KNEKKING AV STAVER OG BJELKESØYLER

KEKKIG AV STAVER OG BJELKESØYLER 1. KRITISK LAST FOR STAVER (EULERLAST) Knekklengde. Stavens knekklengde L k (L cr ) er gitt ved cr 2 EI L 2 k hvor cr er stavens kristiske last (Eulerlast). For enkle stavsystemer kan knekklengden L L finnes ved k hjelp av hvilket som helst egnet hjelpemiddel. For en rekke vanlig tilfeller kan knekklengden beregnes ut fra basistilfellene De dimensjonsløse parametre og representerer henholdsvis translasjons- og rotasjonsstivheten av de staver som er tilknyttet søylens stavender a og b. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 1 av 29

Translasjons- og rotasjonsstivhet for bjelker Dersom bjelkene også er belastet med aksialkraft må stivhetene k x og k modifiseres. Knekklengdefaktor for stavsystem I og III B! Diagrammene kan håndtere systemer med to uavhengige stivheter. For kombinasjoner med tre stivheter må det brukes skjønn. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 2 av 29

REDUSERT SLAKHET alternativt L i 1 f E f E k y y cr pl, Rk S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 3 av 29

Systemknekking B! Knekklengden L k benyttes kun til å beregne stavens kritiske kraft cr, og er i seg selv uinteressant. Vi ønsker å beregne cr direkte. Kritisk last i systemer med mange staver beregnes ved en numerisk egenverdiberegning. ( KK g ) r 0 K stivhetsmatrise Kg geometriskestivhetsmatrise egenverdi ( proporsjonalitetsfaktor) r vektorav frihetsgrader Systemets knekklast finnes ved å multiplisere den påsatte last med den minste egenverdien min Relative slankhet i for stav "i" i systemet i pl Rk i pl Rk,, i i i cr min i i pl, Rk i cr Beregningsmessig kraft i stav (i) Karakteristisk kapasitet for stav (i) Kritisk kraft i stav (i) - min er en systemverdi som kan være styrt av en enkelt komponent i konstruksjonen. - Vær forsiktig ved overgang fra systemets knekklast til dimensjoneringen av enkeltkomponenter. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 4 av 29

2. STAVKEKKIG (Avsnitt 6.3 Buckling resistance of members) Kapasitetskrav 1,0 b, dimensjonerende aksiakraft b, dim. knekklast (bøyningskn.) Knekklast (bøyningsknekking) b, b, f ya For tverrsnittsklasse 1, 2 og 3 1 f yaeff For tverrsnittsklasse 4 1 χ er reduksjonsfaktor for knekking (knekkingsfaktor). For staver med varierende tverrsnitt (tapered) eller med varierende aksiallast kan en 2. ordens analyse benyttes. Knekkingsfaktor (for =konst, EI=konst) f f k y 1 + 2 2 1 05L1 02 O 2Q P. (. ) formfeilsfaktor Redusert slankhet f A y For tverrsnittsklasse 1, 2 og 3 cr S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 5 av 29

f A y eff For tverrsnittsklasse 4 cr Her er cr stavens kritiske last (Eulerlast) for den aktuelle knekkformen Formfeilfaktor for knekkurver Knekkurve a o a b c d 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76 Knekkurver For redusert slankhet 0,2 er knekkingskontroll unødvendig. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 6 av 29

Valg av knekkurver skjer etter følgende tabell Redusert slankhet for torsjonsknekking f ya T For tverrsnittsklasse 1, 2 og 3 cr S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 7 av 29

f A y eff T For tverrsnittsklasse 4 cr med cr = cr,tf men cr <cr,t cr,t cr,tf elastisk torsjonsknekkraft elastisk torsjons/bøyningsknekkraft Knekkurven bestemmes av tabellen, χ bestemmes som for knekking om z-aksen Knekklengder E 1993-1-1 gir ingen generell informasjon om beregning av knekklengder. Bruk hva man har an enkle metoder eller programmer for systemknekking. For staver av hulprofiler i gitterdragere (BB.1.3) settes knekklengden lik 0,9 ganger systemlengden for knekking både i og ut av planet. Trykkstaver av vinkelprofil (Annex BB.1.2) Forutsatt at profilene har tilstrekkelig fastholding i ende-ne, og at de er festet med minst to skruer kan eksentrisi-tetene i lastinnføringen neglisjeres. Fastholdingen i endene kan tas hensyn ved beregning av slankheten. Dimensjoneringen foretas for en effektiv slankhet eff S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 8 av 29

0,350,7 ff, v v Knekking om v-v aksen 0,350,7 ff, y y Knekking om y-y aksen, 0,350,7 z Knekking om z-z aksen ff z S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 9 av 29

3. BJELKE-SØYLER (Avsnitt 6.3.3 Uniform members in bending and axial force) TEORETISK BAKGRU Ekvivalent formfeil De fleste designmodeller erstatter den virkelige staven (med formavvik, egenspenninger etc) med en virtuell homogen modellstav med samme geometri og tverrsnittsdata, og et ekvivalent formavvik med amplitude e *. e* Formavviket skal ivareta virkningen av egenspenninger, formavvik, variasjon i f y etc, som er innebakt i knekkurvene. odellstavens ekvivalente formfeil e * bestemmes ved at modellstavens aksialkraftkapasitet settes lik knekklasten b, for den virkelige staven, som bestemt fra den relevante knekkurve. Knekkurvene er bestemt fra forsøk og simuleringer av staver med initielle formavvik, egenspenninger og variasjon av f y over tverrsnittet. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 10 av 29

I modellstavens kritiske snitt gir en (plastisk) tverrsnittskontroll med 2. ordens moment følgende kapasitetsligning for en stav uten tverrlast og stavendemomenter. 1 e 1 pl, pl, cr * 1 (1) år staven knekker er (2) b, pl, Ved hjelp av definisjonen 2 pl, cr kan den geometriske forsterkningsfaktoren skrives 1 pl, 1 1 cr cr 1 1 1 2 Innsetting av (2) og (3) i lign. (1) gir etter noe manipulering e 1 1 Wpl A (3) * 2 pl. 1 1 2 pl, Formfeilen * y e og * z e om hhv sterk og svak akse vil være forskjellig. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 11 av 29

Basis for interaksjonskurvene Interaksjonskurvene er basert på en elastisk tverrsnittskontroll for modellstaven belastet med og 2. ordens moment (2). Elastisk spenningskontroll etter 1. ordens teori gir e * max f y A W (4) el Ved bruk av den geometriske forsterkningsfaktoren kan spenningskontrollen etter 2. ordens teori skrives * 1 e 1 fya y 1 f Wel (5) cr Dersom man erstatter den elastiske momentkapasiteten el =f y W el med den plastiske pl =f y W pl 1 e pl, 1 pl, cr * 1 Dette er egentlig en lineær interaksjon mellom pl. og pl,. Det maksimale 1. og 2. ordens moment opptrer ikke nødvendigvis i samme snitt, og man innfører derfor en modifikasjonsfaktor slik at 2. ordens moment kan uttrykkes som C m (6) S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 12 av 29

1 C m e 1 pl, pl, cr * 1 (7) Kapasitetsformler etter S-E 1993-1-1 1 k φ 1 2 2 Figuren viser den konseptuelle modellen for de fleste dimensjoneringsmodeller. På basis av konstruksjonens geometri, randbetingelser og ytre laster bestemmes fordelingen av 1. ordens, V og. Den horisontale bjelken gir vertikalstaven en elastisk rotasjonsfastholdelse med stivhet k φ i toppen, og knekklengde L cr bestemmes. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 13 av 29

Selve kapasitetskontrollen foretas deretter for en leddlagret stav med lengde L cr, og med samme momentfordeling som den virkelige staven. Dersom staven også har momenter om svak akse benyttes samme modell. odellstavens knekklengde L cr om svak akse beregnes, og det 1. ordens moment om denne aksen tilordnes staven. S-E 1993-1-1skiller mellom - staver som ikke er utsatt for torsjons (sirkulære rør, staver som er fastholdt mot torsjon) - staver utsatt for torsjon (åpne tverrsnitt, staver som ikke er fastholdt mot torsjon) For aksialkraft og bi-aksialt moment y, y, z, z, kyy kyz 1 y Rk y, Rk z, Rk (8) LT 1 1 1 y, y, z, z, kzy kzz 1 z Rk y, Rk z, Rk (9) LT 1 1 1 I lign (8) er ekvivalent formavvik satt på om sterk akse, mens lign (9) fås når formavviket virker om svak akse. uligheten for vipping om sterk akse er ivaretatt med reduksjonsfaktoren χ LT Forutsetningen for addisjon av bøyespenningene fra y, og y, er at de maksimale normalspenninger opptrer i samme punkt i tverrsnittet. Dette er tilfellet for I- H- og RHS-profiler, men ikke for sirkulære rør. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 14 av 29

y,, z, Δ y,, Δ y, χ y, χ z λ LT k yy, k yz, k zy, k zz Dimensjonerende aksialkraft aks. dimensjonerende momenter Tilleggsmomenter pga forskyvning av arealsenter i klasse 4 Knekkingsfaktorer for bøyningsknekking Knekkingsfaktor for vipping. λ LT =1,0 når vipping er forhindret Interaksjonsfaktorer y, og y, skal innsettes med sine maksimalverdier. Karakteristisk tverrsnittkapasiteter Rk = f y A i, y,rk = f y W i, Δ z, =f y W z Klasse 1 2 3 4 A i A A A A eff W y W pl,y W pl,z W el,y W eff,y W z W pl,z W pl,z W el,z W eff,z Δ y, 0 0 0 e,y Δ z, 0 0 0 e,z For aksialkraft og bøyning om sterk akse y, y, kyy 1 y Rk y, Rk LT 1 1 y, y, kzy 1 z Rk y, Rk LT 1 1 S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 15 av 29

Ikke åpenbart hvilken knekkform som blir avgjørende, og begge formler må sjekkes. I tillegg skal tverrsnittskapasiteten ved stavendene kontrolleres etter elastisitets- eller plastisitetsteorien. Komiteen som utarbeidet Eurocode 3 kunne ikke bli enig om ett sett av interaksjonsformler etode 1 (Annex A) etode 2 (Annex B) Standard orge har valgt ikke å foretrekke den ene fremfor den andre. Interaksjonsfaktorer k ij for staver som ikke er utsatt for torsjon Interaksjonsfaktor k yy Tverrsnittsform I- og RHS Profiler Elastisk Klasse 3 og 4 Cmy 1 0,6 y y Cmy 10,6 y Dimensjoneringsmetode k yz I- og RHS k zz 0,6 k zz k zy I- og RHS 0,8 k yy 0,6 k yy Plastisk Klasse 1 og 2 Cmy 1y 0,2 y Cmy 10,8 y k zz I-profiler RHS-profiler C mz C 1 0,6z z mz 10,6 z C mz C C mz C 12z 0,6 mz 11,4 z 1z 0,2 mz 10,8 z z z For I- og H-profiler og RHS-profiler belastet med aksialkraft og enakset bøyning y, kan koeffisienten k zy settes k zy =0 S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 16 av 29

Interaksjonsformlene for tilfellet hvor torsjon ikke er forhindret er ikke presentert her. Interaksjonsformlene er forskjellige for tverrsnittsklasse 1 & 2 og 3 & 4 (elastisk dimensjonering) omentfaktoren C m tar hensyn til at 2.ordens moment ikke nødvendigvis opptrer i samme snitt som 1. ordens moment. Faktorer for ekvivalent C m i tabell 7.1 og 7.2 (Table B.3 i S-E 1993-1-1) omentdiagram Område fordelt last C my, C mz og C mlt punktlast 1 1 0,6 0, 4 0, 4 0 s 1 1 1 0, 2 0,8 s 0,4 0, 2 0,8 s 0, 4 0 1 0,10,8 0, 4 0,8 0, 4 s s 1 0 s 1 0 0,1 1 0,8 0, 4 s 0, 2 0,8 0, 4 s 0 h 1 1 1 0,95 0,05 h 0,9 0,1 h 1 0 h 0 1 0,95 0,05 h 0,9 0,1 h 1 0 0,95 0, 05 12 0,1 12 h 0,9 h For staver som knekker sideveis settes henholdsvis C my =0,9 eller C mz =0,9 C my, C mz og C mlt bestemmes på basis av momentdiagrammet mellom de relevante fastholdinger: momentfaktor bøyningsakse fastholdt i retning C my y-y z-z C mz y-y z-z C mlt y-y z-z B! Legg merke til at C y =0,9 og C z =0,9 for staver som kan knekke sideveis. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 17 av 29

Eksempel Stålsort S355 HE 200A A=5,38 10 3 mm 2 I y =36,9 10 6 mm 4 W y =389 10 3 mm 3 I z =13,4 10 6 mm 4 W z =134 10 3 mm 3 h/b=190/200=0,95<1,2 γ 1 =1,1 De ytre momenter virker om svak akse. Karakteristisk aksialkapasitet Rk =355 5,38 10 3 =1910 k Kritiske laster og slankhet 2 5 6 2,1 10 36,9 10 ycr, 8498 k 2 3000 2 5 6 2,1 10 13,4 10 zcr, 3086 k 2 3000 y 1910 0,47 8498 z 1910 0,79 3086 Knekklaster by, 0,891910 1,05 1619 k Kurve b 0,731910 1367 k Kurve c by, 1,05 Regner elastisk (tverrsnittsklasse 3) etter etode 2 Interaksjonsformler z, k y yz pl, zpl, z, kzz z pl, z, pl, 1 1 S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 18 av 29

Lineært varierende moment (ψ=0,5) C y =0,6+0,4ψ=0,6+0,4 0,5=0,8 omentkapasitet z,pl =f d W y =323 134 10 3 =43,3 km Interaksjonsformler k zz 1 1 0,6 0,8 1 0,6 0,79 400 C z z 0,93 Rk 1147 z k yz =k zz =0,93 Skal også påvise at k zz 1 1 1 1 0,6 0,8 1 0,6 400 C z 0,97 Rk 1147 z Da z 1,0 er det åpenbart at siste kontroll er unødvendig Interaksjonskontroll etter lign (2) 400 10,0 0,93 0,350,210,56 1,0 1147 43,3 Staven har tilstrekkelig kapasitet. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 19 av 29

4. VIPPIG AV BJELKER Vippekapasitet (Uniform members in bending, Section 6.3.2) hvor b, b, 1 y LT 1 = Dim. moment b, = Dim. vippekapasitet f W y W y = W pl,y Klasse 1 & 2 W y = W el,y Klasse 3 W y = W eff,y Klasse 4 B! Subskripten b indikerer vipping E 1993-1-1 gir tre alternativer for å vippekontrollen: 1. Vippekurver for generelle tilfeller 2. Vippekurver for valseprofiler og tilsvarende sveiste profiler 3. Forenklet vurdering av fastholdte bjelker i bygninger 1. Generelt tilfelle (6.3.2.2) 1 LT 2 2 men χ LT 1 Her er LT LT LT 0,5 1 0,2 2 LT LT LT LT α LT = formfeilfaktor f yw y LT cr S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 20 av 29

Reduksjonsfaktoren for vipping χ LT kan leses av fra knekkkurvene for aktuelle verdi av LT B! E 1993-1-1 gir ingen informasjon om beregning av cr. Kan benytte hvilket som helst hjelpemiddel. Anbefalte verdier for α LT (asjonalt valg) Knekkurve a b c d Faktor α LT 0,21 0,34 0,49 0,76 Valg av knekkurve Tverrsnitt Begrensning Knekkurve Valset I h/b 2 a h/b>2 b Sveist I h/b 2 c h/b>2 d Andre - d Vippingskurvene kan anvendes på alle tverrsnitt, og er identisk med kurvene for bøyningsknekking. Kurvene er konservative for valseprofiler og tilsvarende sveiste profiler, men stemmer bra for sveiste profiler med slanke flenser og steg. I dette tilfellet er vippeoppførselen lik bøyningsknekking. Kurvene er hensiktsmessige dersom interaksjon mellom knekking og vipping er av interesse (bøyetorsjonsknekking). For dette tilfellet er det mulig å bestemme en felles reduksjonsfaktor. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 21 av 29

Vippekontroll kan utelates dersom 2 eller LT LT,0 hvor LT 0,4 Ingen åpenbart besparelse idet LT cr LT må beregnes uansett. etode 1 etode 2 2. Valsede I-profiler og tilsvarende sveiste profiler (Avsnitt 6.3.2.3) 1 LT 2 2 LT LT LT 0,51 2 LT LT LT LT,0 LT χ LT 1 1 LT 2 LT Siste begrensning tilsvarer Euler-hyperbelen S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 22 av 29

Foreslåtte verdier (nasjonalt valg) LT,0=0,4 Største anbefalte verdi inste anbefalte verdi β=0,75 Valget av LT,0 0,4 medfører at det flate området på knekkurvene er forlenget. Valg av knekkurve Tverrsnitt Begrensning Knekkurve Valset I Sveist I h/b 2 h/b>2 h/b 2 h/b>2 b c c d Kurvene er velegnet for tilfellet ren vipping, men bør ikke brukes for sveiste profiler med slanke flenser og steg. Kurvene gir høyere kapasitet enn de generelle kurvene, og stemmer bra med forsøk med valsede og tilsvarende sveiste profiler. Iht avsnitt 6.3.2.3 (2) kan kapasiteten økes ytterligere ved å ta hensyn til momentets variasjon mellom de sideveise fastholdinger. med LT,mod men 1 LT,mod LT f 2 c LT men f 1,0 f 1 0,51 k 1 2,0 0,8 S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 23 av 29

k c er en korreksjonsfaktor som avhenger av momentvariasjonen, og varierer mellom 0,6 og 1,0. k c tar hensyn til følgende forhold - cr bestemmes på basis av det maksimale momentet inne bjelkedelen. Imidlertid faller ikke nødvendigvis med kritisk snitt for vipping (hvor bjelkens sideutbøyning og rotasjon er størst) sammen med snittet for maksimalt moment. Dette er typisk for lineært varierende moment. - Dersom snittet for maks moment faller sammen med med snittet for maks sideutbøyning fås et ytterligere gunstig forhold ved at bjelkedelene på siden av kritisk snitt fortsatt vil være elastisk. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 24 av 29

Forenklet vurdering av sideveis fastholdte bjelker i bygninger (6.3.2.4 ) Bjelker med sideveis fastholdte trykkflenser er ikke utsatt for vipping dersom avstanden L c mellom fastholdingene tilfredsstiller slankhetskravet kl c c c, f y f i c0 W c, y Her er fz, 1 y, 1 y, = maks moment mellom avstivningene W y = tverrsnittsmodul mhp trykkflens k c = korreksjonsfaktor for moment i f,c = treghetsradius for ekvivalent trykkflens = slankhetsgrense for ekvivalent trykkflens c,0 λ 1 = 93,9 ε Eksempelvis kan en takbjelke hvor lasten føres inn ved hjelp av åsene vippe mellom åsene, og hvor åsene fastholder trykkflensen. I stedet for vipping av hele tverrsnittet betraktes sideveis knekking av en ekvivalent trykkflens som består av trykkflensen pluss 1/3 av den trykkbelastede del av steget. Tilsvarer forenklet vippeberegning. etoden er enkel og konservativ for tverrsnitt der hvelvningsmotstanden er dominerende. Forslått verdi (nasjonalt valg) c0 LT,0 0,1 S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 25 av 29

Vipping av bjelker med plastiske ledd ( Avsnitt 6.3.5) Flyteleddberegninger kan benyttes forutsatt at vipping er forhindret ved - bjelken er fastholdt mot sideveis forskyvning og rotasjon θ x ved plastiske ledd - vipping av bjelkesegmentet mellom fastholdingene ikke opptrer. Kontrolleres ved slankhetskrav. Fastholdingen kan oppnås ved Stabiliteten mellom fastholdingene oppnås dersom lengden L stable mellom avstivningene begrenses til med Lstable L stable 35 iz for 0,625 ψ 1 6040 iz for -1 ψ 0,625,min pl, Et tilsvarende slankhetskrav sto i S 3472 (1984), men ble tatt ut i 2001 utgaven. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 26 av 29

KRITISK VIPPEOET (ikke del av E 1993-1-1) Det kritiske vippemomentet (linearisert vipping) cr avledes fra løsningen for en gaffellagret bjelke belastet med konstant moment (referansetilfellet). Referansetilfellet ( =konstant) L EI Iw L. ( ) z ( ) I cr o 2 2 z GI EI T z IT Iw Iz L torsjonskonstanten ( St. Venant) hvelvningskonstanten 2.arealmoment omsterk akse avstand mellomfastholdingspunkter Lineært varierende moment i. Dobbeltsymmetrisk tverrsnitt Gaffelagret bjelke med endemomenter og ( 1 ) cr C 1. C 2 1 188, 140, 052, 270, cr o 0 når endemomentene gir krumning med samme fortegn. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 27 av 29

ii. Dobbeltsymmetrisk tverrsnitt og ulik innspenning i stavendene C EI k I kl GI cr ( ) 2 w T Cz Cz kl z( ( ) 2 ( ) 2 ( 2 g) 1 g) k I EI 2 2 w z Her ivaretar produktet Cz 2 g lastens angrepspunkt i forhold til skjærsenteret. z g er avstanden mellom lastangrepspunkt og skjærsenter z z z z g a s z a lastangrepspunktets koordinat z s skjærsenterets koordinat z g 0 z s 0 dersom lastens angrepsretning sett fra angrepspunktet peker mot skjærsenteret. for dobbeltsymmetriske tverrsnitt. S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 28 av 29

(kl) representerer bjelkens "vippelengde" k 1 tosidig gaffellagring k 07. gaffellagring/hvelvningsinnspenning k 05. tosidig hvelvningsinnspenning. onosymmetriske tverrsnitt C EI k I kl GI cr ( ) 2 w T Cz Cz cz Cz kl z[ ( ) 2 ( ) 2 ( g ) 2 ( k I EI j g )] 1 2 3 2 3 j C 3 faktor for monosymmetri w z z S-E 1993-1-1 Knekking av staver og dim av bjelkesøyler PKL 28.04.2009 29 av 29