UNIVERSITETET I OSLO Institutt for informatikk. IN229 Simulering og visualisering. Eksamensrapport. Per-Idar Evensen

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Institutt for informatikk IN229 Simulering og visualisering Eksamensrapport Per-Idar Evensen (periev@ifi.uio.no) Våren 2001

2 Simulering I denne oppgaven skulle vi studere den tidsavhengige varmeledningslikningen gitt ved med Dirichlet randkrav og initialdata u t = u xx, x (0, 1), t > 0 (1) u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f(x), x (0, 1) hvor f(x) er en gitt funksjon. Vi skulle se på numeriske løsninger for tre spesifikke problemer, dvs. for tre spesifikke funksjoner f(x): f 1 (x) = 3 sin( x) + 5 sin(4 x) f 2 (x) = 1 f 3 (x) = x Oppgave 1 eksplisitt skjema Setter opp et eksplisitt skjema for (1) ved å approksimere den tidsderiverte u t med en foroverdifferanse, og den romderiverte med en standard sentraldifferanse, dvs. vi setter og u t (x, t) u(x, t + t) u(x, t) t u xx (x, t) u(x x, t) 2u(x, t) + u(x + x, t) x 2 Lar vi v m j betegne en approksimasjon av u(x j, t m ) der x j = j x for j = 0, 1,, n + 1 og t m = m t for heltall m 0, får vi følgende skjema v m + 1 j v m j t = vm j 1 2v m j + v m j + 1 2, for j = 1,, n og m 0. x Ved å bruke randkravene får vi at v m 0 = 0 og v m n + 1 = 0 2

3 for alle m 0, og initialbetingelsen gir Løser vi for v m + 1 j får vi v 0 j = f(x j ) for j = 0, 1,, n. v m + 1 j = rv m j 1 + (1 2r)v m j + rv m j + 1, for j = 1,, n og m 0 (2) der r = t/ x 2. I dette uttrykket kan vi finne verdiene til neste tidssteg t m + 1 ved kun å bruke verdiene fra det forrige tidssteget t m. Dette er grunnen til at skjemaet kalles eksplisitt. Beregningsmolekylet til det eksplisitte skjemaet (2) er vist på figur 1. m + 1 m j 1 j j + 1 Figur 1: Beregningsmolekylet for det eksplisitte skjemaet Stabilitetskravet for dette skjemaet er gitt ved r = t x 2 1/2 C++-programmet som implementerer det eksplisitte og det implisitte skjemaet er beskrevet i avsnittet implementasjon. Oppgave 2 implisitt skjema Setter opp et implisitt skjema for (1) ved å approksimere den tidsderiverte u t med en bakoverdifferanse, og den romderiverte med en standard sentraldifferanse, dvs. vi setter og u xx (x, t) u t (x, t) u(x, t) u(x, t t) t u(x x, t) 2u(x, t) + u(x + x, t) x 2 3

4 Med tilsvarende notasjon som i Oppgave 1, får vi følgende skjema v m' j v m' 1 j t = vm' j 1 2v m' j + v m' j x, for j = 1,, n og m' 1. Setter vi videre m' = m + 1 kan vi skrive om dette til v m + 1 j v m j t j 1 2v m + 1 j + v m + 1 j + 1 2, for j = 1,, n og m 0. (3) x = vm + 1 Ved å bruke randkravene får vi at for alle m 0, og initialbetingelsen gir v m 0 = 0 og v m n + 1 = 0 v 0 j = f(x j ) for j = 0, 1,, n. I motsetning til det eksplisitte skjemaet må man for dette skjemaet løse et likningssystem for å finne verdiene til neste tidssteg t m + 1. Dette er grunnen til at dette skjemaet kalles implisitt. Beregningsmolekylet til det implisitte skjemaet (3) er vist på figur 2. Dette skjemaet er ubetinget stabilt. m + 1 m j 1 j j + 1 Figur 2: Beregningsmolekylet for det implisitte skjemaet Det implisitte skjemaet (3) definerer et linkningssystem for j = 1,, n, som kan skrives på formen (I + ta)v m + 1 = v m, for m 0 4

5 der A = 1 x og v m = [v m 1,, v m n] T. Vi kan altså finne løsningen for neste tidssteg v m + 1, ved å løse matriselikningen A'v m + 1 = v m hvor A' = (I + ta) ved hjelp av Gauss-eliminasjon for tridiagonale lineære systemer. Implementasjon Programmet (Simprog) er implementert som et ganske generelt simulatorprogram. Mange av ideene bak implementasjonen, og en del av kildekoden er hentet fra [2]. Programstrukturen består av følgende klasser: FieldLattice Klasse der hvert objekt består av en smartpeker (Handle) til et GridLattice som definerer gridet, og en smartpeker til en MyArray som inneholder verdiene i hvert gridpunkt. Den inneholder funksjoner som gir direkte tilgang til skalarverdiene i gridpunktene, samt verdiene til selve gridet. Function Abstrakt generell functor-klasse som inneholder alle funksjonene som brukes i form av subklasser. I dette programmet er funksjonene for alle tre eksemplene f 1 (x), f 2 (x) og f 3 (x), og de tilsvarende eksakte løsningene u exact_1 (x, t), u exact_2 (x, t) og u exact_3 (x, t) implementert som subklasser av Function. Denne klassen gjør at disse funksjonene lett kan forandres eller byttes ut. Har valgt k = 100 i de uendelige summene for u exact_2 (x, t) og u exact_3 (x, t) da disse konvergerer relativ fort (100 er mer enn nok da leddene blir forsvinnende små allerede ved k = 10). GridLattice Klasse som representerer et uniformt en-dimensjonalt grid, som beregnes fra verdiene x min, x max (skal alltid være hhv. 0 og 1 i denne oppgaven) og x. Den inneholder funksjoner som leser inn og gir tilgang til de parameterne som definerer gridet, samt verdiene til selve gridet. Handle Klasse som implementerer smarte pekere med referansetellere (hentet fra [2]). 5

6 Heat1DSolver Abstrakt klasse som definerer et grensesnitt for metoder for å løse den tidsavhengige varmeledningslikningen. Den eksplisitte og den implisitte løsningsmetoden er implementert som subklasser av Heat1DSolver. Dette klassehierarkiet inneholder funksjoner for å sette initalbetingelsene og utføre simuleringen med tidsløkke, oppdatering av u og u exact og skriving av løsningen til fil. MyArray Template-klasse som implementerer brukervennlige arrayer for å lagre forskjellige typer numeriske verdier. (Basert på [2] og hovedsakelig hentet fra løsningsforslag til simuleringsoppgaver, del 1.) MyMatrix Abstrakt klasse som definerer er grensesnitt for matriser. Implementerer brukervennlige matriser for å lagre numeriske verdier. I dette programmet er tridiagonale matriser implementert som en subklasse av MyMatrix, men det er lett å legge til støtte for andre typer matriser (diagonale, tette, osv ) ved å legge til flere subklasser hvis det skulle være behov for dette. (Delvis hentet fra løsningsforslag til simuleringsoppgaver, del 3.) Simulator Abstrakt simulatorklasse som implementerer et grensesnitt for selve simulatoren. I dette programmet er simuleringen av varmeledningslikningen i en dimensjon implementert som en subklasse (Heat1D) av Simulator. Denne generelle strukturen gjør det mulig og enkelt utvide Simprog til å kunne kjøre andre simuleringer (for eksempel den en-dimensjonale bølgelikningen) ved å legge til nye subklasser. Funksjonene definert i denne klassen leser parameterne og starter simuleringen. Subklassen Heat1D inneholder smartpekere til objektene som inngår i simuleringen (GridLattice, TimeParam, Fuction og Heat1Dsolver). TimeParam Klasse som inneholder alle parameterne relater til tidsevolusjonen av problemet, dvs. t, dt, stopptiden, tidssteget. Den inneholder funksjoner som leser inn og gir tilgang til disse parameterne, og videre funksjoner som oppdatere disse. I tillegg består programmet av hovedprogrammet main.cpp, som velger simulering og kaller funksjonene som leser inn parametere og utfører simulering, og real.h hvor man definerer ønsket datatype (for eksempel float eller double). Kommentarene i kildekoden til programmet forklarer nærmere hva de forskjellige funksjonene i klassene gjør. Programmet leser inn alle parameterne (x min, x max, x, T stop og t), samt hvilket eksempel som skal simuleres (1 3) og hvilken løsningsmetode som skal brukes (eksplisitt eller implisitt). Opprinnelig hadde jeg planer om også å implementere støtte for kommandolinjeargumenter med svitsjer for å angi parameterne, og videre reimplementere klassen MyMatrix så den fungerte bedre sammen med MyArray og dermed ble mer effektiv, men det ble dessverre ikke tid til dette. Oppgave 3 numerisk studie Har laget seks forskjellige animasjoner. En som viser den eksplisitte løsningen, og en som viser den implisitte løsningen for hver av de tre eksemplene. I animasjonene vises også den 6

7 eksakte løsningen. Parameterne som ble brukt i animasjonene er x = 0.02, t = og sluttid T = 0.1, dvs. 500 tidssteg. For å måle den numeriske feilen definert ved e(t n ) = max j u(x j, t n ) v n j (5) laget jeg et lite MATLAB-program (Error_analyses.m) som leser inn tidssteget i for målingen samt antall gridpunkter n, og deretter finner den riktige filen og beregner den numeriske feilen. Resultatene er gitt i tabell 1. Har også tatt med de tilsvarende verdiene for det implisitte skjemaet. x = 0.02 og t = er brukt i alle 6 beregningene. Eksplisitt skjema Implisitt skjema Eksempel nr. t = 0.01 t = 0.1 Eksempel nr. t = 0.01 t = , Tabell 1: Den numeriske feilen ved t = 0.01 og t = 0.1 for begge skjemaene For å oppnå omtrent samme nøyaktighet (dvs. samme første siffer) ved t = 0.1 med det implisitte skjemaet, som med det eksplisitte med t = , må man bruke ca tidssteg for eksempel 1, og ca. 250 tidssteg for eksempel 2 og 3 (t = ). Dette fant jeg ut ved å prøve ut noen verdier av t, og beregnet den numeriske feilen. Dette viser at den implisitte metoden fungerer best for de enkle lineære funksjonene f 2 (x) og f 3 (x). For å estimere konvergensraten for det eksplisitte skjemaet ved tiden t = 0.1, må vi estimere parameteren slik at e(0.1) = O(t ), for t = x 2 /2 Ser vi på e(0.1) for forskjellige verdier for t, kan vi estimere konvergensraten ved hjelp av følgende formel = log(e 1(0.1)/e 2 (0.1)) log(t 1 /t 2 ) Tabell 2 viser e(0.1) for fire forskjellige verdier for t. t x e(0.1) 2, , , , Tabell 2: e(0.1) for forskjellige verdier av t 7

8 Figur 3: log(e(0.1)) plottet som funksjon av log( t) Figur 3 viser feilen log(e(0.1)) plottet som funksjon av log( linje med et stigningstall på ca. 1. er gitt ved t). Dette gir en tilnærmet rett = log(e 1(0.1)/e 2 (0.1)) log( t 1 / t 2 ) = log(e 1(0.1)) log(e 2 (0.1)) log( t 1 ) log( t 2 ) som er det samme som stigningstallet til figur 3. Beregner vi i MATLAB finner vi også vi har derfor at = 1.0 e(0.1) = O( t 1 ) Vi får altså lineær konvergens for feilen e(0.1) med hensyn på med hensyn på x, siden e(0.1) = O( t 1 ) = O( x 2 )). t (eller kvadratisk konvergens Når det gjelder antall operasjoner for de to metodene, er tidsløkken i den eksplisitte metoden av orden O(mn), mens den i den implisitte metoden er av orden O(2mn), hvis vi ser bort fra alle de unødvendige løkkene. Altså er den eksplisitte metoden litt mer effektiv når man bruker samme antall tidssteg. I mange tilfeller kan man imidlertid redusere antall tidssteg m i den implisitte metoden, og likevel oppnå samme nøyaktighet, og da vil den implisitte bli mer effektiv. (Det er også et poeng her at den implisitte metoden er ganske ineffektivt implementert i dette programmet i forhold til den eksplisitte, pga. kopiering mellom arrayer.) I to romdimensjoner vil den eksplisitte metoden være av orden O(mn x n y ), mens den implisitte metoden er av orden O(2mn x n y ). Forholdet mellom dem vil altså ikke endre seg. 8

9 Visualisering I denne oppgaven skulle vi studere en vannbølge som slår over en vertikal sylinder. Vi skulle visualisere datasett fra to simuleringer, en med lineære overflatebetingelser, og en med ikkelineære overflatebetingelser. Poenget var å visualisere hvilken form vannoverflaten får når den slår over sylinderen, og å få fram forskjellen på de to simuleringene. Datasettene fra simuleringen forelå i form av mlb-filer. Jeg valgte først å lage et C++-program som konverterer alle mlb-filene til vtk-filer (mlb2vtk.cpp), og deretter lage et vtk-program for å visualisere disse (Visprog.cpp),. Grunnen til dette var at vtk-programmet dermed blir mye enklere og mer generelt. Konvertering til vtk-filer For å finne ut om de binære dataene på mlb-filene var på "Big Endian" eller "Little Endian" format, prøvde jeg å kjøre det utdelte MATLAB-program (green.m) både på PC/Linux og på Sun/Solaris. Programmet fungerte bare på Sun-maskinen, så datasettene var på "Big Endian" format. mlb2vtk.cpp virker som følger. Først sjekker programmet om det kjører på en "Big Endian" eller "Little Endian" maskin. Videre går det inn i en løkke som går igjennom alle filene som skal konverteres (nummeret på første og siste fil er definert helt øverst i filen, og kan lett byttes ut). Hver fil leses inn (kolonnevis) og hele datasettet bygges opp, dvs. at dataene speiles om y = 0 pga. symmetrien i y-retning Videre konverteres dataene fra double til float siden vtk tar float-verdier som input. Dersom maskinen er "Little Endian", byttes byterekkefølgen om før denne konverteringen foretas, og deretter byttes bytene tilbake til "Big Endian" som er formatet vtk tar inn som standard. Til slutt skrives filen ut igjen (radvis) i vtk-format som "Structured Points". Visualiseringen Har her laget to vtk-programmer (Visprog.cpp og Visprog2.cpp), et som visualiserer enten det lineære eller det ikkelineære datasettet (velges ved oppstart), og et som visualiserer begge samtidig i hver sin renderer. Jeg valgte og utvide Visprog.cpp til å kunne håndtere to rendere fordi det da er lettere å visualisere forskjellen mellom de to datasettene. Programmene er laget slik at man lett kan endre z-skalering, første og siste filnummer på datafilene, starttidspunkt for telleren og om man ønsker konturlinjer ved å endre "define" makroene øverst i kildekoden. Dessuten kan man spesifisere om man ønsker at programmet skal lagre bildene i animasjonen til fil eller ikke. Programmene inneholder stort sett funksjoner som lager alle objektene (overflaten, sylinderen, veggene i tanken og teksten), slik at det blir lettere å endre på disse. Når det gjelder selve visualiseringen har jeg valgt å farge den delen av sylinderen som stikker over nullnivået til vannoverflaten rød, og videre merket den ene veggen i bølgetanken med nivålinjer som viser høydenivået fra 0.03 til Den røde linja i midten er viser nullnivået til vannoverflaten. Alt dette er gjort for å lettere kunne se hvor høyt bølgen slår, og dermed 9

10 også lettere kunne se forskjellen mellom de to datasettene. Jeg har også valgt å implementere muligheten for å legge til konturlinjer, da dette i tillegg til at man lettere ser hvor høyt bølgen slår også mye bedre kan se bølgeformen. Nederst i venstre hjørne har jeg også lagt til en tekst som viser om det er den lineære eller ikkelineære bølgen som visualiseres, den valgte z-skaleringen og en tidsteller som viser den samme tiden som på de utdelte mpeg-filmene. En forenklet visualiseringspipeline for selve vannoverflaten med konturlinjer er vist på figur 4. vtk-datafil vtkstructuredpointsreader vtkgeometryfilter vtkcontourfilter vtkwarpscalar vtkpolydatamapper vtkpolydatamapper vtkactor - konturlinjer vtkactor - vannoverflate Figur 4: Visualiseringspipeline for vannoverflaten Etter at man har startet visualiseringsprogrammet kan man rotere og zoome inn slik at man får et passende bilde, og deretter kan man trykke på 'u'-tasten for å se bølgeanimasjonen (og eventuelt få generert en hel sekvens med bilder i ppm-format). Har laget fem animasjoner. To med Visprog.cpp som viser den lineære (Wave_linear.mpeg) og den ikkelineære bølgen (Wave_nonlinear.mpeg) hver for seg, og tre med Visprog2.cpp som viser begge bølgene hhv. fra siden (Wave_both.mpeg), fra siden zoomet inn (Wave_both2.mpeg) og ovenifra (Wave_both3.mpeg). Figur 5 viser 3 bilder fra hver av de to datasettene akkurat når vannbølgen slår over sylinderen. På siden med utvalgte bilder som kan nås fra index.html, har jeg lagt ut 12 bilder fra den samme serien. Her har jeg zoomet inn området i nærheten av sylinderen, og brukt z-skalering = 10, for å nøye kunne studere formen til de to bølgene. Forskjeller man legger merk til i denne bildeserien er at den ikkelineære bølgen slår høyere enn den lineære etter å ha truffet sylinderen. Den ikkelineære bølgen tar også en annen, mer uregelmessig, form enn den lineære etter hvert som den skyller over sylinderen. 10

11 Figur 5: Vannbølgen som slår over sylinderen for de to datasettene 11

12 Referanser [1] Barton, John J. og Lee R. Nackman Scientific and Engineering C++, Addison Wesley Longman, Inc. [2] Roeim, Vetle og Hans Petter Langtangen Implementation of a wave simulator using objects and C++, Kompendium i IN229. [3] Schroeder, Will, Ken Martin og Bill Lorensen The Visualization Toolkit, Prentic Hall PTR. [4] Tveito, Aslak og Ragnar Winther Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York, Inc. 12