Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen 8 5 5 3 8 5 8 5 0 b b 4ac a 8 8 8 4 5 5 8 3 8 c) Regn ut 5 4 4 3 3 3 5 4 4 3 3 3 5 4 3 3 5 4 3 5 4 3 5 3 5 4 4 3 3 3 3 d) Skriv så enkelt som mulig 4a 3 a a 6 a 4a 3 a a 6 4 a 3 a 6 a 3 6 a a
e) Funksjonen f er gitt ved f 3 8 4. Finn likningen for tangenten til f i punktet, f f 8 4 0 Punktet vil være:, 0 Den deriverte gir oss stigningstallene til alle tangentene. f 3 3 8 6 8 Stigningstallet til tangenten i punktet, f er f 6 8 Tangenten er ei rett linje som vil beskrives av en lineær funksjon: y a b. Vi vet stigningstallet a. Setter inn: y b. Vi vet at denne linja skal gå gjennom punktet. Det betyr at hvis, så må y 0 0 b. Da må b 8 y 0 0 - - 3 4-0 Likningen for tangenten til f i punktet er y 8 f) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken 9 6 9 9 3 3 3 6 9 3 3 3 3 g) Løs likningen lg 4 3 lg -0 lg 4 3 lg lg 4 lg 3 4 3 4 h) Figuren viser et lykkehjul ) Lise snurrer hjulet en gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper? Vi kan definere disse hendelsene: B - pilen peker på blått G - pilen peker på grønt U - pilen peker på gult
P B 3 8 P G 8 4 P U 8 P B G 3 8 4 5 8 Sannsynligheten er 5 8 ) Lotte snurrer på hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt? Da kan hun får gult på første og grønt på andre snurr eller omvendt. Sannsynligheten blir da: P U G P U P G P G P U 8 4 4 8 6 Sannsynligheten er 6 i) Du får vite dette om en trekant ABC: A 90, AB 4 cm og sin B cosb. Forklar hvordan trekanten må se ut. Lag figur. Trekanten må se slik ut fordi de to katetene må være like lange: sin B cosb AC AB AC AB BC BC AB AC 4 cm En konsekvens av det er at vinkel B må være B 45 Vi kan også regne ut hypotenusen, men det er ikke nødvendig BC 4 4 4 5. 656 9 Oppgave I et koordinatsystem har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon g a) Tegn en fortegnslinje for g og en fortegnslinje for g,,, g 0 0, 0 0 0, g 0 b) Finn funksjonsuttrykket for funksjonen g Vi vet at nullpunktene er og og at bunnpunktet er 0, 4 3
En andregradsfunksjon er på formen: g a b c eller faktorisert som g a der og er nullpunktene. g a a Vi vet også at den skal gå gjennom punktet 0, 4. Dvs. g 0 4 Det stemmer hvis a g 4 g 4 DEL Oppgave 3 Gitt firkanten ABCD a) Regn ut hvor langt det er fra A til C AC AD DC AC AD DC 3. 0 5. 0 5. 83 0 AC er 5. 8 m b) Regn ut hvor langt det er fra B til D Cosinussetningen: BD CD BC CD BC cosc BD CD BC CD BC cosc 5. 0 5. 0 5. 0 5. 0 cos0 8. 6 3 BD er 8. 7 m Tommy vil regne ut arealet av firkanten ved å legge sammen arealene av de to trekantene ABC og ACD. Ove mener det er enklere å finne arealet av trekant ABD og trekant BCD c) Finn arealet av firkanten ABCD ) ved å bruke Ove sin framgangsmåte Lag figur ) ved å bruke Tommy sin framgangsmåte Oppgave 4 Arne er ute og sykler. Først sykler han en halv time med jevn fart på km/t. Så sykler han en halv time med jevn fart på 8 km/t. a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter? 30 5 8 0. 5 b) Tegn en graf som viser hvor mange km, y, Arne har syklet etter minutter. f if 30 30 8 30 if 30 4
y 0 5 0 5 0 0 0 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 For å beskrive den grafiske framstillingen i b) trengs det to funksjonsuttrykk. c) Finn disse to funksjonsuttrykkene. Husk å oppgi i hvilket tidsintervall hvert av dem gjelder. Funksjonsuttrykket består av to lineære funksjoner med likninga y a b For å finne uttrykkene har jeg tatt utgangspunkt i vhordan jeg regnet ut oppgave a) I intervallet fra 0 til 30 minutter blir funksjonen y 5 Etter 30 minutter blir funksjonsuttrykket y 30 Vi skriver gjerne en slik funksjon på denne måten f Oppgave 5 5 30 3 0 30 8 30 3 0 3 En undersøkelse fra Norge Optikerforbund viser at i aldergrupen 5-9 år er det 4.3% som bare bruker briller, 7.% som bare bruker kontaktlinser, 9.7% som bruker både kontatlinser og briler. a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for å illustrere oppøysningene i teksten overnfor. Briller Ikke briller Til sammen Kontaktlinser 9. 7 7. 6. 9 Ikke kontaktlinser 4. 3 68. 8 83. Til sammen 4. 0 76. 0 00 b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller. B - bruker briller B - bruker ikke briller P B 76.0 00 0. 76 Sannsynligheten er 0. 76 c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at 5
denne personen også bruker kontaktlinser K - bruker kontaktlinser P K B 9.7 0. 404 7 4.0 Sannsynligheten er 0. 40 Oppgave 6 Funksjonen f er gitt ved f 0. 5 a) Tegn grafen til f for verdier mellom -3 og 7 y 0 8 6 4-3 - - 3 4 5 6 7 - b) Finn nullpunktene for f og bunnpunktet for grafen til f ved regning Nullpunktene finner vi ved å løse likninga f 0 0. 5 0 0. 5 0 0 0. 5 0 0 4 Nullpunktene 0 4 Bunnpunkt finner vi ved å finne nullpunktene til den deriverte f 0. 5 f 0 Punktet:, f, Bunnpunkt, c) Finn stigningstallet for tangenten til grafen i punktet, f Stigningstallet er f Signingstallet for tangenten er - d) Grafen til f har en tangent med stigningstall. Finn en likning for denne tangenten. Oppgaven kan vi skrive om til: For hvilken -verdi blir den deriverte? f 3 Tangenten finner vi i punktet 3, f 3 3,. 5 6
Likninga finner vi på samme måte som tidligere i oppgaven y b. 5 3 b b 4. 5 Tangenten er tegna inn figuren over. Likninga for tangenten er y 4. 5 Oppgave 7 I Gitt likningssystemet y a y 3 a) Sett a 6 og løs likningssystemet ) ved regning I y 6 II y 3 Av II: y 3. Setter inn i I: 0 6 ) grafisk y 6 y 3 y 3 y 3 y 0 y 6 3 6 6 6 6 6 0 6 0 0 6 5 0 5-0 3 4 5 6 7 b) Hva må a være for at og y 5 skal være en løsning av likningssystemet? I y 6 II y 3 7
a må være lik y a 5 a a c) Finn ut for hvilke verdier av a likningssystemet har en løsning, to løsninger, ingen løsning Ved regning y a y a y 3 y 3 a 3 a 3 0 a 3 0 3 a 3 0 3 3 4 a 3 3 5 a Vi kan finne løsningene ut fra å se på uttrykket inne i rottegnet. Når a 5 har vi ingen løsninger, når a 5 har vi en løsning og når a 5 har vi to løsninger Oppgave 7 II Et hus har form som figuren ovenfor. Alle mål er gitt i meter a) Forklar at arealet av huset er gitt ved uttrykket 30a a. Regn ut arealet når a 5 3a 0 a a a 30a a a 5 30 5 5 5 00 b) For hvilke verdier av a er arealet av huset m? 30a a a 30a 0 Huset er m når a 7 a 8 c) Hva er det største arealet huset kan ha? A a a 30a A a 4a 30 A a 0 4a 30 0 a 5 7. 5 A 7. 5 7. 5 30 7. 5. 5 Det største arealet huset kan ha er. 5 m a 30 30 4 a 7 a 8 d) For hvilke verdier av a er arealet av huset større enn 7 m? 30 4 8
Da må vi løse ulikheten 30a a 7 a 30a 7 0 a 3 a 0 Fortegnstabell, 3 3 3,, - - - - - a 3-0 a - - - 0 Produktet - 0 0 - Arealet er større når a 3, 9