Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 9530

Transkript

1 Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 950 Disposisjon Bruk av LP i økonomiske problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende sammenhenger Lineær programmering og bedriftsøkonomiske problemer Tor Tangenes BI - Sandvika H-00 LP - kilde til beslutningsinformasjon Veien til erkjennelse går via slakkvariabler Analytisk tilnærming og litt følsomhetsanalyse LP og kapitalrasjonering Bruk Excel og tolkning av Excel-rapporter Oppgaver og case: Mørebanken Hva er lineær programmering (LP) LP er en metode hvor man søker å fordele begrensede ressurser til gitte aktiviteter på en effektiv måte for å nå et mål. Karakteristiske trekk ved LP Funksjoner for mål og begrensninger er lineære LP er normalt EDB-basert LP kan anvendes på et stort antall ulike optimeringsproblemer LP kan lett generaliseres til ikke-lineær programmering Eksempler på bruk av LP i økonomiske problemer () Porteføljevalg - verdipapirer Maks. avkastning Min risiko Maks risikojustert avkastning Produktvalg Fordeling mellom store og små selskaper Fordeling på bransjer Minimum antall selskaper Fordeling mellom aksjer og rentepapirer Ulike fundamentale seleksjonskriterier Maks totalt overskudd Maks totalt dekningsbidrag Kapital Kvalifisert arbeidskraft Fysisk produksjonskapasitet Marked Råvarer tor.tangenes@bi.no -

2 Eksempler på bruk av LP i økonomiske problemer () Markedsføringsbudsjett Maks eksponering for målgruppe Eksempler på bruk av LP i økonomiske problemer () Kapitalrasjonering Maks nåverdi av fremtidige prosjekter Totalbudsjett Minimumeksponering i ulike media Minimum mediaspredning Maksimum mediaspredning Tilgjengelig ekstern investeringskapital Kapital som genereres av igangsatte prosjekter Produksjon Minimér ressursforbruk Minimuminnhold av ulike råvarer Maksimuminnhold av ulike råvarer Produksjonskapasitet Lagring og distribusjon Eksempel på et LP-problem Begreper og sammenhenger i LP () Et sykehus vurderer å utvide kapasiteten ved å bygge en ny avdeling med 90 sengeplasser. Sykehusets problem er å bestemme hvor mange senger som skal benyttes til medisinske pasienter og hvor mange som skal benyttes til kirurgiske pasienter. Sykehuset har i dag ledig laboratorie-, røntgen- og operasjonskapasitet. En gjennomsnittlig medisinsk pasient er på sykehuset i 8 dager og mottar en gjennomsnittsregning på $.80. Tilsvarende tall for en kirurgisk pasient er 5 dager og $.55. Sykehuset kan uten vesentlige tilleggskostnader utføre flere laboratorietester, flere røntgenbilder og.800 flere operasjoner enn i dag. En gjennomsnittlig medisinsk pasient krever, lab-tester og røntgenbilde pr. dag. Tilsvarende tall for en gjennomsnittlig kirurgisk pasient er,6 og. Avdelingens kostnader i forbindelse med åpningen av den nye avdelingen er uavhengig av fordelingen mellom kirurgiske og medisinske pasienter og er budsjettert til $ 5 mill. Målfunksjon En funksjon av to eller fler variabler, som uttrykker beslutningstakers målsetning. Funksjonen er lineær og deterministisk. Begrensninger (bibetingelser) Funksjoner som begrenser løsningsmengden for målfunksjonen. Disse er lineære og deterministiske. Tillatt løsning Enhver løsning som tilfredsstiller alle begrensninger. Mulighetsområde Mengden av alle tillatte løsninger. Optimal løsning Løsning(er) som løser optimeringsproblemet. Sykehuset ønsker å maksimere resultatet som genereres fra den nye avdelingen tor.tangenes@bi.no 5-8

3 Formulér sykehusets beslutningsproblem Mulighetsområde for den nye avdelingen x Senger målt i pasientdøgn Markerer en hjørneløsning (basisløsning) Maks TI x, x ) = ( u. b. Sengedøgn Laboratorietester Røntgenbilder Operasjoner Røntgenbilder Operasjoner Antall laboratorietester x : Antall medisinske pasienter x : Antall kirurgiske pasienter x Hvor ligger optimum? () Som vi ser av diagrammet på foregående side, er de fire ressursenes kapasitetsgrenser representert ved fire rette linjer (isokvanter for full kapasitet). Eksempelvis er isokvanten for kapasiteten på røntgenbilder bestemt av ligningen: x + x = Optimum kan finnes grafisk ved også å representere målfunksjonen i diagrammet. Problemet er her at vi manger høyresiden til ligningen for en rett linje. Venstresiden er:.80x +.55x = Høyresiden velges derfor vilkårlig, f.eks. velger vi en inntekt på $ 5 mill. Dette er neppe optimal inntekt (resultat), men et utgangspunkt.? x.00 Isoinntektslinje for TI = 5 mill. Hvor ligger optimum? () Senger målt i pasientdøgn Otimum.80x +.55x x = 0 x Røntgenbilder =.00 Operasjoner Antall laboratorietester = x : Antall medisinske pasienter x : Antall kirurgiske pasienter x = 0 x =.9 x tor.tangenes@bi.no 9-

4 Hvor er optimum? () Vi ser at alle punkter på isoinntektslinjen for inntekt lik $ 5 mill. ligger i mulighetsområdet og er følgelig mulige tilpasninger om ikke optimale. Siden isoinntektslinjens stigningstall er bestemt av linjens koeffisienter (.80 og.55), kan vi tenke oss et stort antall av parallelle linjer som hver representerer en bestemt inntekt. Linjer som ligger parallelt utenfor den inntegnede representerer inntekter større enn $ 5 mill. og motsatt for parallelle linjer innenfor. Siden vårt mål er å oppnå en størst mulig inntekt (og derigjennom resultat), ønsker vi å tilpasse oss på en isoinntektslinje som ligger lengst mulig ut (nord-øst) i mulighetsområdet. Vi parallellforskyver den inntegnede linjen lengst mulig utover uten å fjerne oss fra mulighetsområdet. Hvor er optimum? () Viktig LP-resultat: Optimum vil alltid ligge i et hjørne (basisløsning). Vi kan derfor konsentrere oss om å studere disse. Problem med grafisk løsning: Kan kun brukes når antall beslutningsvariabler er begrenset til to (tre). Unøyaktig Gir lite beslutningsinformasjon utover å finne optimum. Vi skal derfor nå vise intuisjonen bak løsningsalgoritmen som benyttes i bl.a. EDB-baserte LP-programmer. Begreper og sammenhenger i LP () Antall basisløsninger (hjørner) Slakkvariabler En slakkvariabel forteller hvorvidt vi har ledig kapasitet i en av de spesifiserte ressursene. Vi har mao. én slakkvariabel pr. bibetingelse. Anta at s er slakkvariabelen for antall senger - S (pasientdøgn), s er slakkvariabel for lab-tester - L, osv. Basisløsninger Vi kan derfor reformulere de fire bibetingelsene, slik vist under: () 8 x + 5x + s =.850 (S) (),x +,6x + s = (L) () x + x + s = (R) () x + s =.800 (O) Vi har nå et ligningssystem med 6 variabler og fire ligninger. Vi har følgelig 6 - = frihetsgrader. Dette innebærer at av de 6 variablene må gis en verdi for at systemet entydig skal kunne løses. Det er 5 måter å gi av 6 variabler en bestemt verdi. Den løsning vi får når variabler gis en bestemt verdi, kalles en basisløsning. Vi har derfor 5 basisløsninger. Anta at vi har et ligningssystem med m ligninger i n variabler. Dette gir a = n - m frihetsgrader. Antall basisløsninger b er gitt ved: n! b = ( n a )! a! I vårt eksempel får vi: 6! 5 6 = = 5!! Siden én bibetingelse er ensidig, faller basisløsning 9 bort i vårt eksempel tor.tangenes@bi.no -6

5 Begreper og sammenhenger i LP () Basisvariabler og variabler utenfor basis Hvis verdien vi tilordner av de 6 varaiblene er null, vil basisløsningene samsvare med hjørnene i isokvantdiagrammet foran. Vi vet at optimum finnes i et hjørne og konsentrerer oss kun om disse. Begreper og sammenhenger i LP () Skyggepris Anta at bebetingelsene er relatert til foretakets ressurser. Hver ressurs vil ha en skyggepris som forteller om ressursens økonomiske verdi for bedriften i en bestemt beslutningssituasjon. Variabler x x s s s s Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning 5 0 Basisløsning Basisløsning Basisløsning Basisløsning (NEI) Basisløsning Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning 0 0 Basisløsning δf ( x, r) Matematisk er skyggeprisen for ressurs i lik: λi = δri der målfunksjonen F er en funksjon av foretakets ulike aktiviteter og ressurser. x er følgelig en aktivitetsvektor, mens r er en ressursvektor. Skyggepris og slakkvariabelverdi Hvis en ressurs er fullt utnyttet (ingen ledig kapasitet), vil denne ressursens slakkvariabel ha verdi lik 0. Hvis foretaket er i stand til å øke ressurstilgangen, vil hulighetsområdet bli større med bedre måloppfyllelse som konsekvens. Det er derfor rimelig å anta skyggeprisen er positiv. Hvis foretaket ikke kan utnytte tilgjengelig mengde av en ressurs, vil ekstra tilgang på denne ressursen ikke bidra til bedret måloppfyllelse og ressursens skyggepris er lik null. x Nummerering av basisløsningene S 0 Markerer en hjørneløsning (basisløsning) R s : S s : L s : R s : O L O Sentrale problemer i produktvalgsproblemet Hvilken løsning er optimal? Hva skjer med optimum hvis ressurstilgangen endres? Hva skjer med optimum hvis koeffisientene i målfunksjonen endres? Hva skjer med optimum hvis koeffisientene i bibetingelsene endres? Hvordan påvirkes optimum av endret ressurstilgang? Hva er ressursenes skyggepriser? For hvilke ressursendringer gjelder skyggeprisene? x : Antall medisinske pasienter x : Antall kirurgiske pasienter x Hvor mye bør bedriften maksimalt være villig til å betale for marginale ressurser? Hvilke ressursbegrensninger bør bedriften søke å fjerne først? tor.tangenes@bi.no 7-0

6 Gjennomgangseksemplet Vi skal nå løse de forskjellige problemene, formulert på siden foran, ved å studere gjennomgangseksemplet grundigere. Den analytiske løsningen som følger har til hensikt å gi den nødvendige intuisjon, som er nødvendig når EDB-baserte løsninger skal tolkes. I den neste oppgaven skal studentene bruke Excel til å løse de samme problemene. Optimal basisløsning samt variabler i og utenfor basis () Fra den grafiske løsningen vet vi at basisløsning nr. er den optimale. HVORFOR? Excel (problemløseren/solver) og andre programmer med LP-moduler, benytter en løsningsalgoritme som heter SIMPLEX. Denne algoritmen beveger seg fra basisløsning til basisløsning på en slik måte at neste basisløsning gir bedre måloppfyllelse enn den foregående. Ved hver basisløsning sjekkes det for optimum. Når optimum er funnet avsluttes beregningene. Hva kjennetegner basisløsning nr. med hensyn på variabler i og utenfor basis? Hvilken realøkonomisk informasjon gir svaret på ovenstående spørsmål: Optimal basisløsning samt variabler i og utenfor basis () Variabler i basis: Optimal basisløsning samt variabler i og utenfor basis () Vi kan forløpig slutte at følgene ressurser har skyggepris > 0: Variabler utenfor basis: I optimum (basisløsning ) har vi unyttet kapasitet på: Vi kan foreløpig slutte at følgende ressurser har skyggepris = 0: I optimum (basisløsning ) har vi full kapasitetsutnyttelse på: tor.tangenes@bi.no -

7 Reformulering av bibetingelsene () Reformulering av bibetingelsene () Vi vet at følgende variabler er i basis i optimum: x > 0 (antall medisinske pasienter) x > 0 (antall kirurgiske pasienter) s > 0 (unyttet kapasitet på lab.-tester) ==> Skyggepris = 0 s > 0 (unyttet kapasitet på operasjoner) ==> Skyggepris = 0 Vi vet også at følgende variabler er utenfor basis i optimum: s = 0 (ingen unyttet kapasitet på senger) ==> Skyggepris > 0 s = 0 (ingen unyttet kapasitet på røntgen) ==> Skyggepris > 0 Siden antall senger og antall røntgenbilder representerer flaskehalser, vil det være av interesse å se hva som skjer med de øvrige variablene (variablene i basis) hvis vi klarer å fjerne flaskehalsene. Vi skal derfor nå formulere variablene i basis som funksjoner av variablene utenfor basis. Utgangspunkt () () () () Mål x x s s 8x + 5x + s,x +,6x + s x + x + s x + s =.800 = f ( s, s ) = f ( s, s ) = f ( s, s ) = f ( s, s ) =.850 = = Reformulering av bibetingelsene () Reformulering av bibetingelsene (). manipulering: Basisvariablene løses ut fra de fire ligningene () () () () 5 x =.06,5 x s 8 8 s = 5.000, x,6x x =.500 x s s =.800 x. manipulering: Setter (*) inn i () for å fjerne x () x =.500 x s () x =.500 (.790,9 0,88s + 0,56s) s (*) x =.0,55 + 0,0909s 0,77s x er er nå formulert iht. kravet. manipulasjon: Setter () inn i () for å fjerne x () () 5 x = 06., 5- ( x- s) - s x x =.06,5.87,50 + s 6 6 (*) x =.790,9 0,88s + 0, 56s x er er nå formulert iht. kravet s 8. manipulasjon: Setter (*) inn i () for å fjerne x () (*) s s =. 800-x = 695,5 0,0909s + 0,77s s er er nå formulert iht. kravet tor.tangenes@bi.no 5-8

8 Reformulering av bibetingelsene (5) Reformulering av målfunksjonen 5. manipulering: Setter (*) og (*) inn i for å fjerne x og x () s = 5.000, x,6x () s = 5.000,(.790,9 0,88s + 0,56s),6(.0,55 + 0,0909s 0,77s) (*) s = 876,5 + 0,7s + 0,87s s er er nå formulert iht. kravet TI =.80x +.55x TI = ,79s 65,7s TI =.80(.790,9 0,88s + 0, 56s ) +.55(.0,55 + 0,0909s 0,77s ) Målfunksjon og bibetingelser reformulert TI = ,79s 65,7s x =.790,9 0,88s + 0, 56s s s x =.0,55 + 0,0909s 0,77s = = 876,5 + 0,7s + 0,87s 695,5 0,0909s + 0,77s Basert på tabellen over kan spørsmålene på neste side besvares uten vesentlige beregninger. Problemer knyttet til gjennomgangseksemplet () Gitt den eksisterende ressurstilgang, hva er optimal fordeling på medisinske og kirurgiske pasienter? Hva er skyggeprisen på de fire oppgitte ressursene, og hvorfor er skyggeprisene relevant beslutningsinformasjon? Hvor mye slakk har avdelingen på lab-tester og operasjoner i optimum? Hvor mye bør sykehuset maksimalt være villig til å betale for en ekstra seng? Hvordan påvirkes optimal fordeling av at avdelingens sengekapasitet øker med 0 senger? Anta at røntgenkapasiteten kan økes til en lav kostnad. Hvor meget bør ressurstilgangen økes? tor.tangenes@bi.no 9-