En koordinat er ikke bare en koordinat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "En koordinat er ikke bare en koordinat"

Transkript

1 En koordinat er ikke bare en koordinat En enkel innføring i koordinatsystem og kartprojeksjoner i Norge Versjon 1.0 Yngvar Amlien og Terje Omtveit Gilde 15. mai Illustrasjon: Colourbox.com / Terje Gilde

2 Innledning For å kunne oppgi plasseringen til et punkt på en entydig måte bruker vi koordinater. Disse oppgis vanligvis i meter eller grader. For at koordinatene skal være entydig er det viktig at man oppgir hvilket koordinatsystem koordinatene bruker. Koordinatsystemet er et referansesystem som definerer et nullpunkt som koordinater tar utgangspunkt i. Det finnes egne referansesystem for høyder, men de vil vi ikke gå inn på her. Koordinatsystemene vi skal ta for oss her gir oss altså kun plasseringen i horisontalplanet (todimensjonalt). For å få entydige koordinater som angir et punkt på jorda må vi gjennom tre steg: 1) Definere form og størrelse på ellipsoiden (det er dette som defineres av datumet). 2) Velge plassering av ellipsoide i forhold til jordoverflaten. 3) Velge kartprojeksjon for avbildning av ellipsoiden i kartplanet. Figur 1: Illustrasjon over datum og kartprojeksjoner (Gilde, 2013 / McDonnell, 1991) 2

3 Figur 1 på forrige side viser en oversikt over denne prosessen som vil bli forklart mer inngående i de neste kapitlene. Kort fortalt trenger vi å gjengi jordas form som en matematisk figur, en ellipsoide, skalere den ned til en hendig størrelse og «skrelle» den slik at vi får et flatt kart. Det er kartprojeksjonen som avbilder eller «skreller» ellipsoiden. I Norge har vi to offisielle koordinat-system: EUREF89 UTM og EUREF89 NTM. Figur 1 viser hva koordinat-systemet er bygget opp av. Siden begge koordinatsystemene bruker datumet EUREF89 har vi altså bare ett offisielt datum i Norge, men to offisielle kartprojeksjoner, UTM og NTM. EUREF89 UTM sone 32 Referanseramme/datum kartprojeksjon Sone i kartprojeksjonen Figur 2: Sammensetningen av et koordinatsystem For å se hvor viktig det er å vite hvilket koordinatsystem en koordinat er oppgitt i kan man se på eksemplet i Tabell 1. Alle koordinatene er oppgitt for samme punkt i Lillehammer, men som vi ser er de helt forskjellige. Uten å vite hvilket koordinatsystem de refererer til er de verdiløse. Tabell 1: Koordinater til samme punkt i Lillehammer, men i forskjellige koordinatsystem 1 Koordinatsystem Koordinater EUREF89 UTM sone 32 N ,6500 E ,4300 EUREF89 NTM sone 10 N ,4037 E 98184,4396 NGO1948 Akse 3 N ,2150 E ,6230 Referanseramme (datum) For å få en referanseramme trenger vi å kunne gjengi hele eller deler av jorda som en matematisk figur. Mange vil nok tenke på jorda som en perfekt kule, mens jorda i virkeligheten har større radius rundt ekvator enn fra pol til pol. Det blir da mer riktig å se på jorda som en ellipsoide siden denne figuren best gjengir formen på jorda. Mens kulen har èn radius, er ellipsoiden flattrykt i en retning og får derfor ulik radius fra topp til bunn og rundt «ekvator». Når man skal definere en slik ellipsoide kan man velge å tilpasse den hele jorden eller et mindre område som et kontinent eller land. Størrelse, 1 Transformasjon UTM til NGO1948 er gjort i Gemini oppmåling med Kartverket fylkesformeler for Oppland. Transformasjon UTM til NTM er gjort i programmet «Redfearn utm to ntm v1-1» av George Preiss. 3

4 form og plassering av ellipsoiden er definert i datumet og danner referanserammen. Datumet er angitt i første del av koordinatsystemet. EUREF89, NGO1948, WGS84 er alle eksempler på dette, der EUREF89 er Norges offisielle datum og er et globalt datum, det vil si at ellipsoiden er tilpasset for å passe best over hele jorden og ikke bare et land eller kontinent. Merk at det ikke er med noen soner eller akser siden dette bestemmes av kartprojeksjonen. Jordas rutenett Når vi ser på globusen er denne delt inn med linjer både fra pol til pol og parallelt med ekvator. Dette er referanselinjer, der linjene fra pol til pol kalles meridianer. Den mest kjente av disse er nullmeridianen som går gjennom Greenwich, England. Denne er satt til å være 0 og alle andre meridianer er angitt i grader øst eller vest for denne. Dette betegnes ofte som lengdegrad eller longitude. På samme måte er ekvator satt til 0 med paralleller nord og sør, også angitt i grader, og betegnes ofte som breddegrad eller latitude. Norge vil dermed alltid ha koordinater (lengde- og breddegrader) som angir nord og øst. Det er viktig å merke seg at vi fortsatt opererer med en rund jordklode og ikke et todimensjonalt kart. Vi har med andre ord ikke valgt en kartprojeksjon som skal videreføre lengde- og breddegradene ned på et flatt kart. Målestokk og målestokkfeil I teksten er det valgt å skille mellom målestokk og målestokkfeil 2. Med målestokk menes forholdet mellom distansen på globusen i forhold til distansen på jorda. Altså hvor mye jorda er skalert ned for å få plass på en globus. Målestokken er et forholdstall, som for eksempel 1:10 000, der en centimeter på kartet tilsvarer centimeter på jorden. Med målestokkfeilen menes avviket mellom en meter i kartet og en meter i virkeligheten. Det vil si at det i kartet er 1,00 meter mellom to koordinater, men i virkeligheten er det mer eller mindre enn 1,00 meter. Kartet er altså ikke målestokkriktig og har en målestokkfeil. Feilen oppgis ofte i ppm (parts per million). For eksempel vil en målestokkfeil på 400 ppm tilsvare 4 mm på 10 meter eller 40 millimeter på 100 meter. En målestokkfeil kommer fra kartprojeksjonen, men er ikke en konstant faktor. Feilen avhenger av høyde over ellipsoiden 3 og hvor man er i forhold til kartprojeksjonens soner. 2 Målestokkfeil kalles også for målestokkskorreksjon. 3 Kan veldig forenklet tenkes som «høyde over havet», men da tas det ikke hensyn til at ellipsoidehøyden kan være ulik selv om «høyde over havet» er lik. 4

5 Kartprojeksjoner (avbildning) Jorda er rund, mens kartet er flatt. Måten vi avbilder den runde jorda på et flatt kart kalles kartprojeksjon. Veldig enkelt forklart kan man se på en kartprojeksjon som måten man skreller av jordoverflaten og danderer bitene til et sammenhengende flatt kart. I Norge har vi to offisielle kartprojeksjoner, UTM og NTM (begge med flere soner). Når vi har valgt en referanseramme (datum), og dermed definert ellipsoiden, ønsker vi å «skrelle» denne for å få et mer praktisk to-dimensjonalt kart. Vi sier at vi projiserer (avbilder) overflaten på ellipsoiden ned på kartplanet. Denne prosessen er det ikke mulig å få til uten feil. Man kan selv prøve å skrelle en appelsin for så å legge skallet flatt på bordet uten mellomrom, uten å tøye eller bøye i bitene. Man vil også se at måten man skreller appelsinen på er avgjørende for hvor stor «feil» man får. Det er i kartprojiseringen man får en målestokkfeil. Det vil si at en meter i kartet ikke nødvendigvis er en meter på jorda, koordinatsystemet er rett og slett ikke målestokkriktig. I mange tilfeller er denne feilen så liten at man kan se bort fra den, men i prosjekter som krever centimeter og millimeters nøyaktighet kan denne feilen være svært signifikant. Det finnes uendelig mange kartprojeksjoner, både for hele jorda og for et begrenset område. Felles for dem alle er at ingen er feilfrie. Hvilken kartprojeksjon man velger avhenger av hvilke faktorer man ønsker å bevare. Kartprojeksjonen kan fokusere på å bevare form (konform avbildning) eller vinkler/avstander (ekvivalent avbildning) på en best mulig måte, eller et kompromiss av begge. En kartprojeksjon kan tilpasses hele verden eller et mindre område, som for eksempel et land. Kartprojeksjoner blir vanligvis delt inn i tre hovedformer; sylinder-, kjegle- og planprojeksjoner som vist i Figur 3. Alle de tre kan avbildes form- eller vinkelriktig. Figur 3: Tre hovedtyper kartprojeksjoner (Gilde, 2013) Sylinderprojeksjonen og soner Både UTM (Universal Transversal Mercator) og NTM (Norsk Transversal Mercator) er som navnet tilsier former for liggende sylinderprojeksjoner. Begge er delt inn i soner der sonebredden er definert i grader fra sentrum av jorda (nord/sør-aksen) og til jordoverflaten i øst-vest retning. Bredden på sonen vil derfor være breiest ved ekvator og smalere mot nord og sør slik vi ser på tegningen til høyre i Figur 4. 5

6 Figur 4: Liggende sylinder og en sone som er «skrellet» av (Gilde, 2013). En sone kan sees på som et «skrell» av jordoverflaten og jo mindre biter (soner) vi tar av, jo mindre hull får man når man vil dandere bitene flatt utover. Vi har altså en sammenheng mellom antall soner og målestokkfeilen man har i en kartprojeksjon. For å dekke et større område skreller vi av flere soner, der man kan tenke seg at man roterer jordkloden inne i sylinderen (se Figur 4) og gjentar prosessen med å skrelle av en sone. Flere soner settes så ved siden av hverandre. Området på det breieste partiet i en sone vil overlappe hverandre, mens de smale delene lengst nord og sør må strekkes for å få et sammenhengende kart. Sentralmeridianen er midten av sonen og det er langs denne sylinderen berører ellipsoiden (jordoverflaten). Offisielle projeksjoner i Norge UTM-projeksjonen UTM står for Universell Transversal Mercator og er en liggende sylinder-projeksjon. Koordinatene refereres i antall meter fra ekvator (nord-koordinat) og antall meter fra sentralmeridian (østkoordinat). Sentralmeridianen er satt til å ha øst-koordinat meter, slik at man teller seg nedover fra denne når man går vest for sentralmeridianen og oppover når man går øst for sentralmeridianen, slik det er markert i det grønne feltet i figur 5. Dette er gjort for å unngå negative verdier i østkoordinaten. På grunn av dette er det viktig at man vet hvilken sone man er i, i og med at sentermeridianen i alle soner har østkoordinat meter. I figur 5 ser man sentermeridianen som en stiplet loddrett linje. 6

7 Figur 5: UTM-projeksjonen (Gilde, 2013) På figur 5 ser vi hvordan kartprojisering med UTM-projeksjonen foregår. UTMprojeksjonen er opprettet for bruk på hele jordoverflata, og derfor laget med relativt store soner. Ulempen er da at målestokkfeilen blir relativt stor. I utgangspunktet er projeksjonen en tangerende projeksjon, men for å minske målestokkfeilen som oppstår nær ekvator er det tilført en målestokkfaktor langs sentermeridianen for hver sone. Denne målestokkfeilen er på 400 ppm (4cm på 100 meter), noe som ses i det oransje feltet i figur 5. I praksis vil dette si at kartplanet ellipsoiden blir projisert på skjærer igjennom jordoverflata i stedet for å tangere den. Dette er vist med at kartplanet markert i grønt krysser ellipsoiden markert i blått i figuren. Hver UTM-sone er på 6 ut fra jordas sentrum-meridian. Dette fører til at sonene vil være smalere jo lengre nord man kommer i Norge. På det bredeste, i sone 32 V, vil man ha østkoordinat på ca meter, mens man i øst vil ha østkoordinat på ca meter. Dette fører til at man i Norge får maksimal målestokkfeil på 400 ppm. ved sentermeridian NTM-projeksjonen NTM står for Norsk Transversal Mercator og er en liggende sylinder-projeksjon slik som UTM. Forskjellen er at NTM er en tangerende kartprojeksjon mens UTM i praksis er en skjærende kartprojeksjon. Dette ser man nedenfor i figur 6 der sylinderen, i grønt, tangerer overflaten på ellipsoiden, markert i blått. At det er en tangerende kartprojeksjon vil si at målestokkfeilen langs sentermeridianen er 0, noe som vises i det oransje feltet i figur 6. NTM har sonebredder på 1 for å hindre den store målestokkfeilen som oppstår i UTM. På den måten blir Norge delt inn i hele 25 soner for NTM, mens det bare blir 3 soner i UTM. Man kan da tenke seg at hver sone er en bit av et appelsinskall som er skrellet av appelsinen. UTM-bitene er større og må derfor strekkes og tøyes litt mer for å kunne legge dem ut til et flatt kart enn det man må med bitene i NTM. Dette resulterer i at man 7

8 maksimalt kan få en målestokkfeil på 1,1 mm per 100 meter (11 ppm) i NTM i motsetning til 4 cm per 100 meter (400ppm) i UTM. Se oransje felt i figur 6. Figur 6: NTM-projeksjonen (Gilde, 2013) Som med UTM referer også østkoordinatene i NTM antall meter til sentermeridianen i sonen. Siden sonene i NTM er smalere enn i UTM, er sentermeridianen i NTM satt til å være meter og ikke meter slik som det er i UTM. Dette ser man i det grønne feltet i figur 6. På den måten blir det greit å skille mellom koordinater i UTM og NTM da østkoordinatene i UTM starter på i Norge. Nord-koordinatene i NTMprojeksjonen starter på km ved 58 Nord. Dette gjør at man kan skille mellom UTM og NTM også i nord-koordinaten, se Tabell 1 side 3. Gauss Krüger (NGO1948) Gauss-Krüger er den kartprojeksjonen som ble brukt i kartdatumet NGO 1948 som tidligere ble brukt som standard datum i Norge. Projeksjonen er en sylinderprojeksjon tilpasset Norge. Da projeksjonen ble opprettet ble den laget med en maksimal målestokkfeil på 100 ppm. (10 cm på 100 meter). Dette førte til at man trengte åtte like soner (akser) for å dekke hele Norge. Da Gauss-Krüger ble brukt i NGO 1948 ble denne ansett som å ha så liten målestokkfeil at den i de fleste tilfeller kunne neglisjeres. Lokale koordinatsystem I mange bygg- og anleggsprosjekter brukes det i dag lokale koordinatsystem. Dette er referansesystem over så små områder at man ser bort fra jordkrumningen. Det antas at jordoverflata er flat for dette lille området slik at det derfor ikke er noe kartprojeksjon som gjør at det blir målestokkfeil. Det er fastsatt e nullpunkt (origo) og en hovedakse som er forholdsvis nært prosjektområdet i forhold til et globalt eller nasjonalt referansesystem der origo vil være langt vekk fra prosjektområdet 8

9 Transformasjon og konvertering mellom koordinatsystem All kartinformasjon forvaltes i EUREF89 UTM, og man må dermed foreta en transformasjon eller konvertering om man vil bruke henholdsvis NTM-projeksjonen eller et lokalt referansesystem. Ved en transformasjon må man ha flere felles kjente punkt i begge koordinatsystem og deretter foreta en beregning. Dette gjøres ved hjelp av programvare, men man vil tape noe av nøyaktigheten som man har i det opprinnelige systemet. Om man har et prosjekt i et lokalt referansesystem og skal transformere dette til UTM, vil man altså tape noe nøyaktighet. Ved en konvertering er det kun en fastsatt matematisk regnemodell som trengs for å få et koordinatsystem over til et annet. Med denne metoden taper man derfor ikke noe nøyaktighet, og man kan bruke den samme fastsatte matematiske regnemodellen hver gang. Om man har et prosjekt i NTM-projeksjonen og skal ha det over til UTM, trenger man kun å foreta en konvertering, og man taper dermed ikke noe nøyaktighet fra det opprinnelige systemet. Uansett om man foretar en transformasjon eller en konvertering, vil man ikke kunne transformere eller konvertere klotoider. Dette er fordi at de filformatene (SOSI) som brukes i dag ikke støtter det. (Skogseth, 1998, Kartverket, 2009, Kartverket, 2013, Kartverket, 2012, McDonnell, 1991) Kilder: KARTVERKET EUREF89 NTM (Norsk Transversal Mercator). Available: [Accessed ]. KARTVERKET Referanserammer for Norge. Available: og-kartlegging/referanseramme/referanserammer-for- Norge/?si=EB884E60DCCC321268B9B8473CDD38FF&rid= &sn=Statkart. KARTVERKET Kartprojeksjoner [Online]. Available: kart [Accessed MCDONNELL, P. W Introduction To Map Projections, Rancho Cordova, CA, Landmark Enterprises. SKOGSETH, T Grunnleggende landmåling. Grunnleggende landmåling. Oslo: Universitetsforl. I samarbeid med: 9

KARTPROJEKSJONEN NTM I BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN

KARTPROJEKSJONEN NTM I BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN BACHELOROPPGAVE: KARTPROJEKSJONEN NTM I BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN FORFATTERE: YNGVAR AMLIEN TERJE OMTVEIT GILDE Dato: 15.05.2013 Kartprojeksjonen NTM i bygg- og anleggsbransjen Side ii Kartprojeksjonen

Detaljer

Hvordan få riktige grunnlagsdata til prosjektering?

Hvordan få riktige grunnlagsdata til prosjektering? Hvordan få riktige grunnlagsdata til prosjektering? Datum og projeksjoner (UTM/NTM, NN2000) Transformasjoner Metadata/koding av data Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Geodata Region sør Datum og projeksjoner

Detaljer

Utfordringer med EUREF

Utfordringer med EUREF Utfordringer med EUREF v/ Bjørn Godager, Høgskolen i Gjøvik Email: bjoern.godager@hig.no Hjemmeside: http://www.hig.no/geomatikk/ Tlf: 61 13 52 75 41 25 24 68 Temaer Innledning/ bakgrunn/ temaer i foredraget

Detaljer

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til

Detaljer

Bruk av NGO koordinater på håndholdte GPS mottakere Geir-Harald Strand og Ola Øvstedal

Bruk av NGO koordinater på håndholdte GPS mottakere Geir-Harald Strand og Ola Øvstedal 1-2003_928.book Page 19 Tuesday, March 11, 2003 10:00 AM Bruk av NGO koordinater på håndholdte GPS mottakere Geir-Harald Strand and Ola Øvstedal: Using NGO co-ordinates with handheld GPS devices KART OG

Detaljer

Kilde: Norges orienteringsforbund.

Kilde: Norges orienteringsforbund. Steinkjer seniorforum 2015 Kart og terreng. Asbjørn Kjellsen 1 Høydekurver Kilde: Norges orienteringsforbund. Figuren ovenfor viser et terreng med to fjelltopper sett fra siden, og sett ovenfra slik de

Detaljer

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader Geografisk navigasjon Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn i en datamaskin med digitalt kart, en GPS eller avmerkes på et papirkart. En slik tallmessig beskrivelse

Detaljer

Info. vedr. Referanserammer, UTM kontra NTM projeksjon, NN2000 og div. Ola Aspmodal

Info. vedr. Referanserammer, UTM kontra NTM projeksjon, NN2000 og div. Ola Aspmodal Info. vedr. Referanserammer, UTM kontra NTM projeksjon, NN2000 og div. Norske offisielle referanserammer Kartplan/ grunnriss Datum EUREF89 Projeksjon UTM sone 32, 33 og 35» Hvor sone 32 dekker hele sør

Detaljer

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen Navigasjon Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015 Tom Hetty Olsen Kartreferanse Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn

Detaljer

Bruk av GISLine Trans noen tips

Bruk av GISLine Trans noen tips Bruk av GISLine Trans noen tips GISLine Trans har mange transformasjonsmuligheter og det er i noen grad muligheter for å gjøre feil. Vi vil her komme med noen tips og vise hvordan de mest aktuelle transformasjonene

Detaljer

Se egen forklaring: Om UTM-koordinater. Velg fra nedtrekksmenyen den sonen målepunktet er plassert i.

Se egen forklaring: Om UTM-koordinater. Velg fra nedtrekksmenyen den sonen målepunktet er plassert i. FORELØPIG VERSJON Navn på målepunkt Gi målepunktet et navn som nettselskapet vil gjenkjenne, gjerne med referanse til et geografisk sted. Det er en fordel om navnet er det samme fra år til år. Maksimalt

Detaljer

EUREF89 NTM sone 5-305

EUREF89 NTM sone 5-305 EUREF89 NTM sone 5-305 Målestokkriktig projeksjon til nytte for bygg- og anleggsbransjen Einar Jensen, Statens kartverk Land En liten kommentar (1) Prof. Zakatov (Sovjetsamveldet - 1969): One cannot demand

Detaljer

Rutine. for behandling av kart- og innmåling/ stikningsdata R-002. jbr oas oas rapport A Foreløpig utgave oas oas

Rutine. for behandling av kart- og innmåling/ stikningsdata R-002. jbr oas oas rapport A Foreløpig utgave oas oas B 06.02.2012 Lagt til Grunnlagspunkter, enkel jbr oas oas rapport A 27.01.2012 Foreløpig utgave oas oas Rev Dato Beskrivelse Utført Kontrollert Fagansvarlig 8864 Prosjekt nr Rutine for behandling av kart-

Detaljer

Framtidige utfordringer for landmåleren Bransjens behov/ forventninger. Nye krav, ny kunnskap. Når har du kontroll?

Framtidige utfordringer for landmåleren Bransjens behov/ forventninger. Nye krav, ny kunnskap. Når har du kontroll? Framtidige utfordringer for landmåleren Bransjens behov/ forventninger. Nye krav, ny kunnskap. Når har du kontroll? v/ Bjørn Godager, Høgskolen i Gjøvik Email: bjoern.godager@hig.no Hjemmeside: http://www.hig.no/geomatikk/

Detaljer

KOORDINATBASERTE REFERANSESYSTEMER

KOORDINATBASERTE REFERANSESYSTEMER Dokument tittel: Koordinatbasert referansesystem Versjon: 2.1 Side 1 av 48 KOORDINATBASERTE REFERANSESYSTEMER DATUM, KOORDINATSYSTEM, TRANSFORMASJON, KONVERTERING OG AVBILDNING Versjon 2.1 - Desember 2009

Detaljer

HOVEDPROSJEKT: INNFØRING AV UTM EUREF89 KONSEKVENSER FOR BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN FORFATTERE: MORTEN AAMODT JOHN OLE SØRSVEEN ÅSMUND BRANDVOLD.

HOVEDPROSJEKT: INNFØRING AV UTM EUREF89 KONSEKVENSER FOR BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN FORFATTERE: MORTEN AAMODT JOHN OLE SØRSVEEN ÅSMUND BRANDVOLD. HOVEDPROSJEKT: INNFØRING AV UTM EUREF89 KONSEKVENSER FOR BYGG- OG ANLEGGSBRANSJEN FORFATTERE: MORTEN AAMODT JOHN OLE SØRSVEEN ÅSMUND BRANDVOLD Dato: 31. Mai 2007 SAMMENDRAG AV HOVEDPROSJEKT Tittel: Innføring

Detaljer

Gauss og konforme kartprojeksjoner

Gauss og konforme kartprojeksjoner Gauss og konforme kartprojeksjoner Hvor kommer km-rutenettet på kartet fra? Harald Hanche-Olsen 12. januar 2004 Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 En flat jord? Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 1

Detaljer

KOORDINATBASERT REFERANSESYSTEM

KOORDINATBASERT REFERANSESYSTEM Dokument tittel: Koordinatbasert referansesystem Versjon: 2.0 Side 1 av 42 KOORDINATBASERT REFERANSESYSTEM DATUM, KOORDINATSYSTEM, TRANSFORMASJON, KONVERTERING OG AVBILDNING Versjon 2.0 mai 2004 Henvendelse

Detaljer

Kart og UTM kartreferanser

Kart og UTM kartreferanser Kart og UTM kartreferanser Kart typer Ved katastrofer og under øvelser er det en fordel at alle ledd i redningstjenesten bruker samme karttype. Dette gjelder forsvaret, politiet, legevakt, hjelpekorps,

Detaljer

Prosjektplan. Bacheloroppgave TØL Innhold. Øyvind Solberg, Øystein Kalager og Jonas R. Sørensen Page 1

Prosjektplan. Bacheloroppgave TØL Innhold. Øyvind Solberg, Øystein Kalager og Jonas R. Sørensen Page 1 Prosjektplan Bacheloroppgave TØL 3901 Innhold Side 2 : Bakgrunn Prosjektmål Rammer Prosjektets hovedmålsetting Side 3: Ansvarsforhold Oppgavespesifikasjon Øvrige roller og bemanning Prosjektgruppe Side

Detaljer

Framtidige utfordringer for landmåleren

Framtidige utfordringer for landmåleren Framtidige utfordringer for landmåleren Bransjens behov og forventninger. Nye krav, ny kunnskap. Når har du kontroll? Bjørn Godager, Høgskolen i Gjøvik Email: bjoern.godager@hig.no Web: www.hig.no/geomatikk

Detaljer

Om kart. Jon Holmen & Christian-Emil Ore. DH-seminar UiO 27.01.2015

Om kart. Jon Holmen & Christian-Emil Ore. DH-seminar UiO 27.01.2015 Om kart Jon Holmen & Christian-Emil Ore DH-seminar UiO 27.01.2015 T- og O-kart er fra 1472 Det eldste kjente trykket av et T- og O-kart er fra 1472 og viser at kontinentene er bebodd av etterkommerne etter

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

NN Nytt høydegrunnlag i Ringebu kommune.

NN Nytt høydegrunnlag i Ringebu kommune. NN 2000 - Nytt høydegrunnlag i Ringebu kommune. Jobber du med kart eller andre høydebærende data? Da bør du vite at vi går over til nytt høydegrunnlag fra 1. juli 2011. Da blir alle høyder endret med opp

Detaljer

Kystinfo beredskap brukerveiledning

Kystinfo beredskap brukerveiledning Kystinfo beredskap brukerveiledning Kystinfo beredskap åpnes her: http://beredskap.kystverket.no/ Versjon 1, oppdatert 17.8.2015 Innhold Grunnleggende funksjoner... 4 Panorering i kartet... 4 Zoom inn

Detaljer

Om KART kartprojeksjonar og referansesystem

Om KART kartprojeksjonar og referansesystem Om KART kartprojeksjonar og referansesystem Førelesingsnotat GEO1010 - ver. 0.9-2011 Trond Eiken Institutt for Geofag, UiO 1. KVA ER EIT KART? Kartet skal vere ei attgjeving av terrenget framstilt med

Detaljer

Øving 2: GPS, planlegging. Transformasjoner.

Øving 2: GPS, planlegging. Transformasjoner. INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU 1 Ut: 11.9 Inn: 25.9 SIB6005 Geomatikk. Høsten 2002 Øving 2: GPS, planlegging. Transformasjoner. Deloppgaver: Versjon nr 2, noen endringer i bruksanvisning etter første gangs

Detaljer

GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter

GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter GPS-jakten er et skoleprogram hvor elevene lærer om bruk av GPS, kart og GIS. Det beste er at elever og lærere er forberedt når de kommer

Detaljer

Master i Geomatikk, vår 2013 Ole Alexander Vanebo

Master i Geomatikk, vår 2013 Ole Alexander Vanebo BIM og kartbruk BIM and use of maps Ole Alexander Vanebo Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave 30 stp. 2013 Master i Geomatikk, vår 2013 Ole Alexander Vanebo Masteroppgave

Detaljer

36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400

36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400 Geodesi 2-99v 1 INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU side 1 av 6 36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400 (Det synes som om også dette års oppgaver var mer arbeidskrevende enn tidligere

Detaljer

FORKLARING TIL DATATABELLENE. For hvert enkelt kart er det p! motst!ende side laget en tabell som er delt i fire hoveddeler:

FORKLARING TIL DATATABELLENE. For hvert enkelt kart er det p! motst!ende side laget en tabell som er delt i fire hoveddeler: --- ---- -- -- --- FORKLARING TIL DATATABELLENE For hvert enkelt kart er det p! motst!ende side laget en tabell som er delt i fire hoveddeler: Lokaliseringsdata Opploddingsdata Hydrologiske data (innsjødata)

Detaljer

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Fra 1. desember 2013 blir alle høyder hevet med 11-15 cm. Jobber du med kart eller andre høydebærende data? Da bør du vite at vi går over til nytt høydegrunnlag

Detaljer

SOSI-standard - versjon SOSI Del 3 Produktspesifikasjon for FKB - Fastmerke Side 1 av 7

SOSI-standard - versjon SOSI Del 3 Produktspesifikasjon for FKB - Fastmerke Side 1 av 7 SOSI-standard - versjon 4.02-12-01SOSI Del 3 Produktspesifikasjon for FKB - Fastmerke Side 1 av 7 13 FKB Fastmerke Innhold 13.1 Innledning... 2 13.1.1 Historikk... 2 13.1.2 Formål og omfang... 2 13.1.3

Detaljer

16. TRANSFORMASJONAR. Fig Identitetstransformasjon

16. TRANSFORMASJONAR. Fig Identitetstransformasjon 16. TRANSFORMASJONAR Ein transformasjon er ein overgong frå eit koordinatsystem til eit anna koordinatsystem og datum. Ordet har vore nytta om fleire ulike typar overgangar, men slik det er definert i

Detaljer

Bruk av GPS i rådgivingen

Bruk av GPS i rådgivingen Bruk av GPS i rådgivingen Kursuka 2013 Åsmund Langeland Disposisjon Bruk av GPS i rådgivingen Muligheter med GPS Hva slags type GPS bør vi ha? GIS-Verktøy og programvare Hva bør en rådgiver kunne? Kartdata

Detaljer

Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS

Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS Hvordan kan navigatøren bestemme posisjonen uten GPS? I 1714 utlovet Det engelske parlament 20000 pund (en formidabel sum den gangen) som belønning for den som

Detaljer

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE 1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Kartprojeksjoner. Johnsen, Narve E.; Freo, Mylene; Aasum, Jon-Henning; Maers, Rafael L. 7. mai 2014

Kartprojeksjoner. Johnsen, Narve E.; Freo, Mylene; Aasum, Jon-Henning; Maers, Rafael L. 7. mai 2014 Kartprojeksjoner Johnsen, Narve E.; Freo, Mylene; Aasum, Jon-Henning; Maers, Rafael L. 7. mai 2014 1 Innhold 1 Generelt 3 1.1 Bakgrunn............................... 3 1.2 Forutsetninger............................

Detaljer

Hvor i all verden? Helge Jellestad

Hvor i all verden? Helge Jellestad Helge Jellestad Hvor i all verden? Vi presenterer her deler av et et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole. Hele opplegget kan du lese mer om på www.caspar.no/tangenten/2009/hvor-i-all-verden.pdf.

Detaljer

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Fra 1. desember 2014 blir alle høyder hevet med ca 0-7 cm. Jobber du med kart eller andre høydebærende data? Da bør du vite at vi går over til nytt

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Kjell Øystein Netland Tromsø RødeKors Undervisning Januar 2011. Feltkurs

Kjell Øystein Netland Tromsø RødeKors Undervisning Januar 2011. Feltkurs Kjell Øystein Netland Tromsø RødeKors Undervisning Januar 2011 Feltkurs Timeplan i dag 09:00 09:45 10:00 10:45 11:00 12:00 12:00 12:30 12:30 13:00 13:00 13:15 13:30 14:00 14:00 14:30 Etablering av feltleir

Detaljer

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Fra 10. juni 2016 blir alle høyder endret med ca -10 til +9 cm. Jobber du med kart eller andre høydebærende data? Da bør du vite at vi går over til

Detaljer

ULLENSAKER

ULLENSAKER Matrikkelrapport MAT0011 Matrikkelbrev For matrikkelenhet: Kommune: Gårdsnummer: Bruksnummer: 0235 - ULLENSAKER 29 1090 Utskriftsdato/klokkeslett: 12.07.2016 kl. 13:50 Produsert av: Terje Brudal - 0235

Detaljer

Nr. 54/137 EØS-tillegget til De Europeiske Fellesskaps Tidende VEDLEGG IV

Nr. 54/137 EØS-tillegget til De Europeiske Fellesskaps Tidende VEDLEGG IV Nr. 54/137 EØS-tillegget til De Europeiske Fellesskaps Tidende 23. 11. 2000 VEDLEGG IV GLØDELAMPER BEREGNET PÅ BRUK I TYPEGODKJENTE LYKTER FOR MOPEDER OG MOTOR- SYKLER MED TO OG TRE HJUL Tillegg 1 Glødelamper

Detaljer

Kartlære. www.rugsveen.com

Kartlære. www.rugsveen.com Kartlære www.rugsveen.com Dine erfaringer med kart og kompass? Kartet Kartet er en forminsket tegning av jordens overflate, sett ovenfra. Karttyper Orienteringskart Spesiallaget Normale målestokker 1:5

Detaljer

GPS Kurs for Turledere

GPS Kurs for Turledere GPS Kurs for Turledere Wolfgang Leister Norsk Regnesentral Tåke ved St. Pål Tåke ved St. Pål, 20m sikt på noen hundre meter Snøfonner uten tråkk eller merker Følge på 12+1 inn i tåka kom ut med 4 personer

Detaljer

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år

Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Høydegrunnlaget endres for første gang på over 50 år Fra 16. juni 2015 blir alle høyder i Vestfold hevet med 5-13 cm. Jobber du med kart eller andre høydebærende data? Da bør du vite at vi går over til

Detaljer

Kartverket har i flere år forberedt overgangen fra NN1954 til NN2000, bl.a. ved fortetting av presisjonsnivellementsnettet Noen pilot-kommuner har

Kartverket har i flere år forberedt overgangen fra NN1954 til NN2000, bl.a. ved fortetting av presisjonsnivellementsnettet Noen pilot-kommuner har NN2000 Fagdag Geoforum Oslo og Akershus Bakgrunn Kartverket har i flere år forberedt overgangen fra NN1954 til NN2000, bl.a. ved fortetting av presisjonsnivellementsnettet Noen pilot-kommuner har innført

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80.

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Omregning av eldre relative GNSS-sanntidsmålinger fra lokalt system til EUREF89-UTM32

Omregning av eldre relative GNSS-sanntidsmålinger fra lokalt system til EUREF89-UTM32 Omregning av eldre relative GNSS-sanntidsmålinger fra lokalt system til EUREF89-UTM32 Trond Arve Haakonsen Re-computing old RTK-GNSS measurements stored in a local grid to EUREF89-UTM32 KART OG PLAN, Vol.

Detaljer

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD Løsningsskisser Oppgave Løs differensialligningene: a) y x cosx b) y yx x c) y y x a) Eksakt DL, løses direkte: y cosx x y cosx x dx sin x 2 x2 C b) Lineær: y xy x (Kan løse

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

EKSAMEN I EMNE SIB 6005 GEOMATIKK-1. Torsdag 25. november 1999 Tid: 0900-1500

EKSAMEN I EMNE SIB 6005 GEOMATIKK-1. Torsdag 25. november 1999 Tid: 0900-1500 NORGES TEKNISK-NTURVITENSKPELIGE UNIVERSITET (GM1-99h) side 1 av 5 INSTITUTT FOR KRT OG OPPMÅLING EKSMEN I EMNE SIB 65 GEOMTIKK-1 Torsdag 25. november 1999 Tid: 9-15 Faglig kontakt under eksamen: Oddgeir

Detaljer

Karttekniske krav til reguleringsplanar. Plannettverk, Aase Midtgaard Skrede, Kartverket Bergen

Karttekniske krav til reguleringsplanar. Plannettverk, Aase Midtgaard Skrede, Kartverket Bergen Karttekniske krav til reguleringsplanar Plannettverk, 15.02.17 Aase Midtgaard Skrede, Kartverket Bergen Kartverket Nasjonal kartmyndighet Tinglysingsmyndighet Matrikkelmyndighet Sjøkartmyndighet Etat under

Detaljer

ESERO AKTIVITET HVILKEN EFFEKT HAR SOLEN? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET HVILKEN EFFEKT HAR SOLEN? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 50 min. lære at Solen dreier seg rundt sin egen akse fra vest til øst (mot urviserne) oppdage

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 25. mars 2014 Tid for eksamen : 15:00 19:00 Oppgavesettett er på : 6 sider

Detaljer

Læringstrapp tall og plassverdisystemet

Læringstrapp tall og plassverdisystemet Læringstrapp tall og plassverdisystemet 4. Bruke enkle brøker som 1/2, 1 /4, 1 /3, 1 /6, 1 /8, 1 /10 og enkle desimaltall som 0,5, 0,25, 0,75, og 0,1 i praktiske sammenhenger. Gjenkjenne partall, oddetall,

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

Grensene er vist på jordskiftekart med kartarkivnummer Kartet består av 1 blad i målestokk 1:

Grensene er vist på jordskiftekart med kartarkivnummer Kartet består av 1 blad i målestokk 1: 1 Grenser 1.1 Grenseforklaring og målegrunnlag Grensemerkene er bolter/rør av aluminium forsynt med hode. Hodet har påskriften "GRENSE" og JORDSKIFTERETTEN i punktene som står i eiendomsgrense mellom statlig

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets?

Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets? SPISS Naturfaglige artikler av elever i videregående opplæring Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets? Forfatter: Martin Kjøllesdal Johnsrud, Bø Videregåande Skule Det er i dag

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF00L Knut Mørken 3. desember 204 Det er noen få prinsipper fra den første delen av MAT-INF00 om tall som studentene i MAT-INF00L bør kjenne

Detaljer

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser?

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? I flere tilfeller er et vindu som ikke er standard ønskelig. I dette tilfellet skal vinduet under lages. Prinsippene er de samme for andre sammensatte

Detaljer

Evaluering og forbedring av GPS posisjonsmåling for mobile enheter

Evaluering og forbedring av GPS posisjonsmåling for mobile enheter Evaluering og forbedring av GPS posisjonsmåling for mobile enheter av Hermod Finjord Geir Øynes Hovedoppgave til mastergraden i Informasjons- og Kommunikasjonsteknologi Høgskolen i Agder Fakultet for teknologi

Detaljer

KRAVDOKUMENT INNMÅLING

KRAVDOKUMENT INNMÅLING KRAVDOKUMENT INNMÅLING DATO: 9. AUGUST 2012 Ansvarlig utgiver: Utleie/Utleietjenester/Eiendomsinformasjon Versjon Dato Beskrivelse 1.0 17.12.09 Første utkast 1.1 26.04.10 Endringer i SOSI egenskaper 1.2

Detaljer

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Fiktive krefter. Gravitasjon og planetenes bevegelser

Fiktive krefter. Gravitasjon og planetenes bevegelser iktive krefter Gravitasjon og planetenes bevegelser 30.04.014 YS-MEK 1110 30.04.014 1 Sentrifugalkraft inertialsystem S f G N friksjon mellom passasjer og sete sentripetalkraft passasjer beveger seg i

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

11. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR

11. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR 11. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR Så godt som alle landkarta i Noreg vert utarbeidde i ein konform sylinderprojeksjon. I 1993 vart det vedteke å skifte datum frå det norske NGO systemet til EUREF89, og samstundes

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

16 Retningslinjer for innføring av EUREF89

16 Retningslinjer for innføring av EUREF89 Kap. 16 Retningslinjer for innføring av EUREF89 16 Retningslinjer for innføring av EUREF89 16.1 INNLEDNING... 2 16.1.1 FORMÅL... 2 16.1.2 BAKGRUNN... 2 16.1.3 VEILEDNINGSMATERIELL... 3 16.2 HVA ER EUREF89

Detaljer

5.201 Galilei på øret

5.201 Galilei på øret RST 1 5 Bevegelse 20 5.201 Galilei på øret undersøke bevegelsen til en tung sylinder ved hjelp av hørselen Eksperimenter Fure Startstrek Til dette forsøket trenger du to høvlede bordbiter som er over en

Detaljer

LEVANGER

LEVANGER Matrikkelrapport MAT0011 Matrikkelbrev For matrikkelenhet: Kommune: Gårdsnummer: Bruksnummer: 1719 - LEVANGER 275 959 Utskriftsdato/klokkeslett: 29.12.2015 kl. 13:11 Produsert av: Sivert Andreas Rømo Attestert

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt!

Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt! Navigasjon for PPG piloter Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt! Du vil ha mye bedre kontroll over turene dine, spesielt de litt lengre Slik kunnskap bringer en ny dimensjon til motorturene

Detaljer

Øvelse 1. Kart og flybilder

Øvelse 1. Kart og flybilder GEO-1001 Innføring i geologi G. D. Corner/IG/UiT/2006 Øvelse 1. Kart og flybilder Materiale og utstyr: -Topografisk kart STORFJORD (1633 IV), 1:50 000. -Stereopar av flybilder: W64N, W65N, W66N), flybilder

Detaljer

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER 1 Innledning til volum 1 V - 2 2 Grunnleggende om volum 1 V - 2 3 av V - 5 3a Kube V - 5 3b Rett prisme V - 7 3c Sylinder V - 8 3d

Detaljer

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

D8 Hvordan bruke Novapoint Arealplan på Novapoint 19 DCM. Elin Lisbakken og Kristin Lysebo Vianova Systems

D8 Hvordan bruke Novapoint Arealplan på Novapoint 19 DCM. Elin Lisbakken og Kristin Lysebo Vianova Systems D8 Hvordan bruke Novapoint Arealplan på Novapoint 19 DCM Elin Lisbakken og Kristin Lysebo Vianova Systems Novapoint 18 Oppsett Novapoint prosjekt Novapoint 19 DCM Ny NP Basis prosjektoppsett Navn på prosjekt

Detaljer

FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1

FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 22. august 2016 I FYS1120-undervisningen legg vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.7-3.10 Oppgaver til seksjon 3.7 I oppgave 1 til 7 skal du avgjøre om feltet er konservativt og i så fall finne en potensialfunksjon. 1. F(x, ) = (x + x) i + x j. F(x,

Detaljer

Novapoint 19 Arealplan A til Å

Novapoint 19 Arealplan A til Å A til Å Elin Lisbakken og Kristin Lysebo Novapoint 18 Oppsett Novapoint prosjekt Novapoint 19 DCM Ny NP Basis prosjektoppsett Navn på prosjekt (*.NCP) Terrengmodell (*.TMG/*.GDD) 1 Oppstart av prosjekt

Detaljer

Eksamen MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 16.05.017 MT0010 Matematikk el 1 Skole: Kandidatnr.: el 1 + ark fra el okmål okmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på el 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. el 1 og el

Detaljer

En sammenligning av CPOS og tradisjonell RTK

En sammenligning av CPOS og tradisjonell RTK En sammenligning av CPOS og tradisjonell RTK Statens kartverk Geodesidivisjonen Per Erik Opseth Fagansvarlig SATREF Innhold Status for CPOS Hvordan fungerer CPOS? CPOS versus tradisjonell RTK, praktiske

Detaljer