Algebra er generalisering Dybdelæring ved hjelp av lek og moro med algebra Mona Røsseland, Dr.gr stipendiat, Uni. i Agder Generelle begrunnelser, argumenter Generelle uttrykk Ikoner, symboler, modeller/diagrammer Generelle regnemetoder De fire regneartene (Pre-) Algebra Formler, funksjoner, likninger Hvorfor er generalisering viktig? Hvordan arbeide med generalisering? Hva er generalisering, i matematikken på barnetrinnet? Generalisering Isak spiste 6 sjokolader fra en skål. Torkel spiste også noen sjokolader fra samme skål. Det lå 17 sjokolader i skålen før de to guttene tok noe. Nå er skålen tom. Hvor mange spiste Torkel? 1
Målet er 15 2 spillere Utstyr: ett sett kort 1-9 Kortene ligger utover bordet med tallene opp. Spillerne trekker etter tur ett og ett kort. Vinneren er den som først sitter med tre kort på hånd som til sammen blir akkurat 15. (Spilleren kan gjerne ha mer enn tre kort på hånd når dette inntreffer) Dersom alle 9 kortene er trukket uten at noen har 15, blir det uavgjort. Fortsettelse av «Målet er 15» Gi hver elev et sett med kortene 1-9. Be dem finne så mange kombinasjoner som blir 15 som mulig. De bør skrive ned alle kombinasjonene de finner. Så kan de jobbe i par og sammenligne løsningene sine. Til slutt oppsummerer klassen sammen og presenterer løsningene. Da vil trolig alle 8 løsningene komme frem: {1, 6, 8} {2, 5, 8} {1, 5, 9} {3, 4, 8} {2, 6, 7} {3, 5, 7} {2, 4, 9} {4, 5, 6} Mulig strategi Hvor mange ganger opptrer de ulike sifrene i de 8 ulike kombinasjonene: 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9 Hvilket tall er best å plukke? Hvem har størst sjanse til å vinne; første eller andre spilleren? Kan første spilleren alltid vinne? Dersom du ikke kan vinne, er det noe du kan gjøre for ikke å tape? Det begynte med algebra M: Kan du prøve å forklare når det skjedde og hva som skjedde når det begynte å bli vanskeligere? Vel, på barnetrinnet gikk det helt fint. I åttende syntes jeg det startet helt greit, og jeg fikk helt grei karakter. Og så plutselig, det var da vi kom til likninger og alt sånt. Da falt jeg helt ut for det var så vanskelig og så kjedelig og. Der, etter det, ble alt vanskelig og kjedelig Det må være en progresjon i algebraundervisningen gjennom hele opplæringen Elevene skal kunne: avdekke, beskrive og videreføre mønstre basert på geometriske egenskaper, knyttet til antall, plassering og/eller form Nytteaspektet (for eksempel hverdagsmatematikk) er ikke alltid den viktigste motivasjonen for å lære algebra i grunnskolen. Spenning, utfordring, glede og skjønnhet kan ofte fungere som en bedre drivkraft. Å bruke mange ulike representasjonsformer, også talt og skrevet språk, støtter forståelsen og evnen til problemløsning. Kompetansemål Knytte tallstørrelser til oppgaver med figurtall og se sammenhenger mellom det geometriske mønsteret og den tilhørende tallfølgen. Kjenne igjen, kopiere og fortsette geometriske mønstre Beskrive gjentagende mønstre i henhold til forskjellige kjennetegn 11 2
Geometrisk mønster Et geometrisk mønster blir laget ved at noen geometriske figurer blir gjentatt eller forandrer seg etter et bestemt system. Det kan være at figurene skifter farge og/eller form på en bestemt måte. Det kan også være at noen spesielle kjennetegn ved dem forandrer seg etter en fast struktur fra figur til figur. Det geometriske mønsteret kan også utvikle seg og vokse etter et bestemt system. Dette kaller vi gjerne figurtall. Systematisk symbolisering av generaliseringer Det symbolske språket utvikles slik at en kan kommunisere om mønstre og regelmessigheter Kan en kommunikasjon rundt de generelle strukturene i matematikken gjennomføres uten bokstav-notasjon?? Mønster veien mot algebra Å veksle mellom uttrykksformer Abstrakt 4n + 2 Abstrakt modell Konkret modell 4n + 2 Konkret 15 Å bygge bro mellom det konkrete og det abstrakte Hvor mange sirkler trenger vi til figur 4? Tegn en skisse. Lag en tabell. Fyll ut tabellen for figur 5-10. Hvor mange sirkler er det i figur 20? Beskriv med ord hvordan antall sirkler øker for hver figur. Lag en regel Finne mønsteret i figurtall, beskrive og videreføre mønsteret. Generalisering, formulere regler for figurtall Figurtall og algebra 2 n + (n + 1) + 1 5 +3 (n - 1) 2 (n + 1) + n 3 n + 2 3
Tenk på et tall Hvorfor skal vi lære likninger? om Legg til tre Gang med to Lars kjøpte en tyggis som kostet 3 kr og fire dropsesker som alle kostet det samme. Han betalte til sammen 27 kroner. Hva kostet en eske med drops? Trekk fra fire Del på to Trekk fra en Hvilke tall fikk du? Tegn modell som hjelp Problemløsning Kevin, Tiril og Anna fikk il sammen 210 poeng i et spill. Tiril fikk tre ganger så mange poeng som Anna. Kevin fikk like mange poeng som Tiril. Hvor mange poeng fikk Anna? Skriv regneutrykk til tekstoppgavene Skriv regneutrykk til tekstoppgavene. Alex, Thea og Ali har til sammen 104 kr. Alex har to ganger så mange penger som Thea. Ali har 4 kr mer enn Alex. Far kjøper en voksenbillett som koster 90 kr og tre barnebilletter. Til sammen betaler han 270 kr. Hva koster en barnebillett? 23 4
Kortspill og algebra Rød og sort Svein Torkildsen Ess I ermet s-r s² - 2r 3(r s) 3r s² 3r-s 4r (s r) s² s - (r + s) 2s +r s + (r s) Plasser bokstavene på riktig plass på tallinja Fasit 5