Lösta exempel Kursmaterial till kursen i Elektromagnetisk Fältteori för F (Problem numbers from: Field and Wave Electromagnetics) Department of Signals and Systems, Chalmers University of Technology, SE-4196 Göteborg, Sweden 1
4 oktober 011
Detta kompendium är baserat på lösningar gjorda av Thomas Rylander. Lösningarna bearbetade i L A TEX av: Daniel Bäck, Andreas Fhager, Ali Eghtedari, Shadi Eibpoosh, Rudolf Kopecký, Håkan Olsson, Jean-Michel Rouquette och Sara Sahlin.
1.1 ( 1 Visa att 1 resp. ) R 1 ) R 1 R 3 1 resp. ( ) 1 R 1 R 1 R 3 1 (gradient med avseende på koordinat 1 R 1 R R 1 (x x 1, y y 1, z z 1 ) R 1 (x 1, y 1, z 1 ) (källpunkt) 0 R (x, y, z ) (fältpunkt) R 1 [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 1/ Man beräknar nu: ( ) ( ) ( 1 1 1,, R 1 x 1 y 1 z 1 R 1 ) ( ( 1 x 1 R 1 ), y 1 ( 1 och därför studeras nu: ( ) 1 ( [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 1/) x 1 R 1 x 1 R 1 ), z 1 ( 1 R 1 )) 1 [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 3/ ((x x 1 )) ( 1) x x 1 [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 3/ ˆx R 1 R 3 1 4
P.s.s. för ( ) 1 y 1 R 1 och ) ( 1 1 R 1 ( P.s.s. studeras uttrycket x ( 1 R 1 ( 1 z 1 R 1 ). Detta ger oss: ) (x x 1, y y 1, z z 1 ) [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 3/ R 1 R 3 1 ) 1 R 1 där man får saker som x ( [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 1/) 1 [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] 3/ ((x x 1 )) P.s.s. för ( ) 1 y R 1 x x 1 [(x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) ] ˆx R 1 3/ och ( 1 z R 1 ). Detta ger oss: ( ) 1 R 1 R 1 R 3 1 R 3 1 5
1.6 Vattnet i en ränna enligt figur har hastigheten v ŷkx(a x)z, där k är en positiv konstant. Hur kommer ett litet skovelhjul att rotera, om det placeras med axeln i ẑ-riktningen i punkten a) x a/4, z 1 b) x a/, z 1 Ledning: Beräkna v och studera z-komponenten. z x y v Man bestämmer rotationen av v ŷkx(a x)z, där k är en positiv konstant. ˆx ŷ ẑ v det / x / y / z 0 kx(a x)z 0 Skovelhjulet kommer att rotera med hastigheten a) Med x a/4 och z 1 fås b) Med x a/ och z 1 fås ˆx(kx(a x)z) + ẑ(k(a x)z kxz ) ẑ ( v) k(a x)z ẑ ( v) 1 ka > 0 Dvs. hjulet står stilla. ẑ ( v) 0 6
1.7 Visa att A dv ds A genom att tillämpa divergensteoremet (Gauss sats) på vektorn B A C, där C är en konstant vektor. Uppgiften går ut på att kunna slänga sig med rotationer och divergenser. Vi studerar B A C där C är en konstant vektor. B (A C) A ( C) + C ( A) ( C) 0, ty C är en konstant vektor Med Gauss sats fås då: B dv B ds V {skalär trippelprod.} C V C ( A) dv (A C) ds C V S S S A dv (ds A) C ds A Eftersom detta skall gälla för alla konstanta vektorer, C, erhåller vi A dv ds A V S S 7
1.10 Visa (ds ) A dl A genom att tillämpa Stokes sats på B A C och permutera vektorerna cykliskt, (skalära trippelprodukter). Man studerar först B A C där C är en konstant vektor. S ( B) ds Och då man använder Stocke s sats fås: S S S S C ( B) ds ( (A C)) ds (ds ) (A C) C ((ds ) A) S L L L C Då C är en godtycklig konstant vektor fås (ds ) A S (ds ) A B dl (A C) dl (dl A) C L L dl A dl A 8
.5 En sfäriskt symmetriskt rymdladdningstäthet i vakuum, ρ(r), ger upphov till en sfäriskt q symmetrisk potential V (R) 4πɛ 0. Beräkna totala laddningen och finn ett uttryck på (R+a) ρ(r)! Man beräknar ρ(r) ur ɛ 0 ( V ) ρ. Q tot V (R) q 4πɛ 0 (R + a) V ˆR V R q ˆR 4π(R + a) (ɛ 0 ( V )) 1 ( ) R q R R 4π(R + a) q ( ) R 4πR (R + a) R (R + a) 3 R0 q π(r + a) 3 (R + a R 1) qa πr(r + a) 3 qa a πr(r + a) 3 4πR dr qa[ (R + a) (R + a) ] R0 qa( 1 a + a ) q 9
.6 En punktladdning q befinner sig i origo. Beräkna den elektriska fluxen Ψ S ε 0E ds genom ytan S, som är kvadratisk och har sina hörn i punkterna (a, 0, 0), (a, a, 0), (a, a, a) och (a, 0, a). Man får m.h.a. Gauss sats och D ρ att z Ddv V t D ds S t ρdv Q inne V t S S t ε 0 E ds Q inne q y q x P.g.a. symmetrin fås samma flöde genom alla ytor S och man vet att S t består av 6 4 4 stycken sådana ytor. ε 0 E ds 4 ε 0 E ds q S t S Ψ εe ds q 4 S 10
.10 En homogen linjeladdning med tätheten λ befinner sig på z-axeln, mellan z c och z c. Beräkna potentialen i en punkt P (r, ϕ, z) utanför linjeladdningen. Figur: z z c P (r, ϕ, z ) R 1 z 1 dl dz 1 dq ρ l dl r z c Laddningen per längdenhet på tråden är ρ l. Välj ett laddningselement med längden dl dz 1 och laddningen dq ρ l dz 1. Laddningen i källpunkten R 1 ẑz 1 ger en potential i fältpunkten R ˆrr + ẑz som ges av: 1 dv dq 4πɛ 0 R 1 där man har R 1 R R 1 ˆrr + ẑ(z z 1 ) R 1 r + (z z 1 ) (Pythagoras sats) 11
Nu beräknas V (R ) genom integrering (summering av bidrag). V (R ) 1 4πɛ 0 c z 1 c 1 r + (z z 1 ) ρ ldz 1 subst. ξ z z 1 z 1 c ξ z + c z 1 c ξ z c dξ dz 1 ρ z c l 1 4πɛ 0 ξz +c r + ξ dξ (β. 146, integral 73) dx u 1 a ln x a + u där u ax + b och a > 0. Här har man a 1, b r samt x ξ. ρ [ l ] z c ln 4πɛ 0 ξ + r + ξ ξz +c ρ (z + c) + r l + (z + c) ln 4πɛ 0 (z c) + r + (z c) 1
.11 En tunn, cirkulär metallskiva med radien a befinner sig i vakuum på mycket stort avstånd från andra kroppar. Skivan tillföres en laddning Q, som därvid fördelar sig som en ytladdningstäthet på vardera sidan av skivan. Variationen av ρ s (r) utmed skivans radie kan skrivas: ρ s (r) Q 4πa a r Vilken potential antar metallskivan, om potentialen på stort avstånd ( ) sätts till noll? Potentialen är lika i hela metallplattan. Man beräknar potentialen i centrum av cirkelskivan y dr x a r ρ s (r) Q 4πa a r dq ρ s (r 1 ) πr 1 dr 1 { :an framför ρs (r 1 ) kommer av att vi har laddning på plattans bägge sidor, och πr 1 dr 1 avser förstås arean av en ring. } Qr 1 a a r 1 dr 1 13
R 1 ˆrr 1 R 0 R 1 R R 1 ˆrr 1 R 1 r 1 V (R ) a r 1 0 Q 4πε 0 a S 1 4πε 0 R 1 dq 1 Qr 1 4πε 0 r 1 a a r dr 1 1 a r 1 0 1 a r 1 dr 1 { Formelsamling β sidan 146, nummer 74 Vi har att ã 1; b a och x r 1 Q [ 4πε 0 a arcsin( r 1 Q 4πε 0 a ] a a ) r 1 0 ( arcsin(1) arcsin(0) Q 4πε 0 a (π 0) dx b ãx ã 1 arcsin(x ) ã b Q 8ε 0 a På stort avstånd kan skivan betraktas som en punktladdning. Dess potential: V Q 4πε 0 R. Då R V (R ) 0 (R 1 R R 1 R ) ) } Svar: Metallskivan antar potentialen: V Q 8ε 0 a. 14
.1 En punktdipol finns i origo i ett rektangulärt koordinatsystem. Dipolmomentet p ligger i xy-planet och bildar vinkeln α med y-axeln. Bestäm E(a, 0, 0)! Det elektriska fältet E från en elektrisk dipol (formelsamlingen). y z E(R, θ) p 4πɛ 0 R 3 ( ˆR cos θ+ˆθ sin θ) α p 4πɛ 0 a 3 ( ˆx cos( π α) ŷ sin(π α) ) p (ˆx sin(α) ŷ cos(α)) 4πɛ 0 a3 p θ π α Ra ˆθ ˆR x a x Alltså ˆx E(a, 0, 0) p 4πɛ 0 a 3 sin(α) ŷ E(a, 0, 0) p 4πɛ 0 a cos(α) 3 15
.14 En homogen linjeladdning ρ l befinner sig på z-axeln mellan z a och z a. Beräkna komponenterna E r (r, z) och E z (r, z) av det elektriska fältet E(r, z) i punkten P med cylinderkoordinaterna (r, ϕ, z ). z z a R 1 P (r, ϕ, z ) z 1 z a dl dz 1 dq ρ l dl r Laddningen per längdenhet på tråden är ρ l. Välj ett laddningselement med längden dl dz 1 och laddningen dq ρ l dz 1 Laddningen i källpunkten R 1 ẑz 1 ger ett E-fält i fältpunkten R ˆrr + ẑz som ges av: Man måste först beräkna de ˆR 1 dq R 1 dq 4πε 0 R1 4πε 0 R1 3 ˆR 1 ˆR ˆR 1 ˆrr + ẑ(z z 1 ) R 1 r + (z z 1 ) 16
z z z z 1 z 1 r r Beräkna nu E(R ) komponentvis genom integration (summering av bidrag dq). Först r-komponenten ˆr E(R ) ρ a lr 4πε 0 z 1 a E(R ) 1 a ˆrr + ẑ(z z 1 ) 4πε 0 a [r + (z z 1 ) ] ρ ldz 3/ 1 1 [r + (z z 1 ) ] 3/ dz 1 Subst. ξ z z 1 z 1 a ξ z + a z 1 a ξ z a dξ dz 1 ρ z a lr 1 dξ 4πε 0 ξz +a [r + ξ ] 3/ BETA s.147 integral 95 dx x u 3/ b u där u ax + b Man har a 1, b r samt x ξ ρ lr 4πε 0 [ r ] z a ξ r + ξ ξz +a ρ l ( 4πε 0 r ( ρ l 4πε 0 r Och sedan z-komponenten ) z a r + (z a) z + a r + (z + a) z + a r + (z + a) ) z a r + (z a) 17
ẑ E(R ) ρ a l z z 1 4πε 0 z 1 a [r + (z z 1 ) ] dz 3/ 1 {Subst. ξ z z 1 } ρ l 4πε 0 ρ l 4πε 0 z a z +a [ ] z a 1 r + ξ ξ dξ [r + ξ ] 3/ ξz +a ρ l 4πε 0 BETA 147 integral 96 x dx 1 u 3/ a u där u ax + b Man har a 1, b r samt x ξ ( ) 1 r + (z a) 1 r + (z + a) 18
.15 En sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning ger upphov till given potential. Beräkna laddningsfördelningen, ρ, och systemets totala laddning, Q. (ε 0 E) 1 R E V V R +V R 0 (då R < a) a {postulat: ρ (ε 0 E)} ( ) R R ε 0 V 0 1R ) 6R (ε a 0 V 0 a R Då R < a fås alltså ρ 6ε 0 V 0 /a. 6ε 0V 0 a Man bestämmer den elektriska flödestätheten i område I och II. { D I R ε 0 V 0 R/a z I II y D II R 0 x Ra ρ s [D II R D I R] Ra ε 0 V 0 /a Den totala laddningen blir (ρ 0 då R > a): Q tot ρ volymen + ρ s ytan 6ε 0V 0 4πa 3 ε 0V 0 4πa 0 a 3 a 19
.16 Tre tunna, raka, parallella ledare med radien a, och längden l ligger placerade på avstånden b och d från varandra, (se figur). Ledare 1 och kopplas till pluspolen, och ledare 3 till minuspolen på en späningskälla med spänningen U 0. Uppgiften går ut på att beräkna laddningen på ledarna 1, och 3. Q 1 1 b Q d U 0 d 3 Q 3 Vi ansätter laddningarna Q 1, Q och Q 3, där Q 1 Q Q på grund av symmetri, och Q 3 -Q på grund av knutpunktsekvationen. Potentialen från två linjeladdningar ges av: V ρ l πε 0 ln( r r + ) ρ l +ρ l r r + Tricket är att betrakta Q 3 som två linjeladdningar med ρ l Q/l genom samma punkt. Då blir vårt uttryck för potentilen: V Q/l ln( r 34 ) + Q/l ln( r 34 ) Q/l ln( r 34 ) πε 0 r 14 πε 0 r 4 πε 0 r 14 r 4 Vi beräknar potentialen på ytan till ledare 1. Med: r 14 a ; r 4 b ; r 34 d 0
V 1 Q/l πε 0 ln( d ab ) a b d På samma sätt beräknar vi potentialen på ytan till ledare 3: r 14 d ; r 4 d ; r 34 a V 3 Q/l πε 0 ln( a d ) d d a Dvs: Spänningen U 0 mellan ledare 1 och 3 blir då: U 0 V 1 V 3 Q/l πε 0 ln( d4 a 3 b ) Q πε 0V 0 l ln( d4 a 3 b ) 1
3.1 Tre koncentriska sfäriska metallskal har laddningen q a, q b resp q c. (a) Beräkna medelpunktens potential V 0, om V infty 0! (b) Beräkna V 0, om skal b och c förenas med en ledare! (a) Man bestämmer fältet i alla delområden. P.g.a. symmetri fås att (se P.3.8) E R (R) Q inne 4πɛ 0 R q a + q b + q c 4πɛ 0 R c < R < c b E R (R) q a + q b 4πɛ 0 R E R (R) q a 4πɛ 0 R E R (R) 0 b < R < c a < R < b 0 < R < a q a q b q c IV III II I a Man integrerar nu för att erhålla potentialen. E V II I II E dl V dl (V II V I ) I V (R 0) V (R ) {V (R ) 0} 0 R E dl 0 a b c E dl E dl E dl E dl Ra Rb Rc R Man har integraler av typen: vilket ger: Rb RR a ξ R dr [ ] Rb ( ξ 1 ξ 1 ) R RR a R b R a V (R 0) 0 + q ( a 1 4πɛ 0 a 1 ) + q ( a + q b 1 b 4πɛ 0 b 1 ) + q a + q b + q c c 4πɛ 0 1 ( qa 4πɛ 0 a q a b + q a b + q b b q a c q b c + q a c + q b c + q ) c c ) 1 ( qa 4πɛ 0 a + q b b + q c c ( ) 1 c 0
(b) Då skal b och c förenas med en ledare kommer dessa att få samma potential potentialen mellan de båda skalen blir konstant ( V 0 + r.v.) det elektriska fältet mellan skalen blir noll. Man erhåller då (m.h.a. Gauss lag) E R (R) q a + q b + q c c < R < 4πɛ 0 R E R (R) 0 b < R < c q a E R (R) 4πɛ 0 R a < R < b E R (R) 0 0 < R < a V (R 0) 0 + q ( a 1 4πɛ 0 a 1 ) + 0 + q a + q b + q c b 4πɛ ( ( 0 1 1 q a 4πɛ 0 a 1 ) + q ) a + q b + q c b c ( ) 1 c 0 3
3. En dielektrisk sfär (elektret) med radien a har konstant polarisation i radiens riktning, P P ˆR. Sök medelpunktens potential! z II ˆn ˆR I Man beräknar först de bundna ytoch volymsladdningarna ur polarisationen P ˆRP. a y x ρ p P 1 R R (R P ) P R (R < a) ρ ps ˆn P ˆR ( ˆRP ) P 1a) Beräkna det elektriska fältet m.h.a. Gauss lag. Och symmetrin ger att S E ds Q inne /ε 0 E R (R) Q inne 4πε 0 R Man bestämmer den inneslutna laddningen då R < a (område I) Q I inne(r) R ξ0 R ξ0 8πP ρ p (ξ)4πξ dξ ( P/ξ)4πξ dξ R 4πR P ξ0 ξdξ 4πP [ξ ] R ξ0 4
Och då R > a fås att (område II) Detta ger Q II inne Q I inne(a) + ρ ps ds S 4πa P + P 4πa 0 E I R(R) P ε 0 E II R (R) 0 1b) Gauss lag på den elektriska flödestätheten R < a R > a S D ds Q inne tillsammans med sfärisk symmetri ger att D R ds 0 D R 0 Per definition fås D ε 0 E + P ( 0) Och man erhåller i de olika områdena: E P/ε 0 E I R(R) P ε 0 R < a E II R (R) 0 R > a ) Den elektriska potentialen bestäms nu genom integration. 0 V (R 0) V (R ) R 0 [ P R Ra ] 0 ε 0 P a ε 0 5 E R (R)dR E I R(R)dR Ra a R E II R (R)dR
Man beräknar nu potentialen genom superposition av ρ p och ρ ps i punkten R 0. V (R ) V a ρ p dv + 4πε 0 R 1 R0 π P πε 0 P a ε 0 π θ0 ϕ0 a R0 + P a ε 0 dr S ρ ps 4πε 0 R 1 ds P 4πε 0 R R sin(θ)drdθdϕ + π θ0 P a ε 0 sin(θ)dθ π ϕ0 π dϕ + P a 4πε 0 π θ0 ϕ0 π θ0 P 4πε 0 a a sin θdθdϕ sin(θ)dθ π ϕ0 dϕ 6
3.6 Kapacitansen skall beräknas hos en smal metallstång med given längd och radie. a z Q Vi vet att C. V ( ) 0. Om man V har en ekvipotentialyta kan man uttrycka kapacitansen C Q/V där V är potentialen på ytan. Här approximerar vi en ekvipotentialyta i form av en rotationsellipsoid. Från uppgift.10 känner man potentialen från en linjeladdning med längden L och laddningstätheten ρ l som l ρ l Q/l r ( V (r, z ) ρ l (z + L) + ) r + (z + L) ln 4πε 0 (z L) + r + (z L) Man beräknar nu V (a,0) där man låter l L. ( V (a, 0) ρ l l/ + ) a ln + (l/) 4πε 0 l/ + a + (l/) ( ρ l 1 + ) 1 + (a/l) ln 4πε 0 1 + 1 + (a/l) a l 1 (a/l) Taylorutveckling, β kap 8.6: 1 + x 1 + x/ x /8 +... då 1 x 1. Bra då x 1 7
Man erhåller nu kapacitansen ur ( ρ ( l 1 + 1 + 1 ln (a/l) +... ) ) 4πε 0 1 + ( 1 + 1 (a/l) +... ) C Q V ρ ( l ln 4πε 0 1 Q/l πε 0 ln (a/l) ( ) l a ) Q V metall V {V 0} Q Q/l πε 0 ln(l/a) πε 0 l ln(l/a) 8
3.9 En ensam, mycket lång, cirkulärcylindrisk stång med radien a består av permanent polariserat material (elektret-material). Polarisationen är homogen, P ˆxP, och vinkelrät mot stångens axel, z-axeln. Beräkna potential och E-fält såväl utanför som inuti stången! Ledning: Den polariserade stången kan t.ex tänkas bestå av två cylindriska, homogena rymdladdningar±ρ 0, som är förskjutna en liten sträcka δ i x-led i förhållande till varandra. y r r r + ρ l (π ϕ) ϕ δ δ +ρ l x Vi har att: (r + ) r + δ 4 r δ cos(ϕ) r rδcos(ϕ) r + r 1 δ r cos(ϕ) (r ) r + δ 4 r δ cos(π ϕ) r + rδcos(ϕ) r r 1 + δ r cos(ϕ) Detta ger att: V yttre ρ ( l r ) ln ρ ( l 1 + δ ln cos(ϕ) ) r πε 0 r + 4πε 0 1 δ cos(ϕ) r { 1 1 x 1 + x + x +... } ρ l ln ((1 + δ 4πε 0 r cos(ϕ))(1 + δ ) r cos(ϕ) +...) 9
r + r +ρ 0 ρ l ln (1 + δ ) πε 0 r cos(ϕ) { ln(1 + x) x x +... } ρ l δ πε 0 r cos(ϕ) πa ρ 0 δ πε 0 r cos(ϕ) Där man har ρ l πa ρ 0 och ρ 0 fås ur det faktum att ρ ps P cos(ϕ). y drr 0 r i x { r + r ( δ r )cos(ϕ) } r r + ( δ )cos(ϕ) r { a r0 ( δ )cos(ϕ) } r a r i + ( δ )cos(ϕ) r { r0 a + ( δ )cos(ϕ) } r r i a ( δ )cos(ϕ) r { dr δcos(ϕ) } ρ 0 ds ρ 0 adϕdr ρ 0 aδcos(ϕ)dϕ ρ 0 δcos(ϕ)(adϕ) ρ 0 δcos(ϕ)dl Q L { dl längd i xy-planet ; L längd längs z-axeln } ρ ps ρ 0 δcos(ϕ) P cos(ϕ) 30
Således: I det inre området gäller: V yttre a ( P δ ) ε 0 ρ 0 P δ ( δ P a )cos(ϕ) cos(ϕ) (1) r ε 0 r { E 0 E V D 0 E 0 } V 0 () och så måste (1) vara uppfyllt. Ansats inspirerad av den bundna ytladdningsfördelningen. vilken uppfyller () ty V inre x V yttre ξx ξrcos(ϕ) { OBS! Lägg märke till : ϕ-beroendet! } 0 då ξ är en konstant! { Vyttre (r a) P a ε 0 cos(ϕ) V inre (r a) ξacos(ϕ) V yttre (r a) V inre (r a) P a ε 0 cos(ϕ) ξacos(ϕ) } P ξ V inre P rcos(ϕ) ɛ 0 ε 0 31
4.3 R Tre kondensatorer är från början alla uppladdade med lika stor laddning ±Q. Man parallellkopplar först kondensatorerna C 1 och C, bryter denna förbindelse och parallellkopplar C 1 och C 3. Beräkna den värmeenergi, som på grund av dessa omkopplingar kommer att utvecklas i resistansen R. + + I II + C1C CC C33C Först beräknar man den värmeenergi W I som utvevecklas då C 1 och C parallellkopplas. (W Q /C) Wföre I { } 1 W från C 1 + W från C Q C + 1 Q C 3 4 Q C W I efter 1 {}}{ (Q + Q ) (C + C) 3 Q C W I W I före W I efter 3 4 Q C 3 Q C Q 1C parallellkoppling av C 1 och C (som en enda kondensator) med den totala laddningen Q + Q Man beräknar om hur mycket laddning som finns på C 1 efter omkoppling I. V Q 1 C 1 Q C Q 1 + Q Q parallellkoppling samma spänning konservering av laddning Q 1 Q 3 3
R Inför omkoppling II har man situationen som visas till höger. I II Q + 4Q 3 3 + Q + P.s.s. som tidigare beräknas nu W II C1C CC C33C Wföre II 1 (Q/3) + 1 C Q 3C 7 18 Q C Wefter II 1 (Q/3 + Q) (C + 3C) 5 7 Q C W II W II före W II efter 7 18 Q C 5 7 Q C Q 4C Den totala utvecklade värmeenergin ges då av: W T otal W I + W II Q 1C + Q 4C Q 8C 33
4.5 Bestäm E på ett element ds Kraft på ds s Kraft på halvsfär genom integration Spänning Bestäm E genom intergration då R ẑa: E(R ) z S R 1 dq (3) 4πɛ 0 R1 3 ds θ y x a P.g.a symmetrin kommer E(R ) ẑe z (R ), man erhåller därför ẑ R 1 E z (R ) dq (4) S 4πɛ 0 R1 3 34
z a α R 1 α θ a och man bestämmer därför R 1 a sin(θ/) ẑ R 1 cos(α) R 1 sinθ/ a sin (θ/) Allt detta ger: dq ρ s ds 1 ρ s a sin θ dθdϕ ρ s Q 4πa E z (R ) π π ϕ0 θ0 a sin (θ/) 4πɛ 0 (a sin(θ/)) 3 ρ sa sin(θ)dθdϕ ρ s 8ɛ 0 π θ0 sin(θ) sin(θ/) dθ ρ s 8ɛ 0 π θ0 ρ s 4ɛ 0 [ sin(θ/)] π θ0 sin(θ/) cos(θ/) sin(θ/) dθ ρ s 4ɛ 0 π θ0 cos(θ/) dθ ρ s ɛ 0 (1 0) ρ s ɛ 0 Q/4πa ɛ 0 Q 8πɛ 0 a Man känner nu till det radiellt riktade elektriska fältet i ytelementet ds och får därmed kraften: Man studerar nu kraften på en halvsfär df Edq E Rˆθρs ds z S 1/ F S1/ df F S1/ df S 1/ E R ˆRρ s ds S 1/ S 1/ Edq S 1/ F S1/ 35
P.g.a symmetrin kommer kraften F S1/ vara riktad i z-led. Man bestämmer därför ẑ F S1/ E R Q 8πɛ 0 a ẑ ˆR cos(θ ) ds a sin(θ )dθ dϕ ẑ F S1/ π ϕ 0 π/ θ 0 Q 8πɛ 0 a cos(θ ) Q 4π sin(θ ) dθ dϕ Q 16πɛ 0 a π/ θ 0 cos(θ ) sin(θ ) dθ Q π/ 1 16πɛ a θ 0 sin(θ )dθ Q 16πɛ 0 a [ cos(θ ) 4 ] π/ θ 0 Q 1 ( 1) 16πɛ 0 a 4 Q 3πɛa Dragspänningen σ ges av σ F/A där F är den totala kraften som verkar på ytan A. Man erhåller σ F A ( Q 3πɛ 0 a )/(πab) Q 64π ɛ 0 a 3 b 36
4.8 En molekyl accelereras (från läge A, långt bort från ett par laddade kulor) i ett elektriskt fält. Vid ett visst läge (läge B, mitt emellan kulorna) stängs fältet av. Ta reda på vad molekylen har för elektrostatisk energi, W e, och rörelseenergi, W k, i detta läge. I läge A befinner sig molekylen i vila på stort avstånd från kulorna vilket medför att W tot W k + W e 0 ty W k W e 0. Energin bevaras I läge B då molekylen befinner sig mitt emellan kulorna kommer W tot W k + W e 0, men W k W e 0. Vi beräknar den elektriska energin i läge B ur W e p E vilket ger: Q +Q p a/ a/ E Q 4πε 0 (a/) ẑ Q πε 0 a ẑ ( ) Q W e (ẑp) πε 0 a ẑ Q p πε 0 a W k Q p πε 0 a 37
5.1 Vid en numerisk beräkning av potentialfördelningen i en kabel med rektangulärt tvärsnitt på ytterledaren och med en innerledare i form av ett platt band har olika potentialvärden erhållits i rutnätets skärningspunkter. Beräkna med hjälp av denna numeriska lösning ett approximativt värde på kabelns kapacitans per längdenhet! Man beräknar det elektriska fältet E ur: Längs den lodräta symmetriaxeln fås t.ex: V(y) 10kV V ˆx V x ŷ V y Gaussyta E y V V II V I y y II y I V I y V I y 0 δy V II y a y och på samma sätt för E x. Man har att: x y a 8 { där: x avståndet mellan två noder i x-led och y avståndet mellan två noder i y-led } och man erhåller: D L ds Q L S L 38
D ds 4 S 14 D ds 4 εe n s 4 ε 0 E n L l Q Man erhåller därmed med ε ε 0 : 4ε 0 ( 413 y x + 1839 y + 435 x C L Q L 4 ε 0 E n l 4ε 0 En l + 390 y x + 1385 y y + 844 x 310 141 x + x + y y x 897 435 x + x + y y x 117 1319 y + y + y x x... 4ε 0 15714 5.56 10 7 Q L V mitt V kant 5.56 10 7 10 4 5.56 10 11 F/m ) 39
5. 100 V 100 V Beräkna potentialfördelningen numeriskt i det kvadratisk området med potentialer enligt figuren 50 V 50 V V 1 V V 3 V 4 100 V 100 V 0 V 0 V a/ Lägg in et glest rutnät med 16 punkter, varav 1 på randen. Använd matrismetoden för att beräkna V 1, V, V 3 och V 4! b/ Lägg in ett rutnät med 49 punkter, varav 4 på randen. Använd potentialerna V 1 till V 4 enligt a/ och potentialerna på randen för att beräkna potentialen i övriga punkter i nätet. c/iterera fram bättre värden på potentialerna i varje punkt i det tätare nätet! d/ Jamför potentialen i figurens mitt V 0 enligt c/ med den analystiskt beräknade enligt uttrycket: V 0 50 + 00 π n1,3 sinh(nπ/) n sinh nπ sin(nπ/ a/ Man använder följande approximation av Laplace-operatorn: V V i,j+1 + V i 1,j 4 V i,j h + V i+1,j + V i,j 1 ( 0) för att lösa ekvationen V 0. Man tecknar ekvationerna för de obekanta V 1, V, V 3 och V 4. V 1 : 100 + 50 4V 1 + V + V 3 0 V : 100 + V 1 4V + 100 + V 4 0 V 3 : V 1 + 50 4V 3 + V 4 + 0 0 V 4 : V + V 3 4V 4 + 100 + 0 0 1 1 4 1 1 i 1 i i+1 j j+1 j 1 40
Vilket på matrisform blir: 4 1 1 0 1 4 0 1 1 0 4 1 0 1 1 4 } {{ } A V 1 V V 3 V 4 }{{} X 150 00 50 100 } {{ } B Ekvationsystemet löses X A 1 B med till exempel Gausselimination och man erhåller: V 1 V V 3 V 4 1 4 7 1 7 1 1 7 1 7 150 00 50 100 1 4 75 35 175 5 68, 75 81, 5 43, 75 56, 5 b/ Ledning: När man känner potentialen u i fyra punkter, se figuren, får man approximativt potentialen i en inre punkt x, y enligt: u 3 u 4 u(x, y) u 1 (1 x)(1 y)+u x(1 y)+u 3 (1 x)y+u 4 xy Här söker vi u mitt i rutan (x 0, 5,y 0, 5) och får u (u 1 + u + u 3 + U 4 )/4 y u u 1 u x Man beräknar potentialen i rutnätet 50 50 100 100 68,75 81,5 43,75 56,5 100 100 u(x, y) u 1 (1 x)(1 y) + u x(1 y) + u 3 (1 x)y + u 4 xy (x [0, 1] & y [0, 1]) y y1 u 3 yx0 u 1 x1 u u 4 x 0 0 41
Man tittar på några specialfall u 3 u9 u 4 u 5 (u 1 + u )/ u 6 u 7 u 8 u 6 (u 1 + u 3 )/) u 7 (u 1 + u + u 3 + u 4 )/4 u 8 (u + u 4 )/ u 9 (u 3 + u 4 )/ u 1 u 5 u 5 100 100 100 100 100 50 Med denna strategi fås 50 50 50 50 68,75 81,5 6,5 43,75 56,5 100 100 100 100 50 100 5 0 0 0 0 0 50 c/ Gauss-Seidels metod iterera med beräkningsmolekylen över nätet till förändringarna blir små 1 1 4 1 0 1 d/ Både Gauss-Seidel och den analytiska lösningen ger potentialen 6, 5V i mitten av nättet. 4
5.5 a y En isolerad oladdad tunn ledningstråd på höjden h 8m över mark befinner sig i ett homogent nedåtriktat elektriskt fält. En jordad skyddstråd med radien a mm uppspännes parallellt med ledingstråden, på två olika avstånd. Beräkna den relativa ändringen i trådens spänning d h II V0 I V0 E 0 y E 0 ρii l 0 ρi l 0 a/ på avståndet d 1m över ledningstråden. b/ på avståndet d 1m under ledningstråden. a/man har en jordad tråd över en oladdad tråd över ett jordplan. Allt detta befinner sig i ett homogent nedåtriktad fält. Bestäm nu skyddstrådens laddning (d.v.s. laddningen hos tråd II) så att dess potential blir noll: h d y0 V0 ρi l 0 ρii l 0 ( ) V (y h + d) V II E 0 (h + d) + ρii l (h + d) ln 0 πɛ 0 a ρ II l πɛ 0 (h + d) ) ln ( (h+d) a Nu när man känner ρ II l kan man bestämma den oladdade trådens potential. V (y h) V I ( ) E 0 h + ρii l h + d ln πɛ 0 d E 0 h E ( ) 0(h + d) (h + d) ) ln ln d ( (h+d) a Man erhåller nu den relativa ändringen i potential (mellan fallen med och utan skyddstråd) 43
V V 0 V I V 0 V 0 V V 0 V 0 är potentialen hos tråd II utan skyddstråd V 0 E 0 h ( E 0 h E 0(h+d) ln( (h+d) ) ln ( ) ) h+d E d 0 h h + d h a E 0 h ln ( ) h+d d ( )... 0.35 ln (h+a) a a y d I V0 II V0 ρi l 0 ρii l 0 b/bestäm skyddstrådens laddning (samma lösningsgång som i a/-uppgiften): h E 0 y E 0 V (y h d) V II ( 0) ( E 0 (h d) + ρii l (h + d) ln πɛ 0 a ρ II l πɛ 0E 0 (h d) ) ln ( (h d) a ) h y0 V0 d ρii l 0 ρi l 0 Den oladdade trådens potential blir då: V (y h) V I E 0 h + ρ ( ) l h d ln E 0 h E ( ) 0(h d) h d ) ln πɛ 0 d ln d Och den relativa ändingen blir: V V 0... h d h ( (h a) a ln ( ) h d d ( )... 0.7 ln (h a) a 44
5.7 Inuti ett långt metallrör finns två tunna metalltrådar enligt figuren (där rörets axel går in i bilden). Bestäm avståndet mellan metalltrådarna så att de inte påverkas av någon elektrostatisk kraft! x Q/l I Man beräknar avståndet d S enligt formelsamlingen a d S (b/) d S a b Nu beräknas E(x b/) med hjälp av superposition (linjeladdningen i x b/ exkluderad) b/ b/ II +Q/l x 0 Q/l III a d S d S +Q/l IV ( E x x b ) Q/l πε 0 (a /b b/) + Q/l πε 0 b + Q/l πε 0 (a /b + b/) I II III { } ˆr ˆx i E(r) ˆrρ l /πε 0 r Q/l ( 1 πε 0 a /b b/ 1 ) b + 1 a /b + b/ Då E x (x b/) 0 blir kraften på linjeladdningen i fältpunkten noll. b 4a b 1 b + b 4a + b 0 b (4a + b ) (4a b )(4a + b ) + b (4a b ) 0 45
8αβ + β (16α β ) + 8αβ β 0 β + 16αβ 16α 0 (β + 8α) 64α 16α 0 β ( 8 ± 80)α 4( 5 )α Alltså: b ± 5 a 46
5.9 I ett sfäriskkt, oladdat metallskal med radien a finns en punktladdning, q. (a)beräkna kraften på laddningen q! (b)beräkna potentialskillnaden mellan medelpunkt och skal, mellan skal och oändligheten och slutligen medelpunktens potential om V 0! (c)beräkna den elektrostatiska energin i systemet om punktladdningen är en liten metallsfär med laddningen q och radien c! (a) Formelsamlingen ger oss spegelladdningens uttryck, och kraften på laddningen q beräknar vi med hjälp av Coulombs lag: x a a a -q q Q skal 0 F q 1q 4πε 0 R ˆR q 1 ( ˆx) q 1 4π(a a ) 9πε 0 a ˆx (b) Vi studerar potentialen i punkterna: x 0, x a och x. Först beräknar vi potentialen i x 0 och x a med hjälp av spegelladdningen (det inre problemet). V (x 0) ( q) 4πε 0 (a) + q 4πε 0 ( a ) q 4πε 0 a V (x a) ( q) 4πε 0 (a) + q 4πε 0 ( a) 0 V ms q 4πε 0 a { } m medelpunkt ; s skal Proceduren är densamma för det yttre problemet. 47
x q Gaussyta ρ Q skal 0 ds Q inne S 4πR ε 0 E R (R) Q inne och vi får då: alltså: E R (R) Q inne 4πε 0 R Om vi sätter V (x ) 0, får vi: V II II I E dl + V I { E(x) Q inne } 4πε 0 ˆx x dl (ˆx)( dx) a Q inne V (x a) dx + V (x ) x 4πε 0 x Q inne + V (x ) 4πε 0 a V x q 4πε 0 a { s skal ; oändligheten } V (x 0) V ms + V x + V (x ) q πε 0 a (c) Nu beräknar vi den elektrostatiska energin i systemet. Vi betraktar systemet som två seriekopplade kondensatorer! Först beräknar vi energin lagrad i den inre kondensatorn. x II I a c V q 4πε 0 c + q 4πε 0 (a a) q 4πε 0 ( 1 c 4 3a ) { Vliten sfär V stor sfär } 48
W I QV q 8πε 0 ( 1 c 4 3a ) Nu gör vi samma sak för den yttre kondensatorn. V Den totala elektrostatiska energin blir då: q 4πε 0 a W II W tot W I + W II q 8πε 0 a q ( 1 8πε 0 c 1 3a ) 49
5.1 Figuren visar tvärsnittet av en skärmad fyrledarekabel. I en viss tillämpning användes kabeln som dubbelledning med diagonalparen som fram- respektive återledning. V c b +V +V Beräkna kapacitansen per längdenhet hos denna dubbelledning! Trådradien är a, kabelradien b och radien ut till trådarnas centrum är c. ε V Man uttrycker V som funktion av ρ l genom superposition av bidrag av typen V (ρ l /πɛ) ln(c/r) b/c VI y +ρ l c b V ρ l a I ρ l II +ρ l III +ρ l IV ρ l x ε V ρ l V V b/c VI +ρ l 50
I IV V ( ) ( ) V III ρ b c l πɛ ln + c b c c ( c ) ( ( c a b ) c + c ) II III VI ρ [ ] l (b πɛ ln + c )(b c ) ac(b 4 + c 4 )/c ρ [ ] l c(b 4 πɛ ln c 4 ) a(b 4 + c 4 ) Man erhåller därmed: Laddningen på övre plattan C l Q/l V {}}{ ρ l V III }{{} ln πɛ [ c(b 4 c 4 ) a(b 4 +c 4 ) ] Spänningen mellan övre och undre plattan 51
5.17 En liten metallsfär med laddningen q och radien a befinner sig på avståndet b (a b) från två stora jordade metallplan (se nedanstående figur), beräkna kraften på sfären och dess potential! (V 0) b I -q y q II radie a x Man använder speglingsansatsen till höger, kraften på sfären fås m.h.a Coulombs lag F 1 q 1 q 4πɛ 0 R 1 ˆR 1 b b q III b b -q IV F ( q)q 4πɛ 0 (b) ˆx + q q 4πɛ 0 ( b) ˆx+ŷ + ( q)q 4πɛ 0 (b )ŷ q 16πɛ 0 (( 1 + 1 b 1 )ˆx + ( 1 + )ŷ) Potentialen beräknas nu (också den m.h.a superposition och genom användandet av a << b samt att laddningarna med radien a ersätts med punktladdningar) V q 4πɛ 0 (b) + q 4πɛ 0 a + q 4πɛ 0 ( b) + q 4πɛ 0 (b) q 4πɛ 0 ( 1 a 1 b + 1 b ) 5
6.1 Finn ett samband mellan ledningsförmågan, σ(r), och dielektricitetskonstanten, ε(r), som gör att ingen rymdladdning finns i mediumet. Man studerar ekvationerna D ρ J + ρ t 0 I det stationära fallet ( ρ/ t 0) då D(R) ε(r) E(R) och J(R) σ(r) E(R). Detta ger att (εe) ρ (σe) 0 Antag att ε ξσ där ξ är en konstant. Man erhåller då (εe) (ξσe) ξ (σe) { (σe) 0} 0 53
6. Laddade stoftpartiklar släpps ut från en 50m hög skorsten. De bildar vid en vindstyrka på 5 m ett långt, horisontellt, cylindriskt laddat moln. Strömstyrkan som svarar mot utsläppet s är 100µA. Beräkna elektriska fältstyrkan vid markytan rakt under molnet, om man antar att markytan är ett ledande plan. x Ledning: Konvektionsström Först beräknar vi ρ l som funktion av strömmen i och konvektionshastigheten v. h h +ρ l x0 σ i Q t ρ l l ρ lv t t t Konventionsström ej elektrostatiskt neutralt. Vi beräknar nu det elektriska fältet i x 0. ρ l i v ρ l ς { E ( ρ l πε 0 r )ˆr } l v t E(x 0) ρ l πε 0 h ( ˆx) + ρ l πε 0 h (ˆx) ρ l πε 0 h (ˆx) i vπε 0 h (ˆx) E(x 0) 100 10 6 5π8, 854 10 1 50 14kV m 54
6.5 I ett stort parallellepipediskt tråg med bredden l 0 cm är långsidorna av isolermaterial, men kortsidorna av metall. Tråget har fyllts med vätska med ledningsförmågan är σ 50 S/m. På avståndet a 1 cm från ena kortsidan och på djupet b 0, 5 cm under vätskeytan har en metalltråd med radien c 0, 5 mm spänts parallellt med en kortsida. Beräkna resistansen mellan tråden och väggen! Vätskedjupet förutsättes vara stort. Man bestämmer V m.h.a. spegling V V σe 0 och V 1 πσr ln(r ret/r) i IV ΙΙΙ i σ0 b c σ σ 8 Ι ΙΙ i a i V 0 V V [ V I i/l πσ ln II I III a (a) + (b) c b IV ] 0 V 0 [ i/l ] πσ ln a ( a ) c 1 + V b ] ) R V i ln [ a c πσl 55 1 + ( a b
6.7 Två parallella, tunna metalltrådar med radie b går på avståndet 4a från varandra vinkelrätt genom en stor planparallell skiva med tjockleken d och viss ledningsförmåga σ. I skivan göres ett cirkulärt hål med radie a mitt mellan trådarna. Beräkna resistansen mellan trådarna genom skivan med hål! a/ a/ σ 0 I a II a σ 0 III IV x i i a x0 i i radieb V V Man beräknar potentialen på ledaren vid xa m.h.a spegling! V I i/d 5a πσ ln( 4a ) i/d πσ ln(0a 3b ) b 3a Där V I beräknas från x0 (jord) till xa. R V i V I V III i V I ( V I ) i V I i ln(0a/3b) πσd 56
6.11 Använd två approximationsmetoder för att hitta en undre respektive övre begränsning till resistansen mellan två elektroder. Övre gränsen: Beräkna den övre gränsen genom att tvinga strömmen genom (ofysikaliska) strömrör enligt figuren. Det ger en resistans som är större än den verkliga resistansen enligt känd sats (varje approximativ strömfördelning ger för stort värde på den beräknade resistansen). I II III d dξ ξ a ξ 0 ξ l a dξ/ R I l σ S G II 3a σ a d 3s ( RIII ) d G II σ S l a ξ0 σ d a d ξ σ d d ξ σ a d a a σ d R II σ d s Rövre R I + R II + R III 8 s ( s 1 σd ) där σ är konduktiviteten och d är plåtens tjocklek 57
Undre gränsen: Beräkna den undre gränsen genom att fixera potentialen längs de sträckade linjerna i figuren samt låt σ i de triangelformade områdena II och IV vilket ger en resistanssom är lägre än den verkliga resistansen enligt känd sats (varje approximativ potentialfördelning ger för lågt värde på den beräknade resistansen) I II III IV V R I l σs 3a σad 3s ( RV ) R II R IV 0 R III (σ i dessa områden) l σs a/ σ(a/ ) d s D.v.s. den verkliga resistansen R uppfyller R undre R I + R II + R III + R IV + R V 7 s R undre 7 s < R < Rövre 8 s 58
6.13 En rund metallstång med hög ledningsförm[ga och med längden l 1m och radien a cm slås lodrätt ned i marken. Först till halva sin längd, och senare till sin fulla längd. Beräkna för de två fallen den s.k jordningsresistansen hos stången om den är i god kontakt med den omgivande marken, som har ledningsförmågan: σ 0.05S/m. Ledning: En ensam metallstång med längden l och radien a har en kapacitans C πε 0l. ln( l a ) (Se uppgift 3.6.) Vilka likheter och skillnader finns mellan den elektrostatiska fältbilden och strömningsfältbilden? z Enligt uppgift 3.6 känner vi till kapaciteten hos en ensam, smal metallstång som: l σ 0 C 4πε 0l ln( l) a Fältbilden i 3.6 är densamma som om staven ligger i ett material med konduktiviteten σ. Enligt känt resultat (RC ε ) fås då resistansen till:. σ l σ 0 r R ε 0 σc ln( l a ) 4πσl { OBS! Hela rummet utanför staven har konduktiviteten σ } Men i fallet med en metallstång nedstucken i marken är endast halva rymden (d.v.s själva marken) ledande med konduktiviteten σ. resistansen till blir dubbelt så stor. Jordningsresistansen ges av: a Våra numeriska värden: R jord ln( l a ) πσl l I 0.5m ; l II 1m ; a cm 10 m ; σ 0.05 S m Ger: R I 5Ω och R II 15Ω 59
6.14 Vid en numerisk beäkning av potentialfördelningen i en tunn rektangulär skiva med ytresistansen s 1000 Ω och elektrodplaceringen enligt figur i uppgiftskompendiet har man fått potentialvärdena i rutnätets skärningspunkter. a:/beräkna ett approximativt värde på resistansen mellan elektroderna vid placeringen enligt figuren. a:/ Man använder foljande resultat från exempel 5.1: C L 5, 5553 10 11 Då man har samma geometri och homogena linjära material kommer fältbilderna bli desamma och man använda sig av: RC ɛ σ R ɛ 0 σl(c/l) ɛ 0S C/L R 8, 854 10 1 1000 5, 5653 10 11 159, 094 Det gäller för en symmetrisk geometri. Här har man endast en fjärdedel av denna Resistansen blir fyra gånger så stor d.v.s. R 636, 4Ω 60
6.16 Man har en kvartscirkel formad skiva med konduktiviten σ och tjockleken d. a/ Beräkna resistansen R 1 mellan ytoma 1 och. b/ Beräkna resistansen R 34 mellan ytoma 3 och 4. Beräkna också R 1 R 34 1 3 σ 4 a b a/ Beräkna resistansen R 1 mellan ytoma 1 och. Summera konduktansbidrag från strömrör med längden l (π/) r och tvärsnittsytan S d dr. Konduktansen från ett sådant rör blir: G σs/l J π r dr dg σd πr dr G 1 b ra σd π σd σd dr πr π [ln r]b ra ( ) b ln a 61
(jämför med parallellkoppling!!) R 1 1 G 1 π σd ln ( ) b a b/ Beräkna resistansen R 34 mellan ytorna 3 och 4. Summera resistansbidrag från tunna skikt med längden l dr och tvärsnittsytan: S (πr/) d Resistansen från en sådant skikt blir: R l/σs J π r dr dr dr σπrd (inf seriekoppling!!) R 34 b ra ln(b/a) σπd σπrd dr σπd [ln r]b ra Man beräknar om produkten R 13 R 34 vilken blir: där s är ytresistiviteten. R 1 R 34 1 (σd) s 6
6.0 Två elektroder sitter på en plåt. Plåten har tjockleken d och ledningsförmågan σ. a) Beräkna en övre och en undre gräns för resistansen R mellan elektroderna. b) Gör, med hjälp av rutnät i uppgiftsformuleringen, en numerisk beräkning av potentialerna i rutnätets noder. c) Använd dessa potentialer för att göra en approximativ beräkning av resistansen. a) Man tvingar strömmen att gå enligt figuren. Rövre l σs h σ3hd 3σd 3h J 0 J 0 h Och sedan införs horisontella ekvipotentialytor enligt figuren. Man summerar nu resistansbidrag från skikt med längden l dx och tvärsnittsytan S (7h x)d. x 1000 V x h 0 V x 0 750 V 500 V 50 V dr l σs 1 σ(7h x)d dx Rundre h x0 subst. ξ 7h x dξ dx dx 1 dξ x 0 ξ 7h x h ξ 3h 63 1 σ(7h x)d dx
1 3h 1 σd ξ7h ξ dξ 1 [ ] 7h ln ξ ln(7/3) σd ξ3h σd d.v.s. R undre 847 < R < Rövre 1333. b) Man behöver endast halva rutnätet då lösningen kommer att bli symmetrisk. 0 V 0 V 3 1000 1000 V 0 V 1000 1000 1000 1 0 I II III V 3 V 3 ( V 4 ) V 1 V 1-4 1 0 0 0 0 0 Beräkningsmolekyl svarandes mot operatorn V. 1 Man sätter beräkningsmolekylens centrum i punkt I, II och III vilket ger 0 + V 4V 1 + 0 + V 0 (I) V 1 + 1000 4V + 0 + V 3 0 (II) V + 1000 4V 3 + 0 + V 3 0 (III) V 1 V V 3 4 0 1 4 1 0 1 3 1 38 11 6 3 1 4 1 4 14 V 1 V V 3 V 1 V V 3 c) Man bestämmer nu strömmen (jämför med 5.1) 11 41 474 0 1000 1000 0 1000 1000 1000 19 4 8 9 64
I J ds σ E ds σ En s σ End l S S 1/ ˆn l l l l h En V y V II V I y II y I S 1/ ( V1 0 I σ hd + V 0 hd + V ) 3 0 hd h h h 5 0, 1 10 3 (11 + 41 + 474) 1, 106 AlltsåR U I 1000 V 1, 106 A 904 Ω σd(v 1 + V + V 3 ) 65
7. Ett mycket långt, platt metallband med bredden a ligger i xy-planet, och för strömmen i 0 i ẑ-riktningen. Strömmen är jämnt fördelad över bandets bredd. Beräkna storlek och riktning på magnetfältet i punkten P! Man beräknar den elektriska flödestätheten i fältpunkten: R (a, a, 0) härörande från strömrör i källpunkterna. R 1 (x 1, 0) genom att summera bidrag av typen. ya y P (a, a, 0) Vi har nu att: db µ 0J s dx 1 πr 1 ˆϕ x-a xa x R 1 R R 1 ˆx(a x 1 ) + ŷa R 1 (a x 1 ) + a J s I aẑ ϕ ẑ R 1 R 1 ŷ(a x 1) ˆxa (a x 1 ) + a Vi beräknar först x-komponenten: db µ 0( I a ) π ˆxa + ŷ(a x 1) (a x 1 ) + a dx 1 ˆx B(R ) µ 0I 4π a x 1 a dx 1 (a x 1 ) + a substitution: ξ a x 1 dξ dx 1 x 1 a ξ a x 1 a ξ 0 + µ 0 0I 4π ξa dξ ξ + a µ [ 0I ( 1 ] 0 4π a )arctan (ξ a ) a 66
µ ( ) 0I 0 arctan () 4πa Sedan beräknar vi y-komponenten: µ 0I arctan () 4πa Då får vi: ŷ B(R ) µ 0I 4πa a x 1 a (a x 1 ) (a x 1 ) + a dx 1 substitution: ξ a x 1 dξ dx 1 x 1 a ξ a x 1 a ξ 0 µ 0 0I ξ 4πa ξa ξ + a dξ µ [ 0I ( 1 ] 0 4πa )ln (ξ + a ) ξa µ ( 0I 4a 8πa ln + a ) µ 0I ln (5) a 8πa B(R ) µ ( 0I ˆxarctan () + ŷln ( ) 5) 4πa 67
7.7 En metallsfär med radien a ges en laddning Q och sättes i rotation med vinkelhastigheten ω kring en diameter. Antag att Q är jämt fördelad på sfärens yta. Beräkna det av rotationen orsakade magnetfältet i sfärens centrum. Varför är det en approximation att antaga homogen ytladdningstäthet? z ω Antag att ytladdningenn ρ s på sfären är konstant: a ρ s Q 4πa Betrakta ett strömrör som sträcker sig längs en latitud -cirkel på sfären. I detta strömrör finns laddningen dq som ges av dq ρ s ds ρ s a sin θ dθ dφ z och då dq snurrar med vinkel hastigheten ω ( dϕ/dt) fås strömmen i samma rör d.v.s. : ω di dq dt ρ sa sin θ dθ dϕ dt Qω 4π sin θ dθ θ di Man beräknar nu den magnetiska flödestätheten i centrum av sfären genom att summera bidrag från cirkulära strömbanor. Från formelsamlingen hämtas uttrycket för den magnetiska flödestätheten längs z-axeln orsakad av cirkulär strömbana. 68
~ z B( z) µ 0I b (b + z ) ẑ 3/ ~ z0 Man applicerar denna formel på den roterande sfären b I I di b a sin θ z a cos θ Bidrag till B i centrum av sfären från cirkulärt strömrör på sfärens yta db(z 0) ẑ {}}{ µ 0 (a sin θ) di [(a sin θ) + (a cos θ) ] 3/ ẑ µ0qω 8πa sin3 θdθ B(z 0) ẑ µ0qω 8πa ẑ µ0qω 8πa π θ0 sin 3 θdθ [ 1 3 sin θ cos θ ] π 3 cos θ ẑ µ0qω θ0 6πa }{{} 4/3 69
7.8 U-röret i figuren i uppgiftskompendiet innehåller en elektriskt ledande vätska med masstätheten η. Med hjälp av invändiga elektroder i kontakt med vätskan åstadkommer man ett approximativt homogent strömningsfält J inom det parallellepipediska området a b c. Inom samma område har man ett aproximativt homogent magnetfält B vinkelrätt mot J. Härled ett uttryck på höjdskillnaden h mellan vätskeytorna i de båda skänklarna, om strömmen i sändes genom vätskan. z c Man har: J J 0ˆx och B B 0 ẑ enligt figuren. a A F J b y x B Kraften per volymsenhet ges av (enligt F qv B) F V q { Obs! ρ q/ V V v B J ρv } den totala kraften på rätblocket abc ges av: J B ( J 0 ˆx) ( B 0 ẑ) J 0 B 0 ŷ F A F V abc J 0B 0 abc Kraften verkar på den skuggade ytan A med arean ab vilket ger upphov till trycket: P A F A ab J 0B 0 c 70
Nu studeras skänklarna på ytan B med okända arean ã b verkar kraften F B p.g.a. nivåskillnaden i skänklarna: h η densiteten hos rätshan F B mg ηv g η h ã b g B ~ b a ~ Vilken ger upphov till trycket: P B F B ã b η h g För jämvikt krävs att P A P B vilket ger att: J 0 B 0 c η h g h J 0B 0 c η g { Obs! I J 0 bc } IB 0 b η g 71
7.10 Vi har en magnetisk dipol och en metalltrådsring arrangerade enligt figuren nedan. Beräkna magnetfältet innanför ringen! Figur: z ẑ R ˆϕ θ fältpunkt b a θ källpunkt m mẑ y x Det magnetiska vektorpotentialen från den magnetiska dipolen ges av A µ 0m ˆR 1 4πR 1 { Obs! sin θ där man har a a + b } m ˆR 1 (mẑ) ˆR m sin θ ˆϕ ma a + b ˆϕ R 1 a + b Det omslutna magnetiska flödet fås genom Φ B ds ( A) ds {Stokes sats} S π ϕ0 ( S µ 0 m 4π(a + b ) ) a ˆϕ ( ˆϕ a dϕ) a + b L A dl µ 0 ma (a + b ) 3/ 7
7.15 En laddad partikel med massan m och laddningen q startar i origo med utgångshastigheten v 0 ŷv 0. Den rör sig genom ett magnetfält: B ẑ B 0 1 + y a Skissera i grova drag banan och undersök om det finns något, av v 0 beroende, största avstånd till xz-planet, som partikeln kan nå ut till! Ledning: Studera v x och v y! dv x dt dv x dy v y Vi använder oss av: F q(e + v B) ma, där kraften beräknas explicit: F qv B q Ur sambandet: F ma m dv dt ˆx ŷ ẑ v x v y 0 0 0 0 får vi komponentvis: q(ˆxv yb z ŷv x B z ) F x m dv x dt qv yb z (5) F y m dv y dt qv xb z (6) F x m dv z dt 0 (7) Där (3) medför att v z konstant 0 enligt begynnelsevillkoren partikeln kommer att finnas i xy-planet hela tiden. Vi använder nu kedjeregeln på (1) och (): m dv x dt mdv x dy dy dt mdv x dy v y qv y B z (8) 73
m dv y dt mdv y dx dx dt mdv y dx v x qv x B z (9) Då B z B z (y), använder vi oss av (4), som kan skrivas som: dv x dy qb 0 m 1 (1 + ( y a ) ) (6) v x (y) qb 0a m arctan (y a ) + ξ där ξ 0 enligt begynnelsevillkoren y(0) ẋ(0) 0. (10) Då F v hela tiden, kommer partikelns hastighet att vara konstan, d.v.s: v x + v x konstant v 0 Vi skissar partikelbanan: { v0 hastigheten vid tiden t 0 } y y(t) y max Det största avståndet från x-axeln fås då: v v 0ˆx, d.v.s: v y 0 (7) ger att v x ±v 0. Enligt (6) får vi att: v 0 B v F qv B x Om: v 0 qb ( 0a m arctan ymax ) a ( v0 m ) y max a tan qb 0 a v 0 m qb 0 a < π v 0 < πqb 0a m kommer partikeln tillbaka, och bildar en sluten bana. Om: v 0 πqb 0a m försvinner partikeln, och kommer aldrig mer tillbaka. 74
7.1 En rak strömförande ledare med cirkulärt tvärsnitt svävar utan mekaniskt stöd parallellt över ett stort horisontellt supraledande plan. Beräkna höjden över planet om ledarens masstäthet är η, radien a och strömstyrka I. Hur stor måste strömstyrkan minst vara för att ledaren ska lyfta från planet? Enligt ledningen änvänder vi speglingsmetoden. Den magnetiska flödestätheten från spegelledaren i punkten x 0 och y h ges av: y yh I B m g Supraledare z x B µ 0I π(h) ˆx y h I spegelledare Kraften som verkar på längden l av ledaren ges av: F m L Idl B l/ z l/ (Idz ẑ) ( ) µ0 I 4πh ˆx µ 0I l 4πh ŷ Kraftjämnvikt ska gäller för ledaren med längden l d.v.s. l F m mg µ 0 I l 4πh η V g η πa lg π a mg Höjden bestäms därmed ur: h µ 0I 4π a gη Krav för att ledaren ska lyfta är att h a. Den minimala strömmen fås då ur: agη I min πa µ 0 75
8. En cirkulär platta av magnetmaterial har radien a och tjockleken d. Plattan är homogent magnetiserad i axelriktningen (M M 0ˆx). a) Beräkna storlek och riktning på såväl B- som H-fältet i plattans medelpunkt. b) Vilken demagnetiseringsfaktor H/M får en tunn, mycket stor platta, magnetiserad enligt ovan? a/man beräknar de ekvivalenta magnetiska volym och ut strömtäthterna. d x z a MM 0 z^ y J m M (M 0 ẑ) 0 ẑ J ms M ˆn (M 0 ẑ) ˆr ẑ 0 på botten M 0 ˆϕ på manteln 0 på locket på botten på manteln på locket Den magnetiska flödestätheten integreras fram från den ekvivalenta magnetiska ytströmtätheten på manteln. B(R ) µ 0 J ms(r 1 ) R 1 ds S mantel 4πR1 3 1 R 1 aˆr + z 1 ẑ R 0 R 1 R R 1 aˆr z 1 ẑ R 1 a + z1 J ms R 1 (M 0 ˆϕ) ( aˆr z 1 ẑ) M 0 (a ˆϕ ˆr + z 1 ˆϕ ẑ) M 0 (a( ẑ) + z 1ˆr) M 0 (aẑ z 1ˆr) 76
Man inser att B(R ) B(R ) ẑ p.g.a. symmetrin. B(B 0) d/ z 1 d/ µ 0 M 0 aẑ 4π[a + z1] πadz 3/ 1 µ 0a M 0 d/ [ z 1 d/ dz 1 [a + z 1] 3/ ] d/ µ 0a M 0 µ 0M 0 z 1 a a + z 1 z 1 d/ ( ) d/ a + (d/) d/ a + ( d/) µ 0 M 0 d/ a + (d/) z B(B 0) µ 0 M 0 cos α α d/ d/ r a Det magnetiska fältet fås ur: B µ 0 (H + M) H µ 1 0 B M M 0 cos αẑ M 0 ẑ M 0 (cos α 1)ẑ b/ Demagnetiseringsfaktorn ges av: H M M 0 (cos α 1) M 0 cos α 1 lim H(α) α π M lim cos α 1 1 α π 77
8.5 På varsin halva av en järnring (se figur) finns två lindningar med olika antal varv, N 1 respektive N. a) De båda lindningarna kopplas så att flödena Φ 1 och Φ samverkar. Strömmen i lindningarna, I 1 ( I ), är given liksom permeabiliteten, µ µ 0 µ r. Beräkna flödet, Φ 3, genom mittenbiten! b) Vad måste I 1 vara, om I 0, för att få Φ 3 60/, µwb? Figur: a A 3 A Φ 1 III I 1 N 1 I II N I Φ 3 Φ A 1 a) Positiva flödesriktningar ges av positiva strömriktningar (jmf Stokes sats och Ampères lag). Där man har reluktanserna I: R 1 Φ 1 + R 3 Φ 3 N 1 I ( H dl I L inne) II: R 1 Φ + R 3 Φ 3 N I ( H dl I L inne) III: Φ 1 Φ + Φ 3 ( B ds 0) S R 1 l 1 µa 1 π a µa 1 R 3 l 3 µa 3 a µa 3 78
Eliminera Φ 3 i I och II med hjälp av III för att erhålla { R1 Φ 1 + R 3 (Φ 1 Φ ) N 1 I [ Φ1 Φ ] R 1 Φ + R 3 (Φ 1 Φ ) N I [ ] [ ] [ ] R1 + R 3 R 3 Φ1 N1 I R 3 R 1 + R 3 Φ N I ( ) 1 [ (R 1 + R 3 ) R R1 + R 3 R 3 3 R 3 R 1 + R 3 där man sätter (R 1 + R 3 ) R 3 för att erhålla ] [ N1 I N I ] Φ 1 N 1(R 1 + R ) + N R 3 Φ N 1R 3 + N (R 1 + R 3 ) Φ 3 Φ 1 Φ... (N 1 N )R 1 I Man har följande numeriska värden I I A 1 1, 10 4 A 0, 8 10 4 N 1 160 N 10 a 7, 5 10 I 10 3 µ r 150 µ 0 4π 10 7 Man beräknar nu Φ 3 Φ 3 (N 1 N )R 1 R 1 (N 1 N ) I I (N 1 N ) I R 1 + R 1 R 3 + R 3 R 3 R 1 + R 3 { R1 πa µa 1 10, 416 10 6 } R 3 a µa 3 9, 947 10 6 b) Man vill bestämma I 1 så att Φ 3 60µWb på följande sätt Φ 3 B 3 H 3 H B Φ Φ 1 B 1 H 1 I 1, 639 10 9 I 1 N 1 Φ 1 I III II Φ 3 60 10 6 B 3 Φ 3 /A 3 0, 75 Φ 3 Φ 79
B B 3 0, 75 T Använd magnetiseringskurvan för gjutjärn för att bestämma H 3. Ampères lag ( L H dl I inne) i slinga II ger att H 3 a H π a 0 H 3 400 A/m H H π H 3 800 Använd magnetiseringskurvan för gjutjärn för att bestämma B. Φ B A {A A 1 1, 10 4 } 78 10 6 Vidare ger B ds 0 kring punkten III S att Φ 1 Φ + Φ 3 138 10 6 B 1 Φ 1 /A 1 1, 15 B B 0, 65 T H 800 A/m H B B 1 1, 15 T Använd magnetiseringskurvan för att bestämma H 1. Ampères lag i slinga I ger att H 1 π a + H 3 a NI 1 H 1 0000 A/m H I 1 (πh 1 + H 3 ) a N 33, 4 A 80
9. Tre järnstavar, som vardera har reluktansen R, är sammanfogade i ändarna med stora järnblock, vilkas reluktans kan försummas. På stavarna ligger två lindningar med varvtalen N 1 och N. Beräkna självinduktanser, ömsesidig induktans, och kopplingsfaktor hos lindningarna! Ledning: Läckning försummas. I 1 N 1 I N R 0 φi φ II R R R I II l R 0 Ampères lag: ger: (jämför slinganalys) H dl I inne L { (I) :HI l + (H I H II ) l I 1 N 1 } Multiplicera med 1 R vilket ger att: Självinduktanserna fås ur: (II) :(H II H I ) l + H II l I N och använd att: φ BS µhs. { φ I φ II I 1N 1 R φ I + φ II I N R [ φ I φ II ] [ 1 1 [ I1 N 1 + I N I 1 N 1 + I N } ] [ I1 N 1 ] ( R 1 I N R 3) ] ( 1 ) 3R L 11 Λ 11 I 1 N 1φ 11 I 1 { φ 11 flödet genom N 1 orsakat av I 1 φ I då I 0 } N 1 I 3R (I 1 1N 1 + 0) N 1 1 3R 81
L Λ I N φ I { φ flödet genom N orsakat av I φ II då I 1 0 } Ömsesidig induktans: N I 3R (0 1 + I N ) N 3R M 1 Λ 1 I 1 N φ 1 I 1 { φ 1 flödet genom N orsakat av I 1 φ II då I 0 } Kopplingsfaktor: N I 3R (I 1 1N 1 + 0) N 1N 1 3R (Obs! k 1 ) k M 1 L11 L N 1 N 3R N 1 N 3R 3R 1 8
9.11 På den magnetiska kretsen i är en ledning lindad enligt här figuren intill. Tvärsnittsytan är A och den relativa permeabiliteten är µ r. De båda lindningarna är seriekopplade så att dess flöden i de båda ekrarna samverkar. Beräkna induktanse hos denna tvåpol. I den magnetiska kretsen har man permeabiliteten µ tvärsmittsarean A och l (π/3)l 1 ur figuren. I I l 1 N l I N l 1 II III l l 1 l Slinganalys (Ampère s lag: L H dl I inne) ger att: H I l + (H I H II )l 1 + (H I H III )l 1 NI + NI H II l + (H II H III )l 1 + (H II H I )l 1 NI H III l + (H III H I )l 1 + (H III H II )l 1 NI Vilket ger det följande ekvations system: (l + l 1 )H I l 1 H II l 1 H III NI l 1 H I + (l + l 1 )H II l 1 H III NI Man erhåller därmed (Φ BA µha): l 1 H I l 1 H II + (l + l 1 )H III H I IN 3l 1 +l Φ I µa 3l 1 +l IN H II IN 3l 1 +l Φ II µa 3l 1 +l IN H III IN 3l 1 +l Φ III µa 3l 1 +l IN 83 NI
Det länkade flödet blir då: Λ N(Φ II Φ I ) + N(Φ I Φ III )... 6N µa 3l 1 + l I och induktansen ges av: där µ µ 0 µ r L Λ I 6N µa 3l 1 + (π/3)l 1 18N µa (9 + π)l 1 84
10. Beräkna inducerad spänning per längdenhet i dubbelledaren -3, om strömmen i I cos ωt flyter i ledare 1. De tre ledarna är mycket långa. Man betraktar ett stycke av dubbelledaren. Låt detta stycke ha längden L. Man använder nu den magnetiska flödestätheten B för att beräkna flödet Φ genom ytan S. 3 S b a i y z 1 x h Vilket ger flödet: Φ S µ 0iL π B ds B(R ) µ 0 i ˆϕ πr 1 R 1 0 R x ˆx + hŷ R 1 x + h B(R ) a x a b [ 1 ln x + h ˆϕ ẑ R R µ 0 i(x ŷ hˆx) π(x + h ) ] a Den inducerade spänningen blir då: x a b x ŷ hˆx x + h µ 0 i π(x + h ) (x ŷ hˆx) µ 0iL 4π ( ŷldx ) µ 0iL π ( ) (a + b) ln + h a + h a x a b x x + h dx d [ ( )] µ0 I cos(ωt)l (a + b) + h ln dt 4π a + h [ ] V L µ 0Iω sin(ωt) (a + b) + h ln 4π a + h V dφ dt µ 0Iω sin(ωt)l 4π ln ( ) (a + b) + h a + h Obs! Man kan lösa den här uppgiften på ett enklare sätt! Vet du hur? 85
10.4 Ett roterande kopparrör innesluter nordpolen och omsluts av sydpolen på en magnet. Flödet är givet. Hur fort måste kopparröret rotera för att spänningen V 10 V skall induceras mellan rörets ändar? Figur: S N S ω z V Man har att det totala magnetiska flödet mellan polerna är Φ 0, 5 Wb. Bestäm antalet varv per minut, n, för att spänningen V 10 V skall induceras. dφ dt flödesenheter tidsenheter V dφ dt flödesenheter varv varv minut minut tidsenhet Φ n 1/60 V Φ n 1 60 n 60 V Φ 60 10 0, 5 400 86
10.6 I samma plan som en rektangulär trådslinga med resistansen R och självinduktansen L ligger en lång, rak ledare med strömmen i 1 I 0 cos (ωt). Återledaren ligger på stort avstånd från den rektangulära slingan. a. Beräkna den ömsesidiga induktansen M! b. Beräkna strömmen i i slingan! c. Beräkna momentana magnetiska kraften F (t) på slingan som helhet! d. Beräkna tidsmedelvärdet av kraften < F >! Ledning: i 1 Utnyttja jω-metoden i deluppgift b.! φ i a b Vi skriver strömmen i 1 (t) I 0 cos (ωt) på komplex form: i 1 I 0. c (a) Flödet genom rektangeln (svarar mot i ) orsakat av i 1 ges av: φ 1 b ra Alltså: M 1 N φ 1 i 1 b B ds B ϕ (r)cdr S ra µ 0 i 1 πr cdr µ 0i 1 c ( b ) π ln a { } Obs! N 1 µ ( 0c b ) π ln a (b) Med komplex räkning och Faradays lag, får vi den inducerade spänningen i slingan ur: V jωφ jωm 1 i 1 ωµ ( 0cI 0 b ) π ln e j π a Slingan representeras av den ekvivalenta kretsen. Strömmen i ges då av: V + 87 R + jωl i
i 1 R + jωl V R jωl R + (ωl) ( jωm 1I 0 ) jωrm 1I 0 ω LM 1 I 0 R + (ωl) { } { ( )} i (t) R i e jωt R i cos (ωt) + jsin (ωt) ω LM 1 I 0 R + (ωl) cos (ωt) + ωrm 1I 0 R sin (ωt) + (ωl) Detta kan även skrivas på följande form: i V [R + (ωl) ] 1 e (j arctan ( ωl R )) i (t) (c) Kraften på slingan ges av: ωm 1 I 0 e j π [R + (ωl) ] 1 e j arctan ( ωl R ) I e jϕ ωm 1 I 0 cos (ωt π ( ωl [R + (ωl) ] 1 arctan R { } Obs! cos ( π α) sin (α) ωm 1 I 0 [R + (ωl) ] 1 F ( ωl sin (ωt arctan R F IV i dl B L I B III ) ) i 1 F i dl F { Obs! Bidragen till kraften från kortsidorna II och III tar ut varandra! ) ) } II F ˆri c µ 0i 1 πa + ˆri c µ 0i 1 πb ˆr cµ ( 0 1 π a 1 ) ωm 1 I 0 I 0 cos (ωt) b R [ ωlcos (ωt) + Rsin (ωt)] + (ωl) (d) Tidsmedelvärdet av kraften fås ur: 88
< F > 1 T T t0 F (t)dt ˆr cµ ( 0 1 π a 1 ) ωm1 I 0 1 T ( ωlcos b R + (ωl) (ωt) + Rsin (ωt)cos (ωt) ) dt T t0 ˆr cµ ( 0 1 π a 1 ) ωm1 I 0 1 ( [ t b R + (ωl) ωl T { Obs! (T 1 f ) ωt πft π ˆr cµ ( 0 1 π a 1 ) ωm 1 I 0 1 ( b R + (ωl) T sin (ωt) ] T + R 4ω t0 } ˆr cµ ( 0 1 4π a 1 ) ω M 1 LI 0 b R + (ωl) ωl T R 0 ) [ cos (ωt) ω ] T t0 ) 89
10.10 En tunn skiva enligt figuren intill placeras i det homogena magnetfältet B B 0 cos ωt. Beräkna medeleffektutcecklingen i skivan. Försumma fältet från de i skivan inducerade strömmarna. B(t) z Man har att: B(t) B 0 cos(ωt)ẑ σ a h Då magnetfältet från de i skivan inducerade strömmarna kan försummas skriver man E E ϕ (r) ˆϕ i skivan, d.v.s. p.g.a. cirkulär symmetri blir det elektriska fältet som driver de inducerade strömmarna konstant för fixt avstånd till z-axeln. Faraday s lag ger: E B t E dl dφ L dt [ πr B 0 cos(ωt) ] πre ϕ (r) d dt E ϕ (r) πr πr B 0ω sin(ωt) B 0r ω sin(ωt) Den utvecklade effekten ges då av: P V skivan J E a r0 σ ( B0 r B 0 σ π h ω B 0 σ π h a 4 8 { obs! J σe } a r0 ω sin(ωt)) π r h dr [ r sin 4 (ωt) 4 ω sin (ωt) ] a r0 σe ϕ(r)π r h dr 90