Kraft på strømførende leder

Transkript

1 Kraft på strømførende leder Magnus Holter-Sørensen Dahle Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 29. mars 2011 Sammendrag Det er i dette forsøket gjort undersøkelser på hvorvidt magnetiske krefter påvirker en strømførende leder i et homogent magnetfelt. Forsøket er delt i tre deler, henholdsvis hvor det undersøkes hvordan kraften avhenger av strømmen i lederen, lengden av lederen, og vinkelen mellom strømbanen og magnetfeltet. Resultatet viste seg å gå overens med allerede etablert teori. Innledning Hensiktet ved forsøket er å undersøke kraften mellom en strømførende leder og et konstant magnetfelt, samt å oppnå erfaring med fremstilling av resultater fra presisjonsmålinger. Det utføres også databehandling ved bruk av MATLAB for regresjon, Minste kvadraters metode 1, av måledataene. Forsøket er ment for å bekrefte allerede eksisterende teori, og motivere for videre analyse av elektromagnetismen. Eksperimentet er inspirert av fysikeren M. Faraday, kjent for å videreføre H.C. Ørsted arbeid av hvordan elektrisitet induserer magnetfelt og omvendt. Teori Fra allerede kjent teori vises det at et elektron med ladning q = e som beveger seg med en hastighet v, i en leder plassert i et magnetfelt, B, vil bli påvirket av krefter, Lorentzkraften, F = q v B (1) I en leder er elektronene forankret til et krystallgitter i lederens materialet, og på den måten vil kraften på hvert enkelt elektron overføres som en resulterende kraft på lederen. Man har da at, F = q( v d B)nAl (2) Her er l lengden av lederen, n elektrontettheten og A arealet fra et tversnitt av lederen. Man betegner v d som gjennomsnittshastigheten, eller driftsfarten, for hvert enkelt elektron i lederen. Strømmen regnes ikke som en vektorstørrelse og deneres da ved, I = nqv d A (3) Slår man sammen likningene (1), (2), (3),kan man uttrykke den resulterende magnetiske kraften som, F = I l B (4) TFY4155 Elektromagnetisme, laboratoriekurs, Gruppe 5. 1 Naqvi, Razi K. 2011, s.56 1

2 l betegnes som lengden av lederen, med retning positivt med strømmen. Man kan da også gi et et skalaruttrykk for kraften på lederen, F = IlB sin θ (5) Når kraften registreres i form av masse, for eksempel ved en presisjonsvekt, er M = F g, der g er tyngdeakselerasjonen. Det betyr at vektutslaget vil kunne skrives som, M = IlB g sin θ (6) For å estimere usikkerhet i beregnede variabler basert på målinger, brukes Gauss' feilforplantningslov 2 gitt ved, ( ) 2 q = q For den generelle sammenhengen ( ) 2 ( a + m b ) 2 ( + n c ) 2 (7) a b c q = a bm c n (8) Uttryket estimerer en endelig usikkerhet i en beregnet konstant basert på hvordan usikkerheten i variablene konstanten avhenger av forplanter seg gjennom beregningene. 2 Melø, Thor B. 2010, s. 34 2

3 Apperatur og metode Utstyrsliste 1. Elektromagnetisk presisjonsvekt. Område: 0 400g, Presisjon: ±1mg 2. Multimeter 3. Faste strømbaner (6 stk. av ulik lengde) 4. Kraftforsyning (Delta Elektronika): Område: 0 70V, 0 20A, Presisjon: ±1mA 5. Magnetbrønn (Danner et rom med tilnærmet homogent magnetfelt) 6. Roterbar stromspole 7. Stativ for strømbaner 8. Skyvelære 9. Gaussmeter Utstyret monteres som vist på Figur (1). Strømbanen senkes ned i magnetbrønnen, plassert på toppen av presisjonsvekten. Figur 1: (a) viser oppsettet av apparaturen brukt i forsøket, hvor (1) er presisjonsvekten der magnetbrønnen er plassert. (3) er skiven med strømbanen som plasseres i stativ, hengende ned i brønnen. (2) og (4) er henholdsvis et multimeter og en kraftforsyning. (b) viser et utsnitt av hvordan vinkelen mellom leder(ene) og magnetfeltet oppholder seg. Kraft som funksjon av strømmen I første del av forsøket undersøkes det hvordan kraften mellom en tynn strømførende leder og et magnetfelt (vinkelrett på hverandre) avhenger av strømmenstyrken. Et gaussmeter brukes til å anslå feltstyrken i magnetbrønnen. Det gjøres mål av strømbanens ytre dimmensjoner, før den plasseres i magnetbrønnen og strømmen slås på. Stegvis endres strømstyrken fra 0 til 5 A. For hver delstrømstyrke noteres strømstyrken og vekutslaget. Regresjon av måledataene I MATLAB gir en linær funksjon på formen, F (I) = a 0 + a 1 I (9) 3

4 Usikkerheten i a 1 beregnes ved Minste kvadraters metode via MATLAB, så vel som ved Gauss' feilforplantingslov. Kraft som funksjon av lengden I andre del av forsøket undersøkes det hvordan kraften mellom en tynn strømførende leder og et magnetfelt (vinkelrett på hverandre), avhenger av strømbanens lengde. Hver av de ulike strømbanene måles (ved ytre dimmensjon), før de monteres på stativ, senkes ned i magnetbrønnen og strømmen slås på. Strømmen holdes strengt, konstant lik for alle banelengdene Regresjon av måledataene gir en linær funksjon på formen, Deretter estimeres usikkerheten for b 1. Kraft som funksjon av vinkelen F (l) = b 0 + b 1 l (10) I tredje del av forsøket undersøkes det hvordan kraften mellom en tynn strømførende leder og et magnetfelt avhenger av vinkelen mellom dem. Til dette benyttes en dreibar strømspole med 10 viklinger, se Figur(1b). Vekten nullstilles slik at magnetbrønnens egenvekt ikke påvirker kraften. Spolen stilles deretter i en likestillingsposisjon slik at med strømmen på, viser vektutslaget fremdeles 0, 000g. Spolen dreies deretter stegvis til totalt ± 1 2π radianer fra likestillingen, og for hver delvinkel noteres vinkelutslag fra likestillingen, og vekutslaget. Resultater Kraft som funksjon av strøm I henhold til likning (9) ble det gjennomført en regresjon ved MATLAB av den magnetiske kraften som funksjon av strømmen. Av grafen fremgår en linær sammenheng. F (I) = 0, , 5020 I (11) Det må merkes at kraften, F, her utgis i mn. Funksjonens graf vises i Figur (2). Figur 2: Viser regresjon av den magnetiske kraften som funksjon av strømmen i lederen. Av måledataene fremgår en linær sammenheng. Den magnetiske kraften øker proporsjonalt med strømstyrken. 4

5 Figur 3: Viser avviket mellom regresjonskurven og målepunktene fra Figur (2). For å illustrere feilen, viser Figur (3) avviket mellom hvert enkelt målepunkt og regresjonsgrafen. MATLAB utfører Minstekvadraters metode, og estimerer en verdi for usikkerheten i stigningstallet, a 1 = 6, N/I. Samme usikkerhet beregnes ved Gauss' feilforplantningslov, gitt fra likning (7), a 1 = 3, N/I. Største usikkerhet benyttes og det anslås at, a 1 = 1, 50 ± 0, 65 mn (12) A Av etablert teori, likning (5), når sin θ = 1, skal den forventede a 1 gis ved Bl. Man har da at, a 1 = Bl = 1, N A (13) Kraft som funksjon av lengde Mål av de seks brukte strømbanene er oppført i Tabell (1). Hver av strømbanene var plassert i samme magnetbrønn med målt, B = 0, 89kG, og førte strengt samme strøm, I = 2, 006 ± 0, 001A. Strømbane nummer 5 og 6 var doble, som medfører at lederen krysser gjennom banebrikken til motsatt side og passerer gjennom B-feltet totalt to ganger. Ved dette oppnås lengre strømbanelengder. Tabell 1: Viser oversikt av ulike strømbaner brukt, deres respektive lengde, og henholdsvis vektutslag og kraft. Hver strømbane er plassert i samme magnetbrønn og fører samme strøm, I = 2, 006A. Man ser at kraften varierer tydelig ved ulike lengder av strømbanene. l M F (nr.) (mm) (g) (mn) 1 19,85 0,366 3, ,15 0,535 5, ,95 0,706 6, ,10 0,185 1, ,40 1,351 13, ,40 1,052 10,32 I henhold til likning (10) ble det gjennomført en regresjon ved MATLAB av den magnetiske kraften som funksjon av strømbanens lengde. 5

6 F (l) = 0, , 1572 l (14) Det må merkes at kraften, F, også her utgis i mn. Funksjonens graf vises i Figur (4) Figur 4: Viser regresjon av den magnetiske kraften som funksjon av strømmen i lederen. Av måledataene fremgår en linær sammenheng. Avviket mellom hvert målepunkt og regresjonsgrafen til kraften som funksjon av lengden er illustrert i Figur (5) Figur 5: Viser avviket mellom regresjonskurven og målepunktene fra Figur (4). MATLAB utfører Minstekvadraters metode, og estimerer en verdi for usikkerheten i stigningstallet, b 1 = 3, N/I. Samme usikkerhet beregnes ved Gauss' feilforplantningslov, gitt fra likning (7), b 1 = 3, N/I. Største usikkerhet benyttes og det anslås at, b 1 = 0, 15 ± 3, 44 mn m Av etablert teori, likning (5), når sin θ = 1, skal den forventede b 1 gis ved BI. Man har da at, b 1 = BI = 0, N m (15) (16) 6

7 Kraft som funksjon av vinkel Kraft som funksjon av vinkel viste seg å ha lite avvik mellom målepunkter og regresjonskurve. Figur (6) viser kraften som funksjon av sin θ, og Figur (7) som funksjon av vinkelen. Av siste fremgår kraften som en sinuskurve. Figur 6: Viser hvordan kraften avhenger av uttrykket sin θ. Her fremgår en linærsammenheng. Figur 7: Viser regresjonskurve og målepunkter for kraften som funksjon av vinkel mellom leder og B-felt. Det går frem av grafen at regresjonskurven følger målepunktene med små avvik. Kraften opptrer størst (i motsatte retning) ved θ = ± 1 2π radianer, og F = 0 for θ = 0, og følger derav en sinuskurve Generell Diskusjon Resultatene i dette forsøket samsvarer med allerede etablert teori. Det har vært liten menneskelig pårvirkning på vesentlige målinger som av strømtilførsel og vektutslag, hvor apparaturenes presisjon, og deres kalibrering blir gjeldende faktorer for nøyaktigheten i forsøket. Det må likevel tas i betraktning at en økt unøyaktighet oppstår i avlsning av vinkelen i del 3. Den største usikkerhetsfaktoren opptrer i bestemmelsen av det statisk, 7

8 homogene magnetfeltet til magnetbrønnen. Dette kommer av vanskelighetene ved å få plassert gaussmeterets probe fullstendig ned i brønnen, at feltet ikke er perfekt homogent, samt forstyrrelser fra andre strøfelt. Disse strøfeltene kommer blant annet av jordmagnetismen, felt fra andre nærliggende magnetiske materialer, samt induserte B-felt fra strømførende ledninger i og ved lokalet. I del to oppstår det også et usikkerhetsmoment som man i større grad kan kontrollere. Det er i denne delen av forsøket, hvor kraften måles som en funksjon av lederens lengde. Lengden har tydligvis en større usikkerhet enn først antatt. Lederens bredde får en innvirkning på lengden, ettersom det er vanskelig å fastslå de faktiske banene elektronene vandrer. Et enkelt grep vil være å øke antallet testlengder og på den måten oppnå ere målepunkter. Det kan også være hensiktsmessig å innføre en verdi, l, som vil være et snitt av den ytre og indre lengden av lederen. Fordi det er brukt ytre dimmensjoner av strømbanen, kan man med stor sikkerhetsi at den faktiske lengden er noe kortere for strømutslagene vist i Figur (4). Grafen kan derfor forskyves mot venstre. Av teori skulle grafens nullpunkt nærmet seg origo. Sannsynligvis er usikkerheten i de to doble strømbanene større enn antatt. Dette underbygges også av feilestimeringen ved Minste kvadraters metode og Gauss' forplatningslov, som svarte til svært stor usikkerhet i dette delforsøket. Det kan bekreftes at at det er en linær sammenheng mellom den magnetiske kraften og lederens lengde, men det burde tas i betraktning at det kun er et lite delområde av lengder som ble testet. For å kunne trekke en sikker konklusjon vil det kreve ere målepunkter og et større spenn av ulike lengder. Det samme gjelder kraften som en funksjon av strømmen, men her ble det også brukt langt ere målepunkter, som styrker resultatets troverdighet ved å redusere usikkerheten over et snitt. Sikkerheten for kraft som funksjon av vinkel må sies å være større enn for de to foregående. Her er muligheten for å teste enhver vinkel og se en fullstendig sammenheng. Det er vanskeligere å fastlå en konklusjon med stor sikkerhet om de to andre som følge av at man ikke får testet ekstremverdier av l og I. Konklusjon Det har blitt gjennomført et tredelt forsøk for å bekrefte eller avkrefte gjeldende teori om kraft på strømførende ledere, med variable strømmer, strømbanelengder og vinkel mellom ledere og B-felt. Resultatene samsvarer med allerede etablert teori på alle punkter. Usikkerheten lå størst ved målingene av kraft s.f.a. lengde. Her ble det brukt for få lengder, og for lite lengdespenn. Referanser [1] Melø, Thor B. LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1001 MEKANISK FYSIKK. Trondheim, [2] Naqvi, K. Razi LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1003 ELEKTRO- MAGNETISME. Trondheim,