Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 2004 SØK 1002: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer det studentene har levert inn. Besvarelsene har i varierende grad feil og mangler, i både oppsett og innhold. Det er derfor viktig å lese kommentarene til besvarelsen. Besvarelsen vil også kun vise en av flere mulige fremgangsmåter. OBS!! Denne besvarelsen inneholder flere sider scannet tekst. Dette betyr at disse sidene vil ta lang tid å skrive ut. Faktor takker - alle som har tilbudt sine besvarelser - alle som har lagt arbeid ned i å få dette gitt ut - Ragnar Torvik for kommentarer til besvarelsen Innhold: Oppgave Besvarelse
Eksamensbesvarelse i SØK 1002, vår 2004 Oppgave 1 a) Gjør rede for hvordan vi utleder husholdningens etterspørselsfunksjoner. Antar at husholdningene ønsker å konsumere to goder x 1 og x 2. Disse er ofte slik sammensatt at x 1 representerer et gode vi vil undersøke inntekts- og prisendringseffekter på, mens det andre er et samlegode som inneholder alle andre goder husholdningene etterspør. Evt. kan x 1 representere klær og x 2 mat, men generelt er det to goder. Prisene på godene er p 1 og p 2, og husholdningens inntekt er m. Husholdningens budsjettrestriksjon kan da skrives p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 1). I et tofaktordiagram kan dette fremstilles som en budsjettlinje, som avgrenser husholdningens mulige godekombinasjoner. Husholdningen har altså råd til alle godekombinasjoner som ligger på og innenfor budsjettlinjen: x 2 = m - p 1 * x 1 2) P 2 p 2 2) er en rett linje med stigningstall x 2 = - p 1, x 1 som skjærer x 2 -aksen i m og x 1 aksen i m. x 2 p 2 p 1 m. p 2 m. p 1 x 2 I tillegg til budsjettet 1) har husholdningene også ulik smak/preferanser. Disse kan fremstilles matematisk u.h.a en nyttefunksjon, for eksempel slik (generelt) U = U(x 1,x 2 ) 3). Nyttefunksjonen gir i et tofaktordiagram konvekse (for pene preferanser) indifferenskurver, der alle godekombinasjoner som ligger på samme indifferenskurve gir husholdningen samme nytte, det vil si i figuren vil kombinasjonene (x 1 A, x 2 A ) og (x 1 B, x 2 B ) gi husholdningen samme nytte husholdningen vil være indifferent mellom godekombinasjon A og B. (x 1 C, x 2 C ) vil imidlertid ligge på et høyere indiff.kurve og dermed vil C gi husholdningen høyere nytte, selv om x 1 B = x 1 C.
En viktig egenskap ved indifferens kurvene/nyttenivåene er at de ikke gir noen størrelse i forhold til hverandre, ut over at U 2 gir et høyere nyttenivå enn U 1. U 2 gir altså ikke nødvendigvis dobbelt så høy nytte som U 1, men U 2 gir husholdningen høyere nytte/de kommer bedre ut enn i U 1. Dette gjelder alle punkter på U 2 >U 1. Fra 3) og 1( ser vi da at konsumenten står overfor en situasjon der han vil ha mest mulig av begge goder for å oppnå høyest mulig nyttenivå, men at budsjettlinjen hindrer husholdningen i å få uendelig av alt. Sammenhengen mellom 1) og 2) blir da at husholdningen ønsker å maksimere nytten gitt budsjettrestriksjonen, dvs. å komme på et høyest mulig inndiff. kurve, gitt priser og inntekt. Dermed får vi et maksimeringsproblem som matematisk ser slik ut: Max U(x 1 x 2 ) x 1 x 2 gitt p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (Vi bruker ofte Lagranges metode for å løse dette. Se senere i oppgaven ) Ved løsning benytter vi at i optimum må indiff. kurven tangere budsjettlinjen. Helningen på b.l. er gitt over = - p 1 /p 2. Helningen på indiff. kurvene er gitt ved forholdet mellom grensenyttene mu til godene ( dvs. mu = hvor mye høyere nytte man får hvis et av godene øker og det andre holdes konstant). Forholdet kalles marginal substitusjonsbrøk, MRS, og fremkommer slik: (tegnet i forrige figur). MU 1 = U(x 1 x 2 ) ; MU 2 = U(x 1 x 2 ) x 1 x 2 MRS = - MU 1 = - U(x 1 x 2 ) MU 2 x 1. MRS er altså tangenten til U(x 1 x 2 ) indiffkurvene i ethvert punkt x2 I optimum må helningen på indiffkurven, dvs MRS være lik helningen på budsjettlinjen (tangeringsbetingelsen). Nytteøkn. langs indiffkurven er 0: MRS = 0 : MP 1 + MP 2 = 0 MRS = - MP 1 MP 2
Da får vi MRS = - U(x 1 x 2 ) x 1. = - p 1 /p 2 4) U(x 1 x 2 ) x 2 I figur: Vi ser at i (*) er tangeringsbetingelsen oppfylt, og husholdningen har optimal tilpasning i (x 1 *x 2 *). Dermed vil etterspørselen etter godene bestemmes av x 1 * og x 2 *. Generelt vil da etterspøselen være avhengig av prisene p 1 og p 2 og inntekten m. Altså x 1 (p 1 p 2 m og x 2 (p 1 p 2 m). En annen måte å finne etterspørselen er for husholdningen (som i motsetning til den vi har sett på over som er nyttemaksimerende) som er inntektsminimerende. De tar utgangspunkt i et gitt nyttenivå ū og prisene, og tilpasser inntekten sin deretter. Minimeringsproblemet blir da: Min p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (Vi kan bruke kjære Lagranges metode her også!) Gitt U(x 1 x 2 = ū Etterspørselen etter godene vil da være gitt ved x 1 (p 1 p 2, ū) og x 2 (p 1 p 2, ū). Disse kalles betinget etterspørsel. b) Når prisen på et gode endrer seg, vil effekten på etterspørselen etter godet kunne dekomponeres i en inntektseffekt og en substitusjonseffekt. (Ser i figur på at p 1 går ned, og bruker det i forklaring) Når prisen på p 1 reduseres, p 1 1 < p 1, vil budsjettlinjen dreie om x 2 aksen ( 1) ) til ny p.l. med helning p 1 1 /p 2 som krysser aksen i m. p 1 1
Intielt er tilpasningen i A, dvs optimum for gitt nyttefunksjon, priser og inntekt. i) Substitusjonseffekten av p 1 Substitusjonseffekten rendyrker virkningen av at når det relative prisforholdet p 1 /p 2 endres, vil husholdningen etterspørre mer av det godet som er blitt relativt billigere (vel å merke for substitutter). I figuren ser vi dette som den stiplede linjen som går gjennom A og B, som har stigningstall p 1 1 /p 2. Denne tenkte budsjettlinjen dekker det samme arealet som den originale budsjettlinjen, dvs. at når vi ser på substitusjonseffekten ser vi bort fra økning i kjøpekraft (evt. reduksjon hvis p 1 ). (Ser her på normale goder, der etterspørselen øker når egenprisen går ned). Substitusjonseffekten er altså bevegelsen fra A til B. En alternativ substitusjonseffekt er hvis man antar at husholdningen skal bevege seg langs den samme indifferenskurven, slik som den kostnadsminimerende husholdningen i a). Da vil substitusjonseffekten være fra A til B, (og hvis en evt. bestemmer seg for å øke kjøpekraften ville inntektseffekten vært fra B 1 C. Men husholdningen er kostnadsminimerende, så vil forbli i B ) ii) Inntektseffekten er bevegelsen fra B til C, som skjer ved at budsjettlinjen skifter utover 2) helt til den krysser x 1 aksen i m/p 1 1. Inntektseffekten rendyrker altså effekten av at når et gode blir billigere (p 1 ), vil husholdningen få økt kjøpekraft, og budsjettlinjen dekker et større område. I den nederste figuren på side 4 ser vi etterspørselskurvene til gode x 1. a) viser da den vanlige, dvs. ukompenserte etterspørselskurven, og b) viser den kompenserte etterspørselskurven (Hicks etterspørselskurve). b) er brattere enn a) fordi i b) inngår ikke inntektseffekten. c) Hvordan responderer en husholdnings etterspørsel etter et gode når egenprisen øker? Har sagt endel om prisnedgang over, og for en prisoppgang vil ting skje motsatt som i figur
For normale goder vil etterspørselen gå ned. Avhengig om husholdningen er nyttemax eller kostn.min. vil nedgang være fra x 1 A til x 1 C eller x 1B For noen goder luksusgoder, kan det inntreffe at når egenprisen går opp vil etterspørselen øke for noen hush gode kan bli et statussymbol som folk kun vil ha hvis det er dyrt nok. Oppgave 2 En husholdning har en nyttefunksjon U = (x 1 + 2) (x 2 + 1) U = x 1 * x 2 + x 1 + 2x 2 + 2 1) U er husholdningens nytte X 1 x 2 mengde av gode 1 og 2. a) Skal man utlede husholdningens etterspørselsfunksjoner. Først må vi finne ut hvor mye husholdningen har å mette med vi må gi den et budsjett: Antar prisene på gode x 1 og x 2 er henholdsvis p 1 og p 2, og at husholdningen har en inntekt på m. Da blir budsjettetsfriksjonen: P 1 x 1 + p 2 x 2 = m 2) Antar at husholdningen er nyttemaksimerende, og for å finne husholdningens optimale tilpasning må jeg da løse maksimeringsproblemet max x 1 x 2 + x 1 + 2x 2 + 2 x 1 x 2 gitt p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Også da er Lagranges metode fin å ha, for da blir slike problem en fryd å løse: L(x 1 x 2 λ) = x 1 x 2 + x 1 + 2x 2 + 2 λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) Fob: L = x 2 + 1 λp 1 = 0 x 2 + 1 = λp 1 3) x 1
L = x 1 + 2 λp 2 = 0 x 1 + 2 = λp 2 4) x 2 L = p 1 x 1 + p 2 x 2 m = 0 p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 5) x 1 Dividerer 3) med 4) (deler på samme faktor på begge sider av: x 2 + 1 = λp 1 (Tangeringsbetingelsen MU 1 = p 1 ) x 1 + 2 λp 2 MU 2 = p 2 x 2 + 1 = p 1 * (x 1 + 2) p 2 x 2 = p 1 (x 1 + 2) 1 6) [x 2 = p 1 (x 1 + 2) p 2 ] p 2 p 2 Setter 6) inn i 5) (bibetingelsen) for å finne x 1 : p 1 * x 1 + p 2 * p 1 (x 1 + 2) p 2 = m P 2 p 1 x 1 + p 1 x 1 + 2p 1 p 2 = m 2p 1 x 1 = m 2p 1 + p 2 x 1 = m 2p 1 + p 2 2p1 x 1 = m + p 2-1 7) 2p 1 Setter 7) inn i 6) for å finne x 2 : x 2 = 2p 1 1 + p 1 (m + p 2 1) p 2 p 2 2p 1 x 2 = 2p 1 1 + m + p 2 p 1 p 2 2p 2 p 2 x 2 = p 1 + m - 1 8) p 2 2p 2 2 Siden detter er to ganske avskrekkende og grisete etterspørselsfunksjoner ( 7) og 8) ) setter jeg inn i 2) for å sjekke: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m.
p 1 [ m + p 2-1] + p 2 [ 2p 1 + m - 1] 2p 1 2p 2 2 = m + p 2 p 1 + 2p 1 + m p 1 = m (gudskjelov) 2 2 2 2 Dermed ser vi at når vi antar at konsumentene er nyttemaksimerende, vil de i optimum etterspørre gode 1 og 2 bestemt av: 7) x 1 = m + p 2-1 Vi ser at etterspørselen etter godenen vil 2p 1 øke når inntekten øker, reduseres når 8) x 2 = 2p 1 + m - 1 egenprisen øker, og øke når kryssprisen 2p 2 2 øker. b) Antar en økning i prisen på gode 1: p 1. x 1 er gitt ved: x 1 = m + p 2-1 2p 1 i) Substitusjonseffekten er bevegelsen fra A til B i figur 1c i A er etterspørselen gitt ved x A 1 (p 1 1 p 2 m). Endringen som følge av substitusjonseffekten blir da gitt ved endringer i p 1. Vi regner med normale goder, og da vil p v tilsi x 1 (motsatt fortegn) ii) Inntektseffekten fra B til C i figur 1c) I B x B 1 (p 1 1 p 2 m) I C x C 1 (p 1 1 p 2 m ) Derfor må vi se på endringen i m, dvs kjøpekraft for å bist innt.eff. Har ikke tid til å sette inn for denne husholdningen - subst.eff. kan regne med konst.nytte dvs. kom. ettersp. da får beveg fra A til B ( samme nyttenivå) - Innt.eff. Kl. er nå 13.05... c) Antar p 2 = 3 og m = 50 Fra 7) har vi x 1 = m + p 2-1 2p 1 Setter inn for m og p 2 og får: x 1 (p 1 ) = 50 + 3-1 2p 1
p 1 x 1 0 Uendelig (gratisvare) 1 25,5 2 12,25 3 7,9 4 5,7 5 4,3 Etterspørselen etter gode 1 til gitt m og p 2 er vist i figuren Ser at det vi har notert om at etterspørselen går ned når prisen øker fortsatt stemmer Hvis p 2 øker fra 3 til 4 vil dette gi seg utslag i at etterspøselskurven til x 1 skifter oppover en liten del, for p 1 = 5 vil etterspørselen øke med 0,1 og for p 1 = 1 vil den øke med 0,5. Blå strek i figuren. Oppgave 3 En bedrift har en produktfunksjon Y = f(x 1 x 2 ) Y produsert kvantum x 1 x 2 mengden av de to innsatsfaktorene. Produktfunksjonen sier hvor mye bedriften maksimalt kan produsere med gitte mengder av innsatsfaktorene x 1 og x 2. x 1 og x 2 kan være kapital, landområde, arbeidskraft eller råvarer. a) Skal finne den billigste måten å produsere y = y 0 enheter, der jeg antar at prisene på innsatsfaktorene er henholdsvis w 1 og w 2. I tillegg til faktorprisene antar jeg at bedriften står
overfor noen faste kostnader F, som de må betale uansett produksjon. Eksempelvis oppvarming, lys og enkelte administrasjonskostnader. Bedriften står da overfor følgende kostnadsfunksjon: C = w 1 x 1 + w 2 x 2 + F Når bedriften ønkser å minimere kostnadene, gitt at produksjonen skal være på et gitt nivå y 0, må vi løse minimeringsproblemet Min w 1 x 1 + w 2 x 2 + F x 1 x 2 gitt y = f(x 1 x 2 ) = y 0 også er det påan igjen med Lagrange! Teorien bak kostnadsminimering her er ikke ulik nyttemaksimeringen drøftet i 1a) Produktfunksjonen kan representeres i et tofaktordiagram der konvekse kurver viser funksjonens isokvanter. Langs en isokvant er produksjonen konstant, dvs at flere faktorkombinasjoner kan gi den samme produserte mengden. Helningen på isokvanten, den marginale tekniske substitusjonsbrøken, TRS, gir hvor mye mindre man trenger å bruke av den ene faktoren (x 2 ) når den andre (x 1 ) øker med en liten del. TRS er avtagende, det vil si at jo mer en har av den faktoren (x 1 ) som øker, dess mindre må den andre reduseres for å opprettholde produksjonen. I optimum vil (i fri konkurranse) forholdet mellom faktorprisene (den relative faktorprisen) være lik TRS 4). TRS er gitt som summen av marginalproduktivitetene til x 1 og x 2. Langs isokvanten er endringen lik null. MP marginal produktiviteten er hvor stor øknig i prod. når en faktor øker og den/de andre holdes konstant. ** MP 1 = f(x 1 x 2 ) x 1 MP 2 = f(x 1 x 2 ) x 2 Dermed TRS = MP 1 + MP 2 = 0 MP 2 = - MP 1 TRS = - MP 1 MP 2 Tilbake til løsningen av Lagrangeuttrykket: Vi har altså at i optimum, dvs. der bedriften har lavest mulig kostnader til gitt produksjonsnovå, må abs.verdien av TRS, relativ faktorpris og forholdet mellom grenseproduktivitetene MP 1 og MP 2 være lik. Da tangerer bedriftens isokvantkurve tilsvarende y = y 0 kostnadskurven C. Vi har C = w 1 x 1 +w 2 x 2 x 2 = C - w 1 * x 1, dvs rett linje w 2 w 2 Helning - w 1 w 2
I figur: I punkt (*) er tilpasningen optimal, fordi der er TRS = helningen på kostnadskurven. Kurvene A og B har også helning lik TRS = - w 1 /w 2, men der er ikke tangeringsbetingelsen oppfylt. På B er kostnadene lavere enn i *, men produksjonen er ikke på y 0. På A er y 0 uoppnåelig, men det er også et høyere produksjonsnivå (y A ) som tangerer A. Så må vi finne ut om hvor lang sikt det er snakk om. Siden def. av lang sikt er at alle innsatsfaktorer kan varieres, vil både x 1 og x 2 kunne optimaliseres på lang sikt. På kort sikt vil en av faktorene være fast, fks. x 2 *. Størrelsen på gården (landareal) for bonden. Da finner vi optimalt nivå på x1 direkte fra bibetingelsen, og får x1 som en funksjon av faktorprisene, x 2 * og produksjonsnivå y 0 : x 1 (w 1, w 2, x 2 *, y 0 ) ; x 2 *(w 1, w 2, y 0 ) For å få gjort litt mer Lagrange smeller jeg til med kostnadsminimering på lang sikt. Da vil det heller ikke være nødvendig å ta med F, siden lang sikt innebærer at alle faktorer kan optimaliseres: *seneste ark. Lagrangeuttrykket: L(x 1 x 2 λ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 λ(f(x 1 x 2 ) y 0 ) FOB: L = w 1 λ * f(x 1 x 2 ) = 0 ** w 1 = λ * MP 1 1) x 1 x 1 L = w 2 λ * f(x 1 x 2 ) = 0 ** w 2 = λ * MP 2 2) x 2 x 2 L = f(x 1 x 2 ) y 0 = 0 f(x 1 x 2 ) = y 0 3) λ 1) dividert med 2): Hadde vi hatt et funksjonsuttrykk, ville vi satt inn for x 1 og x 2 etter tur i bibetingelsen og fått w 1 = λ * MP 1 4) etterspørselsfunksjon. De blir på formen w 2 λ * MP 2 x 1 (w 1 w 2,y 0 ) og x 2 (w 1 w 2,y 0 )
b) Antar videre at p = p 0 og at bedriften ønsker å maksimere profitten. Profitten π bestemmes av bedriftens inntekter og kostnader. Dermed får vi π = p * y C 5) Dvs. profitt/overskudd er lik inntekter (prismultipl. m. prod. volum) minus kostnadene. Y er produksjonen. C er gitt ved w 1 x 1 + w 2 x 2 = C. (Ser bort fra faste kostnader). x 1 x 2 er i a) funnet som funksjoner av faktorprisene og produksjonsnivået: x i = (w 1 w 2 y) i = 1,2 Dermed har vi C = C(y) For å finne maksimal profitt må 5) deriveres mhp. Y og settes lik null (og evt sjekke res. med 2. derivertetesten) Da får vi: π = p - C y y p = C 6) y C er marginalkostnaden MC, dvs hvor mye større kostnadene blir når produksjonen øker y med en liten del. Ved å sette inn uttrykket vi får fra 6) for y, dvs y(p) i produktfunksjonen, vil vi finne ute hvor mye bedriften produserer, gitt at den maksimerer profitten ( og minimerer kostnadene). Til slutt blir produktfunksjonen oppgitt til å være Y = f(x 1 x 2 ) = 2x 1 1/3 * x 2 1/6 c) Skal finne den billigste måten å produsere 4 enheter av produktet når w 1 = 40 og w 2 = 20 Kostnadsminimeringsproblemet: min 40x 1 + 20x 2 x 1 x 2 gitt 2x 1 1/3 * x 2 1/6 = 4 Lagrange må til ja: L(x 1 x 2 λ) = 40x 1 + 20x 2 λ(2x 1 1/3 x 2 1/6 4) FOB: L = 40x 1 + 20x 2 λ*2x -2/3 1 x 1/6 2 = 0 40 = λ*2x -2/3 1/6 1 * x 2 x 1 3 3 L = 20 λ * 1 x 1/3 1 x -5/6 2 = 0 20 = λ * 1 * x 1/3-5/6 1 * x 2 x 2 3 3 1) 2) 1) div med 2) L = 2x 1/3 1 * x 1/6 2 4 = 0 2x 1/3 1 x 1/6 2 = 4 3) λ
40 = λ 2/3 * x 1-2/3 * x 2 1/6 20 λ 1/3 * x 1 1/3 * x 2-5/6 2 = 2 * x 2 x 1 x 2 = x 1 4) Setter 4) inn i 3) for å bestemme x1: 2x 1 1/3 * x 1 1/6 = 4 x 1 1/3+1/6 = 2 x 1 1/2 = 2 x 1 = 22 x 1 = 4 5) 5) innsatt i 4) gir x 2 = x 1 = 4 Ved å bruke 4 av hver av innsatsfaktorene minimeres kostnadene Produksjonen blir y = 2x 1 1/3 * x 2 1/6 = 2 * (4) 1/3 + 1/6 = 2 * 2 = 4. Kostnadene blir: C = w 1 x 1 +w 2 x 2 = 40 * 4 + 20 * 4 = 160 + 80 C = 240 Profitten blir π = p * y c π(p) = p * 4 240