Transkript

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 Innendørs temperatursvingninger.nb 1 Innendørs temperaturoscillasjoner Eksempel på lineær første ordens differensiallikning E:P.6 ed. s Application. La innetemperaturen i et hus være gitt ved uhtl. Newton's avkjølingslov sier at temperaturendringen innendørs er proporsjonal med differansen mellom innetemperatur og utetemperatur, dvs. endrer seg mest i begynelsen når differansen er størst. Når utetemperaturen AHtL er temperaturavhengig, kan Newton's lov formuleres: eq = u'@td k Hu@tD A@tDL; Anta periodiske varasjoner av utetemperaturen over døgnet. Med w = ÅÅÅÅÅ blir perioden 24 timer = 1 døgn. Vi forutsetter 12 at vi er inne i en stabil periode hvor dag- til - dag endringene kan neglisjeres. A@t_D = a@0d + a@1d Cos@ω td + b@1d Sin@ω td; eq u HtL -kh-ah0l - ah1l cosht wl - bh1l sinht wl + uhtll Clear@BD Anta en sommerdag med min temperatur 70 F kl.0400 og max temperatur 90 F kl La t = 0 være ved midnatt, kl Temperaturen kan da modelleres som p B@t_D = Cos@ω Ht 4LD H ω = π 12 L coshht - 4L wl Prøver å ekspandere den trigonometriske funksjonen, men mislykkes: B@tD = TrigExpand@B@tDD coshht - 4L wl Etter formel cos( a-b) = cos a cos b + sin a sin b: B@t_D = 80 5 Cos@ω td 5 è!!!! 3 Sin@ω td H ω = π -5 cosht wl - 5 è!!!! 3 sinht wl + 80 Sammenlikner vi AHtL med BHtL, finner vi verdiene på koeffisientene: values = 9a@0D 80, a@1d 5, b@1d 5 è!!!! 3=; Setter verdiene inn i avkjølingslikningen 12 L

7 Innendørs temperatursvingninger.nb 2 eq1 = eq ê. values u HtL -ki5 cosht wl + 5 è!!!! 3 sinht wl + uhtl - 80M Løser avkjølingslikningen for uhtl med vilkårlig starttemperatur: soln = DSolve@8eq1, u@0d u0<, u@td, td 1 ::uhtl Ø - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k 2 + w 2 I -k t I-80 k t k 2 - u0 k k t cosht wl k è!!!! 3 k t sinht wl k k è!!!! 3 w k - 5 è!!!! 3 k t w cosht wl k + 5 k t w sinht wl k - 80 k t w 2 - u0 w w 2 MM>> Verdien av konstanten k varierer med husets isolasjon, åpne eller lukkede vinduer etc. En rimelig verdi er å sette k = 0.2. soln1 = soln ê. 9k 0.2, ω > π 12 = ê. 0. t 1 êê ExpandAll ::uhtl Ø t u t cosj ÅÅÅÅÅÅÅÅ p t p t N sinj ÅÅÅÅÅÅÅÅ N + 80.>> Løsningen består av en transient del som raskt dør ut pga leddet -0.2 t, og en steady state del som er uavhengig av startverdien u0. Plot@Evaluate@Table@u@tD ê. soln1, 8u0, 65, 95, 3<D, 8t, 0, 50<D, PlotStyle BlueD Ü Graphics Ü Vi ser at etter ca. 18 timer vil innendørstemperaturen svinge rundt den samme middeltemperaturen som utetemperatursvingningene. Men temperaturvariasjonene er mindre innendørs enn utendørs. Vi ser at temperaturen varierer mellom 74 F og 86 F, mens utetemperaturen varierte over 20 F. En annen ting verdt å merke seg er at svingningene innendørs ligger etter svingningene utendørs, pga. varmeledningsevnen i materialet i husets vegger. u1@t_d = SinA π cosj ÅÅÅÅÅÅÅÅ p t p t N sinj ÅÅÅÅÅÅÅÅ N + 80 te CosA π 12 te Ved å benytte trigonometriske formler kan vi sjekke at uttrytkket også kan skrives som ( avrundet til 6 desimaler):

8 Innendørs temperatursvingninger.nb 3 u2@t_d = CosA π Ht LE cosj ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 pht LN 12 PlotA9u2@tD, A@tD ê. values ê. ω 90 π =, 8t, 0, 50<, PlotStyle 8Red, Blue<E Ü Graphics Ü Vi ser at innetemperaturkurven ( rød kurve) når sitt maksimum ca. kl.19.30, 3.5 time etter at utetemperaturen har nådd sin største verdi. Temperaturen inne i huset fortsetter derfor å stige om ettermiddagen selv når utetemperaturen avtar, pga treghet i varmegjennomgangen gjennom veggene. ü Kommentar: Eksemplet er gjengitt med data fra læreboka, og temperaturskalaen som benyttes er derfor Fahrenheit. Omregningsfaktoren for overgang til Celciusgrader er gitt ved C = ÅÅÅÅ 5 HF - 32L 9 Begge skalaer er lineære, men starter ulikt og har ulikt stigningstall. Frysepunktet for vann (0 C) er lik 32 F, og kokepunktet for vann ( 100 C) er lik 212 F. 100 F svarer omtent til kroppstemperaturen til et menneske.

9 Matematisk pendel med L = 1 Spinnsatsen om opphengningspunktet: m L 2 q'' HtL = -m g L sinhql equ = θ ''@td + g L Sin@θ@tDD 0 g Sin@θ@tDD + 0 L g = 9.8; L = 1; Svingetiden er avhengig av utgangsvinkelen, unntatt ved små vinkler der vi kan regne sin q = q. solns = TableBNDSolve@8equ, θ@0d α, θ '@0D 0<, θ@td, 8t, 0, 10<D, :α, Plot@Evaluate@θ@tD ê. First ê@ solns, 8t, 0, 10<DD 1.5 π 12, π 2, π 12 >F; Clear@g, LD For små utslag q << 1 er svingetida uavhengig av utgangsvinkelen: sol0 = DSolveB:θ ''@td + g 1 θ@td 0, θ@0d, θ '@0D 0>, θ@td, tf L 10 ::qhtl Ø 1 10 cos g t L >> g = 9.8; L = 1; sol1 = NDSolveB:θ ''@td + g Sin@θ@tDD 0, θ@0d 1, θ '@0D 0>, θ@td, 8t, 0, 10<F L 88qHtL Ø InterpolatingFunction@H L, <>D@tD<<

10 2 Matemathical pendulum 2.nb ê. First 8sol0, sol1<, 8t, 0, 10<, PlotStyle 8Red, Blue<DD Ü Graphics Ü 2 p Den røde kurven er en ren cosinuskurve med periode T = gêl forhold til den røde kurven, og har derfor lengre svingetid. Dette er ingen cosinuskurve. 2 π T = º 2 s. Den blå kurven har forskjøvet makspunktene i

11 6