Desimaltall FRA A TIL Å

Desimaltall FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side Innledning til desimaltall D - 2 2 Grunnleggende om desimaltall D - 2 2. Tideler, hundredeler og tusendeler D - 6 3 Å regne med desimaltall D - 9 3. Addisjon legge sammen D - 9 3.2 Subtraksjon trekke ifra D - 8 3.3 Multiplikasjon - gange D - 2 3.4 Divisjon - dele D - 2 4 De vanligste feilene D - 2 5 Sammenhengen mellom desimaltall og brøk D - 22 5. Sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent D - 25

Grunnleggende om Desimaltall Innledning til Desimaltall INNLEDNING TIL DESIMALTALL Vi er omgitt av desimaltall. Vi møter dem i butikken, i avisa, i reklamebrosjyrer. Vi bruker dem særlig når vi handler og når vi måler lengder og avstander. Å forstå det grunnleggende når det gjelder desimaler og desimaltall vil derfor hjelpe oss til å handtere dem riktigere og raskere når vi møter dem eller trenger å bruke dem. I skolen vil elevene ofte lære om desimaltall og brøk samtidig. Det går som regel greit, men mange elever sliter med å se sammenhengen mellom desimatall og brøk samtidig som de skal skille de to fra hverandre. I denne boka har jeg derfor valgt å gi de to områdene hvert sitt kapittel. Men for å også vise at det er en sammnheng avsluttes begge kapitlene temmelig likt, med et kapittel som heter Sammenhengen mellom desimaltall og brøk. I brøkkapitlet heter det Sammenhengen mellom brøk og desimaltall men ellers er de to avsnittene helt like. 2 GRUNNLEGGENDE OM DESIMALTALL Vi starter med tallinjen. Den er viktig for å forstå sammenhengen mellom tallene. Tallinjen er nøye forklart i eget kapittel. D- 2

Her er en helt vanlig og ganske grei tallinje: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Vi kan bruke den til for eksempel å måle. Se hva som skjer hvis jeg bruker tallinjen til å måle denne røde stripen: Ved å legge stripen oppå tallinjen, kan jeg finne ut at den rekker fra 0 til 5. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Hvis denne tallinjen hadde hatt en cm som avstand mellom tallene, ville den røde stripen vært 5 cm. Men hva skjer dersom stripen er litt kortere? 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Her er stripen lenger enn 4, men kortere enn 5. Hvor lang er stripen egentlig da? D- 3

Da trenger vi en ny inndeling, og det er der behovet for desimaltall dukker opp. Desi betyr tidel. Hvis vi har behov for å vise tall som ikke er heltall, deler vi det Desi betyr tidel. neste tallet i ti deler. I eksemplet over er det mellomrommet mellom 4 og 5 vi trenger å dele opp. For å vise dette, forstørrer jeg den delen av tallinjen som viser 4 og 5, og deler mellomrommet inn i ti like store deler. 4 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 Og så setter vi inn den røde stripen 4 5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 4,5 Og nå kan vi se at stripen har en lengde på 4,5. Det er et desimaltall. Desimaltall kjennetegnes ved at de har desimaler. Desimaltallene består av heltall og desimaler. Vi skiller mellom dem ved hjelp av komma. Desimaltall består av heltall og desimaler, som skilles fra hverandre med komma. Desimal: Den delen av tallet som er mindre enn. D- 4

Et annet eksempel. Her brukes tallet 2,7: Desimaltall Heltall 2,7 Desimal Skille med komma I dette eksemplet - 2,7 - har vi et tall som er større enn 2, men ikke fullt så stort som 3. 2 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2,7 Tallet 2 viser at vi har 2 hele, og tallet 7 viser at vi har 7 av de ti delene vi har delt opp mellomrommet mellom 2 og 3 med. D- 5

Tideler, hundredeler og tusendeler 2b Tideler, hundredeler og tusendeler Tideler: La oss gå tilbake til den opprinnelige delen av tallinjen som vi begynte med: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Hvis vi nå deler inn alle disse mellomrommene mellom tallene i ti deler, så vil det se slik ut: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Når vi deler heltallene i ti deler, er det naturlig å kalle hver del for tideler. Nå skal vi sette inn en ny stripe. Den begynner på 0: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Vi ser at stripen (grønn denne gangen) dekker over 4 hele. I tillegg dekker den 9 tideler. Hvis vi skal gi stripen et navn, må det altså bli 4,9 Dette navnet (eller tallet om du vil) betyr altså 5 hele og 9 tideler. D- 6

Egentlig er det den lille delestreken som heter 4,9. Hadde den grønne stripen vært en strek kortere, hadde den endt på 4,8. Og hadde den vært en strek lenger, hadde den endt på 5. For å vise at stripen i så fall ender nøyaktig på 5, og ikke 4,9 eller 5,, kan vi skrive 5,0. Det betyr jo 5 hele og 0 tideler. Hundredeler Fra kapitlet om posisjonsystemet ser vi at det også finnes noe som heter hundredeler. For å vise dette viser jeg et bilde av den delen av tallinjen som er mellom 4 og 5, der også tidelene er tegnet inn: 4,0 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 Her ser vi tidelene. Vi ser også at tidelene er delt inn i ti like store deler. Det betyr at mellomrommet mellom 4 og 5 ikke bare er delt inn i ti deler, men i hundre. Hver liten strek er altså en hundredel av avstanden mellom 4 og 5. Setter vi nå inn den grønne stripen, ser vi at den ikke er nøyaktig 4,9: 4,0 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 Den stopper på 4,9 og 7. Nå hadde det vært fristende å skrive 4,9,7. Men det går ikke. I et desimaltall er det bare plass til ett komma. I stedet har vi altså hundredelene å hjelpe oss med, og kan skrive: 4,97 Dette tallet forstår vi som 4 hele, 9 tideler og 7 hundredeler. D- 7

Tusendeler Det kan tenkes enda flere desimaler. Jo flere desimaler, jo mer nøyaktig blir tallet. Jeg skal nøye meg med å vise ett nivå til tusendeler. I dette eksemplet viser jeg den delen av tallinjen som går fra 4,90 til 5,00: 4,90 4,9 4,92 4,93 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99 6,00 Her er altså hundredelene igjen delt i ti deler. Det betyr at hver lille strek betyr tusendeler. La oss se på den grønne stripen nå: 4,90 4,9 4,92 4,93 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99 5,00 Stripen stopper på 4,97 og 2 tusendeler. Vi skriver 4,972 Tideler kalles også for desi. Hundredeler kalles centi og tusendeler kalles milli. Desi er latin for tidel Centi er latin for hundredel Milli er latin for tusendel. Dette er nøye forklart i kapitlet om dekadiske enheter. D- 8

3 Å REGNE MED DESIMALTALL Det er ikke nok å forstå hva desimaltall er, og hvordan de passer inn i posisjonsystemet. Du må kunne bruke dem også. Både i det daglige livet og i matematikkfaget, når du skal regne oppgaver. Å regne med desimaltall Derfor denne gjennomgangen av hvordan du regner med desimaltall med de fire regneartene pluss, minus, gange og dele. Husk: Et godt råd når du regner med desimaltall uansett regneart: Hold øye med komma det er nøkkelen til suksess når det gjelder desimaltall! 3. Addisjon - legge sammen La oss se hva som skjer når vi har to desimaltall som skal legges sammen. Her er tre eksempler: Addisjon legge sammen I det første eksemplet bruker jeg desimaltall med desimal, Vi bruker de to tallene vi hadde i innledningskapitlet: 4,5 og 4,9 (Den røde og den grønne stripen): Eksempel : Trinn a 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Når vi skal addere skal vi jo finne ut hvor lange disse to stripene er til sammen. Det er derfor naturlig å legge dem etter hverandre: D- 9

Eksempel : Trinn b 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Her ser vi at de to stripene til sammen stopper på 9,4. Men vi kan ikke alltid lage slike tegninger. Derfor er det klokt å sette dette opp i et regnestykke også: Eksempel : Trinn c 4,5 + 4,9 = Når vi legger sammen, begynner vi med tidelene: 4,5 + 4,9 = 4 OBS!! Vi får riktignok 4 tideler, men de kan ikke skrives slik! I kapitlet om posisjonsystemet kan du lese mer om hvorfor det ikke kan skrives slik. D- 0

La oss se på hvordan 4 tideler plasserer seg på tallinjen: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 På tallinjen ser vi at 4 tideler er større enn hel. Det skjønner vi jo også av tallet. Siden vi har delt de hele inn i ti deler, så må jo 4 være 4 tideler større enn en hel. Så hva gjør vi da med tallet 4? Jo, vi setter den hele eneren der den hører hjemme på enerplassen, men som et minnetall: Eksempel : Trinn d 4,5 + 4,9 = 4 Og nå er vi ferdige med å addere desimalene. Da må vi sette inn komma i svaret, slik at det kommer på riktig plass: Eksempel : Trinn e 4,5 + 4,9 =,4 Og så er det i grunnen bare å addere de hele tallene. Og sette to streker under svaret: D-

Eksempel : Trinn f 4,5 + 4,9 = 9,4 Dette eksemplet er mest å betrakte som et innføringseksempel. Det viser selve hovedidéen når vi adderer desimaltall. I de to neste eksemplene skal vi se på to spesielle situasjoner som kan oppstå når vi adderer desimaltall. Begge situasjonene er vanlige, og begge er slike oppgaver der elever ofte gjør feil. I eksempel 2 regner vi med litt større tall, og med litt flere desimaler: Eksempel 2: Trinn a 36,7 + 2,48 = I denne oppgaven er det to utfordringer. For det første ser vi at det ene tallet har desimal, mens det andre har to desimaler. Men begge tallene har 3 siffer. For det andre er tallene ikke satt under hverandre. Det er da heller ikke nødvendig. Det går fint an å legge samme disse to tallene når de står slik. Men hvis man er litt usikker på dette med desimaltall, anbefaler jeg sterkt at man setter opp tallene under hverandre. Da er det lettere å unngå feil. I utregningen av dette eksemplet velger jeg derfor å sette tallene under hverandre. D- 2

Da ser det slik ut: Eksempel 2: Trinn b 36,7 + 2,48 En vanlig feil er å sette opp tallene under hverandre slik: 36,7 + 2,48 Det er lett forståelig, fordi begge tallene har 3 siffer. Denne måten å skrive tallene under hverandre på ser derfor ganske pent og oversiktelig ut. Men se litt på tallene en gang til: I det første tallet er det 6 enere. I det andre tallet er det 2 enere. Men de står ikke under hverandre! 2-tallet står jo faktisk på tierplassen, selv om de skal være enere. Det er her nøkkelen til å få til å regne med desimaltall kommer inn: Pass på komma! Komma skal alltid stå under rett hverandre. Gjør vi det, faller enere og tiere greit på plass. Det gjør også tideler og hundredeler. Eksempel 2: Trinn c 36,70 + 2,48 D- 3

For å gjøre den videre utregningen lettere setter vi inn 0 på hundredelsplassen i det første tallet. Akkurat i denne oppgaven er det kanskje ikke så viktig, men i minusstykker kan denne nullen vise seg å være avgjørende. Det er derfor klokt å venne seg til å fylle ut slike tomme plasser med 0. Stykke ser da også litt penere ut, synes jeg. Og nå er det bare å regne i vei. Vi begynner med hundredelene: Eksempel 2: Trinn d 36,70 + 2,48 8 Og fortsetter med tidelene Eksempel 2: Trinn e 36,70 + 2,48 8 7 + 4 =, så da må vi bruke minnetall, slik vi gjorde i eksempel. Eksempel 2: Trinn f 36,70 + 2,48,8 Nå er vi ferdige med desimalene, så da setter vi inn et komma i svaret. Legg merke til at komma plasseres rett under komma i oppgaven. D- 4

Eksempel 2: Trinn g 36,70 + 2,48 9,8 Her er vi i gang med enerne. Husk den ene som vi har satt som minnetall! Eksempel 2: Trinn h 36,70 + 2,48 = 39,8 Og som vanlig avslutter vi med å sette to streker under svaret: Eksempel 2: Trinn i 36,70 + 2,48 = 39,8 I det siste eksemplet er vanskelighetsgraden økt ytterligere. Nå er det tre tall som skal legges sammen, men bare to av dem er desimaltall. Eksempel 3: Trinn a 8 +,6 + 4,07 = D- 5

Jeg setter tallene under hverandre: Eksempel 3: Trinn b 8 +,6 + 4,07 Legg merke til at kommaene i de to desimaltallene står rett under hverandre. Men se på det første tallet. Det er et heltall (altså uten desimaler). Der har jeg også passet på å få enerne og tierne på riktig plass. Men det kan ofte være en vanskelighet. Derfor er det vanlig å gjøre heltallet også om til desimaltall. Du vet 8 er det samme som 8,0 eller for den saks skyld 8,00. Eksempel 3: Trinn c 8,00 +,60 + 4,07 Legg merke til at også,6 har fått en ekstra null. Siden ett av tallene har med hundredeler, er det klokt å la alle tallene få like mange desimaler. Da blir oppgaven enklere å regne. Og nå kan vi begynne å legge sammen. Vi begynner med hundredelene: Eksempel 3: Trinn d 8,00 +,60 + 4,07 7 D- 6

og fortsetter med tidelene: Eksempel 3: Trinn e 8,00 +,60 + 4,07 67 Nå er vi ferdige med desimalene, så vi setter inn komma i svaret: Eksempel 3: Trinn f 8,00 +,60 + 4,07,67 Og så er det å legge sammen heltallene. Først enerne: Eksempel 3: Trinn g 8,00 +,60 + 4,07 3,67 Og til slutt tierne: Eksempel 3: Trinn h 8,00 +,60 + 4,07 = 43,67 Og så mangler det bare to streker under svaret: D- 7

Eksempel 3: Trinn i 8,00 +,60 + 4,07 = 43,67 Subtraksjon trekke fra 3.2 Subtraksjon - trekke ifra Når det gjelder subtraksjon minus-stykker gjelder for så vidt de samme reglene som for addisjon. Hovedregelen: Sørg for at komma holder seg på riktig plass! Her skal jeg vise ett eksempel, der utfordringen ligger på tidelsplassen: Eksempel 4: Trinn a 5,34-9,7 = Vi ser at det første tallet har to desimaler, mens det andre tallet bare har en. Når vi setter tallene under hverandre fyller vi ut med nuller, slik at begge tallene skrives med to desimaler: Eksempel 4: Trinn b 5,34-9,70 Og så starter vi med å trekke fra på plassen til hundredelene: D- 8

Eksempel 4: Trinn c 5,34-9,70 4 Men så oppstår det et problem på tidelsplassen: 3 er mindre enn 7! Du kan ikke trekke 7 fra 3. Du må låne. Låning er nøye forklart i kapitlet om subtraksjon. Eksempel 4: Trinn d 0 5,34-9,70 4 Hvis du husker tilbake til innledningen til dette kapitlet, ble det forklart at vi deler en hel i ti deler. Det er derfor det heter tideler. Så når vi låner en hel, så veksler vi den inn i 0 tideler. Og så kan vi fortsette: Eksempel 4: Trinn e 0 5,34-9,70 64 Nå er vi ferdige med desimalene, så vi må sette inn komma i svaret: D- 9

Eksempel 4: Trinn f 0 5,34-9,70,64 Når vi skal regne ut enerplassen, ser vi at vi må låne der også: Eksempel 4: Trinn g 0 0 5,34-9,70,64 Og når går resten av seg selv: Eksempel 4: Trinn h 0 0 5,34-9,70 = 5,64 Til slutt gjenstår bare..to streker under svaret! Eksempel 4: Trinn i 0 0 5,34-9,70 = 5,64 D- 20

3.3 Multiplikasjon - gange Fremgangsmåten for multiplikasjon er nøye forklart i kapitlet som heter multiplikasjon. Multiplikasjon - gange Der er det også et avsnitt som handler om multiplikasjon med desimaltall. 3.4 Divisjon - dele Fremgangsmåten for divisjon er nøye forklart i kapitlet som heter divisjon. Divisjon - dele Der er det også et avsnitt som handler om divisjon med desimaltall. 4 DE VANLIGSTE FEILENE - Glemmer å sette komma rett under hverandre De vanligste feilene - Summerer tideler og glemmer å sette minnetall på enerplass (Behandler desimalene som selvstendige tall). - Glemmer å sette komma i svaret. D- 2

Sammenhengen mellom desimaltall og brøk 5 SAMMENHENGEN MELLOM DESIMALTALL OG BRØK Både brøk og desimaler er tallsymboler som uttrykker mengder som er mindre enn. Det er den store likheten mellom de to uttrykkene. Den store forskjellen er at desimaler følger posisjonsystemet, mens brøk gjør det ikke. Derfor skrives brøk på en helt annen måte enn heltallene, mens desimaler skrives som en forlengelse av heltallet men adskilt fra dette med et komma. Jeg skal vise denne forskjellen litt tydeligere. I systemet med desimaltall er en hel delt i 0 deler, og desimalen uttrykkes som et antall 0-deler av en hel. Derfor heter den første desimalposisjonen tideler. Dette kan vises ved hjelp av tallinjen: 0,0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Den videre oppbygningen av desimaltall er nærmere forklart i eget kapittel Når det gjelder brøk blir heltallene delt inn i så mange deler som vi for anledningen har bruk for. Det er ikke alltid at det er hensiktsmessig å dele en hel i 0 deler. D- 22

Den samme tallinjen vil se slik ut, dersom vi bruker brøk: 0 2 0 3 0 4 0 5 0 0 6 0 7 0 8 0 9 0 Det som er verdt å merke seg er at mange brøkstørrelser har sitt motsvar i et desimaltall. Sammenligner man brøker og desimaltall vil man kunne se dette. Et tydelig eksempel er desimaltallet 0,5 og brøken 2, som begge er uttrykk for mengden en halv. Sammenhengen kommer enda tydeligere frem dersom man bruker brøkstreken som et deletegn, og regner ut delestykket som brøken uttrykker. Hvis man for eksempel regner ut 2, vil delestykket bli: : 2 = La oss regne det ut: : 2 = 0,5 0 0 0 0 Hvis man på samme måte regner ut 4 3, vil regnestykket bli: 3 : 4 = 0,75 0 30 28 20 20 0 D- 23

Det finnes en lang rekke brøker som har sitt tallpar i et desimaltall. Her er en oversikt over noen av de mest vanlige: brøk Des.tall brøk Des.tall brøk Des.tall = 0,5 = 0,2 2 5 8 = 0,25 2 2 = 0,25 = 0,4 4 5 8 = 0,25 2 3 3 = 0,5 = 0,6 4 5 8 = 0,375 3 4 4 = 0,75 = 0,8 4 5 8 = 0,5 2 3 = 0, = 0,2 0 0 0 = 0,3 Du ser at det er enkelte brøker som ikke er med i denne tabellen. De gjelder brøker med nevnere som 3, 6 og 7. Det kommer av at divisjonen aldri vil gå opp. Svaret blir en uendelig rekke med desimaler, eller det vil bli en rest. Ta for eksempel 6 2. Der vil delestykket bli 2 : 6 = Vi kan prøve å regne det ut: 2 : 6 = 0,333 0 20 8 20 8 20 8 o.s.v. Dette er en divisjon som aldri går opp. Selv om svaret blir mer og mer nøyaktig jo flere desimaler vi regner med, blir det aldri helt presist. Av dette kan vi lære at mens en brøk alltid er nøyaktig og presis, vil et desimaltall ofte kunne være tilnærmet og upresist. D- 24

5... og sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent Prosent er på mange måter det samme som brøk og desimaler. Det som i brøk og desimaltall kaller en hel, blir kalt 00% når det kommer til prosent. Prosent betyr av 00 eller pr 00. Mens desimalene i et desimaltall står på tidels- eller hundredelsplassen, blir altså % det samme som en hundredel. Som desimaltall: 0,0 og som brøk. 00 Sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent Prosent er nærmere omtalt i eget kapittel Dermed blir 2 eller 0,5 beskrevet som 50% i prosentregning. Noen flere sammenligninger vil få frem sammenhengen: Brøk D.mal % Brøk D.mal % = 0,5 = 50% 2 5 = 0,2 = 20% = 0,25 = 25% 4 0 = 0, = 0% 2 = 0,5 = 50% 4 20 = 0,05 = 5% Det kan være lurt å lære seg slike sammenhenger mellom brøk, desimaltall og prosent. For det første kan det være nyttig i det daglige. For det andre bidrar det til å øke og forbedre forståelsen av tall. Dermed blir man også dyktigere til å handtere tall. D- 25