Oppgave 1 (20 %) a) Maximax gir stor utbygging (70) mens maximin gir ingen utbygging (0). Laplace innebærer at begge utfallene er like sannsynlige. Det gir for stor (70 40)/2 = 15, middels (45 25)/2 = 10, liten (30 15)/2 = 7,5. Man velger stor. b) Forventet verdi er: Stor: 40 0.4 + 70 0.6 = 26 Middels: 25 0.4 + 45 0.6 = 17 Liten: 15 0.4 + 30 0.6 = 12 Man velger alternativet stor. c) EVPI = 0.6 70 26 = 16 d) Beslutningstreet er vist under. Vi ser at dersom markedsundersøkelsen viser at markedet blir godt, er det optimalt med stor utbygging og forventet verdi 40 0.077 + 70 0.923 = 61.53. Sannsynligheten for at testen viser at markedet er godt er 0,52, slik at forventet verdi samlet blir 61.53 0.52 = 31.9956 Hvis markedsundersøkelsen viser at markedet blir dårlig, er det optimalt ikke å bygge ut og forventet verdi blir 0. Testen er dermed verd (EVSI) 31.9956 26 = 5.9956.
Oppgave 2 (35 %) a) Formuleringen av LP-problemet og initialtablået fremgår av oppstillingen under: b) X 4 tas inn i basis i første iterasjon siden dekningsbidraget er høyest. For å finne hvilken variabel som går ut av basis, beregner vi forholdet mellom kapasiteten og tidsforbruket: S 1 100 000/7 = 14 286 S 2 50 000/4 = 12 500 S 3 60 000/5 = 12 000 X 4 går inn i basis med 12 000 enheter og legger beslag på all kapasitet i restriksjon 3, dvs. S 3 går ut av løsningen. c) Tablået viser at løsningen er optimal siden ingen tallverdier i c j z j raden er positive. Beslutningsvariablene er X 2 lik 16 000 og X 3 lik 6 000, og tilhørende dekningsbidrag 580 000. d) Vi beregner forholdet mellom høyresidene og indikatoren i kolonnen for den enkelte restriksjon: Restriksjon 1 (montering) gir 18 000/1 = 18 000. Nedre grense 100 000 18 000 = 82 000, ingen øvre grense. Restriksjon 2 (polering) gir 18 000/-0,2 = - 90 000, 6 000/ 0,6 = 10 000, 16 000/-0,4 = - 40 000. Øvre grense 50 000 + 40 000 = 90 000, nedre grense 50 000 10 000 = 40 000. Restriksjon 3 (pakking) gir 18 000/-1,2 = - 15 000, 6 000/-0,4 = -15 000, 16 000/0,6 = 26 667. Øvre grense 60 000 + 15 000 = 75 000, nedre grense 60 000 26 667 = 33 333. Dette stemmer med overens med utskrift fra QM:
e) Vi ser av utskriften at den eneste slakkvariabelen i basis er S 1, med verdi 18000. Kapasitetsforbruket i montering er 16000 4 + 6000 3 = 82000minutter. Det er dermed 18000 minutter som ikke er brukt. f) X 4 bruker 7 minutter i montering, 4 minutter i polering og 5 minutter i pakking. I montering er det ledig kapasitet, men i de øvrige prosessene vil produksjon av X 4 fortrenge de øvrige produktene slik at det oppstår en alternativkost. Verdien av den kapasiteten er som vi ser av utskriften 8 pr. minutt i polering og 3 i pakking. Dette gir 4 8 + 3 5 = 47. Dekningsbidraget er ikke tilstrekkelig siden det kun er 45, og en økning på 2 er nødvendig. g) Et minutt ekstra i polering vil som vi ser av utskriften medføre en reduksjon på 0,4 enheter X 2 og en økning på 0,6 enheter X 3. Endring i dekningsbidrag blir 0.4 25 + 0.6 30 = 8. h) 10 000 minutter i pakking er verd 30 000, siden skyggeprisen er 3 og endringen er innenfor intervallet med uendret skyggepris. Dekningsbidrag øker med 30 000 25 000 = 5 000. i) Verdien av brukt kapasitet er 2 8 + 4 5 = 28. Dekningsbidraget er ikke tilstrekkelig siden det kun er 25, og en økning på 3 er nødvendig. j) Dualen fremkommer av utskriften under: Verdi målfunksjon er 50000 8 60000 3 580000 + = som er identisk med målfunksjonen i primalen.
Oppgave 3 (30 %) Vi viser den fullstendige utskriften fra Excel: SAMMENDRAG (UTDATA) Regresjonsstatistikk Multippel R 0,970866 R- kvadrat 0,942580 Justert R- kvadrat 0,929821 Standardfeil 1,953198 Observasjoner 23 Variansanalyse fg SK GK F Signifkans-F Regresjon 4 1127,2590 281,8148 73,8705 6,43419E- 11 Residualer 18 68,6697 3,8150 Totalt 22 1195,9287 Koeffisienter Standardfeil t-stat P-verdi Nederste 95% Skjæringspunkt 37,2324 3,7177 10,0149 0,0000 29,4218 Inntekt 0,0050 0,0049 1,0241 0,3194-0,0053 Pris kylling - 0,6112 0,1628-3,7530 0,0015-0,9533 Pris svin 0,1984 0,0637 3,1137 0,0060 0,0645 Pris storfe 0,0695 0,0510 1,3631 0,1896-0,0376 a) Vi ser at fortegnet for inntekt er positivt, dvs. økt inntekt vil i regelen øke etterspørsel etter kylling. Dette indikerer at kylling er et normalgode, og det er rimelig. Rett nok er ikke sammenhengen signifikant, som vil bli diskutert under. Pris på kylling har negativt fortegn, dvs. økt pris reduserer etterspørsel etter kylling. Det er også rimelig. Fortegnet for svin og storfe er positivt. Det er rimelig. Økt pris på disse kjøttproduktene som antagelig er substitutter til kylling, øker etterspørsel etter kylling. b) Her er det aktuelt å beregne determinasjonskoeffisienten R 2 og å gjennomføre en F-test for å teste modellens samlede signifikans. 2 SKR 1127.259 R = = = 0.94eller 94 %. Modellen forklarer 94 % av variasjonen i SKT 1195.9287 etterspørsel etter kyllingkjøtt og det er meget bra. Vi regner ut F-verdi for å undersøke om den virkelige verdien på koeffisientene er 0: F = GKReg/GKRes. Antall uavhengige variable (k) = 4. GKReg = 1127,259/4 = 281,8148, som utskriften også viser. GKRes = 68,6697/(23 4 1) = 3,8150, som utskriften også viser. F = 281,8148/3,8150 = 73,87.
Kritisk F med df 1 = 4 og df 2 = 18 er 2,93. Vi konkluderer dermed med at det er helt usannsynlig at den virkelige verdi på koeffisientene er 0. c) Vi beregner t-verdi for de aktuelle variablene (noe avrundingsfeil): Inntekt 0,0050/0,0049 = 1,0241 Pris kylling 0,6112/0,1628 = 3,7543 (-) Pris svin 0,1984/0,0637 = 3,1146 Pris storfe 0,0695/0,0510 = 1,3627 Kritisk t (95 %) er 2.1010. Vi konkluderer dermed at det er en sammenheng mellom etterspørsel etter kylling og pris på kylling og pris på svin, men vi har ikke dokumentert noen sammenheng når det gjelder inntekt og pris på storfe. d) 95 % konfidensintervall for variabelen pris på kyllingkjøtt blir 0.6112 ± 2.101 0.1628 = 0.9534, 0.2692 Oppgave 4 (15 %) En person vurderer å starte en bedrift som vil tilby skånsom bilvask. Han disponerer en plass i et garasjeanlegg hvor det er mulig å drive denne virksomheten. Det er anslått at det ankommer 2 biler pr. time, mens det tar 20 minutter å vaske en bil. a) Vi beregner: 2 4 L q = = 3.2biler 5(5 4) 4 W q = = 0.8timer eller 48 minutter 5(5 4) 1 W = = 1time 5 4 b) Vi beregner sannsynligheten for at det er flere enn 3 i kø: P n > 3 4 4 = = 0.4096 5 c) Det ankommer 4 biler i timen og tid i systemet er 1 time for hver bil. Ventekostnaden er da 150 * 4 = 600, betjeningskostnaden 150, slik at totale kostnader er 750.
d) Vi får nå et M/M/2 system. Vi må først beregne sannsynligheten for at det er ledig: 1 P0 = = 0.42857 4 1 16 10 1+ + 5 2 25 10 4 16 20 25 4 L = 0.42857 + = 0.95238 36 5 W = 0.95238 / 4 = 0.2381 Total ventekostnad blir 5 0.2381 150 142.86 = og betjeningskostnaden er nå 300. Total kostnad 442.86, dvs. en kraftig reduksjon.