HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Eksaensdato: Tirsdag 1.deseber 009 Varighet/eksaenstid: 0900-1400 Enekode: LM005M- Enenavn: Mateatikk 1 Klasse(r): 1E Studiepoeng: 10 Faglærer(e): Kåre jørvik, Telefon: 735 59584 eventuelt 911 77 898 Kontaktperson(ad.)(fylles ut ved behov kun ved kursener) Hjelpeidler: Oppgavesettet består av: Vedlegg består av: Lærebok: Engineering atheatics av nthony roft /flere Forelsaling: Tabeller og forelsaling for ingeniørhøgskolen ase: Regulering av væskenivået i en tank og egen caserapport Kalkulator: Type Notater: erivasjonsregler og differensiallikninger 10 sider, eksklusiv forside, ed 30 flervalgsoppgaver På side 10 finner du svarkupongen so du skal fylle ut. en enkelte student å selv kontrollere at dette steer. Ingen Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter so sitter eksaenstiden ut. Lykke til! Eksaen består av 30 flervalgsoppgaver, 15 fra casen og 15 fra pensu, so skal besvares uten begrunnelse Hver oppgave har fire svaralternativer, kalt,, og u kan også velge å ikke svare på oppgaven Galt svar gir 1 poeng, ubesvart gir 0 poeng og riktig svar gir 3 poeng Skriv dine svar (én bokstav for hvert spørsål) på den vedlagte svarkupongen et er bare svarkupongen so skal innleveres Eksaenssettet og kladden beholder du selv Hvis du vil ha en "gjenpart" av svarkupongen, å du overføre svarene dine til et eget ark
1 1 Fylling av væske i en tank Tanken har et tverrsnittsareal på 0,75. Tanken er to og tappekranen stenges. Tanken 3 fylles opp ed en konstant væskestrø so er lik 0,03 s. Hvor lang tid tar det før væskenivået er blitt 1,00? 30s 5s 15s Tapping av væske fra en tank,5 Tanken har et tverrsnittsareal på 0,75 og ventilkonstanten er 0,0 s. Nivået i tanken er 0,5 før tappekranen åpnes. Hvor lang tid tar det før nivået i tanken er blitt redusert til 0,01? 30s 5s 15s 3 Tapping av væske fra en tank Tanken har et tverrsnittsareal på 0,75 og nivået i tanken er 0,50 før tappekranen åpnes. Hvor stor å ventilkonstanten være for at nivået i tanken skal halveres i løpet av 15 s? 4 Fylling av to tank ed P-regulering Tidskonstanten til systeet: Øker proporsjonalt ed K P Er uavhengig av tverrsnittsarealet Er uavhengig av ønsket nivå r
5 Fylling av to tank ed P-regulering Proporsjonalitetsforsterkningen ved funksjonen: K er satt til 0,05 P 0,t ( ) 0,5 0,5 [ ] s. nta at væskenivået i tanken er gitt x t e. Tverrsnittsarealet til tanken er da lik: 1,00 0,75 0,50 6 Stabilisering av væskenivået ed P-regulering Tanken er fylt opp til ønsket nivå r. Pupa starter opp ed t = 0 og puper ut en konstant volustrø v ut av tanken. a vil nivået i tanken synke. Med hvor stor hastighet synker nivået ed 10 sekunder etter at pupa har startet opp? ruk: 3 0,5, K 0,04, v 0,005 og r 1. P s s 7 Stabilisering av væskenivået ed P-regulering Tanken er fylt opp til ønsket nivå r. Pupa starter opp ed t = 0 og puper ut en konstant volustrø v ut av tanken. a vil nivået i tanken synke. Hvor stort blir det stasjonære avviket ello ønsket nivå r og virkelig nivå x? ruk: 3 0,5, K 0,04, v 0,005 og r 1. P s s 0 0,5 0,15 8 Utledning av differensiallikning ed startbetingelser ed PI - regulering 3 ruk verdiene: 1, KP 0,03 s, Ti 150 s, v 0,005 s og r 1 Karakteristisk likning har løsningene 1 og. I dette tilfellet vil vi få: 1 0,03 1 0,0 1 0,015
3 9 eregning av væskenivået ed PI - regulering 0,005 og 0,0. Ved t = 0 nta at regulatorparaetrene er stilt inn slik at 1 starter pupa opp. Hvor lang tid tar det før nivået i tanken er tilnæret lik ønsket nivå r? 10 eregning av væskenivået ed PI - regulering nta at regulatorparaetrene er stilt inn slik at. Ved t = 0 starter pupa opp. Nivået i tanken vil da få et oscillatorisk innsvingningsforløp so til slutt er lik ønsket nivå r. Hva er periodetiden til innsvingningen (tilnæret)? 11 iensjonering av PI - regulatoren nta at = 1 og K 0,0 P s. Regulatoren skal diensjoneres slik at vi får koplekskonjugerte løsninger til karakteristisk likning, dvs. j. Hva å integraltiden stilles inn på for at : 0,01? 1 Utledning av differensiallikning ed startbetingelser ed PI - regulering 3 ruk verdiene: 1, K 0,4, T 100 s, T 10 s, v 0,005 og r 1 P s i d Nivået er lik r før pupa koples inn. Hastigheten so nivået faller ed like etter at pupa er koplet inn er s
4 13 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. 3 ruk verdiene: 1, K 1, v 0,005 og r 1 P s s Regulatoren skal stilles inn slik at karakteristisk likning får løsningene 0,0 og 0,03 1 erivasjonstiden til regulatoren å da stilles inn på: 19s 4s 100s 14 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. 3 ruk verdiene: 1, K 1, v 0,005 og r 1 P s s Regulatoren skal stilles inn slik at karakteristisk likning får løsningene 0,0 og 0,0 1 Integrasjonstiden til regulatoren å da stilles inn på: 19s 4s 100s 15 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. Regulatoren er i utgangspunktet diensjonert slik so beskrevet i punkt i casen slik at tidskonstantene til det regulerte systeet er like store og lik 0 [s]. En askiningeniør tukler ed regulatoren, og det ender opp ed at han kopler ut integralvirkningen i regulatoren. Proporsjonalitetsforsterkningen og derivasjonstiden er uendret. Tidskonstanten til det regulerte systeet blir da: 3
5 16 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,8 cos 800 t 0,6 sin 800 t [ ] plituden til signalet er 1 0, 1,4 17 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,8 cos 800 t 0,6 sin 800 t [ ] Periodetiden til signalet er 0,8 s 1,5 s,0 s 18 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,8 cos 800 t 0,6 sin 800 t [ ] Signalet i(t) kan også skrives slik: i( t) R cos t Fasen til signalet er 90 53,13 36,87
6 19 Matriser Gitt kretsen: Maskestrøene x [ x, y, z] T kan finnes ved å løse atriselikningen x b. Motstandene er valgt slik at askestrøene kan finnes ved å løse følgende likningssyste: 5 15 10 x U1 15 0 5 y U 10 5 35 z 0 Motstanden R å da ha verdien 15 10 5 0 Matriser Sae krets so i oppgave 19. lle otstandene er lik 15 og begge spenningskildene er lik 10 V. Maskestrøen z er da lik: 0 1 1 1 Matriser Sae krets so i oppgave 19. lle otstandene er på 5 spenningskilden U1 10V Hva å spenningskilden U være for at askestrøen y skal bli 0? U 8V U 5V U 10V.
7 Koplekse tall Gitt kretsen: Kretsen påtrykkes en sinusspenning over kleene. Vinkelfrekvensen til sinusspenningen er 10 rad/s. erso R, 0,05F og L 0,1H, vil ipedansen Z, sett fra kleene -, være lik: Z 1 j Z 1 j Z 1 3 Koplekse tall Sae krets so i oppgave. Koponentverdier og vinkelfrekvensen til den påtrykte sinusspenningen er valgt slik at ipedansen er: Z j 4 1 j 4 Strøen i(t) i kretsen vil da være faseforskyvet i forhold til den påtrykte spenningen. Strøen i(t) ligger: 1,8 etter påtrykt spenning 14,0 etter påtrykt spenning 88, etter påtrykt spenning 4 Koplekse tall Sae krets so i oppgave. Koponentverdier og vinkelfrekvensen til den påtrykte sinusspenningen er valgt slik at ipedansen er: Z j 1 j erso sinusspenningen har en aplitude på V, vil aplituden til den stasjonære strøen i(t) være: 1 0
8 5 erivasjon En RL-krets påtrykkes en likespenning. Strøen i(t) i kretsen er gitt ved: 10 i( t) 10 t e t Funksjonen it () er en ikke- lineær funksjon. erso it () lineariseres okring t = 0, får en følgende lineære funksjon: y10 t y 0 y 10 t 6 erivasjon Gitt likningen: arctan( x) 1 x Likningen skal løses vha. Newton - Raphson sin nueriske etode. erso en benytter startverdien x1 0, vil en etter en iterasjon få: x 0 x 0,5 x 1 7 Integrasjon Gitt det bestete integralet: I 3 0 1 1 x 3 dx Integralet skal løses nuerisk vha. Trapesetoden. erso en deler opp i 3 trapeser får an: I 1,154 I 1 I
9 8 Integrasjon I figuren over er en periodisk funksjon y(t) vist. Gjennosnittsverdien til den periodiske funksjonen er: 4 9 Integrasjon Sae periodiske funksjon so i oppgave 8. Effektivverdien (RMS-verdien) til den periodiske funksjonen er: 4 30 ifferensiallikning En seriekopling av en otstand R og en kondensator påtrykkes en spenning u(t) ved t = 0. Kretsen er energiløs før t = 0. nta at R 100 og 0,01F. Hva blir stasjonær strø i kretsen derso den påtrykte spenningen er gitt ved: u( t) t [ V]?
10 Svarkupong Kandidatnuer: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30