Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Contents. 3 Lineær DL 12 3.1 Generell Fremgangsmetode... 12 3.2 Separabel DL... 13 3.3 Bernoulli... 13 3.4 Eksakt DL... 13"

Transkript

1 Contents Noen greie formler og tabeller 4. Integrasjon og Derivasjon Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Identiteter Viktige Potens-serier Vektorer Skalarprodukt Komplekse Tall Lineær Algebra 7 2. Lineære Ligninger og Ligningssystem Aritmetikk Multiplikasjon med matriser Metode for å løse matriser Ligningssystemer Den inverse til en matrise Determinant ved kofaktorekspansjon Cramer`s rule Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Gram-Schmidt Lineær DL 2 3. Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL Lineær transformasjon 4 4. Surjektiv og injektiv Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering Integralregning 7 5. Multiple Integraler Doble Integraler Trippel Integraler Kurveintegraler Linjeintegraler Vektor-linjeintegraler Overaten til en graf

2 6 Parametrisering av kurver 9 6. Posisjon, fart og akselerasjon Kryssprodukt Buelengde Tangentialvektor Binormalvektor Normalvektor Kurvatur Svingradius Torsjon Akselerasjonskomponenter Vektorfelt 2 7. Denisjon Vektorfelt Maks retningsderivert Konservative felt Parametrisering av en rett linje 24 9 Partiell derivasjon Andregrad partiell derivert variabel kjerneregel variabel kjerneregel(m/ undervariabel) variabel kjerneregel(m/2 undervariabler) Matriseversjonen Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler Normalvektor til en ate Tangentplan Logikk Sannhetstabeller 25. Bevis og Induksjon Relasjoner på samme mengde og digrafer Surjektiv,Injektiv,Bijektiv Røtter 28 2 Binær Info-Boks, helt generelt Linjer og Plan Likning Avstander Snitt Koordinatsystemer

3 3.4. Omregninger 2D Omregninger 3D Bjelker og fagverk Fagverk Fagmatrise Fourier Enkel gangetabell Varmeligningen Nyttige integraler (Fourier-rekker) Trigonometriske verdier Løsningene til varmeligningen er på formen Transformasjon Generel regel Konvolusjon Fourier-transformasjon Tabeller Fourier-tranformasjon Opperasjoner Parallellforskyvning Laplace-transformasjon Tabeller 38 8 Kjeglesnitt Parabel Ellipse Hyperbell Kvadratiske Flater Appendix-Matriser på Casio 42 2 Appendix-Matriser på TI 44

4 Noen greie formler og tabeller. Integrasjon og Derivasjon. y = u v y = u v + u v 2. y = u v y = u v u v v 2 3. (x r ) = r x r 4. x r dx = r+ xr+ + Cifr... x dx = ln x + C 5. a konstant : x 2 + dx = tan (x) 6. u vdt = u v u v dt 7. u e u dt = e u du = e u + C og (e u ) = e u u 8. k konstant: ( e kt) = ke kt, og e kt dt = k ekt + C 9. k konstant: cos(kt) = k sin(kt), og cos(kt) = k sin(kt) + C. k konstant: sin(kt) = k cos(kt), og sin(kt) = k cos(kt) + C. N (µ,σ)(x)dx = f (x) x < a f (x) a < x < a 2. Hvis f(x) =. f n (x) f n (x) a n < x < a n x > a n så er f(x)dx = a f (x)dx + a a f (x)dx + + a n a n f n (x)dx + a n f n (x)dx.2 Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Derivert Funksjon Integrert k kx + C x 2 x2 + C nx n x n x 2 x n+ xn+ + C ln x + C e x e x e x + C ne nx e nx n enx + C cos x sinx cos x + C sin x cos x sin x + C n cos nx sin nx n cos nx + C n sin nx cos nx n sin nx + C 4

5 .3 Identiteter. cos( θ) = cos(θ) 2. sin( θ) = sin(θ) 3. cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 4. Euler (standard): e jθ = cos(θ) + j sin(θ) 5. Euler (derivert): (a) e jθ = cos(θ) j sin(θ) (b) cos(θ) = ejθ +e jθ 2 (c) sin(θ) = ejθ e jθ 2 6. ln (e α ) = α = e ln(α) 7. a b c = ( a b) c 8. a b+c = a b a c 9. a b c = ab a c. a =.4 Viktige Potens-serier. x = x n = + x + x 2 + x x n + for x < n= 2. +x = x + x2 x ( ) n x n + for x < 3. e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + + n! xn + 4. e x = x + 2! x2 3! x3 + + ( )n n! x n + 5. e jx = + jx 2 x2 j jn ( 6x3 + + n! xn ) + ( ) = ( )k 2x2 + + (2k)! x2k + + j x ( )k 6x3 + + (2k+)! x2k + + = cos(x) + j sin(x) 6. cos(x) = 2 x2 + + ( )k (2k)! x2k + 7. sin(x) = x 6 x3 + + ( )k (2k+)! x2k tan (x) = x + x x x 35 + x2 > π 2 /4 5

6 .5 Vektorer v = (x 2 x ) i + (y 2 y ) j + (z 2 z ) k = [x 2 x, y 2 y, z 2 z ] = [v, v 2, v 3 ] Lengden av en vektor: v = v 2 + v2 2 + v2 3 = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 Enhetsvektor: n = v v Addisjon: u + v = [u + v, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ] Skalarmultiplikasjon: k u = [ku, ku 2, ku 3 ] Areal: A = u v u u 2 u 3 Volum: v = ( u v) w = v v 2 v 3 w w 2 w 3 i j k Vektorprodukt: u v = u v sin θ n = u u 2 u 3 = [u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v u v 3, u v 2 u 2 v ] v v 2 v 3 Vinkel mellom to vektorer: cos ( u, v) = u v u v Vinkelrette vektorer u v u v =.6 Skalarprodukt u u = u 2 Omskrivningsloven: u v = v u Fordelingsloven: u ( v + w) = u v + u w For reelle t: (t u) v = u (t v) = t ( u v) u v Skalar projeksjon: v = u cos θ Vektor projeksjon: proj v u = u v v v 2 TEOREM: Hvis θ er vinklen mellom u og v ( θ π) da er u v = u v cos θ = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3.7 Komplekse Tall i = z = a + ib = re iθ Re (z) = a Im (z) = b Komplekskonjugerte til z: z = a + ib = a jb z + z = 2Re (z) z z = 2Im (z) z z = (Re (z)) 2 (Im (z)) 2 Absoluttverdien til z: z = r = a 2 + b 2 6

7 2 Lineær Algebra 2. Lineære Ligninger og Ligningssystem Matrise: Aritmetikk = A A er en 3 5 (dimensjonal) matrise. Rad 2 er [ ] (en vektor) Den andre radvektoren til A 7 Kolonne 4 er 2 - den 4 kolonnevektoren til A Krever matchende dimensjoner Ex: A =, B =, A + B = Regel: To matriser kan kun legges sammen dersom de har samme dimensjoner! 2..2 Multiplikasjon med matriser Matrise gange vektor: v A v = A A v = [ ] = ( ) Matrise gange matrise: k Regel: Krav: l = m l { }} { Ak l matrise m 4 ( ) n { }} { Bm n matrise C Utregning: ] rad r [a r a r2 a rl kolonne s b s b 2s. b ms C rs C rs = a r b s + a r2 b 2s + + a rl b ms m=l 7

8 2..3 Metode for å løse matriser. Identiser første kolonne som ikke bare er -er 2. Bytt rader om nødvendig, så det ikke er øverst i den kolonnen 3. Øverste element i den kolonnen er nå pivot. Sørg for å få bare -er under den (radopperasjoner) 4. Når pivoten er alene i sin kolonne, marker ut dens rad og kolonne, og jobb videre med resten, som i trinn 5. Når trinn 4 er utslitt, er matrisa på trappeform. Nå skal vi eliminere over pivotene, og begynner lengst til høyre, nederst. 6. Få delt radene på verdiene i pivotene. 7. Matrisa er nå på redusert trappeform. Les av Ligningssystemer Anne og Berit er 8 år til sammen () Anne er dobbelt så gammel som Berit (2) Hvor gamle er de? : x + y = 8 x + y = 8 Skriver om 2 : x = 2y x 2y = Skal løse formelt. Viser først tillate operasjoner. Bytte [ Ligninger ] Matriseversjon x + y = 8 8 x + 2y = bytter [ ] x + 2y = x + y = 8 Gange en ligning [ med et tall ] x + y = x + 2y = 2 [ ganger ] 3x + 3y = x + 2y = Legge til et multippel [ av en ligning til ] en annen x + y = 8 x + 2y = +3 Legger til 3 ligning til ligning # : x + y = 8 3 # : 3x + 3y = 54 2 #2 + 3 # : +3 8 (x 2y) + (3x + 3y) = + 54 = 4 54 [ 4x + ] y = 54 x + y = 8 8 4x + y =

9 Løser Eksempelet som Matrise: ( ) 8 [ ] = 3 8 [ ] ( ) [ ] + ( ) + ( ) 8 + ( ) 6 2 = 6 6 Leser av ved å legge til x`er, y`er, +/- og = x + y = 2 x + y = 6 x = 2 y = Den inverse til en matrise A x = b har løsning x = A b TEOREM: A har en invers A hviss A er en n n matrise og har pivot i alle rader og i alle kolonner. Da nner vi A ved å sette opp augmentert matrise [ A. I] og da nner vi A når den er på redusert trappeform I. A Ex: 2 A = og 5 b = Finn A, og bruk A til å løse A x = b A. I = , A 2 = 2. 3 ( 2 ) x = A b = [ ] =

10 2.3 Determinant ved kofaktorekspansjon, 5 Kofaktorekspansjon av langs 3. kolonne: 4 8 9, ( ) ( ) 4 8, ( ) 2+3, , ( ) 3+3, = ( ) 8 = 88 = ( ) 2 6 = 2 = 9 = 9 ( 88) + ( 2) + 9 = 9 ( ( ) +3 rad+kolonne3 ) 2.4 Cramer`s rule M x = b har, hvis M, løsningen: A k ( b) Da får vi: x k = A 3 6 A = 2 2 b = A = 2 2 = ( 3) ( 2) ( 2) 2 2 ( 3) = A ( 6 6 b ) = (bytter kolonne med b ) = 6 ( 2) ( 9) 2 6 ( 2) ( 9) = 36 A 2 ( b ) = 9 2 (bytter kolonne 2 med b) = = 63(ferdig summert) 6 6 A 3 ( b ) = 2 9 (bytter kolonne 3 med b) = = x = x 2 = x 3 = A ( b ) A A 2 ( b ) A A 3 ( b ) A = 36 8 = 2 = 63 8 = 3 2 = x = = 8 8 = 2 3 2

11 2.5 Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Metode: Partikulær løsning. Skriv opp Dif. ligningen Ly = f(t) 2. Finn løsningen av Ly = f(t) [tilhørende homogene] y, y 2, y c = c y + c 2 y Finn y p a) Finn y y n W =.. y (n ) y n (n ) b) Finn y b yn Wk ( b) =..., b =. som i Cramer s rule.. f(t) kolonne k c) y p = y W ( b) dt + y 2 W 2 ( b) dt + + y n W n ( b) dt W W W 4. y = y p + y c Snarvei for y P hvis di.ligningen er av 2. orden: y P = y y 2 f(t) dt + y 2 y f(t) dt W W y y 2 W = y y 2 W er Wronski determinanten. 2.6 Gram-Schmidt Gram-Schmidt er en prossess for å omvandle en vilkårlig basis B = { x,, x n } til en ortogonal basis B = { v,, v n } også til slutt en ortonormal basis B = { u,, u n }

12 TEOREM: Anta at { x,, x n } er en basis for et underrom W av R n.sett W k = Span { x,, x k } for k n Def: v = x 2 v 2 = x 2 P roj W ( x 2 ) = x 2 x 2 v v v v v 3 = x 3 P roj W2 ( x 3 ) P roj W ( x 3 ). = x 3 x 3 v v v v x 3 v 2 v 2 v 2 v 2 v n = x n P roj Wn ( x n ) P roj W ( x n ) = x n x n v v x n v n v n v v v n v n Da er { v,, v k } en ortogonal basis for W k for alle k n. For å nne B (ortonormal) bruker du u = u 2 =. u n = v v v 2 v 2 v n v n 3 Lineær DL y + p(t)y = q(t) ; y(a) = b HVIS du har a(t)y + b(t)y = c(t), del da på a(t) først: y + b(t) c(t) a(t) = p(t); y + a(t) = q(t) SÅ ikke bruk b(t) som p(t) i formel 3. Generell Fremgangsmetode.a(t)y + b(t)y = c(t) deler på a(t).y + p(t)y = q(t) p(t)dt 2.Mellomregning: Finner integrerende faktor: ˆ µ(t) = e Det ne med µ(t) er at µ (t) = e p(t)dt } {{ } p(t)dt } {{ } µ(t) p(t) 3.Ganger uttrykket i () med µ(t): µ(t) y + µ(t) p(t)y = q(t) µ(t) 4.Gjenkjenner at µ(t) p(t) = µ (t) µ(t) y (t) + µ (t) y(t) = q(t) µ(t) } {{ } 5.Gjenkjenner produktregel (uv) = u v + u v (µ(t) y(t)) = q(t) µ(t) 2

13 6.Integrerer µ(t) y(t) = q(t) µ(t)dt + C y(t) = [ µ(t) q(t)dt + C ] [e ] µ(t) = p(t)dt p(t)dt q(t)dt + C e 2 µ(t) = e t dt = e 2 ln t = e ln t 2 = (e ln t ) 2 = t 2 Trikset er å få e og ln rett på hverandre, så de kansellerer etter regelen e ln x = x FEIL: e 2 ln t = 2t 3.2 Separabel DL Def: En separabel DL er en ligning som kan skrives på formen N(y) y = M(t) Løsning: N(y) dy dt = M(t) N(y)dy = M(t)dt N(y)dy = M(t)dt løs for y 3.3 Bernoulli Def: Er på formen, eller kan skrives om til y + p(t)y = q(t)y n n er et heltall. Løsning:. Skriv opp ligningen på formen y + p(t)y = q(t)y n. Variabelskifte v = y n gir ny ligning v + ( n) p (t) v = ( n) q (t) som er lineær. 2. Løs den nye DL: nn v (t) 3. y = v n 4. (Evt) Sett inn for startverdi betingelse y () = a 3.4 Eksakt DL En eksakt DL er en ligning som kommer fra en funksjon H (t, y) slik: d H (t, y (t)) H (t, y (t)) dy (t) H (t, y (t)) = + dt t y dt Når vi ser en kandidat, så vet vi ikke med en gang om den er eksakt. Det må vi teste for. Kandidatene ser slik ut: M (t, y) + N (t, y) y = Da er de eksakte hvis det nå ns en H slik at H H = Mog t y = N Det vi da må gjøre, er M H = t = 2 H y y. Sjekk om den er eksakt, ved å se om M y = N t 2. Hvis eksakt: LØSE ved antiderivasjon. fordi N t = H y t y t = 2 H t y 3

14 4 Lineær transformasjon En matrisetransformasjon T av en vektor ver hva vi får når vi ganger med en matrise A: T : v A v eventuel skrivemåte: T ( v) = A v En lineær transformasjon T er en vektor-transformasjon som er lineær, Altså: T (k v) = k T ( v) T ( u + v) = T ( u) + T ( v) Vi sier at T : R n R m har domene R n kodomene R m Ofte illustrerer vi T slik: 4

15 TEOREM: Enhver lineærtransformasjon T er også en matrisetransformasjon for en matrise A; matrisa A kalles standardmatrisa [ til T, og vi har at] A = T ( e ). T ( e 2 ).. T ( e n ) e =., e 2 =., e n =.... e står for enhetsvektor [ ] A = T ( e ). T ( e 2 ) = byggfagstudenter [ ] A = T ( e ). T ( e 2 ) = () 2 Hvis vi nå vil nne rotasjonen av mot klokka, så ganger vi med A: T = = Surjektiv og injektiv Surjektiv: T (domenet) dekker hele kodomenet Surjektiv når: Projeksjon: R 2 R 3 Rotasjon: R 2 R 2 Injektiv: Hvis x y, så er T ( x) T ( y) Injektiv når: R 3 R 2 Embedding: R 2 R 2 5

16 4.2 Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering For alle matriser A nnes det spesielle vektorer v slik at A v = λ v for en konstant λ. A forandrer bare lengden på v, ikke retningen. Def: λ er en egenverdi tilhørende A v er en egenvektor tilhørende λ (og A) For disse spesielle vektorene er da (f.x.) A v = A 99 (A v) = A 99 (λ v) = = λ v HOW-TO? i) Hvis vi har v: Finne λ ii) Hvis vi har λ: Finne alle v tillhørende λ iii) Hvis vi har A: Finne (alle) λ, og deres v i) Finner λ gjennom et eksempel A = 2 6, v = Her er A v = λ v: Finn λ! SVAR: A v = ? 6 = 2? =? ( 2) = 4 ii) Gitt λ, nne v METODE: = =? 4 Alle gir? = 2 så λ = 2. Skriv opp matrisen A og egenverdien λ 2. Finn A λi 2 Dette gjør du ved å subtrahere fra diagonalen på A 3. Løs (A λi) x = Skriv løsningen x = s v k + + s m v km 4. Egenvektorene er da alle disse vektorene x som kan skrives som over, span { v k v km } Det vi skriver ned er Egenvektorene til λ (utspennes av) v k v km 6

17 iii) Gitt A: Finn λ og deres v-er METODE:. Finn A sine λ 2. Steg ii over: Finn v tillhørende λ Hvilke λ har slike v er? Jo, det er de som har ere enn løsning, altså frie variable, til ligningen (A λi) x = Vi husker at en kvadratisk matrise B har frie variable hvis B =. Så metoden går ut på å nne λ slik at A λi = Def p (λ) = A λi kalles det karakteristiske polynomet til A Løsningen til p (λ) = er egenverdien til A Diagonaliseringen av en matrise A er dekomposisjonen A = P D P der ] P = [ v, v,2 v 2, v 2,2 v m,k λ λ D = λ 2 λ λ m Det greie med den er at f(a) = P f(d) P A n = P D n P 5 Integralregning 5. Multiple Integraler Generelt: Ved multiple integraler er alle andre variable en den som integreres der å da å regne som konstante. 5.. Doble Integraler f(x, y)da skriver vi om til f(x, y)dydx Kan også skrives om til f(x, y)dxdy der dette gir ett nere uttrykk. Svaret blir det samme. dx: Vi behandler y som en konstant. Substitusjon: f (x, y) dxdy = f (x (u, v), y (u, v)) J (u, v) dudv x u x v J (u, v) =, J u x u y (x, y) =, J (u, v) J (x, y) = y u y v v x v y 7

18 5..2 Trippel Integraler f(x, y, z)dv skriver vi om til f(x, y, z)dzdydx Substitusjon: f(x, y, z)dxdydz = f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw x u x v x w u x u y u z J (u, v, w) = y u y v y w, J (x, y, z) = v x v y v z, J (u, v, w) J (x, y, z) = z u z v z w w x w y w z 5.2 Kurveintegraler b Def: W = F (r (t)) dr(t) dt dt, parameteruavhengig notasjon:r dt = dr W = F dr a C Komponentene F = F i + F 2 j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F dx + F 2 dy) = F dx + F 2 dy 5.3 Linjeintegraler Vanlig integral er linjeintegral langs linjesegmenter på x-aksen. á f( r(t))ds = f( r(t)) r (t) dt C b 5.4 Vektor-linjeintegraler Arbeid utført i et vektorfelt C C C C F d r = F T ds = F d r dt dt C C C Hvis C er en lukket kurve, altså at start- og stopp-punkt er identiske, skriver vi integralet slik: F d r Dette kalles sirkulasjonen av F rundt C C TEOREM: Hvis F er et konservativt vektorfelt i et sammenhengende område D, og φ x φ F = φ, φ = (3D) eller x (2D) φ y φ z Så er. F d r = for alle lukkede kurver C C 2. F d r = φ(p ) φ(p ) hvis C starter i P og slutter i (P ) C 5.5 Overaten til en graf φ y I dimensjon / R L-lengden fra a til b på en graf er gitt ved: b + (f (x)) 2 dx a 8

19 I 2 dimensjoner / R 2 Arealet til grafen over området R er + (fx ) 2 + (f y ) 2 da 6 Parametrisering av kurver 6. Posisjon, fart og akselerasjon Generelt: x = x, x 2,, x n x = x = x + x x n Posisjon: r(t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = Fart: v(t) = r (t) = r (t), r 2(t), r 3(t) = r (t) r 2 (t) r 3 (t) r (t) r 2(t) r 3(t) Akselerasjon: a(t) = v (t) = r (t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = Jerk: j(t) = a (t) = v (t) = r (t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = r (t) r 2 (t) r 3 (t) r (t) r 2 (t) r 3 (t) 6.2 Kryssprodukt a b Buelengde Buelengde for t er fra t = a til t = b: b b b S = v(t)dt = v(t) dt = (r (t)) (r n(t)) 2 dt a a a 9

20 6.4 Tangentialvektor Enhets tangentialvektor er gitt ved: T = v v 6.5 Binormalvektor Enhets binormalvektor er gitt ved: B = v a v a = T N 6.6 Normalvektor Enhets normalvektor er gitt ved: N = B T 6.7 Kurvatur v a Enhets kurvatur er gitt ved κ = 6.8 Svingradius Enhets svingradius er gitt ved ρ = κ v Torsjon Enhets torsjon er gitt ved τ = N B t v = ( v a) j v a 2 6. Akselerasjonskomponenter Akselerasjonskomponent er gitt ved a = a T T + ann, at = v, a N = κ v 2 2

21 7 Vektorfelt f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 7. Denisjon f u = D u f = u f der f =< f x, f y >kalles gradienten til f. 7.2 Vektorfelt x =< x, x 2,, x n > Gradient: f =< f x, f x2,, f xn >=< f x, f x 2,, f x n > Divergens: divf = F = x, y, z [F, F 2, F 3 ] = F x + F2 y Curl: curlf i j k = F = x, y, z [M, N, P ] = x y z = F F 2 F 3 D u f = u f + F3 z [ F 3 y F2 z, F z F3 x, F2 x ] + F y 7.3 Maks retningsderivert D u f = u f = u f cosθ, der θ er vinkelen mellom u og f Maks retningsderivert: cosθ =, dvs θ =, altså når u f, altså u = f f Null retningsderivert: cosθ =, θ = ±9 2

22 7.4 Konservative felt Et konservativt vektorfelt kan tenkes på som et felt der vektorene er krefter, og arbeid er kun avhengig av endring av posisjon. Vektorfelt: R 2 R 2 : F F (x, y) (x, y) = F (x, y)i + F 2 (x, y)j = F 2 (x, y) F (x, y, z) R 3 R 3 : F (x, y, z) = F 2 (x, y, z) F er konservativ hvis R 2 R 2 : F y R 3 R 3 : F y = F2 x = F2 x F 3 (x, y, z) F og z = F3 x F2 og z = F3 y Eksakt krav for at F er konservativ er at det nnes en skalarfunksjon φr n R, φ = F Kravet for R 2 R 2 : F = F y = F2 x φ x φ y φx betyr y = φy, x φ xy = φ yx Φ = F dx + C (y, z,...)φ = udy + C (z,...) C (y, z,...) = (F 2 Φ y ) dy + C (z,...) 22

23 Metode Eksempel xy. Skriv ned F. F =. Undersøk om F er konservativ. F sin z 2 x2 ey z e y z x cos z = F F 2 F 3 y = x F z = cos z F 2 x = x F 2 z F 3 x = cos z F 3 y V er konservativ b. Hvis IKKE konservativ: Da vet vi at Φ = Φ x Φ y = ey z 2 = ey z 2 = F F 2 = F STOPP! Da må vi nne Φ Φ z F 3 2. Φ x = F Φ = Φ x dx + C (x, y) = Φ + C (x, y) 2. Φ x Φ = F = xy sin z = (xy sin z) dx = 2 x2 y x sin z +C (x, y) } {{ } Φ 3. y Φ = Φ y = F 2, så y ( Φ + C (x, y) ) = F2 y C (x, y) = F 2 Φ y C (x, y) = F Φdy 2 y + C (z) så Φ = Φ + C (x, y) Φ = Φ + F 2 y Φdy + C (z) Φ = Φ + C (z) 3. Φ y = F 2 = 2 x2 ey z y C (x, y) = ( 2 x2 ey z = 2 x2 ey z 2 x2 = ey z ) ( y 2 x2 y x sin z ) C (x, y) = ey z dy + C (z) = ey z + C (z) så Φ = 2 x2 y x sin z ey +C (z) } {{ z } Φ 4. z Φ = Φ z = F ) 3, så z ( Φ + C (z) = F 3 z C (z) = F 3 z Φ så C (z) = F 3 z Φ z dz + C 4. Φ z = F 3 = ey x cos z z 2 z C (z) = ( e y z 2 = ( e y z 2 så x cos z ) z x cos z ) ( ) x cos z + ey z = 2 C (z) = dz + C = C ( 2 x2 y x sin z ey z ) 5. Da er Φ = Φ + F3 z Φ z dz + C 5. Da er Φ = 2 x2 y x sin z ey z + C 23

24 8 Parametrisering av en rett linje Enkleste parametrisering starter på t = og slutter på t = Altså: Start: x =, y 2 = Slutt: x 2 =, y = [ ] + t( ) r(t) = = + t( ) t 9 Partiell derivasjon Førstegrad partiell derivert f Vi har følgde: x, f y, f z r(t) = r + t ( r 2 r ) [ ] x x 2 x x + t(x 2 x ) = + t = y y 2 y y + t(y 2 y ) Skrivemåter: f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 9. Andregrad partiell derivert Vi har følgende: 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f z 2, 2 f xy = 2 f yx 9.2 -variabel kjerneregel d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) variabel kjerneregel(m/ undervariabel) z = z(x, y) og x = x(t), y = y(t) dz dt = z dx x dt + z dy y dt variabel kjerneregel(m/2 undervariabler) z = z(x, y) og x = x(s, t), y = y(s, t) z t = z x x t + z y y t z s = z x x s + z y y s 24

25 9.4. Matriseversjonen ( ) ( ) = z s z t z x z y x s y s x t y t Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler z = z(x, x 2,..., x n ) og x = x (t,..., t m ),...x n = x n (t,..., t m ) ( z t... ) (... z t m = z x z x n ) x t x t m.... x n t xn t m 9.5 Normalvektor til en ate Normalvektor n til en ate denert av f(x,y) er gitt av: n = f x (x, y ) f y (x, y ) 9.6 Tangentplan Ligningen for tangentplanet til funksjonen f i (x, y ) er gitt av: z = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) Logikk Sannhetstabeller Lag liste over de grunnleggende sanhetstabellene, f.x. p q p q T T T T F T osv.,,,, F T T F F F 25

26 Ex: Lager sannhetstabell for ((p q) (q r)) r p q r p q q r (p q) (q r) r hele T T T T T T T T T T F T F T F F T F T F T T T T T F F F T T F F F T T F T T T T F T F F F F F T F F T T T T T T F F F T T T F F Ex: Har sannhetstabell p q p q T T F T F T F T T F F T. Bevis og Induksjon Bevisstruktur p p 2. p n Premisser q -Konklusjon er et bevis dersom (p p 2 p n ) q er en tautologi. En tautologi er en påstand som altid er sann, uansett sannhetsverdien til de atomære utsagnene..2 Relasjoner på samme mengde og digrafer R er en relasjon mellom A og A R A A = {(x, y) x, y A} Ex: A = {, 2, 3, 4} R = {(, ), (, 2), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, )} Tegn digrafen til R :.Tegn opp hvert element med en sirkel Svar/metode: 2.Hvis (x, y) R, så tegn en pil fra x til y 26

27 Vi kan også gå motsatt vei. Fra digraf til relasjon (liste). En relasjon R på en mengde A (egentlig A A) er: reeksiv hvis (a, a) R for alle a A symmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) R asymmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) / R antisymmetrisk hvis (x, y) R og (y, x) R betyr x = y transitiv hvis (x, y) R og (y, z) R betyr (x, z) R sammenhengende hvis den er symmetrisk, og det ns en sti mellom hvert par av elementer a, b A Ekvivalensrelasjon: R er en ekvivalensrelasjon hvis den er symmetrisk, (reeksiv) og transitiv Reeksiv er i parantes siden den følger fra symmetrisk + transitiv Symmetrisk:(x, y) R (y, x) R Transitiv:(x, y) R og (y, z) R (x, z) R Reeksiv:(x, yx) R Illustrasjon av en ekvivalensrelasjon: Ekvivalensrelasjoner skaper partisjoner av A, altså deler inn A i grupper, såkalte ekvivalentklasser [x] R = {y A xry}.3 Surjektiv,Injektiv,Bijektiv f : A B f er surjektiv hvis f(a) = B sin(x) er ikke surjektiv for f : R R x 3 er surjektiv for f : R R Er Surjektiv Er ikke Surjektiv 27

28 Røtter Generelt for n-røtter: z = p e iθ p n e i θ n.rot n p n e i( θ n + 2 n π) 2.rot z = p n e i( θ n + 2(k ) n π) k.rot p n e i( θ n + 2(n ) n π (n-).rot Full gang på en n-rots oppgave:. z = a + ib 2. z = p e iθ (Kartesisk Polar,) 3. n z = (formel) 4. n z = konverter til c + id form c = r cos(θ), d = r sin(θ) 2 Binær 2. Info-Boks, helt generelt Disse av/på boksene, som går på ved t = a, og av ved t = b har formel u(t a) } {{ } ( u(t b)) } {{ } = u(t a) u(t a) u(t b) Slår på Slår av = u(t a) u(t b) ved t = a ved t = b Binær Gangetabell: TEOREM: Hvis vi har en funksjon g(t) som er O utenfor intervallet [O, p], og lager en periodisk utvidelse med periode p f(t) = g(t) + g(t p) + g(t 2p) +... så er L {f(t)} = e L {g(t)} ps Notat: Denne formelen gjelder også for vilkårlige g(t) om f(t) = g(t) + g(t p) +..., men f er da ikke periodisk 28

29 3 Linjer og Plan 3. Likning For en linje: En rett linje i rommet er gitt ved r(t) = p + t v, hvor V er en retning (vektor) for et plan: Normalvektor n = [A, B, C] kommer fra kryssproduktet til to uavhengige vektorer u og v som ligger i planet n = [ u v] Finne u og v fra tre punkter i planet P, P, P 2 u = [P P ], v = [P 2 P ] Punkt i planet (x, y, z ) A(x x) + B(y y) + C(z z) = = Ax + By + Cz = D 3.2 Avstander Fra punkt til plan Plan : Ax + By + Cz = D (med n-vektor [A, B, C] ) Punkt P: (x, y, z) Ax + By + Cz D Avstand = d = (A2 +B 2 +C 2 ) 29

30 Fra punkt til linje Punkt P : (x, y, z) Linje l : p + t v (p p ) v Avstand = d = v 3.3 Snitt P har normalvektor = n = A, B, C P2 har normalvektor = n 2 = A 2, B 2, C 2 Snittet, l : p + t v v = n n 2 P er en løsning av ligning systemet A + B + C = D(P ) A2 + B2 + C2 = D2(P 2) Mellom to linjer l : p + t v l 2 : p 2 + t v 2 Avstand = d = (p p ) ( v v 2 ) v v Koordinatsystemer Kartesisk: dv = dxdydz Sylindrisk: dv = drdθdz Sfærisk: dv = ρ 2 sin φdρdφdθ 3.4. Omregninger 2D Kartesiske koordinater [x, y) x = r cos θ y = r sin θ x 2 + y 2 = r 2 Polar (r, θ) 3

31 Kartesisk Polar [x,y] (r,θ) r = x 2 + y 2 tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π 2 x =, y > 3π 2 x =, y < Omregninger 3D Kartesiske koordinater [x, y, z) Sylinderiske koordinater (r, θ, z) Sfæriske koordinater (ρ, φ, θ) x = r cos θ Kartesisk sylindrisk y = r sin θ z = z (ρ, φ, θ) [x, y, z] x = ρ sin(φ) cos(θ) Sfærisk Kartesisk y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) r = ρ sin φ Sfærisk Sylindrisk θ = θ z = ρ cos φ (r, θ) [x, y] Polar Kartesisk x = r cos(θ) y = r sin(θ) 3

32 Kartesisk Sfærisk π [x, y, z] (ρ, φ, θ) ρ = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 z = ( ) tan φ = x2 + y 2 z > z ( ) tan x2 + y 2 + π z < z tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π 2 x =, y > 3π 2 x =, y < 4 Bjelker og fagverk Moment: M = rba P cos θ M = r BA sin θ cos θ M = (r BA P ) sin θ M = (r BA P ) P sin(θ 2 θ ) cos θ 2 sin θ 2 cos θ 2 sin θ 2 = (r BA P ) cos θ cos θ 2 cos θ r BA sin θ P sin θ 2 + r CA sin θ P 2 (sin θ 2 cos θ ) (sin θ cos θ 2 ) ΣM = cos θ 2 sin θ 2 = A [ ] cos θ cos θ 2 cos θ 3 + B + P = sin θ sin θ 2 sin θ 3 A x B x P x A + + = A y B y P y Σ F = 32

33 4. Fagverk Ytre krefter: Σ M = Σ F = Knutepunkt A ΣF = Knutepunkt B [ ] cos θ cos θ 2 + S + S 2 = sin θ sin θ 2 S cos θ + S 2 cos θ 2 A x = S sin θ + S 2 sin θ 2 A y (Til Fagverkmatrise) A x A y [ cos θ cos θ 2 + S + S 3 + S 4 B y sin θ sin θ [ 2 S cos θ + S 3 cos θ 2 + S 4 cos θ 3 S sin θ + S 3 sin θ 2 + S 4 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) ] cos θ 3 = sin θ 3 ] = B y ΣF = Knutepunkt C ΣF = Knutepunkt D cos θ cos θ 2 cos θ 3 S 2 + S 3 + S 5 = sin θ sin θ 2 sin θ 3 S2 cos θ + S 3 cos θ 2 + S 5 cos θ 3 = S 2 sin θ + S 3 sin θ 2 + S 5 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) cos θ cos θ 2 cos θ 3 P + S 5 + S 4 = sin θ sin θ 2 sin θ 3 S5 cos θ 2 + S 4 cos θ 3 P cos θ = S 5 sin θ 2 + S 4 sin θ 3 P sin θ (Til Fagverkmatrise) Σ F = 33

34 4.2 Fagmatrise 5 Fourier Fourier-rekken til f(x) i intervallet [ L, L] er: a 2 + a n cos nπ L x + b n sin nπ L x a n = L b n = L n= Ĺ L Ĺ L n= f(x)cos( nπ x)dx; n =,, 2, 3, 4,... L f(x)sin( nπ x)dx;, 2, 3, 4,... L Ved symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ da er Fourier-rekka i ( L, L) lik cos-rekke i (, L) a n = 2 L L Ĺ f(x)dx = 2 f(x)dx Ĺ Ved anti-symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ f(x)dx = da er Fourier-rekka i ( L, L) lik sin-rekke i (, L) a n =, b n = 2 L 5. Enkel gangetabell Symetrisk A Symetrisk Symetrisk Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk Symetrisk 5.2 Varmeligningen L f(x) cos( nπ L x)dx, b n = Ĺ f(x) sin( nπ L x)dx u t = k u xx TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid treer grader. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder 2. u(, x) = f(x) [startbetingelse] 3. u(t, ) = u(t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningen u(t, x) = sin( nπ L x)dx n= nπ k( b n e L )2 t sin( nπ L x) der b n er sinus-koesientene til f(x) i [, L]. b n = 2 L Ĺ f(x) 34

35 TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid er isolert, og verken tar eller gir fra seg varme. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder 2. u(,x)=f(x) [startbetingelse] 3. u x (t, ) = u x (t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningenu(t, x) = a 2 + nπ k( a n e L )2 t cos( nπ L x)dera n er cos-koesientene til f(x) i [, L]. a n = 2 Ĺ L f(x) cos( nπ L x)dx n= 5.3 Nyttige integraler (Fourier-rekker). tsin(at)dt = sin(at) a 2 2. tcos(at)dt = cos(at) a 2 tcos(at) a + tsin(at) a + C + C 3. t n sin(at)dt = tn cos(at)+n t n cos(at)dt a 4. t n cos(at)dt = tn sin(at) n t n sin(at)dt a 5. sin 2 (at)dt = t 2 sin(2at) 4a + C 6. cos 2 (at)dt = t 2 + sin(2at) 4a + C 7. sin(at)cos(at)dt = cos2 (at) 2a + C 8. e at sin(bt)dt = eat (asin(bt) bcos(bt)) a 2 +b 2 9. e at cos(bt)dt = eat (acos(bt)+bsin(bt)) a 2 +b 2. sin(at)sin(bt)dt = sin((a b)t) 2(a b). cos(at)cos(bt)dt = sin((a b)t) 2(a b) 2. sin(at)cos(bt)dt = cos((a b)t) 2(a b) + C + C sin((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b 2 + sin((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b 2 cos((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b Trigonometriske verdier cos(nπ) = ( ) n sin(nπ) = cos((n + 2 )π) = for n {..., 3, 2,,,, 2, 3,...} sin((n + 2 )π) = ( )n 5.5 Løsningene til varmeligningen er på formen e kλ2 t sin(λx) e kλ2 t cos(λx) Den tidsderiverte av varmefunksjonen u(t, x) er lik en konstant gange dobbelt tidsderiverte av varmefunksjonen. Hvis vi har at: u t = 3u xx Skal vi se at e 3 52t sin(5x) er en løsning. u(t, x) = e 75t sin(5x) u t = 75e 75t sin(5x) u x = e 75t 5 cos(5x) u xx = e 75t 5 5 (-sin(5x)) = 25e 75t sin(5x) 3u xx = 75e 75t sin(5x) u t = 3u xx 35

36 6 Transformasjon 6. Generel regel Får du nevner på formen As 2 + Bs + C setter du dette = r Hvis As 2 as+b + Bs + C = har røtter s = så er: As r 2 +Bs+C = as+b (delbrøksoppspalting) A(s r )(s r 2) 2 r = α + iβ Hvis røttene er komplekse s = må vi skive om polynomet As 2 + Bs + C = A((s α) 2 + β 2 ) r 2 = α iβ 6.2 Konvolusjon Egenskap: L{f g} = L{f} L{g} Def. konvolusjon: (f g)(t) = f(τ) g(t τ)dτ = f(t τ) g(τ)dτ En alternativ (enkel) metode ( for å løse konvolusjon ) er å bruke Fourier transformasjon: f g = F {F {f} F {g}} = (F ) {F {f}} F {g} F {g} = F {g } 6.3 Fourier-transformasjon Tabeller f (t) F (ω) f (t) F (ω) = f (t) e jωt dt f (t) = F (ω) e jωt dω 2π F (ω) f (t) F (ω) e at u (t) a > a+jω 2 e at u ( t) a > a jω 3 e a t 2a a > a 2 +ω 2 4 te at u (t) a > (a+jω) 2 5 t n e at n! u (t) (a+jω) n+ a > 6 δ (t) 7 2πδ (ω) 8 e jω t 2πδ (ω ω ) 9 cos ω t π [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] sin ω t jπ [δ (ω ω ) δ (ω + ω )] u (t) πδ (ω) + jω 2 u (t) cos ω t π 2 [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] + jω ω 2 ω2 3 u (t) sin ω t π 2j ) δ (ω + ω )] ω 2 4 u (t) e at cos ω t a+jω 5 u (t) e at sin ω t (a+jω) 2 +ω 2 ω (a+jω) 2 +ω 2 ω 2 ω2 a > a > 36

37 6.3. Fourier-tranformasjon Opperasjoner Opperasjon f (t) F (ω) Addisjon f (t) + f 2 (t) F (ω) + F 2 (ω) Skalar Multiplisering kf (t) kf (ω) Symmetri F (t) 2πf ( ω) Skalering f (at) a F ( ω a Tidsskifte f (t t ) F (ω) e jωt Frekvensskifte f (t) e jω t F (ω ω ) Tidskonvolusjon f (t) f 2 (t) F (ω) F 2 (ω) Frekvenskonvolusjon f (t) f 2 (t) F (ω) F 2 (ω) Tidsdierensiering d n f dt n (jω) n F (ω) Tidsintegrasjon f (x) dx F (ω) jω 6.4 Parallellforskyvning ) + πf () δ (ω) 37

38 7 Laplace-transformasjon Tabeller f(t) = L {F (s)} = f(t) F (s) f(t) F (s) = L{f(t)} = e st f(t)dt c+i 2πi c i af(t) + bg(t) t f e st F (s)ds F (s) af (s) + bg(s) sf (s) f() f s 2 F (s) sf() f () f n s n F (s) s (n ) f() f n () f(τ)dτ s F (s) t verden s verden s verden t verden s s 2 e at 3 2 t/π 4 t n n! 5 t n e s a 2 s 3/2 3 s n+ 4 at n! (s a) n+ 5 6 sinωt ω 7 cosωt s 8 e at sin ωt ω 9 e at cos ωt s a s 2 +ω 2 6 s 2 +ω 2 7 (s a) 2 +ω 2 8 (s a) 2 +ω 2 9 t r Γ(r+) s r+ t r e at Γ(r+) (s a) r+t e at s a 2 t/π s 3/2 s n (n )! tn (s a) n (s a)(s b) s (s a)(s b) sin ωt s 2 +ω 2 ω s cosωt s 2 +ω 2 (s a) 2 +ω 2 s a e at cos ωt (s a) 2 +ω 2 s 2 (s 2 +ω 2 ) s(s 2 +ω 2 ) (s 2 +ω 2 ) 2 s t sin ωt (s 2 +ω 2 ) 2 2ω s 2 (s 2 +ω 2 ) 2 2ω (n )! (tn e at ) a b (eat e bt ) a b (aeat be bt ) ω eat sin ωt s 2 t cos ωt 2 ω 2 2 (ωt sin ωt) (s 2 +ω 2 ) 2 ω 3 2ωs 3 t sin ωt 3 ( cos ωt) (s 2 +ω 2 ) 2 ω 2 4 t n Im(n!(s ik) sin kt ) (s 2 +k 2 ) n+ 4 (sin ωt ωt cos ωt) 2ω 3 5 t n Re(n!(s+ik) cos kt ) (s 2 +k 2 ) n+ 5 6 sinh t 6 (sin ωt + ωt cos ωt) s 2 s s 7 cosh t 7 (cos at-cos bt) s 2 (s 2 +a 2 )(s 2 +b 2 ) b 2 a 2 8 u (t a) s e as 8 s e as u (t a) 9 δ (t a) e as 9 e as δ (t a) 2 (sinh kt -sin kt) s 4 +k 4 2k 3 s 2 (cosh kt cos kt) s 4 k 4 2k 2 22 (sin kt cosh kt cos kt sinh kt) s 4 +4k 4 4k 3 38

39 8 Kjeglesnitt Def: Det er tre hovedtyper kjeglesnitt. Ellipse, parabel og hyperbel. Sirkel kan sees på som et fjerde type eller et spesialtilfelle av ellipsen. Kjeglesnitt representeres av en 2.ordens ligning. Alle kjeglesnitt representeres ved de kartesiske koordinatene i x og y i snittplanet ved Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =, hvor A, B,..., F er konstante. Kjeglesnitt beskrives av formelen: B 2 4AC Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = Parabel kjennes på ligningen: B 2 4AC = y + k (x x ) 2 = y ( Ellipse kjennes på ligningen: B 2 4AC < x xo ) 2 ( a + y y ) 2 b = Sirkel kjennes på ligningen: A = C og B = (x x ) 2 + (y y ) 2 = R 2 ( Hyperbell kjennes på ligningen: B 2 4AC > x xo ) 2 ( a y y ) 2 b = 39

40 8. Parabel Fokus (F ) Retning (Directrix) Ligning (P, ) x = P y 2 = 4ax ( P, ) x = P y 2 = 4ax (, P ) y = P x 2 = 4ay (, P ) y = P x 2 = 4ay Eksentrisitet: ε = P F P Q = y = 4P x2 8.2 Ellipse s + s 2 = 2a Eksentrisitet: c = a 2 b 2 ε = P F P Q = c a < x 2 a + y2 2 b = 2 4

41 8.3 Hyperbell P F P F 2 = ±2a Eksentrisitet: ε = P F P Q = c a > c = a 2 + b 2 x 2 a y2 2 b = Kvadratiske Flater Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = x Ellipsoide: 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 2 x Elliptisk kjegle: 2 a + y2 2 b = z2 2 c 2 Elliptisk sylinder om y-aksen: x 2 a 2 Elliptisk paraboloide: x 2 a 2 Kule: x 2 a 2 Hyperboloide med en ate: x 2 a 2 Hyperboloide med to ater: x 2 a 2 Hyperboloidisk paraboloide: x 2 a 2 + z2 b = 2 = z + y2 b 2 + y2 a 2 + y2 b 2 + y2 b 2 y2 b 2 + z2 z2 a 2 = c = 2 = z2 c 2 = z 4

42 9 Appendix-Matriser på Casio 42

43 43

44 2 Appendix-Matriser på TI 44

45 45

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag Matte 3 (HiB) Tommy Odland 5. mai 2016 Sammendrag Dette heftet inneholder en rask oppsummering av Matte 3 (HiB), også kalt multivariabel kalkulus. Formålet er å gi studentene litt intuisjon rundt emnene.

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX - 8. desember 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MEK1100 Differensiallikninger Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning i formel 3-4 spesielle

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

LO118D Forelesning 5 (DM)

LO118D Forelesning 5 (DM) LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en

Detaljer

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k.

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 3 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA65 -.6.7 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

Definisjoner og løsning i formel

Definisjoner og løsning i formel Differensiallikninger Definisjoner og løsning i formel Forelesning uke 45, 2006 MAT-INF1100 Difflik. p. 1 Differensiallikninger Struktur i presentasjonen Lysarkene gjennomgår hovedpunkter fra Kalkulus

Detaljer

Maxwell s ligninger og elektromagnetiske bølger

Maxwell s ligninger og elektromagnetiske bølger Maxwell s ligninger og elektromagnetiske bølger I forelesningene og i læreboken er Coulombs lov for the elektriske felt E formulert på følgende form: v da E = Q/ε 0 (1) Integralet til venstre går over

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

R2 Eksamen høsten 2014 ( )

R2 Eksamen høsten 2014 ( ) R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer