermed vil, 8, 6 være en normalvektor til planet. a b y y c z z, Likningen for et plan er gitt ved 0 y0 z0 a b c Vi bruker punktet A,0,0 og normalvektoren,8,6, 8y 0 6z 0 0 0 0 0 0 der,, er et punkt i planet og,, er en normalvektor til planet 4 8y 6z 0 4 y z 3 4 for å bestemme likningen for planet. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side av 9
Oppgave 4 (4 poeng) a) En rekke er gitt ved e e e 3 Forklar at dette er en konvergent rekke. Bestem summen av den uendelige rekken. an Vi ser at kvotienten k er konstant. an a e a e a e k e k e e k e e a e a e e a e e 3 3 4 3, og 3 Rekken er geometrisk med kvotient k e. En geometrisk rekke er konvergent når k. I dette tilfellet har vi en konvergent rekke da e a e Summen S av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved S k e e b) En geometrisk rekke er gitt ved 3 e e e Bestem konvergensområdet og summen av rekken. Vi ser at kvotienten k e Vi har at en geometrisk rekke er konvergent når k. I dette tilfellet betyr det at e Vi løser ulikhetene e e 0 0 e e R 0 Vi ser at når 0 er e. Det betyr at rekken konvergerer når 0. Summen av rekken blir e S, 0 e e e Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 3 av 9
Oppgave 5 ( poeng) Antall individer i en populasjon etter t timer kan beskrives av funksjonene Nt. Vi antar at N t 4t 3 og N 0 800 Bestem antall individer i populasjonen etter 0 h. Vi løser likningen ved å integrere 4t 3 4 3 3 N t N t t dt N t t t C Vi bruker at Dermed er N0 800 for å bestemme konstanten C. 800 0 30 C C 800 N t t 3t 800 N 0 0 30 800 N 0 030 Vi finner at det er 030 individer i populasjonen etter 0 timer. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 4 av 9
Oppgave 6 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved 5 f D 4 3, a) Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til f. Vi finner eventuelle vendepunkter ved å løse likningen 5 f f f 0 3 6 og 6 6 6 0 0 4 3 5 f. 8 6 5 3 Vi har vendepunkter i f f 0. 0, f0 0, 0 og i, f, 3 b) Bestem likningen for eventuelle vendetangenter på grafen til f. Vi finner likningen for vendetangentene ved å bruke ettpunktsformelen y f f 5 3 5 5 f0 og f 6 6 4 Vendetangenten i 0, 0 blir 5 y 0 0 5 y Vendetangenten i, 3 blir y 3 y 3 y 8 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 5 av 9
Oppgave 7 (3 poeng) Bruk induksjon til å bevise påstanden n P n :, n 3 3 4 n n n Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis Når n har vi kun et ledd på venstre side. Venstre side Høyre side Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da at Bevis t 3 3 4 t t t Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t t 3 34 t t t t t t t tt t t t t tt tt tt t t 3 34 t t t t t t t t t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 6 av 9
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (4 poeng) Figuren ovenfor viser et trapes ABCD som er innskrevet i en halvsirkel med radius. a) Forklar at arealet til F av trapeset er gitt ved F v cosv sinv Hvilke verdier kan v ha? Vi lar h være høyden i trapeset og finner først arealet av halve trapeset til høyre i figuren ovenfor. h Definisjonene til sinus gir sinv h. Definisjonen til cosinus gir at de parallelle sidene i halve trapeset er gitt ved henholdsvis (den nederste) og cosv (den øverste). cosv Vi bruker arealformelen for trapes og finner sinv cosv sinv cosv sinv Arealet av hele trapeset blir da Vinkel v må ligge i intervallet 0 v da formelen forutsetter positive verdier for cosv. Dessuten er trapeset gitt ved ABCD. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 7 av 9
b) Bestem v ved regning slik at arealet av trapeset blir størst mulig. Bestem arealet av det største trapeset. Vi velger å derivere Fv og finner det største arealet ved å sette Fv 0 Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra med kommandoen Løs[Likning, variabel] Vår vinkel må ligge i intervallet 0 v. Vi ser av løsningen ovenfor at v er eneste vinkelen 3 som ligger i dette intervallet. Vi sjekker at v gir et toppunkt ved å sjekke fortegnet til stigningstallet. 3 Vi ser at Fv har et toppunkt for v. Vi bruker CAS-verktøyet og finner 3 F 3 Det største arealet av trapeset er 3 3 4 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 8 av 9
Oppgave (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved sin sin, 0, 6 f a) Tegn grafen til f. Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen, Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]. b) Bruk grafen til å vise at f er en periodisk funksjon, og bestem perioden til f. Vi bruker kommandoen Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] for å finne toppunktene. Vi ser av grafen ovenfor at avstanden mellom toppunktene med størst utslag fra likevektslinja er. Vi kan også se den samme avstanden mellom toppunktene med minst utslag fra likevektslinja. I tillegg ser vi også at avstanden er mellom nullpunktene som kommer rett før toppunktene med størst utslag. Vi har dermed at perioden p til f er p. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 9 av 9
c) Vis at sin cos f Vi har at f sin sin Vi bruker formelen sinv sinv cosv på sin og får sin sin cos Vi kan da skrive f sin sin cos sin cos d) Bruk uttrykket i oppgave c) til å bestemme nullpunktene til f ved regning når 0,. Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner nullpunktene. Vi skulle bestemme nullpunktene til f når 0,. Løsningen k gir oss løsninger i dette intervallet for k 0, k, k 4 Løsningen k gir oss løsninger i dette intervallet for k som gir 3 3 3 Løsningen k gir oss løsninger i dette intervallet for k 0 som gir 0 3 3 3 4 Vi har dermed løsningene, L 0,,,, 3 3 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 0 av 9
Oppgave 3 (5 poeng) Vi lar K være kapitalen i et fond t år etter første innskudd. Hvert år setter vi inn 0 000 kroner i fondet. Avkastningen i fondet er 8 % per år. Kapitalen i fondet vokser slik differensiallikningen nedenfor viser K t 0,08K t 0000 a) Løs differensiallikningen. Finn et uttrykk for K t når K 0 0 000. Vi løser likningen i CAS-verktøyet i GeoGebra, se nedenfor. Vi finner at den generelle løsningen av likningen er t 5 0,08t K t C e 50 000 Ce 50 000 Vi finner et uttrykk for K t når K 0 0 000 C e 0.080 K 0 0 000 50 000 0 000 C 70 000 0.08t K t 70 000 e 50 000 b) Bestem størrelsen på kapitalen etter 0 år. Vi finner K 0 i CAS Kapitalen er på 087 39 kroner etter 0 år. c) Hvor lang tid vil det gå før fondet øker med 35 000 kroner per år ifølge modellen ovenfor? Løser likningen Kt 35 000 ved å bruke CAS i GeoGebra. I følge denne modellen vil det ta ca. 6 år før kapitalen øker med 35 000 kroner per år. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side av 9
Oppgave 4 (6 poeng) En uendelig, geometrisk rekke er gitt ved S Når,, er S Det kan vises at d d d d a) Forklar at 3 4 3 4 ln C Begrunn at C 0.. Vi har ovenfor at d d d d Vi velger å integrere venstre side (VS) og høyre side (HS). VS: d d d d 3 4 3 3 4 HS: Bruker CAS og integrere d. 3 4 Vi ser at VS HS og har dermed vist at ln C 3 4 Lar vi 0 ser vi at VS bli 0 og HS blir ln 0 C lnc 0 C C. Det gir C 0 for at VS HS Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side av 9
b) Sett inn og vis at ln 3 3 4 4 Vi setter inn i uttrykket fra deloppgave a) og får 3 4 ln 3 4 ln 3 4 3 4 3 4 lnln 3 4 3 4 0 ln 3 4 ln 3 4 3 4 Det generelle leddet i rekken ovenfor er a n. n n Det kan vises at de åtte første desimalene i ln er 0,693478. c) Dersom vi summerer de n første leddene a a an i rekken i oppgave b), får vi en tilnærmingsverdi for ln. Hvor mange ledd må vi minst ta med for at vi skal få 6 korrekte desimaler? Vi har at det generelle leddet i rekken ovenfor er a n. n n n Vi bruker CAS og finner for ulike verdier av n. n n n Vi ser at når n 9, altså 9 ledd, så får vi 6 korrekte desimaler. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 3 av 9
Oppgave 5 (7 poeng) Funksjonene f og g er gitt ved f cos g k, k 0 Skisser av grafene til f og g er tegnet nedenfor. a) Bestem nullpunktene til g uttrykt ved k. Vi bruker CAS og finner nullpunktene til g uttrykt ved k. Vi finner k k Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 4 av 9
b) Bestem k slik at arealene A og A på figurene ovenfor er like store. Vi finner først nullpunktene til f ved å bruke CAS. Av skissen ovenfor ser vi at grafen har nullpunktene Vi finner A og A ved å bruke integralkommandoene i CAS Vi skulle finne når A A, dvs. når 4 3k Vi finner at A A når k 3 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 5 av 9
c) Bruk formelen cos u v cosucos v sinusinv til å vise at cos cos * Vi finner først et uttrykk for cos cos cos cos cos sin sin cos sin Vi bruker enhetsformelen sin ucos u for å finne et uttrykk for sin sin cos Vi har da at cos cos cos cos cos cos cos cos cos Når vi dreier flatestykket med arealet A 360 om -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum V. d) Bruk formelen * i oppgave c) til å bestemme et eksakt uttrykk for V ved regning.. Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegeme, V f d Vi setter h cos cos og bruker CAS. Vi finner at V Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 6 av 9
Oppgave 6 (7 poeng) En rett linje i planet skjærer koordinataksene i Aa, 0 og B0, b. Se skissen nedenfor. a) Vis at likningen til linjen kan skrives b y b a Vi bruker ettpunktsformelen der stigningstallet er y y b 0 b 0 a a b y 0 a a b y b a b) Vis at dette også kan skrives y a b b y b a y b b b ba b b y a b Et plan i rommet skjærer koordinataksene i Aa, 0, 0, B0, b, 0 og C 0, 0, c. c) Vis at normalvektoren til planet er bc, ac, ab,, 0 og, 0, n AB a b AC a c Vi finner AB AC i CAS. Vi har dermed n bc, ac, ba Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 7 av 9
d) Vis at likningen til kan skrives y z a b c Likningen for et plan er gitt ved a by y cz z, der a, b, c er normalvektoren til planet og Vi velger punkt A og finner likningen for planet. bc a ac y 0 ab z 0 0 bc bca acy abz 0 bc bca acy abz 0 abc abc abc abc abc abc a y z 0 a a b c y z a b c e) Planet skjærer -aksen i D 0 5, 0, 0 og y -aksen i E 0, 4, 0. Planet er parallelt med z -aksen., y, z er et punkt i planet. Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d) til å bestemme likningen for planet til. Vi setter inn verdiene for a og b i likningen ovenfor. Vi har fått oppgitt at a5 og b 4. I tillegg vet vi at planet er parallelt med z -aksen. Det betyr jo at planet ikke skjærer z -aksen. y z 5 4 c 0z 4 5y 0 0 c Lar vi c går mot uendelig, så vil leddet 0 z 0, og planet blir tilnærmet parallelt c med z -aksen. Vi lar altså c, da vil leddet 0 z 0 og vi får likningen 4 5 0 c y for planet. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 8 av 9
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA304 Matematikk R høsten 03 Side 9 av 9