Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005

Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og Z + = {1, 2,...}. Hvis a og d er to tall fra Z slike at a = kd for noen helle tall k da sier vi at d deler a og betegner det som d a. Hvis d a så sies det også at a er multiplum av d. Hvis d deler ikke a så betegnes det som d - a. Hvis d a og d>0 så sier vi at d er divisor av a. Hvert heltall a er alltid delbar av to trivielle divisorer som er 1 og a. Divisorer av a som er ikke trivielle kalles faktorer. Foreks.,12 har faktorer 2, 3, 4 og 6. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 1

Teorem 1 La a, b, c Z +.Da 1 a; and a 0,a6= 0; (a b b a) a = ±b; (a b b c) a c a b a bx x Z; Delbarhet og divisorer Hvis x = y + z, x, y, z Z og a deler to av disse tre tall så må også a dele tredje tallet; (a b a c) a (bx + cy), for alle x, y Z (uttrykket bx + cy kalles lineær kombinasjon av b og c) La c i Z, 1 i n. Hvisa c i for alle i, såa (c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n ) for alle x 1 Z. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 2

Primtall og sammensatte tall Primtall og sammensatte tall Et heltall a>1 som har kun trivielle divisorer 1 og a kalles primtall. Eksempler av primtall er 2, 35, 7, 11, 13,.... Et heltall a>1 som er ikke primtall kalles sammensatt tall. For eksempel, 12 er et sammensatt tall fordi 2, 3, 6 er blant dets divisorer. Tallet 1 er verken primtall eller sammensatt og kalles enhet (unit). På samme måte 0 og negative heltall ogsåerverkenprimtallellersammensatte tall. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 3

Primtall og sammensatte tall Lemma 1 Hvis n Z + og er et sammensatt tall så det fins et primtall p slik at p n. Proof. Anta at S er en mengde av alle sammensatte tall som ikke har primtallsdivisorer. La oss anta at S 6=. På grunn av S Z +,detfinnes minste element m i S. SidenmerfraS dameretsammensatttall.altsåm = m 1 m 2 og på grunn av m er fra S, såm 1,m 2 er ikke primtall tall. Men både 1 m 1 m og 1 m 2 m og derfor m 1,m 2 / S. Derforentenmellermbørha primtalls divisorer. Motsigelse. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 4

Teorem 2 (Euklides) Det finnes uendelig mange primtall. Primtall og sammensatte tall Proof. Anta at det er ikke slik og fins kun, la oss si k primtall p 1,p 2,...,p k. La oss da analysere tall T = p 1 p 2... p k +1. T kan ikke være et primtall fordi T > p i for alle i =1, 2,...,k.AltsåT er et sammensatt tall. derfor finnes et primtall, la oss si, p j slik at p j T.Dap j må være også divisoren for 1. Motsigelse. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 5

Divisjonsteoremet Divisjonsteoremet Teorem 3 La a være et tall fra Z og n være et tall fra Z +.Detfinnes to unike heltall q og r slike at 0 r<nog a = qn + r. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 6

Eksempel 1 Presenter 6137 i oktall systemet. Divisjonsteoremet Det betyr at vi letter etter tall som presenteres i formen r k r k 1...r 1 r 0 hvor 0 r i < 8 og slik at 6137 = r k 8 k + r k 1 8 k 1 +... + r 1 8 1 + r 0 8 0 Det kan bli funnet som følgende: 6137 = r k 8 k + r k 1 8 k 1 +... + r 1 8 1 + r 0 8 0 = ³ r k 8 k 1 + r k 1 8 k 2 +... + r 1 8+r0 = q 0 8+r 0 r 0 =1er resten når vi deler 6137 med 8, i.e.6137 = 767 8+1 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 7

Divisjonsteoremet q 0 =767=r k 8 k 1 + r k 1 8 k 2 +... + r 1 = ³ r k 8 k 2 + r k 1 8 k 3 +... + r 2 8+r1 = q 1 8+r 1 r 1 =7er resten når vi deler 767 med 8, i.e.767 = 95 8+7 q 1 =95=r k 8 k 2 + r k 1 8 k 3 +... + r 2 = ³ r k 8 k 3 + r k 1 8 k 4 +... + r 3 8+r2 = q 2 8+r 2 r 2 =7er resten når vi deler 95 med 8, i.e. 95 = 11 8+7 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 8

Divisjonsteoremet q 2 =11=r k 8 k 3 + r k 1 8 k 4 +... + r 3 = ³ r k 8 k 4 + r k 1 8 k 5 +... + r 4 8+r3 = q 3 8+r 3 r 3 =3er resten når vi deler 11 med 8, i.e. 11 = 1 8+3 q 3 =1=r k 8 k 4 + r k 1 8 k 5 +... + r 4 = ³ r k 8 k 5 + r k 1 8 k 6 +... + r 5 8+r4 = q 4 8+r 4 r 4 =1er resten når vi deler 1 med 8, i.e. 1=0 8+1. q 4 =0.Stop. (6137) 10 =(r 4 r 3 r 2 r 1 r 0 ) 8 = (17731) 8 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 9

Divisjonsteoremet Anta at a Z ogheltallq og r er slike at a = qn + r og 0 r<n.da q = ba/nc er kvotient av divisjon og r = a mod n er en rest av divisjon. Derfor vi kan si at n a hvis og bare hvis a mod n =0. Det følger også at eller a = ba/nc n +(a mod n) a mod n = a ba/nc n. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 10

Største felles divisor Største felles divisor Hvis d er en divisor av a og d er divisor av b så d kalles felles divisor for a og b. Eksempel: 12 har divisorer 1, 2, 3, 4, 6, 12 og 20 har divisorer 1, 2, 4, 5, 10, 20. Altså 1, 2 og 4 er felles divisorer for 12 og 20. Største felles divisor betegnes som gcd(a, b). For eksempel, gcd(12, 20) = 4 og gcd(0, 0) = 0. Definition 1 La a, b Z som er ikke like 0 samtidig. Et tall c Z + kalles største felles divisor av a og b hvis c a og c b; for alle felles divisorer d av a og 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 11

b har at a c. Største felles divisor 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 12

Egenskaper av GCD Største felles divisor gcd(a, b) =gcd(b, a), gcd(a, 0) = a, gcd(a, na) = a, for n Z gcd( a, b) =gcd( a, b) =gcd(a, b) =gcd(a, b) =gcd( a, b ). 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 13

Største felles divisor Spørsmål: Finnes det alltid felles divisorer for gitte a og b fra Z og hvor mange? Teorem 4 Hvis a og b er heltall som ikke er begge like 0 så gcd(a, b) er det minste positive tall i mengden {ax + by x, y Z}. Korolar 1 For alle a, b Z + det finnes unik c slik at c =gcd(a, b). Korolar 2 For alle a, b Z +,hvisd a og d b så d gcd(a, b). Korolar 3 For alle a, b Z + og n Z + {0}, gcd(an, bn) =n gcd(a, b). Korolar 4 For alle a, b Z + og n Z +,hvisn ab og gcd(a, n) =1så n b. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 14

Relativt primtall Relativt primtall To heltall a og b fra Z kalles relativt primtall hvis gcd(a, b) =1. For eksempel, tall 8 og 9 er relativt primtall, mens tall 8 og 10 er ikke relativt primtall. Teorem 5 For a, b, p Z, hvis gcd(a, p) =1og gcd(b, p) =1så gcd(ab, p) = 1. Vi sier at tall n 1,n 2,...,n k Z er parvis relativt primtall hvis gcd(n i,n j )=1 hvor i 6= j. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 15

Relativt primtall Unik faktorisering(aritmetikkens fundamental teorem) Teorem 6 For hvert primtall p og alle a, b Z, hvis p ab, såp a eller p b. Teorem 7 La a i Z, 1 i n. Hvis p er et primtall og p a 1 a 2...a n,så finnes det a j slik at p a j for noen 1 j n. Aritmetikkens fundamental teorem formuleres på følgende måte. Teorem 8 Hvert heltall a>1 kan skrives på en entydig måte som produkt av primtall på formen: a = p e 1 1 pe 2 2...pe r r hvor p i er primtall, p 1 <p 2 <...<p r og e i Z +. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 16

Relativt primtall Bevis: Først viser vi at alle heltall m>1 kan faktoriseres som produkt av primtall (d.v.s., presentres på formen p e 1 1 pe 2 2...pe r r ). Anta at det finnes m>1 slik at det er det minste positive tall som ikke kan faktoriseres som produkt av primtall. Siden m ikke er primtall må m = m 1 m 2 hvor 1 <m 1 <mog 1 <m 2 <m. Derfor kan både m 1 og m 2 faktoriseres som produkt av primtall. Altså kan m faktoriseres som produkt av primtall. Nå viser vi at faktoriseringen er entydig. Vi skal bevise det ved hjelp av matematisk induksjon. 2 kan kun faktoriseres som 2 1. 3 kan kun faktoriseres som 3 1. Anta at alle tall 2, 3, 4,..., n 1 kan faktoriseres på entydig måte. Anta at n = p s 1 1 ps 2 2...ps k k = qt 1 1 q t 2 2...q t r r, hvor p i er primtall og s i Z + for alle 1 i k, q i er primtall og t i Z + 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 17

for alle 1 i r, og p 1 <p 2 <...<p k, q 1 <q 2 <...<q k. Relativt primtall Siden p 1 n må p 1 q t 1 1 q t 2 2...q t r r og p 1 q j for en j mellom 1 og r (d.v.s., 1 j r). Både p 1 og q j er primtall, derfor er p 1 = q j. På samme måte, siden q 1 n da er q 1 p s 1 1 ps 2 2...ps k k og q 1 p i for en i mellom 1 og k (d.v.s., 1 i k). Både q 1 og p i er primtall, derfor er q 1 = p i. Fra p 1 p i = q 1 q j og p 1 = q j følger at p 1 = p i = q 1 = q j. Derfor er n 1 = n/p 1 = p s 1 1 1 p s 2 2...ps k k = qt 1 1 1 q t 2 2...q t r r Men n 1 <nog i følge induksjonshypotesen kan n faktoriseres på en entydig måte. Altså n kan faktoriseres på en entydig måte. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 18