Begrepslæring i matematikk

Transkript

1 Begrepslæring i matematikk JUNI 2018 Susanne Stengrundet og Ingunn Valbekmo NTNU

2 Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 TERSKELBEGREP... 3 TERSKELBEGREP: VOLUM... 5 TERSKELBEGREP: FORHOLD... 6 OVERGANGSFASEN... 7 OPPSUMMERING... 8 REFERANSER

3 Innledning Et mål for matematikkundervisningen er at elevene skal ha god begrepsforståelse. Det innebærer at elevene ikke bare vet hvordan de skal anvende begrep, men også hvorfor de kan bruke akkurat dette begrepet i en gitt situasjon. Det er krevende å legge opp undervisningen slik at den fremmer begrepslæring. Vi kan gi elevene noen formler for prosentregning som gjør at de klarer å løse mange oppgaver riktig. Men så snart en oppgave er litt mer innviklet, ramler hele begrepsapparatet sammen. «Skal jeg gange eller dele, lærer?» er et velkjent uttrykk for elever som kan en prosedyre, men ikke vet når den skal brukes. Matematiske begreper er viktige byggesteiner i matematikken. Å ha en god begrepsforståelse innebærer mye mer enn bare å kunne navnet på begrepet. Elevene må kjenne til ulike måter å representere et begrep på, slik som f. eks. tegning og symbol. De må også kunne beskrive et begrep med egne ord. Gjennom skoleårene vil elevene møte mange begreper. Noen begreper har de møtt før, mens andre er nye. Antall begreper vil etter hvert bli veldig omfattende. Hvis eleven ikke lærer å se sammenhengen mellom de ulike begrepene blir omfanget så stort at eleven vil miste oversikten. Denne artikkelen viser én måte å strukturere begreper på. Å systematisere begreper i et slikt hierarki er en forutsetning for dybdelæring. God begrepsforståelse er avhengig av undervisning som legger vekt på sammenhenger og problemløsing. Rutineoppgaver vil kunne gi elevene en kortvarig tilfredstillelse med mange riktige svar, men vil ikke nødvendigvis føre til god begrepslæring. Elevene må bli utfordret til å resonnere og diskutere løsninger, slik at de ser begrepet i en større sammenheng. Terskelbegrep Elevene møter mange matematiske begreper i løpet av skoleårene. Det er avgjørende for den matematiske forståelsen at de behersker disse begrepene, klarer å sortere dem og ser at ikke alle begreper er like viktige. Noen begreper er helt avgjørende for en god matematisk forståelse og for videre læring i matematikk. For slike begreper har Meyer og Land (2005) introdusert uttrykket terskelbegrep (på engelsk treshold concept). Kerstin Pettersson har 3

4 utvidet begrepet til å passe til matematikk (Pettersson 2011). Arbeid med slike terskelbegrep åpner for relasjonell forståelse og kan dermed føre til dybdelæring. Terskelbegrep er krevende å lære, da de i første omgang ikke ser ut til å passe til det som tidligere er lært. Når elevene har kommet over en terskel er de inne i et nytt rom som gir mange muligheter til læring. Det hender at mange begreper, som har ligget klar, har funnet sin plass. «Aha» - rop viser at eleven har kommet over terskelen. Det er krevende å komme seg over en terskel, da man ofte må revidere tidligere kunnskap. Terskelbegrep er plagsomme i og med at de setter gammel kunnskap på prøve. Når man multipliserer med brøk blir svaret mindre, i motsetning til multiplikasjon med naturlige tall. Men det betyr ikke at multiplikasjon med brøk er et terskelbegrep, det er bare en utvidelse av terskelbegrepet multiplikasjon. Hvis elevene skjønner hvorfor produktet blir mindre når man multipliserer to brøker, har synet på multiplikasjon blitt endret, transformert. Denne forståelsen er noe helt annet enn å pugge regler som «teller ganger teller og nevner ganger nevner». Den nye kunnskapen elevene oppnår etter å ha passert en terskel må forankres i det som er lært tidligere. Den skal bringe forskjellige elementer sammen. Strategier som elevene bruker for multiplikasjon av hele tall, for eksempel dobling og halvering, kan nå brukes ved multiplikasjon av to brøker. 1STRATEGI FOR MULTIPLIKASJON Multiplikasjon er ikke lenger noe som bare hører til regning med heltall. De samme strategiene kan brukes ved multiplikasjon av brøk. Det betyr at terskelbegrepet er integrativt. Har elevene først kommet seg over terskelen er det helt selvfølgelig at det må være slik. Har man forstått noe, så har man det. Terskelbegrep er dermed irreversible. Dette punktet kan skape utfordringer i undervisning. Elever, som ikke har passert en terskel, vil kunne ha problem som det er vanskelig for læreren å forstå. Det er så selvfølgelig for læreren at det kan være vanskelig å forklare. 4

5 Sammenfattende kan man si at terskelbegrep er transformative, integrative, irreversible og krevende. Det innebærer at det tar tid til å komme over en ny terskel. Har elevene først kommet over terskelen, vil elevene forstå mange hittil gjemte sammenhenger mellom matematiske emner. Derfor kalles terskelbegrep også for juvelene i matematikken (Land et al.,2014). Tida som investeres i arbeid med terskelbegrep er vel anvendt. Det at terskelbegrepene er så krevende å lære, vil føre til at mange elever vil ha motstand mot å arbeide med dem. Elevene kan late som om de har forstått. Det kan være utfordrende for læreren. Har elevene først kommet over terskelen vil de endre sin selvoppfatning. De oppfatter seg som en mer matematisk person (Pettersson, 2017). Dette skyldes ikke minst at de har utviklet et bedre matematisk språk og dermed klarer å forklare sammenhengene med egne ord. Å bygge opp undervisningen rundt terskelbegrep vil gi flere fordeler. Som nevnt tidligere vil det ta tid å komme over en terskel. Å bruke god tid på arbeid med multiplikasjon med heltall vil føre til at multiplikasjon med brøk ikke oppfattes som en ny terskel. De samme strategiene kan anvendes på det nye tallområdet. Samtidig vil elevene oppfatte multiplikasjon om ett begrep og ikke skille mellom multiplikasjon med hele tall, multiplikasjon med brøk, multiplikasjon med desimaltall og senere multiplikasjon med variabler. Terskelbegrep: Volum Allerede i barnehagen blir ungene introdusert for tredimensjonale figurer. Det brukes hverdagsord som boks og eske og ikke matematiske ord som sylinder og prisme. Både ungene i barnehagen og de yngste elevene måler innholdet i ulike beholdere. Å fylle vann i en beholder er en vanlig aktivitet tidlig i innlæringen av volumbegrepet. Det er når man kommer til beregninger av volum at avstanden mellom den virkelige figuren, den abstrakte tegningen i læreboka og formelen som følger kan bli problematisk. Volum kan vi derfor betegne som et terskelbegrep. Begrepet volum er krevende å lære, transformativt, integrativt og irreversibelt. Overgangen fra å fylle et kar med vann til å regne med en formel er krevende. Mange elever vil ha vanskeligheter med å se sammenhengen mellom den virkelige beholderen og tegningen i læreboka. Elevene vet at en figur i en lærebok er et prisme og vil kunne beregne volum ut fra de oppgitte verdier. Ber man elevene finne volum av en eske med vaskemiddel ved hjelp av linjal vil mange elever stå fast, selv om de kan formelen for volum av prisme. 5

6 Mange elever ser heller ikke sammenhengen mellom volum av en kube, et prisme og en sylinder. Formlene for å beregne volum av disse legemene kan elevene utenat og de finnes i formelsamlingen. Vi ønsker heller at elevene skal se på figurene og den felles egenskapen disse figurene har, for å kunne bestemme hvordan de skal finne volumet av dem. For eksempel vil både en terning, et firkantet prisme og en sylinder ha lik bunn- og toppflate, mens alle typer pyramider og kjeglen har en spiss. 2 TRE LEGEMER MED LIK GRUNNAREAL OG HØYDE I figur 2 er det tegnet tre legemer med samme høyde og samme volum. Det går som regel greit å finne grunnflaten for prismet. Med mye regning greier elevene også finne et svar for sylinderen. Derimot vil mange elever gi opp å finne grunnflaten til det femkantete prisme. De mangler en passende formel. De ser ikke at formelen VV = GG h gjelder for alle figurer. Derfor har alle figurer i tegningen den samme grunnflaten. Elever som ikke ser denne sammenhengen har ikke forstått terskelbegrepet volum. De har bare lært seg å bruke formler. Terskelbegrep: Forhold I starten av arbeidet med forhold jobber man gjerne med praktiske eksempler. Gir man 3 barn 4 epler, trenger man 8 epler til 6 barn. Når man dobler antall barn må man doble antall epler for at barna fortsatt skal få samme mengde epler. Senere utvides kunnskapen til andre situasjoner, for eksempel: til fem brød trenger du 2 kg mel, hvor mye mel trenger du til 30 brød? 30 brød er 6 ganger mer brød, derfor må også mengden mel multipliseres med 6, først da opprettholder man det samme forholdet. Mye tyder på at selv om elevene begynner å arbeide med slike situasjoner tidlig ser de ikke sammenhengen mellom forholdstenking i reelle situasjoner og arbeid med målestokk, formlike figurer eller fellesnevner i brøkregning. 6

7 Det er viktig at elever forstår at det er en multiplikativ sammenheng mellom to størrelser i et forhold. Det er krevende og tar tid for elever å lære om forhold. Dobbeltallinje er en fin måte å hjelpe eleven til å se sammenhengen (Figur 3). Når sammenhengen mellom multiplikativ tenking, forhold og brøkregning er etablert og ikke lenger er atskilte kunnskapsbiter, har kunnskapen blitt transformert. Har man først sett sammenhengen mellom «veien om en» og proporsjonalitetsfaktoren, blir dette til selvsagt kunnskap, den er irreversibel. 3 DOBBELTALLINJE Overgangsfasen Lærerens rolle er ikke å beskytte elevene mot vanskeligheter i arbeidet med terskelbegrep, men å hjelpe dem til å komme over terskelen. Det hjelper ikke med forenkling. Elevene må komme over terskelen på egen hånd. Mens de strever for å komme over terskelen opplever de mye frustrasjon. Meyer og Land (2005) har kalt denne fasen for «Liminal Space», Pettersson (2017) har den oversatt til usikkerhetsfasen, mens Jensen (2018) har kalt den for overgangsfasen i en norsk oversettelse. Liminal Space viser til at elevene har kommet til en grense, kunnskapen de disponerer er ikke nok til å komme videre i læringen. Overgangsfasen er begrunnet med at elevene kan ha alt klart for seg det ene øyeblikket, for i neste sekund å ha mistet tankebanen. Elevene ser terskelen, prøver å overvinne den, men møter utfordringer og føler frustrasjon. De tror at de har kommet over, for så i neste øyeblikk å oppleve å bli kastet tilbake. Elevene er flinke til å skjule at de har blitt stående fast i overgangsfasen. Dette blir i forskningen kalt for mimikry, som opprinnelig betyr at dyr gjemmer seg ved å tilpasse seg til omgivelsene. Elevene vil tilpasse seg ved å lære seg fremgangsmåter som gjør at de vil klare rutineoppgaver, men blir stående fast så snart en oppgave er litt annerledes. De lærer seg alle formler enkeltvis, men ser ikke sammenhengen mellom formler og mellom formler og figurer som vist for terskelbegrep volum. 7

8 Det finnes mange eksempler der elevene har blitt stående i overgangsfasen. Å være for lenge i overgangsfasen kan føre til misoppfatninger. Det krever stor innsats fra både lærer og elev for å overvinne misoppfatninger når de først har festet seg. Noen elever vil for eksempel oppfatte desimaltall som to atskilte tall. Et vanlig svar fra elever med en slik misoppfatning er at halvparten av 6,10 er 3,5 (Tokle, et al. 2018). Det er avgjørende å komme gjennom overgangsfasen og over terskelen for å bli klar til å lære nye begrep. I Undervisning for dybdelæring (modul 3) blir det gitt eksempler på undervisning i terskelbegrep. Der vises det hvor viktig det er med varierte representasjoner som visualisering, konkreter, ord, formler osv. Oppsummering Å gi elevene mulighet til å utvikle en god begrepsforståelse er en viktig del av matematikkundervisningen. For visse begrep innebærer dette en ekstra utfordring. Terskelbegrep er begrep som elever kan oppfatte som krevende å lære. Når elever har tilegnet seg kunnskaper om disse begrepene, får de nye muligheter til å lære mer matematikk. Tidligere fragmentariske kunnskaper innenfor et matematisk område kan integreres, og elevenes syn på hele området kan transformeres. Men utviklingen av elevenes begrepsforståelse tar tid. For å passere overgangsfasen trenger elevene mye støtte. Elevene trenger ferdigheter i å løse typeoppgaver, men også kunnskaper om hvordan og hvorfor teknikker fungerer. Forskning viser at det er viktig hvordan elevene møter terskelbegrepene, og at fokus på terskelbegrep kan gi gode resultater. Terskelbegrepene kan betegnes som: Krevende: Integrativ: Det tar tid å komme over en terskel, eleven må ofte overvinne en motstand, da det nye stoffet ikke intuitiv passer inn i det som man har lært før. Gjør at lærestoffet passer sammen Transformativ: Det nye begrepet kan anvendes på flere områder Irreversibel: Når man først har kommet over terskelen blir det kunnskapen så selvsagt at man ikke lenger husker hvordan det var før. 8

9 Referanser Land,R., Rattray,J. & Vivian,P. (2014) Learning the liminal space: A semiotic approach to threshold concepts Meyer, J.H.F. & Land, R. (2005). Threshold concepts and troublesome knowledge (2): Epistemological considerations and a conceptual framework for teaching and learning. Higher Education, 49, Pettersson K. (2011). Threshold concepts: A framework for research in university mathematics education, konferansebidrag, CERME 7, Rzeszów,Poland Pettersson K. & G. Brandell (2017). Att utveckla elevers begreppsförmåga. Hentet fra Pettersson, K., Stadler, E. & Tambour, T. (2013). Transformation of students discourse on the threshold concept of function. I B. Ubuz, Ç. Haser & M. A. Mariotti (red.), Proceedings of the Eighth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (s ). Ankara: Middle East Technical University. Tokle, O. D., Bondø, A. & Åsenhus, R. (2018). Misoppfatninger knyttet til tall. Hentet fra 9