KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Kvalitetsledelse med Statistikk. SMF2121 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010 KLASSE: Ingeniørutdanning TID: kl. 9.00 13.00. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 1. juni 2010 1 Oppgave 1 - Kvalitetssystem a) Definerbegrepetkvalitet. Beskriv innholdet i et funksjonelt kvalitetssystem. c ) Hvordan bidrar et kvalitetssystem til å skape god kvalitet i en bedrift. Oppgave 2: Forbedringsprosjekter Vis gjennom et selvvalgt eksempel hvordan du vil organisere et forbedringsprosjekt til å skape en varig forbedring i en bedrift. Gjør selv nødvendige forutsetninger. Oppgave 3: Statistisk prosesstyring a ) c ) Et omstillingsprosjekt i staten er kostnadsberegnet til 200 MNOK. Usikkerheten i kostnadsanslaget er imidlertid betydelig. For å kunne ta hensyn til dette er kostnadene representert ved en normalfordeling hvor forventet kostnad er 200 MNOK, og usikkerheten er angitt ved standardavviket, som er anslått til 10 MNOK. Bestem toleranseområdet for kostnadene når det er 95% sannsynlighet for at kostnadene skal ligge mellom toleransegrensene. Omstillingsprosjektet skal lede til høyere effektivitet eller bedre bruk av tilgjengelige ressurser. Aktuelt ressursforbruk er redusert med 300 MNOK over en 5 års periode. Denne størrelsen er også beheftet med stor usikkerhet. Ressursbesparelsen er derfor angitt som en normalfordeling, hvor gjennomsnittsverdien er 300 MNOK og standardavviket er 5% av denne verdien. Bestem toleranseområdet for besparelsen når det er 95% sannsynlighet for at besparelsen skal ligge mellom toleransegrensene. Hva er sjansen for at nettogevinsten vil bli større enn 50 MNOK. Statistikkdelen kommer på de to neste sidene. Du er snill mot sensorene hvis du har de resterende oppgavene på andre ark enn de tre første.
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 1. juni 2010 2 Oppgave 4 En landmåler skal måle en høydeforskjell. I denne oppgaven skal vi tenke oss at vi (men antagelig ikke landmåleren) kjenner eksakt forventningsverdien (den virkelige høydeforskjellen) og standardavviket (måleunøyaktigheten), og at X N(47.225, 0.015) a) Regn ut P(47.220 X 47.230), sannsynligheten for at en enkelt måling blir mellom 47.220 og 47.230 meter. b) Regn ut P ( 47.220 X 47.230 ), sannsynligheten for at gjennomsnittet av n 5 uavhengige målinger blir mellom 47.220 og 47.230 meter. Oppgave 5 Landmåleren skal også måle den horisontale avstanden mellom punktene, og har målt den 10 ganger. Måleresultatene (i meter) ble: { 927.324, 927.327, 927.333, 927.329, 927.322,, 927.327, 927.329, 927.321, 927.329, 927.321 } a ) Gjennomsnittet er x 927.3262. Standardavviket s for disse dataene skal du regne ut. Se opp for faren for stor avrundingsfeil ved beregning av standardavvik for store tall med liten spredning. Finn et 95% konfidensintervall for μ, den sanne avstanden mellom punktene. Oppgave 6 I denne oppgaven skal du se på 8 datapar (x, y), som er simulert i Excel fra lineær modell: {(10, 77.6), (20, 87.0), (30, 110.8), (40, 133.3), (50, 147.3), (60, 180.7), (70, 190.9), (80, 206.9)} Her er noen hjelpestørrelser regnet ut for deg: x 45 y 141.8 8 8 8 x 2 i 20400 yi 2 177236, 49 x i y i 59294 a ) i1 i1 s xx 4200 s yy 16350.2087 s xy 8241.5 Finn regresjonslikningen y a + bx. Sett opp og gjennomfør hypotesetesten H 0 : β 2motH 1 : β<2, Signifikansnivå δ 5%. i den lineære modellen Y i α + βx i + E i, i {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } som dataene er simulert fra. i1
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 1. juni 2010 3 Oppgave 7 a) Anta X bin (6, 1/6) og Y bin (6, 1/2) (binomisk fordelte med n 6 og p henholdsvis 1/6og1/2). Da er P (X 4)0.00804 (behøver ikke vises). Regn ut P (Y 4). b) På bordet ligger 20 tilsynelatende like terninger, men vi vet at en av dem er jukseterning med sannsynlighet 1/2 foråfå sekser. De 19 andre er vanlige terninger med sannsynlighet 1/6foråfåsekser. En av dem skal plukkes ut tilfeldig, og kastes 6 ganger. Hva er sannsynligheten for at utfallet blir 4 seksere? Anta så resultatet faktisk ble 4 seksere på de 6 kastene. Hva er sannsynligheten for at det var jukseterningen som ble plukket ut? SLUTT på oppgavesettet. Lykke til!
Løsning, eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 1. juni 2010 1 Oppgave 4 a) ( ) ( ) 47.230 47.225 47.230 47.225 P(47.220 X 47.230) Φ Φ 0.015 0.015 Φ(0.33) Φ( 0.33) 2Φ(0.33) 12 0.6293 10.2586 ( b) Da X N 47.225, 0.015/ ) 5 N(47.225, 0.0067) er Oppgave 5 a ) ( ) ( ) ( ) 47.230 47.225 47.230 47.225 P 47.220 X 47.230 Φ Φ 0.0067 0.0067 Φ(0.75) Φ( 0.75) 2Φ(0.75) 12 0.7734 10.5468 Det er tilstrekkelig å gi svaret (regnet ut på kalkulator), men her skisseres utregning: s (927.324 2 + 927.327 2 + 927.321 2 10 927.3262 2 )/(10 1) 0.0040 Siden σ er ukjent må vibruket intervall. Siden det er 10 målinger finner vi t α/2 iraden for 10 1 9 frihetsgrader i tabell 5.3. Der finner vi t 0.025 2.262: Oppgave 6 a) 927.3262 2.262 0.0040/ 10, 927.3262 + 2.262 0.0040/ 10 927.3233, 927.3291 b s xy 8241.5 1.9623 og a y b x 141.8 1.9627 45 53.511 s xx 4200 Det vil si at regresjonslikningen er y 53.5+1.96x Som testobservator brukes T B β 0 S e / s xx T n 2 (Students t fordelt med n 2 frihetsgrader) I dette tilfellet er β 0 2ogn 8såvihar T B 2 S e / s xx T 6 hvis H 0 er sann. Siden det er en venstresidetest forkastes H 0 for små observasjoner av T,detvilsi: Forkast H 0 hvis t b 2 s e / s xx < 1.943 der jeg har brukt at med ν 6ogδ 0.05 finnes t 0.05 1.943 i tabell 5.3.
Løsning, eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 1. juni 2010 2 Standardavviket observeres til s yy b s e 2 s xx 8 2 16350.21 1.962 2 4200 5.45 6 Testresultatet er derfor t 1.96 2 5.45/ 0.476 > 1.943 4200 Derfor Beholdes H 0. (Dette er også sant, tallene er simulert med b 2,a 50ogσ 5). Oppgave 7 a) P(Y 4) ( ) (1 ) 6 4 ( ) 1 2 15 4 2 2 2 6 0.2343 Hvis vi kaller hendelen 4 seksere på6kast fora, og hendelsen at jukseterning ble trukket for B, era (A B) (A B). Det vil si 4 seksere... er 4 seksere... og jukseterning eller 4 seksere... og vanlig terning. ( ) ( ) ( ) P(A) P(A B)+P A B P(A B)P(B)+P A B P B Dette er et eksempel på loven om total sannsynlighet. P(A B) er sannsynligheten for åfå 4 seksere ( ) gitt at terningen er jukseterningen, ( ) dvs. 0.2343 fra a oppgaven. Tilsvarende er P A B 0.00804. P (B) 1/20 og P B 19/20, siden dette er sannsynlighetene for å trekke henholdsvis jukseterningen eller en av de 19 vanlige terningene. P(A) 0.2342 1 19 +0.00804 20 20 0.01935 Sannsynligheten for at det er jukseterning, gitt at det ble 4 seksere på de 4 kastene, er P(B A) P(A B) P(A) P(A B) P(B) P(A) 0.2342 1/20 0.0194 0.604 Kommentarer: Dette er Bayes formel. Formelen brukt på denne måten er prinsippet i Bayesian decision theory som handler om å velge rett objekt fra en gruppe kandidater. I dette tilfellet ville vi besluttet at vi valgte ut jukseterningen, siden sannsynligheten for dette er mer enn 50%. I anvendelser kan det for eksempel være snakk om automatisk gjenkjenning av en håndskrevet bokstav, eller av en person på et bilde.