Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Contents. 3 Lineær DL 12 3.1 Generell Fremgangsmetode... 12 3.2 Separabel DL... 13 3.3 Bernoulli... 13 3.4 Eksakt DL... 13"

Transkript

1 Contents Noen greie formler og tabeller 4. Integrasjon og Derivasjon Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Identiteter Viktige Potens-serier Vektorer Skalarprodukt Komplekse Tall Lineær Algebra 7 2. Lineære Ligninger og Ligningssystem Aritmetikk Multiplikasjon med matriser Metode for å løse matriser Ligningssystemer Den inverse til en matrise Determinant ved kofaktorekspansjon Cramer`s rule Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Gram-Schmidt Lineær DL 2 3. Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL Lineær transformasjon 4 4. Surjektiv og injektiv Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering Integralregning 7 5. Multiple Integraler Doble Integraler Trippel Integraler Kurveintegraler Linjeintegraler Vektor-linjeintegraler Overaten til en graf

2 6 Parametrisering av kurver 9 6. Posisjon, fart og akselerasjon Kryssprodukt Buelengde Tangentialvektor Binormalvektor Normalvektor Kurvatur Svingradius Torsjon Akselerasjonskomponenter Vektorfelt 2 7. Denisjon Vektorfelt Maks retningsderivert Konservative felt Parametrisering av en rett linje 24 9 Partiell derivasjon Andregrad partiell derivert variabel kjerneregel variabel kjerneregel(m/ undervariabel) variabel kjerneregel(m/2 undervariabler) Matriseversjonen Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler Normalvektor til en ate Tangentplan Logikk Sannhetstabeller 25. Bevis og Induksjon Relasjoner på samme mengde og digrafer Surjektiv,Injektiv,Bijektiv Røtter 28 2 Binær Info-Boks, helt generelt Linjer og Plan Likning Avstander Snitt Koordinatsystemer

3 3.4. Omregninger 2D Omregninger 3D Bjelker og fagverk Fagverk Fagmatrise Fourier Enkel gangetabell Varmeligningen Nyttige integraler (Fourier-rekker) Trigonometriske verdier Løsningene til varmeligningen er på formen Transformasjon Generel regel Konvolusjon Fourier-transformasjon Tabeller Fourier-tranformasjon Opperasjoner Parallellforskyvning Laplace-transformasjon Tabeller 38 8 Kjeglesnitt Parabel Ellipse Hyperbell Kvadratiske Flater Appendix-Matriser på Casio 42 2 Appendix-Matriser på TI 44

4 Noen greie formler og tabeller. Integrasjon og Derivasjon. y = u v y = u v + u v 2. y = u v y = u v u v v 2 3. (x r ) = r x r 4. x r dx = r+ xr+ + Cifr... x dx = ln x + C 5. a konstant : x 2 + dx = tan (x) 6. u vdt = u v u v dt 7. u e u dt = e u du = e u + C og (e u ) = e u u 8. k konstant: ( e kt) = ke kt, og e kt dt = k ekt + C 9. k konstant: cos(kt) = k sin(kt), og cos(kt) = k sin(kt) + C. k konstant: sin(kt) = k cos(kt), og sin(kt) = k cos(kt) + C. N (µ,σ)(x)dx = f (x) x < a f (x) a < x < a 2. Hvis f(x) =. f n (x) f n (x) a n < x < a n x > a n så er f(x)dx = a f (x)dx + a a f (x)dx + + a n a n f n (x)dx + a n f n (x)dx.2 Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Derivert Funksjon Integrert k kx + C x 2 x2 + C nx n x n x 2 x n+ xn+ + C ln x + C e x e x e x + C ne nx e nx n enx + C cos x sinx cos x + C sin x cos x sin x + C n cos nx sin nx n cos nx + C n sin nx cos nx n sin nx + C 4

5 .3 Identiteter. cos( θ) = cos(θ) 2. sin( θ) = sin(θ) 3. cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 4. Euler (standard): e jθ = cos(θ) + j sin(θ) 5. Euler (derivert): (a) e jθ = cos(θ) j sin(θ) (b) cos(θ) = ejθ +e jθ 2 (c) sin(θ) = ejθ e jθ 2 6. ln (e α ) = α = e ln(α) 7. a b c = ( a b) c 8. a b+c = a b a c 9. a b c = ab a c. a =.4 Viktige Potens-serier. x = x n = + x + x 2 + x x n + for x < n= 2. +x = x + x2 x ( ) n x n + for x < 3. e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + + n! xn + 4. e x = x + 2! x2 3! x3 + + ( )n n! x n + 5. e jx = + jx 2 x2 j jn ( 6x3 + + n! xn ) + ( ) = ( )k 2x2 + + (2k)! x2k + + j x ( )k 6x3 + + (2k+)! x2k + + = cos(x) + j sin(x) 6. cos(x) = 2 x2 + + ( )k (2k)! x2k + 7. sin(x) = x 6 x3 + + ( )k (2k+)! x2k tan (x) = x + x x x 35 + x2 > π 2 /4 5

6 .5 Vektorer v = (x 2 x ) i + (y 2 y ) j + (z 2 z ) k = [x 2 x, y 2 y, z 2 z ] = [v, v 2, v 3 ] Lengden av en vektor: v = v 2 + v2 2 + v2 3 = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 Enhetsvektor: n = v v Addisjon: u + v = [u + v, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ] Skalarmultiplikasjon: k u = [ku, ku 2, ku 3 ] Areal: A = u v u u 2 u 3 Volum: v = ( u v) w = v v 2 v 3 w w 2 w 3 i j k Vektorprodukt: u v = u v sin θ n = u u 2 u 3 = [u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v u v 3, u v 2 u 2 v ] v v 2 v 3 Vinkel mellom to vektorer: cos ( u, v) = u v u v Vinkelrette vektorer u v u v =.6 Skalarprodukt u u = u 2 Omskrivningsloven: u v = v u Fordelingsloven: u ( v + w) = u v + u w For reelle t: (t u) v = u (t v) = t ( u v) u v Skalar projeksjon: v = u cos θ Vektor projeksjon: proj v u = u v v v 2 TEOREM: Hvis θ er vinklen mellom u og v ( θ π) da er u v = u v cos θ = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3.7 Komplekse Tall i = z = a + ib = re iθ Re (z) = a Im (z) = b Komplekskonjugerte til z: z = a + ib = a jb z + z = 2Re (z) z z = 2Im (z) z z = (Re (z)) 2 (Im (z)) 2 Absoluttverdien til z: z = r = a 2 + b 2 6

7 2 Lineær Algebra 2. Lineære Ligninger og Ligningssystem Matrise: Aritmetikk = A A er en 3 5 (dimensjonal) matrise. Rad 2 er [ ] (en vektor) Den andre radvektoren til A 7 Kolonne 4 er 2 - den 4 kolonnevektoren til A Krever matchende dimensjoner Ex: A =, B =, A + B = Regel: To matriser kan kun legges sammen dersom de har samme dimensjoner! 2..2 Multiplikasjon med matriser Matrise gange vektor: v A v = A A v = [ ] = ( ) Matrise gange matrise: k Regel: Krav: l = m l { }} { Ak l matrise m 4 ( ) n { }} { Bm n matrise C Utregning: ] rad r [a r a r2 a rl kolonne s b s b 2s. b ms C rs C rs = a r b s + a r2 b 2s + + a rl b ms m=l 7

8 2..3 Metode for å løse matriser. Identiser første kolonne som ikke bare er -er 2. Bytt rader om nødvendig, så det ikke er øverst i den kolonnen 3. Øverste element i den kolonnen er nå pivot. Sørg for å få bare -er under den (radopperasjoner) 4. Når pivoten er alene i sin kolonne, marker ut dens rad og kolonne, og jobb videre med resten, som i trinn 5. Når trinn 4 er utslitt, er matrisa på trappeform. Nå skal vi eliminere over pivotene, og begynner lengst til høyre, nederst. 6. Få delt radene på verdiene i pivotene. 7. Matrisa er nå på redusert trappeform. Les av Ligningssystemer Anne og Berit er 8 år til sammen () Anne er dobbelt så gammel som Berit (2) Hvor gamle er de? : x + y = 8 x + y = 8 Skriver om 2 : x = 2y x 2y = Skal løse formelt. Viser først tillate operasjoner. Bytte [ Ligninger ] Matriseversjon x + y = 8 8 x + 2y = bytter [ ] x + 2y = x + y = 8 Gange en ligning [ med et tall ] x + y = x + 2y = 2 [ ganger ] 3x + 3y = x + 2y = Legge til et multippel [ av en ligning til ] en annen x + y = 8 x + 2y = +3 Legger til 3 ligning til ligning # : x + y = 8 3 # : 3x + 3y = 54 2 #2 + 3 # : +3 8 (x 2y) + (3x + 3y) = + 54 = 4 54 [ 4x + ] y = 54 x + y = 8 8 4x + y =

9 Løser Eksempelet som Matrise: ( ) 8 [ ] = 3 8 [ ] ( ) [ ] + ( ) + ( ) 8 + ( ) 6 2 = 6 6 Leser av ved å legge til x`er, y`er, +/- og = x + y = 2 x + y = 6 x = 2 y = Den inverse til en matrise A x = b har løsning x = A b TEOREM: A har en invers A hviss A er en n n matrise og har pivot i alle rader og i alle kolonner. Da nner vi A ved å sette opp augmentert matrise [ A. I] og da nner vi A når den er på redusert trappeform I. A Ex: 2 A = og 5 b = Finn A, og bruk A til å løse A x = b A. I = , A 2 = 2. 3 ( 2 ) x = A b = [ ] =

10 2.3 Determinant ved kofaktorekspansjon, 5 Kofaktorekspansjon av langs 3. kolonne: 4 8 9, ( ) ( ) 4 8, ( ) 2+3, , ( ) 3+3, = ( ) 8 = 88 = ( ) 2 6 = 2 = 9 = 9 ( 88) + ( 2) + 9 = 9 ( ( ) +3 rad+kolonne3 ) 2.4 Cramer`s rule M x = b har, hvis M, løsningen: A k ( b) Da får vi: x k = A 3 6 A = 2 2 b = A = 2 2 = ( 3) ( 2) ( 2) 2 2 ( 3) = A ( 6 6 b ) = (bytter kolonne med b ) = 6 ( 2) ( 9) 2 6 ( 2) ( 9) = 36 A 2 ( b ) = 9 2 (bytter kolonne 2 med b) = = 63(ferdig summert) 6 6 A 3 ( b ) = 2 9 (bytter kolonne 3 med b) = = x = x 2 = x 3 = A ( b ) A A 2 ( b ) A A 3 ( b ) A = 36 8 = 2 = 63 8 = 3 2 = x = = 8 8 = 2 3 2

11 2.5 Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Metode: Partikulær løsning. Skriv opp Dif. ligningen Ly = f(t) 2. Finn løsningen av Ly = f(t) [tilhørende homogene] y, y 2, y c = c y + c 2 y Finn y p a) Finn y y n W =.. y (n ) y n (n ) b) Finn y b yn Wk ( b) =..., b =. som i Cramer s rule.. f(t) kolonne k c) y p = y W ( b) dt + y 2 W 2 ( b) dt + + y n W n ( b) dt W W W 4. y = y p + y c Snarvei for y P hvis di.ligningen er av 2. orden: y P = y y 2 f(t) dt + y 2 y f(t) dt W W y y 2 W = y y 2 W er Wronski determinanten. 2.6 Gram-Schmidt Gram-Schmidt er en prossess for å omvandle en vilkårlig basis B = { x,, x n } til en ortogonal basis B = { v,, v n } også til slutt en ortonormal basis B = { u,, u n }

12 TEOREM: Anta at { x,, x n } er en basis for et underrom W av R n.sett W k = Span { x,, x k } for k n Def: v = x 2 v 2 = x 2 P roj W ( x 2 ) = x 2 x 2 v v v v v 3 = x 3 P roj W2 ( x 3 ) P roj W ( x 3 ). = x 3 x 3 v v v v x 3 v 2 v 2 v 2 v 2 v n = x n P roj Wn ( x n ) P roj W ( x n ) = x n x n v v x n v n v n v v v n v n Da er { v,, v k } en ortogonal basis for W k for alle k n. For å nne B (ortonormal) bruker du u = u 2 =. u n = v v v 2 v 2 v n v n 3 Lineær DL y + p(t)y = q(t) ; y(a) = b HVIS du har a(t)y + b(t)y = c(t), del da på a(t) først: y + b(t) c(t) a(t) = p(t); y + a(t) = q(t) SÅ ikke bruk b(t) som p(t) i formel 3. Generell Fremgangsmetode.a(t)y + b(t)y = c(t) deler på a(t).y + p(t)y = q(t) p(t)dt 2.Mellomregning: Finner integrerende faktor: ˆ µ(t) = e Det ne med µ(t) er at µ (t) = e p(t)dt } {{ } p(t)dt } {{ } µ(t) p(t) 3.Ganger uttrykket i () med µ(t): µ(t) y + µ(t) p(t)y = q(t) µ(t) 4.Gjenkjenner at µ(t) p(t) = µ (t) µ(t) y (t) + µ (t) y(t) = q(t) µ(t) } {{ } 5.Gjenkjenner produktregel (uv) = u v + u v (µ(t) y(t)) = q(t) µ(t) 2

13 6.Integrerer µ(t) y(t) = q(t) µ(t)dt + C y(t) = [ µ(t) q(t)dt + C ] [e ] µ(t) = p(t)dt p(t)dt q(t)dt + C e 2 µ(t) = e t dt = e 2 ln t = e ln t 2 = (e ln t ) 2 = t 2 Trikset er å få e og ln rett på hverandre, så de kansellerer etter regelen e ln x = x FEIL: e 2 ln t = 2t 3.2 Separabel DL Def: En separabel DL er en ligning som kan skrives på formen N(y) y = M(t) Løsning: N(y) dy dt = M(t) N(y)dy = M(t)dt N(y)dy = M(t)dt løs for y 3.3 Bernoulli Def: Er på formen, eller kan skrives om til y + p(t)y = q(t)y n n er et heltall. Løsning:. Skriv opp ligningen på formen y + p(t)y = q(t)y n. Variabelskifte v = y n gir ny ligning v + ( n) p (t) v = ( n) q (t) som er lineær. 2. Løs den nye DL: nn v (t) 3. y = v n 4. (Evt) Sett inn for startverdi betingelse y () = a 3.4 Eksakt DL En eksakt DL er en ligning som kommer fra en funksjon H (t, y) slik: d H (t, y (t)) H (t, y (t)) dy (t) H (t, y (t)) = + dt t y dt Når vi ser en kandidat, så vet vi ikke med en gang om den er eksakt. Det må vi teste for. Kandidatene ser slik ut: M (t, y) + N (t, y) y = Da er de eksakte hvis det nå ns en H slik at H H = Mog t y = N Det vi da må gjøre, er M H = t = 2 H y y. Sjekk om den er eksakt, ved å se om M y = N t 2. Hvis eksakt: LØSE ved antiderivasjon. fordi N t = H y t y t = 2 H t y 3

14 4 Lineær transformasjon En matrisetransformasjon T av en vektor ver hva vi får når vi ganger med en matrise A: T : v A v eventuel skrivemåte: T ( v) = A v En lineær transformasjon T er en vektor-transformasjon som er lineær, Altså: T (k v) = k T ( v) T ( u + v) = T ( u) + T ( v) Vi sier at T : R n R m har domene R n kodomene R m Ofte illustrerer vi T slik: 4

15 TEOREM: Enhver lineærtransformasjon T er også en matrisetransformasjon for en matrise A; matrisa A kalles standardmatrisa [ til T, og vi har at] A = T ( e ). T ( e 2 ).. T ( e n ) e =., e 2 =., e n =.... e står for enhetsvektor [ ] A = T ( e ). T ( e 2 ) = byggfagstudenter [ ] A = T ( e ). T ( e 2 ) = () 2 Hvis vi nå vil nne rotasjonen av mot klokka, så ganger vi med A: T = = Surjektiv og injektiv Surjektiv: T (domenet) dekker hele kodomenet Surjektiv når: Projeksjon: R 2 R 3 Rotasjon: R 2 R 2 Injektiv: Hvis x y, så er T ( x) T ( y) Injektiv når: R 3 R 2 Embedding: R 2 R 2 5

16 4.2 Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering For alle matriser A nnes det spesielle vektorer v slik at A v = λ v for en konstant λ. A forandrer bare lengden på v, ikke retningen. Def: λ er en egenverdi tilhørende A v er en egenvektor tilhørende λ (og A) For disse spesielle vektorene er da (f.x.) A v = A 99 (A v) = A 99 (λ v) = = λ v HOW-TO? i) Hvis vi har v: Finne λ ii) Hvis vi har λ: Finne alle v tillhørende λ iii) Hvis vi har A: Finne (alle) λ, og deres v i) Finner λ gjennom et eksempel A = 2 6, v = Her er A v = λ v: Finn λ! SVAR: A v = ? 6 = 2? =? ( 2) = 4 ii) Gitt λ, nne v METODE: = =? 4 Alle gir? = 2 så λ = 2. Skriv opp matrisen A og egenverdien λ 2. Finn A λi 2 Dette gjør du ved å subtrahere fra diagonalen på A 3. Løs (A λi) x = Skriv løsningen x = s v k + + s m v km 4. Egenvektorene er da alle disse vektorene x som kan skrives som over, span { v k v km } Det vi skriver ned er Egenvektorene til λ (utspennes av) v k v km 6

17 iii) Gitt A: Finn λ og deres v-er METODE:. Finn A sine λ 2. Steg ii over: Finn v tillhørende λ Hvilke λ har slike v er? Jo, det er de som har ere enn løsning, altså frie variable, til ligningen (A λi) x = Vi husker at en kvadratisk matrise B har frie variable hvis B =. Så metoden går ut på å nne λ slik at A λi = Def p (λ) = A λi kalles det karakteristiske polynomet til A Løsningen til p (λ) = er egenverdien til A Diagonaliseringen av en matrise A er dekomposisjonen A = P D P der ] P = [ v, v,2 v 2, v 2,2 v m,k λ λ D = λ 2 λ λ m Det greie med den er at f(a) = P f(d) P A n = P D n P 5 Integralregning 5. Multiple Integraler Generelt: Ved multiple integraler er alle andre variable en den som integreres der å da å regne som konstante. 5.. Doble Integraler f(x, y)da skriver vi om til f(x, y)dydx Kan også skrives om til f(x, y)dxdy der dette gir ett nere uttrykk. Svaret blir det samme. dx: Vi behandler y som en konstant. Substitusjon: f (x, y) dxdy = f (x (u, v), y (u, v)) J (u, v) dudv x u x v J (u, v) =, J u x u y (x, y) =, J (u, v) J (x, y) = y u y v v x v y 7

18 5..2 Trippel Integraler f(x, y, z)dv skriver vi om til f(x, y, z)dzdydx Substitusjon: f(x, y, z)dxdydz = f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw x u x v x w u x u y u z J (u, v, w) = y u y v y w, J (x, y, z) = v x v y v z, J (u, v, w) J (x, y, z) = z u z v z w w x w y w z 5.2 Kurveintegraler b Def: W = F (r (t)) dr(t) dt dt, parameteruavhengig notasjon:r dt = dr W = F dr a C Komponentene F = F i + F 2 j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F dx + F 2 dy) = F dx + F 2 dy 5.3 Linjeintegraler Vanlig integral er linjeintegral langs linjesegmenter på x-aksen. á f( r(t))ds = f( r(t)) r (t) dt C b 5.4 Vektor-linjeintegraler Arbeid utført i et vektorfelt C C C C F d r = F T ds = F d r dt dt C C C Hvis C er en lukket kurve, altså at start- og stopp-punkt er identiske, skriver vi integralet slik: F d r Dette kalles sirkulasjonen av F rundt C C TEOREM: Hvis F er et konservativt vektorfelt i et sammenhengende område D, og φ x φ F = φ, φ = (3D) eller x (2D) φ y φ z Så er. F d r = for alle lukkede kurver C C 2. F d r = φ(p ) φ(p ) hvis C starter i P og slutter i (P ) C 5.5 Overaten til en graf φ y I dimensjon / R L-lengden fra a til b på en graf er gitt ved: b + (f (x)) 2 dx a 8

19 I 2 dimensjoner / R 2 Arealet til grafen over området R er + (fx ) 2 + (f y ) 2 da 6 Parametrisering av kurver 6. Posisjon, fart og akselerasjon Generelt: x = x, x 2,, x n x = x = x + x x n Posisjon: r(t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = Fart: v(t) = r (t) = r (t), r 2(t), r 3(t) = r (t) r 2 (t) r 3 (t) r (t) r 2(t) r 3(t) Akselerasjon: a(t) = v (t) = r (t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = Jerk: j(t) = a (t) = v (t) = r (t) = r (t), r 2 (t), r 3 (t) = r (t) r 2 (t) r 3 (t) r (t) r 2 (t) r 3 (t) 6.2 Kryssprodukt a b Buelengde Buelengde for t er fra t = a til t = b: b b b S = v(t)dt = v(t) dt = (r (t)) (r n(t)) 2 dt a a a 9

20 6.4 Tangentialvektor Enhets tangentialvektor er gitt ved: T = v v 6.5 Binormalvektor Enhets binormalvektor er gitt ved: B = v a v a = T N 6.6 Normalvektor Enhets normalvektor er gitt ved: N = B T 6.7 Kurvatur v a Enhets kurvatur er gitt ved κ = 6.8 Svingradius Enhets svingradius er gitt ved ρ = κ v Torsjon Enhets torsjon er gitt ved τ = N B t v = ( v a) j v a 2 6. Akselerasjonskomponenter Akselerasjonskomponent er gitt ved a = a T T + ann, at = v, a N = κ v 2 2

21 7 Vektorfelt f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 7. Denisjon f u = D u f = u f der f =< f x, f y >kalles gradienten til f. 7.2 Vektorfelt x =< x, x 2,, x n > Gradient: f =< f x, f x2,, f xn >=< f x, f x 2,, f x n > Divergens: divf = F = x, y, z [F, F 2, F 3 ] = F x + F2 y Curl: curlf i j k = F = x, y, z [M, N, P ] = x y z = F F 2 F 3 D u f = u f + F3 z [ F 3 y F2 z, F z F3 x, F2 x ] + F y 7.3 Maks retningsderivert D u f = u f = u f cosθ, der θ er vinkelen mellom u og f Maks retningsderivert: cosθ =, dvs θ =, altså når u f, altså u = f f Null retningsderivert: cosθ =, θ = ±9 2

22 7.4 Konservative felt Et konservativt vektorfelt kan tenkes på som et felt der vektorene er krefter, og arbeid er kun avhengig av endring av posisjon. Vektorfelt: R 2 R 2 : F F (x, y) (x, y) = F (x, y)i + F 2 (x, y)j = F 2 (x, y) F (x, y, z) R 3 R 3 : F (x, y, z) = F 2 (x, y, z) F er konservativ hvis R 2 R 2 : F y R 3 R 3 : F y = F2 x = F2 x F 3 (x, y, z) F og z = F3 x F2 og z = F3 y Eksakt krav for at F er konservativ er at det nnes en skalarfunksjon φr n R, φ = F Kravet for R 2 R 2 : F = F y = F2 x φ x φ y φx betyr y = φy, x φ xy = φ yx Φ = F dx + C (y, z,...)φ = udy + C (z,...) C (y, z,...) = (F 2 Φ y ) dy + C (z,...) 22

23 Metode Eksempel xy. Skriv ned F. F =. Undersøk om F er konservativ. F sin z 2 x2 ey z e y z x cos z = F F 2 F 3 y = x F z = cos z F 2 x = x F 2 z F 3 x = cos z F 3 y V er konservativ b. Hvis IKKE konservativ: Da vet vi at Φ = Φ x Φ y = ey z 2 = ey z 2 = F F 2 = F STOPP! Da må vi nne Φ Φ z F 3 2. Φ x = F Φ = Φ x dx + C (x, y) = Φ + C (x, y) 2. Φ x Φ = F = xy sin z = (xy sin z) dx = 2 x2 y x sin z +C (x, y) } {{ } Φ 3. y Φ = Φ y = F 2, så y ( Φ + C (x, y) ) = F2 y C (x, y) = F 2 Φ y C (x, y) = F Φdy 2 y + C (z) så Φ = Φ + C (x, y) Φ = Φ + F 2 y Φdy + C (z) Φ = Φ + C (z) 3. Φ y = F 2 = 2 x2 ey z y C (x, y) = ( 2 x2 ey z = 2 x2 ey z 2 x2 = ey z ) ( y 2 x2 y x sin z ) C (x, y) = ey z dy + C (z) = ey z + C (z) så Φ = 2 x2 y x sin z ey +C (z) } {{ z } Φ 4. z Φ = Φ z = F ) 3, så z ( Φ + C (z) = F 3 z C (z) = F 3 z Φ så C (z) = F 3 z Φ z dz + C 4. Φ z = F 3 = ey x cos z z 2 z C (z) = ( e y z 2 = ( e y z 2 så x cos z ) z x cos z ) ( ) x cos z + ey z = 2 C (z) = dz + C = C ( 2 x2 y x sin z ey z ) 5. Da er Φ = Φ + F3 z Φ z dz + C 5. Da er Φ = 2 x2 y x sin z ey z + C 23

24 8 Parametrisering av en rett linje Enkleste parametrisering starter på t = og slutter på t = Altså: Start: x =, y 2 = Slutt: x 2 =, y = [ ] + t( ) r(t) = = + t( ) t 9 Partiell derivasjon Førstegrad partiell derivert f Vi har følgde: x, f y, f z r(t) = r + t ( r 2 r ) [ ] x x 2 x x + t(x 2 x ) = + t = y y 2 y y + t(y 2 y ) Skrivemåter: f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 9. Andregrad partiell derivert Vi har følgende: 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f z 2, 2 f xy = 2 f yx 9.2 -variabel kjerneregel d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) variabel kjerneregel(m/ undervariabel) z = z(x, y) og x = x(t), y = y(t) dz dt = z dx x dt + z dy y dt variabel kjerneregel(m/2 undervariabler) z = z(x, y) og x = x(s, t), y = y(s, t) z t = z x x t + z y y t z s = z x x s + z y y s 24

25 9.4. Matriseversjonen ( ) ( ) = z s z t z x z y x s y s x t y t Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler z = z(x, x 2,..., x n ) og x = x (t,..., t m ),...x n = x n (t,..., t m ) ( z t... ) (... z t m = z x z x n ) x t x t m.... x n t xn t m 9.5 Normalvektor til en ate Normalvektor n til en ate denert av f(x,y) er gitt av: n = f x (x, y ) f y (x, y ) 9.6 Tangentplan Ligningen for tangentplanet til funksjonen f i (x, y ) er gitt av: z = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) Logikk Sannhetstabeller Lag liste over de grunnleggende sanhetstabellene, f.x. p q p q T T T T F T osv.,,,, F T T F F F 25

26 Ex: Lager sannhetstabell for ((p q) (q r)) r p q r p q q r (p q) (q r) r hele T T T T T T T T T T F T F T F F T F T F T T T T T F F F T T F F F T T F T T T T F T F F F F F T F F T T T T T T F F F T T T F F Ex: Har sannhetstabell p q p q T T F T F T F T T F F T. Bevis og Induksjon Bevisstruktur p p 2. p n Premisser q -Konklusjon er et bevis dersom (p p 2 p n ) q er en tautologi. En tautologi er en påstand som altid er sann, uansett sannhetsverdien til de atomære utsagnene..2 Relasjoner på samme mengde og digrafer R er en relasjon mellom A og A R A A = {(x, y) x, y A} Ex: A = {, 2, 3, 4} R = {(, ), (, 2), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, )} Tegn digrafen til R :.Tegn opp hvert element med en sirkel Svar/metode: 2.Hvis (x, y) R, så tegn en pil fra x til y 26

27 Vi kan også gå motsatt vei. Fra digraf til relasjon (liste). En relasjon R på en mengde A (egentlig A A) er: reeksiv hvis (a, a) R for alle a A symmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) R asymmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) / R antisymmetrisk hvis (x, y) R og (y, x) R betyr x = y transitiv hvis (x, y) R og (y, z) R betyr (x, z) R sammenhengende hvis den er symmetrisk, og det ns en sti mellom hvert par av elementer a, b A Ekvivalensrelasjon: R er en ekvivalensrelasjon hvis den er symmetrisk, (reeksiv) og transitiv Reeksiv er i parantes siden den følger fra symmetrisk + transitiv Symmetrisk:(x, y) R (y, x) R Transitiv:(x, y) R og (y, z) R (x, z) R Reeksiv:(x, yx) R Illustrasjon av en ekvivalensrelasjon: Ekvivalensrelasjoner skaper partisjoner av A, altså deler inn A i grupper, såkalte ekvivalentklasser [x] R = {y A xry}.3 Surjektiv,Injektiv,Bijektiv f : A B f er surjektiv hvis f(a) = B sin(x) er ikke surjektiv for f : R R x 3 er surjektiv for f : R R Er Surjektiv Er ikke Surjektiv 27

28 Røtter Generelt for n-røtter: z = p e iθ p n e i θ n.rot n p n e i( θ n + 2 n π) 2.rot z = p n e i( θ n + 2(k ) n π) k.rot p n e i( θ n + 2(n ) n π (n-).rot Full gang på en n-rots oppgave:. z = a + ib 2. z = p e iθ (Kartesisk Polar,) 3. n z = (formel) 4. n z = konverter til c + id form c = r cos(θ), d = r sin(θ) 2 Binær 2. Info-Boks, helt generelt Disse av/på boksene, som går på ved t = a, og av ved t = b har formel u(t a) } {{ } ( u(t b)) } {{ } = u(t a) u(t a) u(t b) Slår på Slår av = u(t a) u(t b) ved t = a ved t = b Binær Gangetabell: TEOREM: Hvis vi har en funksjon g(t) som er O utenfor intervallet [O, p], og lager en periodisk utvidelse med periode p f(t) = g(t) + g(t p) + g(t 2p) +... så er L {f(t)} = e L {g(t)} ps Notat: Denne formelen gjelder også for vilkårlige g(t) om f(t) = g(t) + g(t p) +..., men f er da ikke periodisk 28

29 3 Linjer og Plan 3. Likning For en linje: En rett linje i rommet er gitt ved r(t) = p + t v, hvor V er en retning (vektor) for et plan: Normalvektor n = [A, B, C] kommer fra kryssproduktet til to uavhengige vektorer u og v som ligger i planet n = [ u v] Finne u og v fra tre punkter i planet P, P, P 2 u = [P P ], v = [P 2 P ] Punkt i planet (x, y, z ) A(x x) + B(y y) + C(z z) = = Ax + By + Cz = D 3.2 Avstander Fra punkt til plan Plan : Ax + By + Cz = D (med n-vektor [A, B, C] ) Punkt P: (x, y, z) Ax + By + Cz D Avstand = d = (A2 +B 2 +C 2 ) 29

30 Fra punkt til linje Punkt P : (x, y, z) Linje l : p + t v (p p ) v Avstand = d = v 3.3 Snitt P har normalvektor = n = A, B, C P2 har normalvektor = n 2 = A 2, B 2, C 2 Snittet, l : p + t v v = n n 2 P er en løsning av ligning systemet A + B + C = D(P ) A2 + B2 + C2 = D2(P 2) Mellom to linjer l : p + t v l 2 : p 2 + t v 2 Avstand = d = (p p ) ( v v 2 ) v v Koordinatsystemer Kartesisk: dv = dxdydz Sylindrisk: dv = drdθdz Sfærisk: dv = ρ 2 sin φdρdφdθ 3.4. Omregninger 2D Kartesiske koordinater [x, y) x = r cos θ y = r sin θ x 2 + y 2 = r 2 Polar (r, θ) 3

31 Kartesisk Polar [x,y] (r,θ) r = x 2 + y 2 tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π 2 x =, y > 3π 2 x =, y < Omregninger 3D Kartesiske koordinater [x, y, z) Sylinderiske koordinater (r, θ, z) Sfæriske koordinater (ρ, φ, θ) x = r cos θ Kartesisk sylindrisk y = r sin θ z = z (ρ, φ, θ) [x, y, z] x = ρ sin(φ) cos(θ) Sfærisk Kartesisk y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) r = ρ sin φ Sfærisk Sylindrisk θ = θ z = ρ cos φ (r, θ) [x, y] Polar Kartesisk x = r cos(θ) y = r sin(θ) 3

32 Kartesisk Sfærisk π [x, y, z] (ρ, φ, θ) ρ = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 z = ( ) tan φ = x2 + y 2 z > z ( ) tan x2 + y 2 + π z < z tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π 2 x =, y > 3π 2 x =, y < 4 Bjelker og fagverk Moment: M = rba P cos θ M = r BA sin θ cos θ M = (r BA P ) sin θ M = (r BA P ) P sin(θ 2 θ ) cos θ 2 sin θ 2 cos θ 2 sin θ 2 = (r BA P ) cos θ cos θ 2 cos θ r BA sin θ P sin θ 2 + r CA sin θ P 2 (sin θ 2 cos θ ) (sin θ cos θ 2 ) ΣM = cos θ 2 sin θ 2 = A [ ] cos θ cos θ 2 cos θ 3 + B + P = sin θ sin θ 2 sin θ 3 A x B x P x A + + = A y B y P y Σ F = 32

33 4. Fagverk Ytre krefter: Σ M = Σ F = Knutepunkt A ΣF = Knutepunkt B [ ] cos θ cos θ 2 + S + S 2 = sin θ sin θ 2 S cos θ + S 2 cos θ 2 A x = S sin θ + S 2 sin θ 2 A y (Til Fagverkmatrise) A x A y [ cos θ cos θ 2 + S + S 3 + S 4 B y sin θ sin θ [ 2 S cos θ + S 3 cos θ 2 + S 4 cos θ 3 S sin θ + S 3 sin θ 2 + S 4 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) ] cos θ 3 = sin θ 3 ] = B y ΣF = Knutepunkt C ΣF = Knutepunkt D cos θ cos θ 2 cos θ 3 S 2 + S 3 + S 5 = sin θ sin θ 2 sin θ 3 S2 cos θ + S 3 cos θ 2 + S 5 cos θ 3 = S 2 sin θ + S 3 sin θ 2 + S 5 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) cos θ cos θ 2 cos θ 3 P + S 5 + S 4 = sin θ sin θ 2 sin θ 3 S5 cos θ 2 + S 4 cos θ 3 P cos θ = S 5 sin θ 2 + S 4 sin θ 3 P sin θ (Til Fagverkmatrise) Σ F = 33

34 4.2 Fagmatrise 5 Fourier Fourier-rekken til f(x) i intervallet [ L, L] er: a 2 + a n cos nπ L x + b n sin nπ L x a n = L b n = L n= Ĺ L Ĺ L n= f(x)cos( nπ x)dx; n =,, 2, 3, 4,... L f(x)sin( nπ x)dx;, 2, 3, 4,... L Ved symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ da er Fourier-rekka i ( L, L) lik cos-rekke i (, L) a n = 2 L L Ĺ f(x)dx = 2 f(x)dx Ĺ Ved anti-symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ f(x)dx = da er Fourier-rekka i ( L, L) lik sin-rekke i (, L) a n =, b n = 2 L 5. Enkel gangetabell Symetrisk A Symetrisk Symetrisk Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk Symetrisk 5.2 Varmeligningen L f(x) cos( nπ L x)dx, b n = Ĺ f(x) sin( nπ L x)dx u t = k u xx TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid treer grader. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder 2. u(, x) = f(x) [startbetingelse] 3. u(t, ) = u(t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningen u(t, x) = sin( nπ L x)dx n= nπ k( b n e L )2 t sin( nπ L x) der b n er sinus-koesientene til f(x) i [, L]. b n = 2 L Ĺ f(x) 34

35 TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid er isolert, og verken tar eller gir fra seg varme. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder 2. u(,x)=f(x) [startbetingelse] 3. u x (t, ) = u x (t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningenu(t, x) = a 2 + nπ k( a n e L )2 t cos( nπ L x)dera n er cos-koesientene til f(x) i [, L]. a n = 2 Ĺ L f(x) cos( nπ L x)dx n= 5.3 Nyttige integraler (Fourier-rekker). tsin(at)dt = sin(at) a 2 2. tcos(at)dt = cos(at) a 2 tcos(at) a + tsin(at) a + C + C 3. t n sin(at)dt = tn cos(at)+n t n cos(at)dt a 4. t n cos(at)dt = tn sin(at) n t n sin(at)dt a 5. sin 2 (at)dt = t 2 sin(2at) 4a + C 6. cos 2 (at)dt = t 2 + sin(2at) 4a + C 7. sin(at)cos(at)dt = cos2 (at) 2a + C 8. e at sin(bt)dt = eat (asin(bt) bcos(bt)) a 2 +b 2 9. e at cos(bt)dt = eat (acos(bt)+bsin(bt)) a 2 +b 2. sin(at)sin(bt)dt = sin((a b)t) 2(a b). cos(at)cos(bt)dt = sin((a b)t) 2(a b) 2. sin(at)cos(bt)dt = cos((a b)t) 2(a b) + C + C sin((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b 2 + sin((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b 2 cos((a+b)t) 2(a+b) + C = der a 2 b Trigonometriske verdier cos(nπ) = ( ) n sin(nπ) = cos((n + 2 )π) = for n {..., 3, 2,,,, 2, 3,...} sin((n + 2 )π) = ( )n 5.5 Løsningene til varmeligningen er på formen e kλ2 t sin(λx) e kλ2 t cos(λx) Den tidsderiverte av varmefunksjonen u(t, x) er lik en konstant gange dobbelt tidsderiverte av varmefunksjonen. Hvis vi har at: u t = 3u xx Skal vi se at e 3 52t sin(5x) er en løsning. u(t, x) = e 75t sin(5x) u t = 75e 75t sin(5x) u x = e 75t 5 cos(5x) u xx = e 75t 5 5 (-sin(5x)) = 25e 75t sin(5x) 3u xx = 75e 75t sin(5x) u t = 3u xx 35

36 6 Transformasjon 6. Generel regel Får du nevner på formen As 2 + Bs + C setter du dette = r Hvis As 2 as+b + Bs + C = har røtter s = så er: As r 2 +Bs+C = as+b (delbrøksoppspalting) A(s r )(s r 2) 2 r = α + iβ Hvis røttene er komplekse s = må vi skive om polynomet As 2 + Bs + C = A((s α) 2 + β 2 ) r 2 = α iβ 6.2 Konvolusjon Egenskap: L{f g} = L{f} L{g} Def. konvolusjon: (f g)(t) = f(τ) g(t τ)dτ = f(t τ) g(τ)dτ En alternativ (enkel) metode ( for å løse konvolusjon ) er å bruke Fourier transformasjon: f g = F {F {f} F {g}} = (F ) {F {f}} F {g} F {g} = F {g } 6.3 Fourier-transformasjon Tabeller f (t) F (ω) f (t) F (ω) = f (t) e jωt dt f (t) = F (ω) e jωt dω 2π F (ω) f (t) F (ω) e at u (t) a > a+jω 2 e at u ( t) a > a jω 3 e a t 2a a > a 2 +ω 2 4 te at u (t) a > (a+jω) 2 5 t n e at n! u (t) (a+jω) n+ a > 6 δ (t) 7 2πδ (ω) 8 e jω t 2πδ (ω ω ) 9 cos ω t π [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] sin ω t jπ [δ (ω ω ) δ (ω + ω )] u (t) πδ (ω) + jω 2 u (t) cos ω t π 2 [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] + jω ω 2 ω2 3 u (t) sin ω t π 2j ) δ (ω + ω )] ω 2 4 u (t) e at cos ω t a+jω 5 u (t) e at sin ω t (a+jω) 2 +ω 2 ω (a+jω) 2 +ω 2 ω 2 ω2 a > a > 36

37 6.3. Fourier-tranformasjon Opperasjoner Opperasjon f (t) F (ω) Addisjon f (t) + f 2 (t) F (ω) + F 2 (ω) Skalar Multiplisering kf (t) kf (ω) Symmetri F (t) 2πf ( ω) Skalering f (at) a F ( ω a Tidsskifte f (t t ) F (ω) e jωt Frekvensskifte f (t) e jω t F (ω ω ) Tidskonvolusjon f (t) f 2 (t) F (ω) F 2 (ω) Frekvenskonvolusjon f (t) f 2 (t) F (ω) F 2 (ω) Tidsdierensiering d n f dt n (jω) n F (ω) Tidsintegrasjon f (x) dx F (ω) jω 6.4 Parallellforskyvning ) + πf () δ (ω) 37

38 7 Laplace-transformasjon Tabeller f(t) = L {F (s)} = f(t) F (s) f(t) F (s) = L{f(t)} = e st f(t)dt c+i 2πi c i af(t) + bg(t) t f e st F (s)ds F (s) af (s) + bg(s) sf (s) f() f s 2 F (s) sf() f () f n s n F (s) s (n ) f() f n () f(τ)dτ s F (s) t verden s verden s verden t verden s s 2 e at 3 2 t/π 4 t n n! 5 t n e s a 2 s 3/2 3 s n+ 4 at n! (s a) n+ 5 6 sinωt ω 7 cosωt s 8 e at sin ωt ω 9 e at cos ωt s a s 2 +ω 2 6 s 2 +ω 2 7 (s a) 2 +ω 2 8 (s a) 2 +ω 2 9 t r Γ(r+) s r+ t r e at Γ(r+) (s a) r+t e at s a 2 t/π s 3/2 s n (n )! tn (s a) n (s a)(s b) s (s a)(s b) sin ωt s 2 +ω 2 ω s cosωt s 2 +ω 2 (s a) 2 +ω 2 s a e at cos ωt (s a) 2 +ω 2 s 2 (s 2 +ω 2 ) s(s 2 +ω 2 ) (s 2 +ω 2 ) 2 s t sin ωt (s 2 +ω 2 ) 2 2ω s 2 (s 2 +ω 2 ) 2 2ω (n )! (tn e at ) a b (eat e bt ) a b (aeat be bt ) ω eat sin ωt s 2 t cos ωt 2 ω 2 2 (ωt sin ωt) (s 2 +ω 2 ) 2 ω 3 2ωs 3 t sin ωt 3 ( cos ωt) (s 2 +ω 2 ) 2 ω 2 4 t n Im(n!(s ik) sin kt ) (s 2 +k 2 ) n+ 4 (sin ωt ωt cos ωt) 2ω 3 5 t n Re(n!(s+ik) cos kt ) (s 2 +k 2 ) n+ 5 6 sinh t 6 (sin ωt + ωt cos ωt) s 2 s s 7 cosh t 7 (cos at-cos bt) s 2 (s 2 +a 2 )(s 2 +b 2 ) b 2 a 2 8 u (t a) s e as 8 s e as u (t a) 9 δ (t a) e as 9 e as δ (t a) 2 (sinh kt -sin kt) s 4 +k 4 2k 3 s 2 (cosh kt cos kt) s 4 k 4 2k 2 22 (sin kt cosh kt cos kt sinh kt) s 4 +4k 4 4k 3 38

39 8 Kjeglesnitt Def: Det er tre hovedtyper kjeglesnitt. Ellipse, parabel og hyperbel. Sirkel kan sees på som et fjerde type eller et spesialtilfelle av ellipsen. Kjeglesnitt representeres av en 2.ordens ligning. Alle kjeglesnitt representeres ved de kartesiske koordinatene i x og y i snittplanet ved Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =, hvor A, B,..., F er konstante. Kjeglesnitt beskrives av formelen: B 2 4AC Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = Parabel kjennes på ligningen: B 2 4AC = y + k (x x ) 2 = y ( Ellipse kjennes på ligningen: B 2 4AC < x xo ) 2 ( a + y y ) 2 b = Sirkel kjennes på ligningen: A = C og B = (x x ) 2 + (y y ) 2 = R 2 ( Hyperbell kjennes på ligningen: B 2 4AC > x xo ) 2 ( a y y ) 2 b = 39

40 8. Parabel Fokus (F ) Retning (Directrix) Ligning (P, ) x = P y 2 = 4ax ( P, ) x = P y 2 = 4ax (, P ) y = P x 2 = 4ay (, P ) y = P x 2 = 4ay Eksentrisitet: ε = P F P Q = y = 4P x2 8.2 Ellipse s + s 2 = 2a Eksentrisitet: c = a 2 b 2 ε = P F P Q = c a < x 2 a + y2 2 b = 2 4

41 8.3 Hyperbell P F P F 2 = ±2a Eksentrisitet: ε = P F P Q = c a > c = a 2 + b 2 x 2 a y2 2 b = Kvadratiske Flater Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = x Ellipsoide: 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 2 x Elliptisk kjegle: 2 a + y2 2 b = z2 2 c 2 Elliptisk sylinder om y-aksen: x 2 a 2 Elliptisk paraboloide: x 2 a 2 Kule: x 2 a 2 Hyperboloide med en ate: x 2 a 2 Hyperboloide med to ater: x 2 a 2 Hyperboloidisk paraboloide: x 2 a 2 + z2 b = 2 = z + y2 b 2 + y2 a 2 + y2 b 2 + y2 b 2 y2 b 2 + z2 z2 a 2 = c = 2 = z2 c 2 = z 4

42 9 Appendix-Matriser på Casio 42

43 43

44 2 Appendix-Matriser på TI 44

45 45

Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13

Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13 Contents Noen greie formler og tabeller 4. Integrasjon og Derivasjon......................................... 4. Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell................................... 4.3 Identiteter..................................................

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

Kap 5 Laplace transformasjon. La f(t) være definert for t 0. Laplace transformasjonen er. F (s) = f(t)e st dt (1)

Kap 5 Laplace transformasjon. La f(t) være definert for t 0. Laplace transformasjonen er. F (s) = f(t)e st dt (1) Kap 5 aplace transformasjon a f(t) være definert for t 0. aplace transformasjonen er F (s) = 0 f(t)e st dt (1) for alle s C der dette er veldefinert. Tilstrekkelig betingelse: f(t) stykkevis kontinuerlig

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag Matte 3 (HiB) Tommy Odland 5. mai 2016 Sammendrag Dette heftet inneholder en rask oppsummering av Matte 3 (HiB), også kalt multivariabel kalkulus. Formålet er å gi studentene litt intuisjon rundt emnene.

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX - 8. desember 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer