UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Bio 2150 Biostatistikk og studiedesign Eksamensdag: 5. desember 2014 Tid for eksamen: 14:30-18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 6 sider Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, samt egenprodusert hjelpemiddel bestående av opp til ti tosidige A4-ark med valgfri tekst, formler, ligninger, figurer, tabeller etc.; håndskrevet eller trykt. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Eksamen teller 65% av avsluttende karakter. Legg merke til at oppgavene er gitt forskjellig vekt. Oppgave 1 (30 %) Vi ser i denne oppgaven på kast av vanlige terninger med 1 til 6 «øyne» på de seks sidene, slik vi har gjort i en av de praktiske øvingene i kurset. Vi antar at terningene er rettferdige slik at alle seks sider kan vende opp med samme sannsynlighet, og at utfallene for to eller flere terninger er uavhengige. a) Hva slags type stokastisk variabel kan representere kast med en vanlig terning? b) Hvor mange mulige utfall er det når en kaster en, to eller tre terninger, og generelt et vilkårlig antall (n) terninger? c) På hvor mange måter kan vi ordne (permutere) 3 forskjellige objekter (for eksempel terninger med forskjellig antall øyne)? d) Hva er den minste og den største mulige verdien for summen av antall øyne på tre terninger, og hvor mange mulige utfall er det for summen av antall øyne på tre terninger? e) Hva er sannsynligheten for å få det minste mulige antall øyne ved kast av tre terninger? f) På hvor mange måter er det mulig å få at summen av antall øyne er lik 4 ved kast av tre terninger? g) Hvilken form har sannsynlighetsfordelingen for summen av antall øyne i kast av tre terninger? Hvilken sats (teorem) kan du bruke for å begrunne dette? h) Hva blir medianen til sannsynlighetsfordelingen for summen av antall øyne i kast av tre terninger? i) Du skal simulere summen av antall øyne i kast med tre terninger og vise resultatet som et histogram eller stolpediagram. Hvilke R-kommandoer vil du bruke? 1

2 Oppgave 2 (30 %) Vi skal se på et konstruert datasett fra Shoemaker (1996; J. Statistics Education 4:2), basert på studien "A Critical Appraisal of 98.6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich" av Mackowiak et al. (1992; JAMA 268: ). Datasettet har 3 variable: Kroppstemperatur i grader Fahrenheit (BT.F), hjertefrekvens (puls) i slag per minutt (HR) og kjønn kodet som "F" for kvinne og "M" for mann (Sex). Vi laster datasettet inn i R og gir det navnet d. Følgende er et sammendrag av dette data.frameobjektet: > summary(d) BT.F HR Sex Min. : Min. :57.00 F:65 1st Qu.: st Qu.:69.00 M:65 Median : Median :74.00 Mean : Mean : rd Qu.: rd Qu.:79.00 Max. : Max. :89.00 a) Hvor mange individer var det i studien, og hvordan var fordelingen mellom kjønnene? Se på forskjellene mellom gjennomsnitt og median for de to numeriske variablene; hvilke slutninger kan vi trekke fra dette om formen på fordelingene deres? b) Datasettet har kroppstemperatur oppgitt i Fahrenheit, men for europeere er det mer naturlig å bruke Celsius-skalaen. Lag en lineær likning som regner om Fahrenheit (F) til Celsius (C) når du får oppgitt at frysepunktet for vann (0 C) er 32 F og kokepunktet (100 C) er 212 F. c) I det følgende har vi laget en ny variabel BT.C som er kroppstemperatur omregnet i Celsius-grader, og som vi skal bruke videre. Hvilke R-kommandoer vil du bruke for å lage de to figurene nedenfor, og hvordan tolker du dem? d) Vi ser så på hvordan kroppstemperatur varierer i forhold til hjertefrekvens og kjønn. Skriv opp hvilke R-kommandoer vil du bruke for å lage figuren nedenfor. Ser det ut til å være noen sammenheng mellom puls, kjønn og kroppstemperatur? 2

3 e) Vi vil så undersøke sammenhengen mellom puls, kjønn og kroppstemperatur med lineære modeller, og gjør analysen som er vist nedenfor. Hvordan tolker du de to modellene som ble analysert, og hva kan du slutte av analysen? > m.1 <- lm(bt.c ~ HR * Sex, data=d) > m.2 <- lm(bt.c ~ HR + Sex, data=d) > anova(m.2, m.1) Analysis of Variance Table Model 1: BT.C ~ HR + Sex Model 2: BT.C ~ HR * Sex Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) f) Vi velger å jobbe videre med modellen m.2. Hvordan vil du tolker koeffisientestimatene som vises nedenfor? Hvor mye øker kroppstemperaturen ved en økning i hjertefrekvens på 10 slag per minutt? Regn ut et 95% konfidensintervall for den gjennomsnittlige forskjellen i kroppstemperatur mellom kvinner og menn. Hvordan vil du vurdere den praktiske betydningen av dette estimatet når et vanlig febertermometer sjelden har en presisjon som er bedre enn 0.1 C? > summary(m.2) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** HR ** SexM * 3

4 g) Hvilke antakelser må være oppfylt for at vi skal kunne bruke en lineær modell slik vi har gjort i denne analysen? Hvis du skriver R-kommandoen plot(m.2) får du blant annet følgende figurer. Hva kan disse figurene si oss om hvorvidt standardantakelsene for lineære modeller er oppfylt? h) Hvorfor er ikke skjæringspunktet med y-aksen (Intercept) i modell m.2 direkte fysiologisk relevant? Vi lager en ny variabel HR.60 = HR 60. Hvordan tolker du denne variabelen? Hvis vi bruker HR.60 i stedet for HR i modellen får vi koeffisienttabellen som er gjengitt nedenfor. Hva er den mest markerte forskjellen mellom modellene m.2 og m.3? Hvordan tolker du (Intercept) i denne modellen? Regn ut et tosidig 95% konfidensintervall for kroppstemperaturen til en kvinne med hjertefrekvens lik 60 slag per minutt. Hvilken tilleggsinformasjon trenger du for å kunne regne ut et 95% konfidensintervall for kroppstemperaturen til en mann med hjertefrekvens lik 60 slag per minutt? > summary(m.3 <- lm(bt.c ~ HR.60 + Sex, data=d)) Call: lm(formula = BT.C ~ HR.60 + Sex, data = d) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** HR ** SexM * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 127 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 127 DF, p-value:

5 DCA Oppgave 3 (20 %) a) Forklar kort hva som menes med «gradientanalyseperspektivet på naturvariasjon.» b) Forklar kort hvordan NiN-systemet bruker gradientanalyseperspektivet som utgangspunkt for å systematisere (type-inndele og beskrive naturvariasjonen). c) Hva er det som kommer til uttrykk på ordinasjonsaksene når vi gjør ordinasjonsanalyse av ei art-lokalitetsmatrise. Nedenfor ser du et ordinasjonsdiagram som er resultatet av DCA anvendt på ei art-lokalitetsmatrise med 16 lokaliteter. Hver lokalitet er markert med en tre-tegns kode x 41x x 42x x 33x43x x DCA1 d) Ville du stole på at dette ordinasjonsdiagrammet gir et riktig bilde av variasjonen i artssammensetningen i datamaterialet? Begrunn svaret. e) For å sjekke DCA-ordinasjonens pålitelighet ble det gjort en todimensjonal GNMDSordinasjon av det samme datasettet, og Kendalls korrelasjonskoeffisienter τ ble beregnet mellom lokalitetenes skårer langs aksene, akse-par for akse-par. Det ga følgende resultat: DCA-akser GNMDS-akser GNMDS-akse 1 GNMDS-akse 2 DCA-akse 1 0,942 0,065 DCA-akse 2 0,211 0,104 Hvor mange DCA-ordinasjonsakser ville du stole på at ga pålitelig uttrykk for variasjon i artssammensetning i datamaterialet ingen, én eller to? Begrunn svaret. 5

6 Oppgave 4 (20 %) Et gjennomgangstema for design i «storskalasystemer» er avveiningen mellom sikkerhet om årsakssammenhenger mot realisme i resultatene og dermed anvendbarhet for forvaltningen. a) Hva er problemene med å overføre kunnskap fra småskala eksperimenter om økologiske sammenhenger til forvaltning på større skala? (vi har diskutert 4 «klasser» av kjennetegn på småskala eksperimenter). b) Gi et eksempel der kunnskap fra småskala-eksperimenter kom til kort i å forutsi effekten på større skala. c) For å forstå store systemer henter man også kunnskap fra «naturlige eksperimenter». Hva er et «naturlig eksperiment»? Hva skiller et «naturlig eksperiment» fra et ekte, fullverdig eksperiment? d) Gi et eksempel på et «naturlig eksperiment». 6