BOKMÅL. (d) Hvilken prosentandel av energitettheten i (c) kommer fra henholdsvis det elektriske og det magnetiske feltet?

Transkript

1 1 BOKMÅL Informasjon om eksamen Les oppgavene nøye. Maksmalt antall poeng du kan oppnå på denne eksamen er 100. Maksmal poengsum per oppgave er gtt parantes oppgavetttelen. Lykke tl. Oppgave 1: elektromagnetske bølger (7.5 poeng) En TV-stasjon sender ut et snussgnal med en gjennomsnttlg effekt på 316 kw. Anta at bølgen brer seg unformt ut en halvkule over bakken. Betrakt så et hus 5.00 km unna antenna. (a) Hva er det gjennomsnttlge trykket den elektromagnetske bølgen utøver på en fullstendg reflekterende overflate på huset? (b) Hva er ampltudene tl det elektrske og magnetske feltet ved huset? (c) Hva er den gjennomsnttlge energtettheten tl bølgen ved huset? (d) Hvlken prosentandel av energtettheten (c) kommer fra henholdsvs det elektrske og det magnetske feltet? Oppgave 2: nduksjon (10 poeng) Gtt en uendelg lang, rett leder som fører strømmen I 1. En kvadratsk, tynn ledersløyfe med sdekant a plasseres med venstre sdekant avstand c fra den rette lederen (se fgur). Sløyfa lgger et plan gjennom den rette lederen og lgger så langt fra lederen (c a) slk at v kan anta at magnetfeltet som I 1 setter opp nn strømsløyfa er homogent og lk verden sentrum av sløyfen. Sløyfa roterer om en akse som går parallelt med I 1 og gjennom mdtpunktet av sløyfa, som vst fguren. Rotasjonsfrekvensen er f. Fnn et uttrykk for ndusert elektromotorsk spennng ledersløyfa. Oppgave 3: bevegelse tl ladede partkler (7.5 poeng) (a) En elektronstråle går retnng rett mot venstre, negatv x-retnng fguren. Du ønsker å stoppe elektronstrålen ved å plassere en magnet med nordpolen rett mot strålen, slk at magnetsk felt B fra magneten peker rett tl høyre (x-retnng) mot elektronstrålen. Elektroner er negatvt ladd. Beskrv bevegelsen tl elektronet både med hensyn tl retnng og eventuell endrng av fart.

2 2 (b) Velg rktg(e) svaralternatv(er) tl følgende utsagn: alle ladde partkler som passerer gjennom et elektrsk og magnetsk felt som er perpendkulære tl hverandre uten å bl avbøyd har samme A. masse B. fart C. bevegelsesmengde D. energ E. forhold mellom ladnng og masse Oppgave 4: Amperes lov (15 poeng) Bruk Amperes lov på formen (H = B/µ 0 ) H ds = I encl (1) tl å fnne H-feltet alle områder for en uendelg lang koaksalkabel som fører en strøm +I nnerleder og I ytterleder. Innerlederen er en massv sylnder med radus a, ytterleder er en sylnder med nnerradus b og ytterradus c. Mellom lederne er det elektrsk solerende materale med permeabltet µ 0. Anta at kabelen lgger langs z-aksen og at strømmen er jevnt fordelt over tverrsnttet. Beregn altså H(r) for alle r og lag en sksse av H(r). Oppgave 5: kraftmoment magnetfelt (10 poeng) E kvadratsk ledersløyfe med sdekant a og strøm I er plassert et homogent magnetfelt B = Bk. Flatenormalen A = a 2 n lgger xz-planet og danner en vnkel θ med z-aksen. Sløyfa lgger med sentrum orgo. Du skal beregne de magnetske krefters kraftmoment τ om y-aksen. Husk kraftmoment = arm ganger kraft, τ = r F.

3 Vs en sksse retnngen for den magnetske krafta på hver av de fre rette lederstykkene. Hvlke av kreftene bdrar tl kraftmomentet τ? Fnn uttrykk for alle kreftene og beregn τ. Bruk kartesske komponenter, j, k. 3 Oppgave 6: DC kretser (15 poeng) I kretsen fguren settes bryteren possjon a ved tda t = 0. La spennnger og strømmer være som angtt fguren. Kondensatoren har tl enhver td ladnngen Q C (t). Ved t < 0 er V C = 0 og dermed alle strømmer lk null (og V a = E ). (a) Fnn uttrykk for følgende størrelser ved t = 0 + (umddelbart etter bryteren er slått på): V C,Q C,I C,I R,I. (b) Fnn uttrykk for de samme størrelser ved t = (etter svært lang td). (c) Fnn uttrykk for de samme størrelser som funksjon av tda for t > 0. Tps: Husk at strømmen tl kondensatoren har følgende sammenheng med ladnngen på kondensatoren: I C = dq C /dt. Oppgave 7: delektrsk plate (15 poeng) Fguren under vser tverrsntt av e delektrsk (elektrsk solerende) plate med permttvtet ε, total tykkelse 2t z-retnngen og uendelg utstreknng x- og y-retnngene. Plata tlføres så en romladnngstetthet gtt ved ρ(z) = ρ 0 cos ( πz ) 2t der z er avstanden fra mdtplanet plata og ρ 0 er en konstant. Denne ladnngstettheten er vsualsert med punktmarkernger og blr altså delvs skjermet det delektrske materalet. Plata er omgtt av luft med permttvtet ε 0. (a) Beregn den elektrske feltstyrken E utenfor og nne den delektrske plata. Begrunn fremgangsmåten. (b) Lag e sksse av E som funksjon av z. (c) Beregn det elektrske potensalet V utenfor og nne plata. Velg nullreferansen for det elektrske potensalet mdt nne plata (z = 0). (2)

4 4 (d) Lag e sksse av V (z) som funksjon av z. Oppgave 8: elektrsk ladnng og potensal (10 poeng) To svært tynne, konsentrske, metallske kuleskall har rader henholdsvs R og 3R/2. Det ndre skallet har ladnngen q, og det ytre skallet har ladnngen 3q. (a) Fnn uttrykk for det elektrske feltet E(r) alle deler av rommet. (b) Hva er potensaldfferansen mellom skallene? (c) Hvordan vl ladnngen fordele seg dersom de to skallene forbndes med en tynn ledende tråd? Oppgave 9: potensell energ (10 poeng) En punktladnng Q 1 er plassert orgo og en punktladnng Q 2 (x,y) = (a,0), som vst fguren. Et elektron flyttes fra punkt A = (0, b) tl punkt B = (a,b). Hvor stor endrng gr denne forflytnngen systemets potenselle energ? ( Systemet = de to punktladnngene og elektronet.)

5 5 Nyttge formler Betydnng tl symboler og korrekt bruk av formler skal være kjent av studenten. Maxwells lover, Lorentzkraft og magnetsk kraft: Potensalforskjell, effekt og energ kretser: E da = Q/ε 0, E = ρ/ε 0, B da = 0, B = 0, E dl = dφ ( B dφ ) E, E = B/ t, B dl = µ 0 I + ε 0, dt dt F = q(e + v B), F = Il B. (3) v = R, v = q/c, v = Ld/dt, P = V I, U = 1 2 CV 2, U = 1 2 LI2. (4) Resstans og kapastans kretser: Elektrsk kraft, felt, potensal: R = R = ( R, C = ( 1/C ) 1, 1/R ) 1, C = C. (5) F = q 1q 2 4πε 0 r 2, E = q 4πε 0 r 2 ˆr, E = V, E j = dv d j ( j = x,y,z). (6) Magnetske og elektrske dpoler, potensell energ, dreemoment, fluks: U = p E, τ = p E, U = µ B, τ = µ B, p = qd, µ = IA, Φ B = B da. (7) Elektromagnetske bølger: p radaton = I/c (for fullstendg absorberende overflate), P average = IA, I = E mb m 2µ 0, B = E/c, 1/c 2 = ε 0 µ 0, u = ε 0 E 2 /2 + B 2 /(2µ 0 ). (8) Når man ntegrerer en størrelse X = X(r) [avhenger kun av radus og kke vnkler] over volumet tl en kule, kan man bruke at: X dv = 4π Xr 2 dr (9)

6 NYNORSK Informasjon om eksamen Les oppgåvene nøye. Maksmalt poengsum du kan oppnå på denne eksamenen er 100. Maksmal poengsum per oppgåve er gjeven parantes oppgåvetttelen. Lykke tl. Oppgåve 1: elektromagnetske bølgjer (7.5 poeng) En TV-stasjon sender ut et snussgnal med en gjennomsnttleg effekt på 316 kw. Anta at bølgja brer seg unformt ut e halvkule over bakken. Vurder så et hus 5.00 km unna antenna. (a) Kva er det gjennomsnttlege trykket den elektromagnetske bølgja utøvar på e fullstendg reflekterande overflate på huset? (b) Kva er ampltudane tl det elektrske og magnetske feltet ved huset? (c) Kva er den gjennomsnttlege energtettleken tl bølgja ved huset? (d) Kva for en prosentdel av energtettleken (c) kjem frå høvesvs det elektrske og det magnetske feltet? 6 Oppgåve 2: nduksjon (10 poeng) Vurder en uendeleg lang, rett lear som fører straumen I 1. En kvadratsk, tynn ledersløyfe med sdekant a vert plassert med venstre sdekant avstand c frå den rette learen (sjå fgur). Sløyfa lgg et plan gjennom den rette learen og lggar så langt frå learen (c a) at v kan anta at magnetfeltet som I 1 set opp nn strømsløyfa er homogent og lk verden sentrum av sløyfa. Sløyfa roterer om en akse som går parallelt med I 1 og gjennom mdtpunktet av sløyfa, som vst fguren. Rotasjonsfrekvensen er f. Fnn et uttrykk for ndusert elektromotorsk spennng ledersløyfa. Oppgåve 3: rørsle tl ladde partklar (7.5 poeng) (a) En elektronstråle går retnng rett mot venstre, negatv x-retnng fguren. Du ynskjer å stoppa elektronstrålen ved å plassera en magnet med nordpolen rett mot strålen, slk at magnetsk felt B frå magneten pekar rett tl høgre (x-retnng) mot elektronstrålen. Elektron er negatvt ladde. Skldre rørsla tl elektronet både med omsyn tl retnng og eventuell endrng av fart.

7 (b) Vel rktg(e) svaralternatv(er) tl følgjande utsegn: alle ladde partklar som passerer gjennom et elektrsk og magnetsk felt som er perpendkulære tl kvarandre utan å bl avbøyd har same A. masse B. fart C. rørslemengd D. energ E. forhold mellom ladnng og masse 7 Oppgåve 4: Amperes lov (15 poeng) Bruk Amperes lov på forma (H = B/µ 0 ) H ds = I encl (10) tl å fnna H-feltet alle område for en uendeleg lang koaksalkabel som fører en straum +I nnerleder og I ytterleder. Innerlederen er en massv sylnder med radus a, ytterleder er en sylnder med nnerradus b og ytterradus c. Mellom learane er det elektrsk solerande materal med permeabltet µ 0. Anta at kabelen lgg langs z-aksen og at straumen er jamt fordelt over tverrsnttet. Berekn altså H(r) for alle r og lag en sksse av H(r). Oppgåve 5: kraftmoment magnetfelt (10 poeng) E kvadratsk ledersløyfe med sdekant a og straum I er plassert et homogent magnetfelt B = Bk. Flatenormalen A = a 2 n lgg xz-planet og dannar en vnkel θ med z-aksen. Sløyfa lgg med sentrum orgo. Du skal berekna kraftmomentet tl de magnetske krefter τ om y-aksen. Hugs kraftmoment = arm gonger kraft, τ = r F. Vs en sksse retnnga for den magnetske krafta på kvar av de fre rette learstykka. Kva for av kreftene bdreg tl kraftmomentet τ? Fnn uttrykk for alle kreftene og berekn τ. Bruk kartesske komponentar, j, k.

8 8 Oppgåve 6: DC kretsar (15 poeng) I kretsen fguren vert brytaren sett possjon a ved tda t = 0. La spennngar og straumar vera som angjeve fguren. Kondensatoren har tl kvar og e td ladnngen Q C (t). Ved t < 0 er V C = 0 og dermed alle strøymer lk null (og V a = E ). (a) Fnn uttrykk for følgjande storlekar ved t = 0 + (umddelbart etter brytaren er slegen på): V C,Q C,I C,I R,I. (b) Fnn uttrykk for de same storlekar ved t = (etter svært lang td). (c) Fnn uttrykk for de same storlekar som funksjon av tda for t > 0. Tps: Hugs at straumen tl kondensatoren har følgjande samanheng med ladnngen på kondensatoren: I C = dq C /dt. Oppgåve 7: delektrsk plate (15 poeng) Fguren under vser tverrsntt av e delektrsk (elektrsk solerande) plate med permttvtet ε, total tykkelse 2t z-retnnga og uendeleg utstrekkng x- og y-retnngane.

9 Plata tlførast så en romladnngstettlek gjeve ved ρ(z) = ρ 0 cos ( πz ) 2t der z er avstanden frå mdtplanet plata og ρ 0 er en konstant. Denne ladnngtettleken er vsualsert med punktmarkerngar og vert altså delvs skjerma det delektrske materalet. Plata er omgjeven av luft med permttvtet ε 0. (a) Berekn den elektrske felttyrken E utanfor og nne den delektrske plata. Grunngje fremgangsmåten. (b) Lag e sksse av E som funksjon av z. (c) Berekn det elektrske potensalet V utanfor og nne plata. Vel nullreferansen for det elektrske potensalet mdt nne plata (z = 0). (d) Lag e sksse av V (z) som funksjon av z. 9 (11) Oppgåve 8: elektrsk ladnng og potensal (10 poeng) To svært tynne, konsentrske, metallske kuleskal har radusar høvesvs R og 3R/2. Det ndre skalet har ladnngen q, og det ytre skalet har ladnngen 3q. (a) Fnn uttrykk for det elektrske feltet E(r) alle delar av rommet. (b) Kva er potensaldfferansen mellom skala? (c) Korles vl ladnngen fordela seg dersom de to skala vert forbunde med en tynn leande tråd? Oppgåve 9: potensell energ (10 poeng) En punktladnng Q 1 er plassert orgo og en punktladnng Q 2 (x,y) = (a,0), som vst fguren. Et elektron vert flytt frå punkt A = (0, b) tl punkt B = (a,b). Kor stor endrng gjev denne forflytnngen den potenselle energen tl systemet? ( Systemet = de to punktladnngane og elektronet.)

10 10 Nyttge formlar Tydng tl symbol og korrekt bruk av formlar skal kjennast av studenten. Maxwells lovar, Lorentzkraft og magnetsk kraft: Potensalsklnad, effekt og energ kretsar: E da = Q/ε 0, E = ρ/ε 0, B da = 0, B = 0, E dl = dφ ( B dφ ) E, E = B/ t, B dl = µ 0 I + ε 0, dt dt F = q(e + v B), F = Il B. (12) v = R, v = q/c, v = Ld/dt, P = V I, U = 1 2 CV 2, U = 1 2 LI2. (13) Resstans og kapastans kretsar: Elektrsk kraft, felt, potensal: R = R = ( R, C = ( 1/C ) 1, 1/R ) 1, C = C. (14) F = q 1q 2 4πε 0 r 2, E = q 4πε 0 r 2 ˆr, E = V, E j = dv d j ( j = x,y,z). (15) Magnetske og elektrske dpolar, potensell energ, dreemoment, fluks: U = p E, τ = p E, U = µ B, τ = µ B, p = qd, µ = IA, Φ B = B da. (16) Elektromagnetske bølgjer: p radaton = I/c (for fullt absorberande overflate), P average = IA, I = E mb m 2µ 0, B = E/c, 1/c 2 = ε 0 µ 0, u = ε 0 E 2 /2 + B 2 /(2µ 0 ). (17) Når en ntegrerer en storlek X = X(r) [avheng berre av radus og kkje vnklar] over volumet tl e kule, kan en bruka at: X dv = 4π Xr 2 dr (18)

11 11 ENGLISH Informaton about the exam Read the problem texts carefully. The maxmum number of ponts you can acheve on ths exam s 100. The maxmum number of ponts you can acheve on a gven problem s shown n the parantheses n the problem ttle. Good luck. Problem 1: electromagnetc waves (7.5 ponts) A TV-staton emts a snusodal electromagnetc sgnal wth average power 316 kw. Assume that the wave expands unformly nto a hemsphere above the ground. Consder now a house 5.00 km away from the antenna of the TV-staton. (a) What s the average pressure that the electromagnetc wave exerts on a completely reflectve surface on the house? (b) What are the ampltudes of the electrc and magnetc felds at the house? (c) What s the average energy densty of the wave at the house? (d) Whch percentage of the energy densty n (c) comes from the electrc feld and whch percentage comes from the magnetc feld? Problem 2: nducton (10 ponts) Consder an nfntely long, straght conductor n whch a current I 1 exsts. A quadratc, thn conductve loop wth sde a s placed wth ts left sde at a dstance c from the straght conductor (see the fgure). The loop les n a plane that passes through the straght conductor and s located so far from the conductor (c a) that we may assume that the magnetc feld whch I 1 establshes nsde the loop s homogeneous and equal to ts value at the center of the loop. The loop rotates around an axs parallel to I 1 whch goes through the center of the loop (see fgure). The frequency of rotaton s f. Derve an expresson for the nduced electromotve force n the conductve loop. Problem 3: moton of charged partcles (7.5 ponts) (a) An electron beam s drected left, n the negatve x-drecton. You seek to stop ths electron beam by placng a magnetc wth ts northpole drectly facng the beam, so that a magnetc feld B from the magnetc ponts toward rght (postve x-drecton, n effect opposte the electron beam). Recall that electrons are negatvely charged. Descrbe the moton of the electron both wth respect to ts drecton and any change n velocty.

12 12 (b) Choose the correct alternatve(s) for the followng statement: all charged partcles that pass through a regon wth electrc and magnetc felds perpendcular to each other wthout changng ther trajectores have the same A. mass B. velocty C. momentum D. energy E. rato between charge and mass Problem 4: Ampere s law (15 ponts) Use Ampere s law, wrtten as (H = B/µ 0 ) H ds = I encl (19) to derve an expresson for the H-feld n all areas of an nfntely long coaxal cable. The cable carres a current +I n ts nner conductng regon and I n ts outer conductng regon. The nner conductng regon s a massve cylnder wth radus a whereas the outer conductng regon s a cylnder wth nner radus b and outer radus c. Between the conductng regons exsts an electrcally nsulatng materal wth permeablty µ 0. Assume that the cable s postoned along the z-axs and that the current s evenly dstrbuted over the cross-secton. Thus, derve an expresson for H(r) for all r and sketch the resultng behavour of H(r). Problem 5: torque n a magnetc feld (10 ponts) A quadratc conductng loop wth sde a and current I s placed n a homogeneous magnetc feld B = Bk. The normal vector to the loop-plane, A = a 2 n, les n the xz-plane at an angle θ wth the z-axs. The loop les wth ts center n the orgn. Your task s to compute the torque τ around the y-axs resultng from the magnetc forces. Recall that torque = "arm tmes force", τ = r F. Show the drecton of the magnetc force on each of the four straght conductng peces. Whch of the forces contrbute to the

13 13 torque τ? Derve an expresson for the all the forces and compute τ. Use Cartesan components, j, k. Problem 6: DC crcuts (15 ponts) In the crcut shown n the fgure, the swtch s n poston a at tme t = 0. Defne the voltages and currents as ndcated n the fgure. The capactor has the charge Q C (t) at a gven tme t. At t < 0, V C = 0 and thus all currents are equal to zero (and V a = E ). (a) Fnd an expresson for the followng quanttes at t = 0 + (mmedately after the swtch has been turned on): V C,Q C,I C,I R,I. (b) Fnd an expresson for the same quanttes at t = (after a very long tme). (c) Fnd an expresson for the same quanttes as a functon of tme for t > 0. Hnt: Recall that the current to the capactor has the followng relaton wth the charge on the capactor: I C = dq C /dt. Problem 7: delectrc plate (15 ponts) The fgure below shows the cross-secton of a delectrc (electrcally nsulatng) plate wth permttvty ε, total thckness 2t n the z-drecton and nfnte extenson n the x- and y-drectons.

14 The plate s now mparted wth a charge densty dstrbuton gven by ( πz ) ρ(z) = ρ 0 cos 2t where z s the dstance from the mddle plane of the plate whle ρ 0 s a constant. The charge densty s vsualzed wth ponts n the fgure and s partally screened by the delectrc materal. The plate s surrounded by ar wth permttvty ε 0. (a) Compute the electrc feld strength E outsde and nsde the delectrc plate. Explan the steps n your dervaton. (b) Draw a sketch of how E behaves as a functon of z. (c) Compute the electrc potental V outsde and nsde the plate. Choose the reference level (zero potental) for the electrc potental n the mddle of the plate (z = 0). (d) Draw a sketch of how V (z) behaves as a functon of z. 14 (20) Problem 8: electrc feld and potental (10 ponts) Two very thn, concentrc, metallc sphercal shells have rad R and 3R/2, respectvely. The nner shell has a charge q whle the outer shell has the charge 3q. (a) Derve an expresson for the electrc feld E(r) n all parts of space. (b) What s the potental dfference between the shells? (c) How wll the charge dstrbute tself f the two shells are connected va a thn conductng thread? Problem 9: potental energy (10 ponts) A pont-charge Q 1 s placed n the orgn of the coordnate system and a pont-charge Q 2 s placed n (x,y) = (a,0), as shown n the fgure. An electron s moved from pont A = (0, b) to pont B = (a,b). How large change n the potental energy of the system does ths movement cause? ( System = the two pont-charges and the electron)

15 15 Useful formulas The meanng of the symbols and the correct usage of the equatons should be known by the student. Maxwell s equatons, Lorentz force, and magnetc force: E da = Q/ε 0, E = ρ/ε 0, B da = 0, B = 0, E dl = dφ ( B dφ ) E, E = B/ t, B dl = µ 0 I + ε 0, dt dt F = q(e + v B), F = Il B. (21) Potental dfference, power, and energy n crcuts: v = R, v = q/c, v = Ld/dt, P = V I, U = 1 2 CV 2, U = 1 2 LI2. (22) Resstance and capactance n crcuts: Electrc force, feld, and potental: R = R = ( R, C = ( 1/C ) 1, 1/R ) 1, C = C. (23) F = q 1q 2 4πε 0 r 2, E = q 4πε 0 r 2 ˆr, E = V, E j = dv d j ( j = x,y,z). (24) Magnetc and electrc dpoles, potental energy, torque, flux: U = p E, τ = p E, U = µ B, τ = µ B, p = qd, µ = IA, Φ B = B da. (25) Electromagnetc waves: p radaton = I/c (for fully absorbng surface), P average = IA, I = E mb m 2µ 0, B = E/c, 1/c 2 = ε 0 µ 0, u = ε 0 E 2 /2 + B 2 /(2µ 0 ). (26) Integratng a quantty X = X(r) [only depends on radus and not angles] over the volume of a sphere yelds X dv = 4π Xr 2 dr (27)