Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Contents. 3 Lineær DL Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL... 13"

Transkript

1 Contents Noen greie formler og tabeller 4. Integrasjon og Derivasjon Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Identiteter Viktige Potens-serier Vektorer Skalarprodukt Komplekse Tall Lineær Algebra 7. Lineære Ligninger og Ligningssystem Aritmetikk Multiplikasjon med matriser Metode for å løse matriser Ligningssystemer Den inverse til en matrise Determinant ved kofaktorekspansjon Cramer`s rule Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Gram-Schmidt Lineær DL 3. Generell Fremgangsmetode Separabel DL Bernoulli Eksakt DL Lineær transformasjon 4 4. Surjektiv og injektiv Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering Integralregning 7 5. Multiple Integraler Doble Integraler Trippel Integraler Kurveintegraler Linjeintegraler Vektor-linjeintegraler Overaten til en graf

2 6 Parametrisering av kurver 9 6. Posisjon, fart og akselerasjon Kryssprodukt Buelengde Tangentialvektor Binormalvektor Normalvektor Kurvatur Svingradius Torsjon Akselerasjonskomponenter Vektorfelt 7. Denisjon Vektorfelt Maks retningsderivert Konservative felt Parametrisering av en rett linje 4 9 Partiell derivasjon 4 9. Andregrad partiell derivert variabel kjerneregel variabel kjerneregel(m/ undervariabel) variabel kjerneregel(m/ undervariabler) Matriseversjonen Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler Normalvektor til en ate Tangentplan Logikk Sannhetstabeller 5. Bevis og Induksjon Relasjoner på samme mengde og digrafer Surjektiv,Injektiv,Bijektiv Røtter 8 Binær 8. Info-Boks, helt generelt Linjer og Plan 9 3. Likning Avstander Snitt Koordinatsystemer

3 Omregninger D Omregninger 3D Bjelker og fagverk 3 4. Fagverk Fagmatrise Fourier Enkel gangetabell Varmeligningen Nyttige integraler (Fourier-rekker) Trigonometriske verdier Løsningene til varmeligningen er på formen Transformasjon Generel regel Konvolusjon Fourier-transformasjon Tabeller Fourier-tranformasjon Opperasjoner Parallellforskyvning Laplace-transformasjon Tabeller 38 8 Lineær Regresjon 39 9 Kjeglesnitt 4 9. Parabel Ellipse Hyperbell Kvadratiske Flater

4 4 Noen greie formler og tabeller. Integrasjon og Derivasjon. y = u v y = u v + u v. y = u v y = u v u v v 3. (x r ) = r x r 4. x r dx = r+ xr+ + Cifr... x dx = ln x + C 5. a konstant : x + dx = tan (x) 6. u vdt = u v u v dt 7. u e u dt = e u du = e u + C og (e u ) = e u u 8. k konstant: ( e kt) = ke kt, og e kt dt = k ekt + C 9. k konstant: cos(kt) = k sin(kt), og cos(kt) = k sin(kt) + C. k konstant: sin(kt) = k cos(kt), og sin(kt) = k cos(kt) + C. N (µ,σ)(x)dx = f (x) x < a f (x) a < x < a. Hvis f(x) =. f n (x) f n (x) a n < x < a n x > a n så er f(x)dx = a f (x)dx + a a f (x)dx + + a n a n f n (x)dx + a n f n (x)dx. Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell Derivert Funksjon Integrert k kx + C x x + C nx n x n x x n+ xn+ + C ln x + C e x e x e x + C ne nx e nx n enx + C cos x sinx cos x + C sin x cos x sin x + C n cos nx sin nx n cos nx + C n sin nx cos nx n sin nx + C

5 5.3 Identiteter. cos( θ) = cos(θ). sin( θ) = sin(θ) 3. cos (θ) + sin (θ) = 4. Euler (standard): e jθ = cos(θ) + j sin(θ) 5. Euler (derivert): (a) e jθ = cos(θ) j sin(θ) (b) cos(θ) = ejθ +e jθ (c) sin(θ) = ejθ e jθ 6. ln (e α ) = α = e ln(α) 7. a b c = ( a b) c 8. a b+c = a b a c 9. a b c = ab a c. a =.4 Viktige Potens-serier. x = x n = + x + x + x x n + for x < n=. +x = x + x x ( ) n x n + for x < 3. e x = + x +! x + 3! x3 + + n! xn + 4. e x = x +! x 3! x3 + + ( )n n! x n + 5. e jx = + jx x j jn ( 6x3 + + n! xn ) + ( ) = ( )k x + + (k)! xk + + j x ( )k 6x3 + + (k+)! xk + + = cos(x) + j sin(x) 6. cos(x) = x + + ( )k (k)! xk + 7. sin(x) = x 6 x3 + + ( )k (k+)! xk tan (x) = x + x3 3 + x x 35 + x > π /4

6 6.5 Vektorer v = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k = [x x, y y, z z ] = [v, v, v 3 ] Lengden av en vektor: v = v + v + v 3 = (x x ) + (y y ) + (z z ) Enhetsvektor: n = v v Addisjon: u + v = [u + v, u + v, u 3 + v 3 ] Skalarmultiplikasjon: k u = [ku, ku, ku 3 ] Areal: A = u v u u u 3 Volum: v = ( u v) w = v v v 3 w w w 3 i j k Vektorprodukt: u v = u v sin θ n = u u u 3 = [u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ] v v v 3 Vinkel mellom to vektorer: cos ( u, v) = u v u v Vinkelrette vektorer u v u v =.6 Skalarprodukt Omskrivningsloven: Fordelingsloven: For reelle t: Skalar projeksjon: u u = u u v = v u u ( v + w) = u v + u w (t u) v = u (t v) = t ( u v) u v v = u cos θ Vektor projeksjon: proj v u = u v v v TEOREM: Hvis θ er vinklen mellom u og v ( θ π) da er u v = u v cos θ = u v + u v + u 3 v 3.7 Komplekse Tall i = z = a + ib = re iθ Re (z) = a Im (z) = b Komplekskonjugerte til z: z = a + ib = a jb z + z = Re (z) z z = Im (z) z z = (Re (z)) (Im (z)) Absoluttverdien til z: z = r = a + b

7 7 Lineær Algebra. Lineære Ligninger og Ligningssystem Matrise: = A A er en 3 [ 5 (dimensjonal) matrise. ] Rad er 3. 8 (en vektor) Den andre radvektoren til A 7 Kolonne 4 er - den 4 kolonnevektoren til A.. Aritmetikk Krever matchende dimensjoner. 3 5 Ex: A =, B =, A + B = Regel: To matriser kan kun legges sammen dersom de har samme dimensjoner!.. Multiplikasjon med matriser Matrise gange vektor: v A v = A A v = [ ] = ( ) ( ) Matrise gange matrise: k Regel: Krav: l = m l {}}{ Ak l matrise m n {}}{ Bm n matrise C Utregning: ] rad r [a r a r a rl kolonne s b s b s. b ms C rs C rs = a r b s + a r b s + + a rl b ms m=l

8 8..3 Metode for å løse matriser. Identiser første kolonne som ikke bare er -er. Bytt rader om nødvendig, så det ikke er øverst i den kolonnen 3. Øverste element i den kolonnen er nå pivot. Sørg for å få bare -er under den (radopperasjoner) 4. Når pivoten er alene i sin kolonne, marker ut dens rad og kolonne, og jobb videre med resten, som i trinn 5. Når trinn 4 er utslitt, er matrisa på trappeform. Nå skal vi eliminere over pivotene, og begynner lengst til høyre, nederst. 6. Få delt radene på verdiene i pivotene. 7. Matrisa er nå på redusert trappeform. Les av...4 Ligningssystemer Anne og Berit er 8 år til sammen () Anne er dobbelt så gammel som Berit () Hvor gamle er de? : x + y = 8 x + y = 8 Skriver om : x = y x y = Skal løse formelt. Viser først tillate operasjoner. Bytte [ Ligninger ] Matriseversjon x + y = 8 8 x + y = bytter [ x + y = x + y = 8 ] Gange en ligning [ med et tall ] x + y = 8 x + y = x + y = [ ganger ] 3x + 3y = Legge til et multippel [ av en ligning til ] en annen x + y = 8 x + y = +3 Legger til 3 ligning til ligning 8 # : x + y = 8 3 # : 3x + 3y = 54 # + 3 # : +3 8 (x y) + (3x + 3y) = + 54 = 4 54 [ 4x + ] y = 54 x + y = 8 8 4x + y =

9 9 Løser Eksempelet som Matrise: 8 +( ) 8 [ ] = 3 8 [ ] ( ) [ ] + ( ) + ( ) 8 + ( ) 6 = 6 6 Leser av ved å legge til x`er, y`er, +/- og = x + y = x + y = 6 x = y = 6. Den inverse til en matrise A x = b har løsning x = A b TEOREM: A har en invers A hviss A er en[ n n matrise ] og har pivot i alle rader og i alle kolonner. Da nner vi A ved å sette opp augmentert matrise A. I og da nner vi A når den er på redusert trappeform I. A Ex: A = og 5 b = Finn A, og bruk A til å løse A x = b A. I = , A =. 3 ( ) x = A 6 4 b = =

10 .3 Determinant ved kofaktorekspansjon, 5 Kofaktorekspansjon av langs 3. kolonne: 4 8 9, ( ) +3 ( ) 4 8, ( ) +3, 5 4 8, ( ) 3+3, 5 9 = ( ) 8 = 88 = ( ) 6 = = 9 = 9 ( 88) + ( ) + 9 = 9 ( ( ) +3 rad+kolonne3 ).4 Cramer`s rule M x = b har, hvis M, løsningen: A k ( b) Da får vi: x k = A 3 6 A = b = A = = ( 3) ( ) + + ( ) ( 3) = 8 + A ( 6 6 b ) = 9 9 (bytter kolonne med b ) = 6 ( ) ( 9) 6 ( ) ( 9) = 36 A ( b ) = 9 (bytter kolonne med b) = = 63(ferdig summert) 6 6 A 3 ( b ) = 9 (bytter kolonne 3 med b) = = 8 6 x = x = x 3 = A ( b ) A A ( b ) A A 3 ( b ) A = 36 8 = = 63 8 = 3 = x = = 8 8 = 3

11 .5 Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter Metode: Partikulær løsning. Skriv opp Dif. ligningen Ly = f(t). Finn løsningen av Ly = f(t) [tilhørende homogene] y, y, y c = c y + c y + 3. Finn y p y y n a) Finn W =.. y (n ) y n (n ) y b yn b) Finn W k ( b) =..., b =. som i Cramer s rule.. f(t) kolonne k c) y p = y W ( b) dt + y W ( b) dt + + y n W n ( b) dt W W W 4. y = y p + y c Snarvei for y P hvis di.ligningen er av. orden: y P = y y f(t) dt + y y f(t) dt W W y y W = y y W er Wronski determinanten..6 Gram-Schmidt Gram-Schmidt er en prossess for å omvandle en vilkårlig basis B = { x,, x n } til en ortogonal basis B = { v,, v n } også til slutt en ortonormal basis B = { u,, u n }

12 TEOREM: Anta at { x,, x n } er en basis for et underrom W av R n.sett W k = Span { x,, x k } for k n Def: v = x v = x P roj W ( x ) = x x v v v v v 3 = x 3 P roj W ( x 3 ) P roj W ( x 3 ). = x 3 x 3 v v v v x 3 v v v v v n = x n P roj Wn ( x n ) P roj W ( x n ) = x n x n v v x n v n v n v v v n v n Da er { v,, v k } en ortogonal basis for W k for alle k n. For å nne B (ortonormal) bruker du u = u =. u n = v v v v v n v n 3 Lineær DL y + p(t)y = q(t) ; y(a) = b HVIS du har a(t)y + b(t)y = c(t), del da på a(t) først: y + b(t) c(t) a(t) = p(t); y + a(t) = q(t) SÅ ikke bruk b(t) som p(t) i formel 3. Generell Fremgangsmetode.a(t)y + b(t)y = c(t) deler på a(t).y + p(t)y = q(t) p(t)dt.mellomregning: Finner integrerende faktor: µ(t) = e ˆ p(t)dt e Det ne med µ(t) er at µ }{{} p(t)dt (t) = }{{} µ(t) p(t) 3.Ganger uttrykket i () med µ(t): µ(t) y + µ(t) p(t)y = q(t) µ(t) 4.Gjenkjenner at µ(t) p(t) = µ (t) µ(t) y (t) + µ (t) y(t) = q(t) µ(t) }{{} 5.Gjenkjenner produktregel (uv) = u v + u v (µ(t) y(t)) = q(t) µ(t)

13 3 6.Integrerer µ(t) y(t) = q(t) µ(t)dt + C y(t) = [ µ(t) q(t)dt + C ] [e ] µ(t) = p(t)dt p(t)dt q(t)dt + C e µ(t) = e t dt = e ln t = e ln t = (e ln t ) = t Trikset er å få e og ln rett på hverandre, så de kansellerer etter regelen e ln x = x FEIL: e ln t = t 3. Separabel DL Def: En separabel DL er en ligning som kan skrives på formen N(y) y = M(t) Løsning: N(y) dy dt = M(t) N(y)dy = M(t)dt N(y)dy = M(t)dt løs for y 3.3 Bernoulli Def: Er på formen, eller kan skrives om til y + p(t)y = q(t)y n n er et heltall. Løsning:. Skriv opp ligningen på formen y + p(t)y = q(t)y n. Variabelskifte v = y n gir ny ligning v + ( n) p (t) v = ( n) q (t) som er lineær.. Løs den nye DL: nn v (t) 3. y = v n 4. (Evt) Sett inn for startverdi betingelse y () = a 3.4 Eksakt DL En eksakt DL er en ligning som kommer fra en funksjon H (t, y) slik: d H (t, y (t)) H (t, y (t)) dy (t) H (t, y (t)) = + dt t y dt Når vi ser en kandidat, så vet vi ikke med en gang om den er eksakt. Det må vi teste for. Kandidatene ser slik ut: M (t, y) + N (t, y) y = Da er de eksakte hvis det nå ns en H slik at H t Det vi da må gjøre, er. Sjekk om den er eksakt, ved å se om M y = N t. Hvis eksakt: LØSE ved antiderivasjon. H = Mog y = N fordi M y N t = = H t y H y t = H y t = H t y

14 4 4 Lineær transformasjon En matrisetransformasjon T av en vektor ver hva vi får når vi ganger med en matrise A: T : v A v eventuel skrivemåte: T ( v) = A v En lineær transformasjon T er en vektor-transformasjon som er lineær, Altså: T (k v) = k T ( v) T ( u + v) = T ( u) + T ( v) Vi sier at T : R n R m har domene R n kodomene R m Ofte illustrerer vi T slik:

15 5 TEOREM: Enhver lineærtransformasjon T er også en matrisetransformasjon for en matrise A; matrisa A kalles standardmatrisa [ til T, og vi har at] A = T ( e ). T ( e ).. T ( e n ) e =., e =., e n =.... e står for enhetsvektor [ ] A = T ( e ). T ( e ) = byggfagstudenter [ ] A = T ( e ). T ( e ) = () Hvis vi nå vil nne rotasjonen av 9 3 mot klokka, så ganger vi med A: T = = Surjektiv og injektiv Surjektiv: T (domenet) dekker hele kodomenet Surjektiv når: Projeksjon: R R 3 Rotasjon: R R Injektiv: Hvis x y, så er T ( x) T ( y) Injektiv når: R 3 R Embedding: R R

16 6 4. Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering For alle matriser A nnes det spesielle vektorer v slik at A v = λ v for en konstant λ. A forandrer bare lengden på v, ikke retningen. Def: λ er en egenverdi tilhørende A v er en egenvektor tilhørende λ (og A) For disse spesielle vektorene er da (f.x.) A v = A 99 (A v) = A 99 (λ v) = = λ v HOW-TO? i) Hvis vi har v: Finne λ ii) Hvis vi har λ: Finne alle v tillhørende λ iii) Hvis vi har A: Finne (alle) λ, og deres v i) Finner λ gjennom et eksempel A = 6, v = 8 Her er A v = λ v: Finn λ! SVAR: A v = ? 6 = Alle gir? =? = så λ =? ( ) = 4 ii) Gitt λ, nne v METODE: 6 = =? 4. Skriv opp matrisen A og egenverdien λ. Finn A λi Dette gjør du ved å subtrahere fra diagonalen på A 3. Løs (A λi) x = Skriv løsningen x = s v k + + s m v km 4. Egenvektorene er da alle disse vektorene x som kan skrives som over, span { v k v km } Det vi skriver ned er Egenvektorene til λ (utspennes av) v k v km

17 7 iii) Gitt A: Finn λ og deres v-er METODE:. Finn A sine λ. Steg ii over: Finn v tillhørende λ Hvilke λ har slike v er? Jo, det er de som har ere enn løsning, altså frie variable, til ligningen (A λi) x = Vi husker at en kvadratisk matrise B har frie variable hvis B =. Så metoden går ut på å nne λ slik at A λi = Def p (λ) = A λi kalles det karakteristiske polynomet til A Løsningen til p (λ) = er egenverdien til A Diagonaliseringen av en matrise A er dekomposisjonen A = P D P der ] P = [ v, v, v, v, v m,k λ λ D = λ Det greie med den er at λ λ m f(a) = P f(d) P A n = P D n P 5 Integralregning 5. Multiple Integraler Generelt: Ved multiple integraler er alle andre variable en den som integreres der å da å regne som konstante. 5.. Doble Integraler f(x, y)da skriver vi om til f(x, y)dydx Kan også skrives om til f(x, y)dxdy der dette gir ett nere uttrykk. Svaret blir det samme. dx: Vi behandler y som en konstant. Substitusjon: f (x, y) dxdy = f (x (u, v), y (u, v)) J (u, v) dudv x u x v J (u, v) =, J u x u y (x, y) =, J (u, v) J (x, y) = y u y v v x v y

18 8 5.. Trippel Integraler f(x, y, z)dv skriver vi om til f(x, y, z)dzdydx Substitusjon: f(x, y, z)dxdydz = f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw x u x v x w u x u y u z J (u, v, w) = y u y v y w, J (x, y, z) = v x v y v z, J (u, v, w) J (x, y, z) = z u z v z w w x w y w z 5. Kurveintegraler b Def: W = F (r (t)) dr(t) dt dt, parameteruavhengig notasjon:r dt = dr W = F dr a C Komponentene F = F i + F j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F dx + F dy) = F dx + F dy 5.3 Linjeintegraler Vanlig integral er linjeintegral langs linjesegmenter på x-aksen. á f( r(t))ds = f( r(t)) r (t) dt C b 5.4 Vektor-linjeintegraler Arbeid utført i et vektorfelt C C C C F d r = F T ds = C C C F d r dt dt Hvis C er en lukket kurve, altså at start- og stopp-punkt er identiske, skriver vi integralet slik: F d r Dette kalles sirkulasjonen av F rundt C C TEOREM: Hvis F er et konservativt vektorfelt i et sammenhengende område D, og φ x φ x F = φ, φ = (3D) eller (D) φ y φ z Så er. F d r = for alle lukkede kurver C C. F d r = φ(p ) φ(p ) hvis C starter i P og slutter i (P ) C 5.5 Overaten til en graf I dimensjon / R φ y L-lengden fra a til b på en graf er gitt ved: b + (f (x)) dx a

19 9 I dimensjoner / R Arealet til grafen over området R er + (fx ) + (f y ) da 6 Parametrisering av kurver 6. Posisjon, fart og akselerasjon Generelt: x = x, x,, x n x = x = x + x + + x n Posisjon: r(t) = r (t), r (t), r 3 (t) = Fart: v(t) = r (t) = r (t), r (t), r 3(t) = r (t) r (t) r 3 (t) r (t) r (t) r 3(t) Akselerasjon: a(t) = v (t) = r (t) = r (t), r (t), r 3 (t) = Jerk: j(t) = a (t) = v (t) = r (t) = r (t), r (t), r 3 (t) = r (t) r (t) r 3 (t) r (t) r (t) r 3 (t) 6. Kryssprodukt a b Buelengde Buelengde for t er fra t = a til t = b: b b b S = v(t)dt = v(t) dt = (r (t)) (r n(t)) dt a a a

20 6.4 Tangentialvektor Enhets tangentialvektor er gitt ved: T = v v 6.5 Binormalvektor Enhets binormalvektor er gitt ved: B = v a v a = T N 6.6 Normalvektor Enhets normalvektor er gitt ved: N = B T 6.7 Kurvatur v a Enhets kurvatur er gitt ved κ = 6.8 Svingradius v 3 Enhets svingradius er gitt ved ρ = κ 6.9 Torsjon Enhets torsjon er gitt ved τ = N B t v = ( v a) j v a 6. Akselerasjonskomponenter Akselerasjonskomponent er gitt ved a = a T T + ann, at = v, a N = κ v

21 7 Vektorfelt f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 7. Denisjon f u = D u f = u f der f =< f x, f y >kalles gradienten til f. 7. Vektorfelt x =< x, x,, x n > Gradient: f =< f x, f x,, f xn >=< f x, f x,, f x n > Divergens: divf = F = x, y, z [F, F, F 3 ] = F x + F y Curl: curlf i j k = F = x, y, z [M, N, P ] = x y z = F F F 3 D u f = u f 7.3 Maks retningsderivert D u f = u f = u f cosθ, der θ er vinkelen mellom u og f Maks retningsderivert: cosθ =, dvs θ =, f altså når u f, altså u = f Null retningsderivert: cosθ =, θ = ±9 + F3 z [ F 3 y F z, F z F3 x, F x ] + F y

22 7.4 Konservative felt Et konservativt vektorfelt kan tenkes på som et felt der vektorene er krefter, og arbeid er kun avhengig av endring av posisjon. Vektorfelt: R R : F F (x, y) (x, y) = F (x, y)i + F (x, y)j = F (x, y) F (x, y, z) R 3 R 3 : F (x, y, z) = F (x, y, z) F er konservativ hvis R R : F y R 3 R 3 : F y = F x F 3 (x, y, z) = F F x og z = F3 F x og z = F3 y Eksakt krav for at F er konservativ er at det nnes en skalarfunksjon φr n R, φ = F Kravet for R R : F = F y = F x [ φ x φ y ] φx betyr y = φy x, φ xy = φ yx Φ = F dx + C (y, z,...)φ = udy + C (z,...) C (y, z,...) = (F Φ y ) dy + C (z,...)

23 3 Metode Eksempel xy. Skriv ned F. F = sin z x ey z e y z x cos z = F F F 3. Undersøk om F er konservativ. F y = x F z = cos z F x = x F z F 3 x = cos z F 3 y V er konservativ b. Hvis IKKE konservativ: Da vet vi at Φ = Φ x Φ y = ey z = ey z = F F = F STOPP! Da må vi nne Φ Φ z F 3. Φ x = F Φ = Φ x dx + C (x, y) = Φ + C (x, y). Φ x Φ = F = xy sin z = (xy sin z) dx = x y x sin z +C (x, y) }{{} Φ 3. y Φ = Φ y = F, så ) ( Φ + C (x, y) = F y y C (x, y) = F y Φ C (x, y) = F y Φdy + C (z) så Φ = Φ + C (x, y) Φ = Φ + F y Φdy + C (z) Φ = Φ + C (z) 3. Φ y = F = x ey z y C (x, y) = ( x ey z = x ey z x = ey z ) ( y x y x sin z ) C (x, y) = ey z dy + C (z) = ey z + C (z) så Φ = x y x sin z ey +C (z) }{{ z } Φ 4. z Φ = Φ z = F ) 3, så ( Φ + C (z) = F 3 z z C (z) = F 3 z Φ så C (z) = F 3 z Φ z dz + C 4. Φ z = F 3 = ey x cos z z z C (z) = ( e y z = ( e y z så x cos z ) z x cos z ) ( ) x cos z + ey z = C (z) = dz + C = C ( x y x sin z ey z ) 5. Da er Φ = Φ + F3 z Φ z dz + C 5. Da er Φ = x y x sin z ey z + C

24 4 8 Parametrisering av en rett linje Enkleste parametrisering starter på t = og slutter på t = Altså: Start: x =, y = Slutt: x =, y = [ ] + t( ) r(t) = = + t( ) t 9 Partiell derivasjon Førstegrad partiell derivert f Vi har følgde:, f, f x y z r(t) = r + t ( r r ) [ ] x x x x + t(x x ) = + t = y y y y + t(y y ) Skrivemåter: f x = D xf = f x x betyr at alle andre variable er å se på som konstanter. 9. Andregrad partiell derivert Vi har følgende: f x, f y, f z, f xy = f yx 9. -variabel kjerneregel d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) 9.3 -variabel kjerneregel(m/ undervariabel) z = z(x, y) og x = x(t), y = y(t) dz dt = z dx x dt + z dy y dt 9.4 -variabel kjerneregel(m/ undervariabler) z = z(x, y) og x = x(s, t), y = y(s, t) z t = z x x t + z y y t z s = z x x s + z y y s

25 Matriseversjonen ( ) ( ) = z s z t z x z y x s y s x t y t 9.4. Full matriseversjon med x n variabler og t m undervariabler z = z(x, x,..., x n ) og x = x (t,..., t m ),...x n = x n (t,..., t m ) ( z t... ) (... z t m = z x z x n ) x t x t m.... x n t xn t m 9.5 Normalvektor til en ate Normalvektor n til en ate denert av f(x,y) er gitt av: n = f x (x, y ) f y (x, y ) 9.6 Tangentplan Ligningen for tangentplanet til funksjonen f i (x, y ) er gitt av: z = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) Logikk Sannhetstabeller Lag liste over de grunnleggende sanhetstabellene, f.x. p q p q T T T T F T F T T F F F osv.,,,,

26 6 Ex: Lager sannhetstabell for ((p q) (q r)) r p q r p q q r (p q) (q r) r hele T T T T T T T T T T F T F T F F T F T F T T T T T F F F T T F F F T T F T T T T F T F F F F F T F F T T T T T T F F F T T T F F Ex: Har sannhetstabell p q p q T T F T F T F T T F F T. Bevis og Induksjon Bevisstruktur p p. p n Premisser q -Konklusjon er et bevis dersom (p p p n ) q er en tautologi. En tautologi er en påstand som altid er sann, uansett sannhetsverdien til de atomære utsagnene.. Relasjoner på samme mengde og digrafer R er en relasjon mellom A og A R A A = {(x, y) x, y A} Ex: A = {,, 3, 4} R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (3, 4), (4, )} Tegn digrafen til R :.Tegn opp hvert element med en sirkel Svar/metode:.Hvis (x, y) R, så tegn en pil fra x til y

27 7 Vi kan også gå motsatt vei. Fra digraf til relasjon (liste). En relasjon R på en mengde A (egentlig A A) er: reeksiv hvis (a, a) R for alle a A symmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) R asymmetrisk hvis (x, y) R betyr (y, x) / R antisymmetrisk hvis (x, y) R og (y, x) R betyr x = y transitiv hvis (x, y) R og (y, z) R betyr (x, z) R sammenhengende hvis den er symmetrisk, og det ns en sti mellom hvert par av elementer a, b A Ekvivalensrelasjon: R er en ekvivalensrelasjon hvis den er symmetrisk, (reeksiv) og transitiv Reeksiv er i parantes siden den følger fra symmetrisk + transitiv Symmetrisk:(x, y) R (y, x) R Transitiv:(x, y) R og (y, z) R (x, z) R Reeksiv:(x, yx) R Illustrasjon av en ekvivalensrelasjon: Ekvivalensrelasjoner skaper partisjoner av A, altså deler inn A i grupper, såkalte ekvivalentklasser [x] R = {y A xry}.3 Surjektiv,Injektiv,Bijektiv f : A B f er surjektiv hvis f(a) = B sin(x) er ikke surjektiv for f : R R x 3 er surjektiv for f : R R Er Surjektiv Er ikke Surjektiv

28 8 Røtter Generelt for n-røtter: z = p e iθ p n e i θ n.rot n p n e i( θ n + n π).rot z = p n e i( θ n + (k ) n π) k.rot p n e i( θ n + (n ) n π (n-).rot Full gang på en n-rots oppgave:. z = a + ib. z = p e iθ (Kartesisk Polar,) 3. n z = (formel) 4. n z = konverter til c + id form c = r cos(θ), d = r sin(θ) Binær. Info-Boks, helt generelt Disse av/på boksene, som går på ved t = a, og av ved t = b har formel u(t a) }{{} ( u(t b)) }{{} = u(t a) u(t a) u(t b) Slår på Slår av = u(t a) u(t b) ved t = a ved t = b Binær Gangetabell: TEOREM: Hvis vi har en funksjon g(t) som er O utenfor intervallet [O, p], og lager en periodisk utvidelse med periode p f(t) = g(t) + g(t p) + g(t p) +... så er L {f(t)} = e L {g(t)} ps Notat: Denne formelen gjelder også for vilkårlige g(t) om f(t) = g(t) + g(t p) +..., men f er da ikke periodisk

29 9 3 Linjer og Plan 3. Likning For en linje: En rett linje i rommet er gitt ved r(t) = p + t v, hvor V er en retning (vektor) for et plan: Normalvektor n = [A, B, C] kommer fra kryssproduktet til to uavhengige vektorer u og v som ligger i planet n = [ u v] Finne u og v fra tre punkter i planet P, P, P u = [P P ], v = [P P ] Punkt i planet (x, y, z ) A(x x) + B(y y) + C(z z) = = Ax + By + Cz = D 3. Avstander Fra punkt til plan Plan : Ax + By + Cz = D (med n-vektor [A, B, C] ) Punkt P: (x, y, z) Ax + By + Cz D Avstand = d = (A +B +C )

30 3 Fra punkt til linje Punkt P : (x, y, z) Linje l : p + t v (p p ) v Avstand = d = v 3.3 Snitt P har normalvektor = n = A, B, C P har normalvektor = n = A, B, C Snittet, l : p + t v v = n n P er en løsning av ligning systemet A + B + C = D(P ) A + B + C = D(P ) Mellom to linjer l : p + t v l : p + t v Avstand = d = (p p ) ( v v ) v v 3.4 Koordinatsystemer Kartesisk: dv = dxdydz Sylindrisk: dv = drdθdz Sfærisk: dv = ρ sin φdρdφdθ 3.4. Omregninger D Kartesiske koordinater [x, y) x = r cos θ y = r sin θ x + y = r Polar (r, θ)

31 3 Kartesisk Polar [x,y] (r,θ) r = x + y tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π x =, y > 3π x =, y < 3.4. Omregninger 3D Kartesiske koordinater [x, y, z) Sylinderiske koordinater (r, θ, z) Sfæriske koordinater (ρ, φ, θ) x = r cos θ Kartesisk sylindrisk y = r sin θ z = z (ρ, φ, θ) [x, y, z] x = ρ sin(φ) cos(θ) Sfærisk Kartesisk y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) r = ρ sin φ Sfærisk Sylindrisk θ = θ z = ρ cos φ (r, θ) [x, y] Polar Kartesisk x = r cos(θ) y = r sin(θ)

32 3 Kartesisk Sfærisk π [x, y, z] (ρ, φ, θ) ρ = (x + y + z ) z = ( ) tan φ = x + y z > z ( ) tan x + y + π z < z tan ( y x ) x > tan ( y x θ = ) + π x < π x =, y > 3π x =, y < 4 Bjelker og fagverk Moment: M = rba P cos θ M = r BA sin θ cos θ M = (r BA P ) sin θ M = (r BA P ) P sin(θ θ ) cos θ sin θ cos θ sin θ = (r BA P ) cos θ cos θ cos θ r BA sin θ P sin θ + r CA sin θ P (sin θ cos θ ) (sin θ cos θ ) ΣM = cos θ sin θ = A [ ] cos θ cos θ cos θ 3 + B + P = sin θ sin θ sin θ 3 A x B x P x A + + = A y B y P y Σ F =

33 33 4. Fagverk Ytre krefter: Σ M = Σ F = Knutepunkt A ΣF = Knutepunkt B [ ] cos θ cos θ + S + S = sin θ sin θ S cos θ + S cos θ A x = S sin θ + S sin θ A y (Til Fagverkmatrise) A x A y [ cos θ cos θ + S + S 3 + S 4 B y sin θ sin θ [ S cos θ + S 3 cos θ + S 4 cos θ 3 S sin θ + S 3 sin θ + S 4 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) ] cos θ 3 = sin θ 3 ] = B y ΣF = Knutepunkt C ΣF = Knutepunkt D cos θ cos θ cos θ 3 S + S 3 + S 5 = sin θ sin θ sin θ 3 S cos θ + S 3 cos θ + S 5 cos θ 3 = S sin θ + S 3 sin θ + S 5 sin θ 3 (Til Fagverkmatrise) cos θ cos θ cos θ 3 P + S 5 + S 4 = sin θ sin θ sin θ 3 S5 cos θ + S 4 cos θ 3 P cos θ = S 5 sin θ + S 4 sin θ 3 P sin θ (Til Fagverkmatrise) Σ F =

34 34 4. Fagmatrise 5 Fourier Fourier-rekken til f(x) i intervallet a + a n cos nπ L x + b n sin nπ L x a n = L b n = L n= Ĺ L Ĺ L n= [ L ], L er: f(x)cos( nπ x)dx; n =,,, 3, 4,... L f(x)sin( nπ x)dx;,, 3, 4,... L Ved symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ da er Fourier-rekka i ( L, L) lik cos-rekke i (, L) a n = L L Ĺ f(x)dx = f(x)dx Ĺ Ved anti-symmetriske funksjoner f( x) = f(x) er Ĺ f(x)dx = da er Fourier-rekka i ( L, L) lik sin-rekke i (, L) a n =, b n = L 5. Enkel gangetabell Symetrisk A Symetrisk Symetrisk Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk A Symetrisk Symetrisk 5. Varmeligningen L f(x) cos( nπ L x)dx, b n = Ĺ f(x) sin( nπ L x)dx u t = k u xx TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid treer grader. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder. u(, x) = f(x) [startbetingelse] 3. u(t, ) = u(t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningen u(t, x) = nπ k( b n e L )t sin( nπ L x) der b n er sinus-koesientene til f(x) i [, L]. b n = L sin( nπ L x)dx n= Ĺ f(x)

35 35 TEOREM: Situasjon Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f(x). Vi kobler slik at endepunktene alltid er isolert, og verken tar eller gir fra seg varme. Stavens varmeledning er k.. Varmeligningen u t = k u xx gjelder. u(,x)=f(x) [startbetingelse] 3. u x (t, ) = u x (t, L) = [endepunktbetingelse] DA er løsningenu(t, x) = a + nπ k( a n e L )t cos( nπ L x)dera n er cos-koesientene til f(x) i [, L]. a n = L cos( nπ L x)dx n= 5.3 Nyttige integraler (Fourier-rekker). tsin(at)dt = sin(at) a. tcos(at)dt = cos(at) a tcos(at) a + tsin(at) a + C + C 3. t n sin(at)dt = tn cos(at)+n t n cos(at)dt a 4. t n cos(at)dt = tn sin(at) n t n sin(at)dt a 5. sin (at)dt = t sin(at) 4a + C 6. cos (at)dt = t + sin(at) 4a + C 7. sin(at)cos(at)dt = cos (at) a + C 8. e at sin(bt)dt = eat (asin(bt) bcos(bt)) a +b 9. e at cos(bt)dt = eat (acos(bt)+bsin(bt)) a +b. sin(at)sin(bt)dt = sin((a b)t) (a b). cos(at)cos(bt)dt = sin((a b)t) (a b). sin(at)cos(bt)dt = cos((a b)t) (a b) + C + C 5.4 Trigonometriske verdier cos(nπ) = ( ) n sin(nπ) = cos((n + )π) = sin((n + )π) = ( )n sin((a+b)t) (a+b) + C = der a b + sin((a+b)t) (a+b) + C = der a b cos((a+b)t) (a+b) + C = der a b for n {..., 3,,,,,, 3,...} 5.5 Løsningene til varmeligningen er på formen e kλt sin(λx) e kλt cos(λx) Den tidsderiverte av varmefunksjonen u(t, x) er lik en konstant gange dobbelt tidsderiverte av varmefunksjonen. Hvis vi har at: u t = 3u xx Skal vi se at e 3 5t sin(5x) er en løsning. u(t, x) = e 75t sin(5x) u t = 75e 75t sin(5x) u x = e 75t 5 cos(5x) u xx = e 75t 5 5 (-sin(5x)) = 5e 75t sin(5x) 3u xx = 75e 75t sin(5x) u t = 3u xx Ĺ f(x)

36 36 6 Transformasjon 6. Generel regel Får du nevner på formen As + Bs + C setter du dette = r Hvis As as+b + Bs + C = har røtter s = så er: As r +Bs+C = as+b A(s r (delbrøksoppspalting) )(s r ) r = α + iβ Hvis røttene er komplekse s = må vi skive om polynomet As + Bs + C = A((s α) + β ) r = α iβ 6. Konvolusjon Egenskap: L{f g} = L{f} L{g} Def. konvolusjon: (f g)(t) = f(τ) g(t τ)dτ = f(t τ) g(τ)dτ En alternativ (enkel) metode ( for å løse konvolusjon ) er å bruke Fourier transformasjon: f g = F {F {f} F {g}} = (F ) {F {f}} F {g} F {g} = F {g } 6.3 Fourier-transformasjon Tabeller f (t) F (ω) f (t) F (ω) = f (t) e jωt dt f (t) = F (ω) e jωt dω π F (ω) f (t) F (ω) e at u (t) a > a+jω e at u ( t) a > a jω 3 e a t a a > a +ω 4 te at u (t) a > (a+jω) 5 t n e at n! u (t) (a+jω) n+ a > 6 δ (t) 7 πδ (ω) 8 e jω t πδ (ω ω ) 9 cos ω t π [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] sin ω t jπ [δ (ω ω ) δ (ω + ω )] u (t) πδ (ω) + jω u (t) cos ω t π [δ (ω ω ) + δ (ω + ω )] + jω ω ω 3 u (t) sin ω t π j ) δ (ω + ω )] ω 4 u (t) e at cos ω t a+jω 5 u (t) e at sin ω t (a+jω) +ω ω (a+jω) +ω ω ω a > a >

37 Fourier-tranformasjon Opperasjoner Opperasjon f (t) F (ω) Addisjon f (t) + f (t) F (ω) + F (ω) Skalar Multiplisering kf (t) kf (ω) Symmetri F (t) πf ( ω) Skalering f (at) a F ( ω a Tidsskifte f (t t ) F (ω) e jωt Frekvensskifte f (t) e jω t F (ω ω ) Tidskonvolusjon f (t) f (t) F (ω) F (ω) Frekvenskonvolusjon f (t) f (t) F (ω) F (ω) d n f Tidsdierensiering (jω) n F (ω) dt n Tidsintegrasjon f (x) dx + πf () δ (ω) F (ω) jω 6.4 Parallellforskyvning )

38 38 7 Laplace-transformasjon Tabeller f(t) = L {F (s)} = f(t) F (s) f(t) F (s) = L{f(t)} = e st f(t)dt c+i πi c i af(t) + bg(t) t f e st F (s)ds F (s) af (s) + bg(s) sf (s) f() f s F (s) sf() f () f n s n F (s) s (n ) f() f n () f(τ)dτ s F (s) t verden s verden s verden t verden s s e at s a s a 3 t/π 3 s 3/ s 3/ 4 t n n! e at t/π 4 s n+ s n (n )! tn at n! 5 (s a) n+ (s a) n 5 t n e ω 6 sinωt 6 s +ω (s a)(s b) 7 cosωt s s +ω 7 s (s a)(s b) 8 e at sin ωt ω (s a) +ω 8 9 e at cos ωt s a (s a) +ω 9 s s +ω s +ω (n )! (tn e at ) a b (eat e bt ) a b (aeat be bt ) sin ωt ω cosωt t r Γ(r+) s r+ (s a) +ω ω eat sin ωt t r e at Γ(r+) (s a) r+t s a (s a) +ω t cos ωt s ω (s +ω ) s (s +ω ) ωs 3 t sin ωt 3 (s +ω ) 4 t n Im(n!(s ik) sin kt n+ ) 4 (s +k ) n+ 5 t n cos kt s(s +ω ) (s +ω ) Re(n!(s+ik) n+ ) s t 5 (s +k ) n+ (s +ω ) ω 6 sinh t s 6 s (s +ω ) ω e at cos ωt (ωt sin ωt) ω 3 ω ( cos ωt) (sin ωt ωt cos ωt) ω 3 sin ωt (sin ωt + ωt cos ωt) s s 7 cosh t 7 (cos at-cos bt) s (s +a )(s +b ) b a 8 u (t a) s e as 8 s e as u (t a) 9 δ (t a) e as 9 e as δ (t a) (sinh kt -sin kt) s 4 +k 4 k 3 s (cosh kt cos kt) s 4 k 4 k (sin kt cosh kt cos kt sinh kt) s 4 +4k 4 4k 3

39 39 8 Lineær Regresjon To punkter i et koordinatsystem gir oss en rett linje. Har vi ere datapunkt og ønsker å nne den lineære funksjonen (tilpasningen) som passer best for den innsamlede data bruker vi lineær regresjon. Eksempelvis har du Målt høyde x og vekt y på n antall personer. Får du da en ny måling på vekt kan du bruke regresjonen til å nne sansynlig høyde. Formelen for den rette linja er y = ˆα + ˆβx. For å nne ˆα og ˆβ må du gjennom mange enkle mellomregninger. Her følger en step by step for hva du må nne og rekkefølgen du gjør det i. Symbol Hva du nner Formel Forklaring n x Gjennomsnittet av x-verdiene x n i Målingene lagt sammen og delt på antall målinger i= n x Kvadratisk snitt av x-verdiene x n i Målingene kvadrert lagt sammen og delt på antall målinger i= n ȳ Gjennomsnittet av y-verdiene y n i Målingene lagt sammen og delt på antall målinger i= n ȳ Kvadratisk snitt av y-verdiene y n i Målingene kvadrert lagt sammen og delt på antall målinger i= n xy Gjennomsnittet av x y verdiene x iy i x y + x y x n y n delt på antall målinger n i= x Gjennomsnittet av x-verdiene kvadrert Ta å kvadrer gjennomsnittet x som du fant over ȳ Gjennomsnittet av y-verdiene kvadrert Ta å kvadrer gjennomsnittet ȳ som du fant over σ x Populasjonsvarians av x-verdiene x x Svaret fra x minus svaret fra x s x Utvalgsvarians av x-verdiene n n σ x Antall målinger antall målinger minus gange populasjonsvarians til x( ) σx σ y Populasjonsvarians av y-verdiene y ȳ Svaret fra y minus svaret fra ȳ s y σ x s x σ y s y Utvalgsvarians av y-verdiene Populasjonsstandardavvik til x Utvalgsstandardavvik til x Populasjonsstandardavvik til y Utvalgsstandardavvik til y n n σ y σ x s x σ y s y Antall målinger antall målinger minus gange populasjonsvarians til y ( ) σy Tar kvadratroten av σ x Tar kvadratroten av s x Tar kvadratroten av σ y Tar kvadratroten av s y x ȳ x ȳ Snittet av x-verdiene gange snittet av y-verdiene σ xy Populasjonskovarians xy x ȳ Svaret fra xy minus svaret fra x ȳ s xy ρ xy r xy Utvalgskovarians Populasjonskorrelasjon Utvalgskorrelasjon n n σxy σ xy σ xσ y s xy s xs y ρ xy og r xy skal være like. Du kan nå nne ˆα og ˆβ : ˆβ = Cov(x,y) var(x,y) Antall målinger gange populasjonskovarians (σxy) antall målinger minus Populasjonskovarians Populasjonsstandardavvik til x gange Populasjonsstandardavvik til y Utvalgskovarians Utvalgsstandardavvik til x gange Utvalgsstandardavvik til y sy σ = rxy s x = ρ y xy σ x, ˆα = ȳ ˆβ x Du har da det du trenger for å bruke formelen y = ˆα + ˆβx

40 4 9 Kjeglesnitt Def: Det er tre hovedtyper kjeglesnitt. Ellipse, parabel og hyperbel. Sirkel kan sees på som et fjerde type eller et spesialtilfelle av ellipsen. Kjeglesnitt representeres av en.ordens ligning. Alle kjeglesnitt representeres ved de kartesiske koordinatene i x og y i snittplanet ved Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F =, hvor A, B,..., F er konstante. Kjeglesnitt beskrives av formelen: B 4AC Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = Parabel kjennes på ligningen: B 4AC = y + k (x x ) = y ( Ellipse kjennes på ligningen: B 4AC < x xo ) ( a + y y ) b = Sirkel kjennes på ligningen: A = C og B = (x x ) + (y y ) = R Hyperbell kjennes på ligningen: B 4AC > ( x xo a ) ( y y b ) =

41 4 9. Parabel Fokus (F ) Retning (Directrix) Ligning (P, ) x = P y = 4ax ( P, ) x = P y = 4ax (, P ) y = P x = 4ay (, P ) y = P x = 4ay Eksentrisitet: ε = P F P Q = y = 4P x 9. Ellipse s + s = a Eksentrisitet: c = a b ε = P F P Q = c a < x a + y b =

42 4 9.3 Hyperbell P F P F = ±a Eksentrisitet: c = a + b ε = P F P Q = c a > x a y b = 9.4 Kvadratiske Flater Ax + By + Cz + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = x Ellipsoide: a + y b + z c = x Elliptisk kjegle: a + y b = z c Elliptisk sylinder om y-aksen: x a Elliptisk paraboloide: x a Kule: x a Hyperboloide med en ate: x a Hyperboloide med to ater: x a Hyperboloidisk paraboloide: x a + z b = = z + y b + y a + y b + y b y b + z z a = c = = z c = z

Contents. 3 Lineær DL 12 3.1 Generell Fremgangsmetode... 12 3.2 Separabel DL... 13 3.3 Bernoulli... 13 3.4 Eksakt DL... 13

Contents. 3 Lineær DL 12 3.1 Generell Fremgangsmetode... 12 3.2 Separabel DL... 13 3.3 Bernoulli... 13 3.4 Eksakt DL... 13 Contents Noen greie formler og tabeller 4. Integrasjon og Derivasjon......................................... 4.2 Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell................................... 4.3 Identiteter..................................................

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag øving 7

Løsningsforslag øving 7 Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene. Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004

Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004 Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0 TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005 LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:

EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid: EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205) Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008 UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

SIF 5005 Matematikk 2 våren 2001

SIF 5005 Matematikk 2 våren 2001 IF 55 Matematikk våren Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Diverse løsningsforslag 75 Matematikk B, mai 994 (side 77 79) 6 a) Vi finner en potensialfunksjon φ(x,

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX - 8. desember 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av

Detaljer