AFR Kompendium Delhefte: 3.1 Finansielle metoder Førstelektor Jon Mjølhus FINANSMARKEDER Kompendiet dekker kunnskapskravene for emneområdet finansmarkeder. Kravene er definert av Finansnæringens autorisasjonsordninger i fagplanen til kunnskapsprøven for finansielle rådgivere.
BI Bank og Forsikring, mars 2018 Redaktør: Hans Jørgen Lund Forfatter: Førstelektor Jon Mjølhus ISBN 978-82-8247-238-8 Layout og produksjon: Keops a.s, Asker Adresse: Handelshøyskolen BI BI Bank og Forsikring 0442 Oslo Besøksadresse: Nydalsveien 37, Oslo Telefon: 46 41 00 11 E-post: bankogforsikring@bi.no www.bi.no/bankogforsikring Innhold Emneområde 3: 3.1 Finansielle metoder...3 3.1.1 Nominell og effektiv rente...4 Nominell rente...4 Effektiv rente...4 Effekt av antall renteberegninger...6 3.1.2 Internrente...9 Aritmetisk og geometrisk avkastning...11 Pengevektet og tidsvektet avkastning...14 3.1.3 Nåverdi...16 Det må ikke kopieres fra dette kompendiet ut over det som er tillatt etter bestemmelsene i «Lov om opphavsrett til åndsverk», «Lov om rett til fotografi» og «Avtale mellom Staten og Rettighetshavernes organisasjoner om kopiering av opphavsrettslig beskyttet verk i undervisnings virksomhet». Brudd på disse bestemmelsene vil bli anmeldt. 2
3.1 Finansielle metoder Beskrivelse Dette fagemnet omhandler begreper om og selve beregningene av avkastning, samt grunnlaget for beregninger av verdier i aksje- og obligasjonsmarkedet. Delemner og kunnskapskrav 1.1.1 Nominell og effektiv rente Kandidaten skal kunne gjengi hva nominell og effektiv rente er, og forstå sammenhenger som angår nominell og effektiv rente. Kandidaten skal videre kune beregne og anslå nominelle og effektive renter, blant annet påløpt rente og effektiv årlig avkastning. 1.1.2 Intern rente Kandidaten skal kunne gjengi hva internrente er, forstå sammenhenger som angår internrente og kunne anslå størrelsen. 1.1.3 Nåverdi Kandidaten skal forstå betydningen av nåverdiberegningen (kursgrunnnlaget) og hva som påvirker størrelsen på nåverdien og videre kunne beregne nåverdi. Kunnskapsnivå Fakta Forståelse Anvendelse Fakta Forståelse Anvendelse Fakta Forståelse Anvendelse 3
3.1.1 Nominell og effektiv rente Her skal du kunne gjengi hva nominell og effektiv rente er forstå sammenhenger som angår nominell og effektiv rente kunne beregne og anslå nominelle og effektive renter, blant annet påløpt rente og effektiv årlig avkastning. Renten er prisen på penger. Og den kommer i mange varianter: Nominell rente Den nominelle renten er den løpende pålydende rente i en bestemt periode, vanligvis angitt for en periode på ett år. Tillegget pro anno, eller forkortelsen p.a, presiserer at renten gjelder per år. Uttrykket nominell rente brukes i to sammenhenger: For å skille fra realrente, som er etter fratrekk for prisstigning 4 For å skille fra effektiv rente, som er etter effekt av antall renteberegninger og fratrekk av gebyrer Vi ser her bare på sistnevnte. Effektiv rente Når det tilkommer gebyrer eller når renten beregnes oftere enn én gang i året, vil den effektive renten bli høyere enn den nominelle. Forskjellen kan bli betydelig for små lån fordi gebyrene er en fast sum som er uavhengig av lånebeløpet. Faktisk rente er et annet brukt uttrykk for effektiv rente.
Eksempel Effekt av gebyr Du tilbys et forbrukslån på 100 000 kroner. Lånet løper i ett år og skal da betales tilbake i sin helhet. Nominell rente er 6 %. Det påløper et gebyr på 2 000 kroner idet lånet tas opp. Hva er den effektive renten? Svar: Setter opp en oversikt over hva som faktisk blir inn- og utbetalt i forbindelse med lånet: Periode 0 1 Lån 100 000 Gebyr 2 000 Faktisk utbetalt 98 000 Tilbakebetaling lån 100 000 Renter i perioden 6 000 Faktisk innbetalt 106 000 Faktisk ut- og innbetalt 98 000 106 000 5 Nå kan vi beregne den effektive renten ved hjelp av internrentemetoden (se mer om denne under pkt. 3.1.2). Der ser vi på faktiske inn- og utbetalinger. På grunn av gebyrene utbetales effektivt 98 000 kroner. I slutten av perioden betales lånet på 100 000 kroner tilbake samt 6 % rente på lånebeløpet, til sammen 106 000 kroner. Da løser vi denne ligningen for å finne den effektive renten: 106 000 98 000 = ( 1 + reff ) r eff = 8,16 % Vi ser altså at den effektive renten er 8,16 % mot nominell rente på 6,00 %
Effekt av antall renteberegninger Den effektive renten vil også avvike fra den nominelle dersom det beregnes rente oftere enn den nominelle renten angir. Nominell rente er nesten alltid oppgitt som en årlig rente (p.a.), mens de fleste lån renteberegnes oftere, gjerne kvartalsvis eller månedlig. Da får vi nemlig renters rente-effekten. Det vil si at renten for neste periode beregnes av et litt høyere beløp fordi renten for forrige periode er lagt til (som typisk gjelder ved innskudd der renteinntektene legges til hver periode). La oss se på et annet, enkelt eksempel. Vi tar bort gebyret for å isolere effekten av periodevise renteberegninger. Eksempel Effektiv rente ved renters rente Du tilbys et forbrukslån på 100 000 kroner. Lånet løper i ett år og skal da betales tilbake i sin helhet. Nominell rente er 6 %. Lånet renteberegnes hvert kvartal. Hva er den effektive renten? Svar: Nå beregnes det rente av lånet hvert kvartal. Disse rentene betales ikke inn, men legges til lånet som innfris med renter i slutten av året. Den årlige renten er 6 %, som per kvartal blir 1,5 % (fordi det er fire kvartaler i et år blir renten 6 %/4). Vi setter opp en oversikt over faktiske inn- og utbetalinger: 6
Periode 0 1. kvartal 2. kvartal 3. kvartal 4. kvartal Lån 100 000 Faktisk utbetalt 100 000 Tilbakebetaling lån 100 000 Renter påløpt i perioden 1 500 1 523 1 545 1 569 Sum renter innbetalt 6 136 Sum faktisk innbetalt 106 136 Faktisk ut- og innbetalt 100 000 - - - 106 136 Effektiv rente per kvartal 1,50 % Vi ser her at den effektive renten er den samme som den nominelle kvartalsvise renten, som vi fant ved å dele 6 % på 4 (kvartaler). Siden det ikke er noen gebyrer i dette eksempelet, kan vi, mye enklere, bare bruke formelen for omregning til årlig rente: 7 årlig nominell rente Årlig effektiv rente = 1 + antall renteperioder antall renteperioder Eller med symboler: r eff = 1 + R n n der R = årlig nominell rente n = antall perioder det skal beregnes rente for
Vi setter inn: r eff = 1 + 0,06 4 r eff = 0,0614 = 6,14 % 4 Jo oftere rente beregnes, jo høyere blir den effektive renten. Vi kan bruke samme formel for å beregne effektiv avkastning på det samme lånet hvis renten beregnes månedlig (12 ganger i året): r eff = 1 + 0,06 12 12 = 6,17 % Mens låntagerens kostnad øker når renten beregnes flere ganger i året, øker långiverens avkastning tilsvarende. For å beregne långiverens effektive avkastning, brukes samme metode. Dette er for øvrig det samme som renters rente på et bankinnskudd. Da låner du penger til banken. Renten for neste periode beregnes av innskuddet pluss tillagte renter. 8 Jo oftere renten beregnes, jo høyere blir den effektive renten, men effekten flater fort ut. La oss se på hva 10 prosent årlig nominell rente blir effektivt når det forrentes oftere: Hvert kvartal: r eff = 1 + r 4 1 = 10,381 % Hver måned: r eff = 1 + r 12 12 1 = 10,471 % Hver dag: r eff = 1 + r 360 360 1 = 10,516 % Hver time: r eff 8640 r = 1 + 8640 1 = 10,517 % 4
3.1.2 Internrente For å finne den effektive renten i eksempelet over bruker vi den såkalte internrenten. Internrenten er en rente som bestemmes «internt», det vil si utelukkende av kapitalen som er investert. Internrente er definert som det avkastningskravet, også kalt diskonteringsrenten, som gir en nåverdi lik null. Internrenten (IR) finner vi dermed ved å sette nåverdien lik investeringssummen: Investering = Utbetaling periode 1 1 + IR ( ) Utbetaling periode 2 + 1 + IR ( ) 2 + + Utbetaling periode n ( 1 + IR) n Eller skrevet på en annen måte: Vi finner internrenten ved å løse denne ligningen med hensyn på IR. Setter derfor dette til 0: 0 = Investering + Utbetaling periode 1 1 + IR ( ) Utbetaling periode 2 + 1 + IR ( ) 2 + + Utbetaling periode n ( 1 + IR) n 9 Eksempel Beregning av avkastning ved internrenten Du kjøpte aksjer for 100 000 kroner for to år siden. Etter ett år fikk du 10 000 kroner i utbytte, og etter to år fikk du nye 10 000 kroner i utbytte pluss 150 000 kroner da du solgte dem.
kr 200 000 kr 150 000 kr 100 000 Kjøp og salg av aksjer kr 50 000 kr 0 kr 50 000 kr 100 000 0 1 2 Figur 3.1.1: Inn- og utbetalinger fra en aksjeinvestering. Hva er din avkastning? Svar: Vi bruker formelen for internrente for å finne internrenten (IR): 10 100 000 = 10 000 10 000 + 150 000 + ( 1 + IR) ( 1 + IR) 2 Dette er en annengradsligning som vi løser med hensyn på IR. Vi kan enten bruke kalkulator eller funksjonen = IR i Microsoft Excel (= IRR i engelsk utgave) og finner internrente slik:
Det betyr at du har hatt en periodeavkastning på 32 prosent. I dette eksempelet en årlig avkastning. Man bør være varsom med å bruke internrenten i investeringssammenheng. At én investering har en antatt internrente på 15 %, behøver ikke å bety at det er mer lønnsomt enn en annen som har en antatt internrente på 10 %. Forskjellen i risiko kan i stedet tilsi at alternativet på 10 % er mer lønnsomt enn det på 15 %. Internrenten er kort og godt den renten som gir en nåverdi lik null. Det må ikke forveksles med at avkastningen er lik null, men at investeringen er akkurat lønnsom nok i forhold til risikoen som er involvert og alternativ, risikofri plassering. Internrentemetoden brukes til å beregne en kundes pengevektede avkastning. Det vil si hva kunden faktisk har fått i avkastning på sine investerte midler, og ikke hva slags avkastning investeringen har hatt (se senere). 11 Aritmetisk og geometrisk avkastning Før vi går nærmere inn på det, kan vi se på to måter å beregne den historiske avkastningen på. I det ene tilfellet tar vi ganske enkelt gjennomsnittet av de periodevise avkastningene. I det andre tar vi med effekten av «renters rente». Eksempel Aritmetisk avkastning Anta at du har kjøpt en aksje til 100 kroner. Etter ett år får du et utbytte på 10 kroner. Du selger samtidig aksjen for 110 kroner. Avkastningen for år 1, r 1, blir da: r 1 = ( 110 + 10) 100 = 20 = 0,2 = 20% 100 100
Anta at du ikke selger aksjen og at aksjens verdi påfølgende år (om to år) er uendret på 110 kroner, men fortsatt gir et utbytte på 10 kroner også ved utgangen av år 2. Aksjens avkastning i år 2 er da: r 2 = ( 110 + 10) 110 = 10 = 0,09 = 9% 110 110 Aksjens gjennomsnittlige aritmetiske avkastning er dermed ( r A = r 1 + r 2) = 2 ( 0,20 + 0,09) = 0,145 = 14,5% 2 Dette er ikke en helt korrekt beregning av den faktiske avkastningen på. Den tar nemlig ikke hensyn til renters-rente-effekten. Den beregnes ved å ta det geometriske snittet. 12 Eksempel Geometrisk avkastning Vi bruker samme tall som i eksempelet over der avkastningen det første året var 20 % og det andre året 9 %. Hvis vi skal ta hensyn til renters rente-effekten, blir avkastningen over to perioder: (1 + r G ) 2 = (1 + r 1 ) (1 + r 2 ), som i eksempelet blir (1 + r G ) 2 = 1,308 som er to-årsavkastningen. For å finne gjennomsnittlig (årlig) avkastning, må vi ta n-te-roten, som her blir kvadratroten og trekke fra 1 for å få endringen: r G = ( 1 + 0,2) ( 1 + 0,09) 1 = 0,144 = 14,36%
Forskjellen fra aritmetisk gjennomsnitt er i dette tilfellet svært liten. Forskjellen kan imidlertid bli stor om svingningene er større. Eksempel Aritmetisk avkastning del II Anta at du kjøper en aksje for 100 kroner. Det første året har du en avkastning på 100 %, mens det andre året viser en avkastning på minus 50 %. Hva er da verdien av aksjen etter år to? Svar: Den er fortsatt 100. Dette skjer fordi pengene doblet seg i løpet av ett år, men halverte seg året etter. Dersom du bruker aritmetisk gjennomsnittsavkastning på dette, blir resultatet: r A = 1 + ( 0,5 ) = 0,25 = 25% 2 13 Men i kroner og øre er vi like langt! Som vi ser, er det en stor forskjell på aritmetisk og geometrisk avkastning her. Men dette må jo være misvisende når du faktisk sitter igjen med de samme pengene som for to år siden. Hvordan blir avkastningen dersom man benytter geometrisk gjennomsnitt? ( 1 + r G ) = ( 1 + 1) ( 1 0,5) r G = 1 1 = 0% Forskjellen er at aritmetisk avkastning antar at du beholder gevinsten på 100 % og at det opprinnelige beløpet halverer seg. Geometrisk avkastning antar at gevinsten reinvesteres. Geometrisk avkastning kan derfor egne seg best for å måle historisk
(faktisk) avkastning på, mens aritmetisk avkastning, av grunner det ikke er plass å gå inn på her, er den beste metoden å beregne fremtidig avkastning. Pengevektet og tidsvektet avkastning Dersom kundens størrelse på plasseringen (investert kapital) endrer seg som følge av inn- og utbetalinger i investeringsperioden, vil vi få forskjell på såkalt tidsvektet avkastning og pengevektet avkastning. Vi går tilbake til eksempelet foran og ser på hvordan kundens avkastning vil kunne avvike fra aksjens avkastning når det er forskjell på hvor mye kapital som er investert i de to periodene. Eksempel Penge- og tidsvektet avkastning Du kjøper enda en aksje i slutten av år 1 for 110 kroner. Ved utgangen av år 2 selger du begge aksjene for 110 kroner. Du får da også et utbytte på 10 kroner per aksje. Hva er avkastningen? Svar: Gjennomsnittlig avkastning på aksjene er som før: 14 r 1 = ( 110 + 10) 100 = 20 = 0,2 = 20 % 100 100 Anta at du ikke selger aksjen og at aksjens verdi påfølgende år (om to år) er uendret på 110 kroner, men fortsatt gir et utbytte på 10 kroner også ved utgangen av år 2. Aksjens avkastning i år 2 er da: r 2 = ( 110 + 10) 100 = 10 110 110 = 0,9 = 9 % Aksjens gjennomsnittlige avkastning er dermed som før:
( r A = r 1 + r 2) = 2 ( 0,20 + 0,09) = 0,145 = 14,5 % 2 Men avkastningen på din investerte kapitalen blir den pengevektede avkastningen: ( 110 + 10) 2 110 + 10 0 = 100 + + ( 1 + IR) 1 + IR 0 = 100 + 100 ( 1 IR) + 240 ( 1 + IR) 2 ( ) ( ) 2 Vi løser denne ligningen med hensyn på internrenten, IR, ved f.eks. Excel og får 12,8 %: 15 Vi ser at din årlige avkastning på 12,8 %, også kalt pengevektet avkastning, avviker fra aksjens årlige avkastning på 14,5 %. Det skyldes at du har mer penger investert i den perioden hvor avkastningen er relativt dårligst.
Merk at alle fond og indekser er oppgitt som tidsvektet avkastning. Den enkelte investors faktiske avkastning vil som regel avvike fra dette fordi investert beløp vil kunne variere. 3.1.3 Nåverdi Her skal du lære betydningen av nåverdiberegningen (kursgrunnlaget) hva som påvirker størrelsen på nåverdien å beregne nåverdi En krone i dag er mer verd enn en krone i morgen, heter det. Det betyr at i valget om å få et beløp i dag eller det samme beløpet en gang i fremtiden, så bør vi velge å få beløpet i dag. Hvorfor? Jo, du kan jo bruke pengene i dag (i stedet for å måtte vente) sette beløpet i banken og tjene renter på dem risikere at prisene på det du kjøper stiger slik at kjøpekraften på pengene reduseres 16 Dette betyr at det har en verdi å motta penger i dag fremfor å motta dem i fremtiden. Denne verdien kalles gjerne tidsverdien av penger. 1 For å kunne sammenligne verdien av et beløp i fremtiden med et beløp i dag, må vi regne om, også kalt diskontere, det fremtidige beløpet til dagens pengeverdi. Da vil 1 I tillegg kan jo den som skal betale beløpet i fremtiden har gått konkurs. Denne risikoen kommer vi nærmere tilbake til i 3.2
du kunne vurdere om det er bedre å motta et beløp i fremtiden fremfor i dag. Eller sagt på en annen måte: Ved å diskontere et fremtidig beløp kan vi se om det er lønnsomt å investere pengene i stedet for å bruke dem i dag. Diskontering skjer ved å dele det fremtidige beløpet med en diskonteringsrente. Det blir som å renteregne en fremtidig sum tilbake til dagens verdi. Diskonteringsrenten er summen av flere elementer, eller «kompensasjoner»: Kompensasjon for å utsette konsumet («utålmodighetskostnaden») Kompensasjon for tapt kjøpekraft («inflasjonskostnaden») Kompensasjon for risikoen for at investeringen helt eller delvis kan gå tapt («kreditt- eller markedsrisiko») Vi skal ikke her gå nærmere inn på metodene for å bestemme diskonteringsrenten. 17 Diskonteringsrenten bestemmer dermed hva et fremtidig beløp er verd i dagens pengeverdi. Dersom du velger å plassere pengene i aksjer eller på en bankkonto, må du vurdere om dette er lønnsomt ved å gjøre en såkalt nåverdiberegning. Først da sammenligner vi «epler med epler» altså de fremtidige pengebeløpene med dagens pengeverdi. Dersom den eller de fremtidige beløpene, omregnet i dagens pengeverdi, er større enn dagens beløp, er investeringen eller plasseringen lønnsom. Ofte ser vi på differansen mellom de fremtidige og dagens pengebeløp, også kalt netto nåverdi. Er nettodifferansen positiv, dvs. dersom fremtidige beløp omregnet til dagens pengeverdi dagens beløp > 0 vil investeringen/plasseringen være lønnsom.
Er den negativ, dvs. dersom fremtidige beløp omregnet til dagens pengeverdi dagens beløp < 0 vil investeringen/plasseringen være ulønnsom. Hva når fremtidige beløp omregnet til dagens pengeverdi dagens beløp = 0? Da gir investeringen/plasseringen en avkastning nøyaktig lik den vi krever. Altså akkurat lønnsom. Eksempel Nåverdi av en aksje Du tilbys en aksjeinvestering. Aksjen koster 100 kroner i dag og er forventet å stige til 120 kroner om tre år. Aksjen betaler ikke utbytte. Bør du kjøpe aksjen? Svar: Svaret er avhengig av hva slags avkastning du mener du bør kreve. Dette kravet, kalt avkastningskravet, blir da diskonteringsrenten du skal bruke. La oss foreløpig bare anta at kravet ditt til avkastning bør være 10 prosent per år. Da blir nåverdien av de 120 kronene: 18 Nåverdi = 120 ( 1 + 0,10) = 90,16 3 som er mindre enn de 100 kronene aksjen kostet i dag. Det vil si at nåverdi investeringsbeløp < 0 altså ikke lønnsom. Vi kan finne svaret på en annen måte også, men her bare for illustrasjonens del. Vi kan se på hva aksjeinvesteringen på 100 bør vokse til i fremtidig verdi.
Hvis avkastningskravet vårt er 10 %, hva bør aksjen være verd om tre år? Da bør aksjen kaste 10 % av seg hvert år, og vi får ordinær renteregning: Det første året: 100 + (100 10 %) = 100 (1 + 0,10) = 110 Det andre året: 110 + (110 10 %) = 110 (1 + 0,10) = 121 Det tredje året: 121 + (121 10 %) = 121 (1 + 0,10) = 133 Beløpet forrentes med 10 % hvert år. Det tilsvarer en faktor på (1 + 0,10) hvert år i tre år. Vi kan derfor skrive dette slik: 100 (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) = 133 som kan trekkes sammen til 100 (1 + 0,10) 3 = 133 Fremtidig verdi bør være 133, mens aksjen bare stiger til 120. Når vi finner nåverdien, regner vi motsatt. Det vil si at vi ikke multipliserer med (1 + 0,10) tre ganger, men deler på (1 + 0,10) tre ganger: 19 100 = 133 ( 1 + 0,10) 3 Hvor stor avkastning ga aksjen i eksempelet over? Da kan vi løse denne ligningen: 100 = 120 ( 1 + r) 3 r = 0,063 = 6,3 %
Det er det samme som internrenten. Siden vårt krav til avkastning (10 %) er høyere enn internrenten, er investeringen ikke lønnsom. Internrenten sier i seg selv ikke om noe om investering er lønnsom. Det er bare dersom vi har et avkastningskrav vi kan avgjøre lønnsomheten. 20