Om matematikk og musikk Estetiske fag og matematikk 1. del

Transkript

1 Om matematikk og musikk Estetiske ag og matematikk. del A: Eystein Raude Høgskolen i Vestold, ad. RI/LU era@hive.no Artiklen er delt op i lere dele. Anden del bringes i næste nummer a Matilde, som vil have Matematik og musik som tema Innledning. Musikken tilhører de skjønne kunster. Den løytespillende Euterpe var en av de ni musene, søstergudene, i ølge gresk - romersk mytologi. Musikken inntar en spesiell plass blant kunstartene ordi den taler så direkte til hjertene. Musikken beskriver intet (Wittgenstein, 7.), den er bare musikk, og dens språk er universelt. Den kan sette ølelser av ulik slag i sving og den kan, som vi kjenner det ra historien om kong David, berolige et plaget sinn. Musikken betyr også mye or mange av elevene. Ikke bare som orbrukere, men som utøvere. Selv om musikken er den mest abstrakte av alle menneskelige ytringer, lar den seg beskrive, ikke bare i ord, men også med matematiske begreper. Matematikken er vitenskapenes dronning som næres av de andre vitenskaper og gir liv til disse. Matematikken er både en edel kunstart og et eektivt verktøy med hvilket man kan beskrive verden og oreta beregninger av både enkle og intrikate orhold. Fellesrådet or kunstagene i skolen, FKS, har sammen med Landslaget or matematikk i skolen, LAMIS, ønsket å rette oppmerksomheten mot hvordan praktiske og estetiske ag sammen med matematikk gjensidig kan påvirke hverandre i tverraglige undervisningsopplegg og å utvikle og utprøve nye undervisningsormer med aktiviteter som remkaller undring, releksjon og skaperglede For både musikk og matematikk gjelder kravet om kunnskaper og erdigheter dersom resultatet av et tverraglige arbeid skal bli noe mer enn bare en happening. Denne artikkelen ønsker å se noen sider av musikken i lys av matematikken. Musikk er opptatt av å kombinere vokale og/eller instrumentale lyder or ormens skjønnhet eller ølelsesmessige uttrykk (som bare er komponistens; oratterens anmerkning), vanligvis i ølge kulturelle standarder or rytme og melodi, og i vestlig musikk også harmoni. Andre viktige komponenter i musikalsk lyd er tone, tonearge og instrumentasjon (Encyclopedia Britannica, 4 - ).. Toner. Intervaller. Stemminger. Toner kan elevene lage ved enten å synge, blåse i en blokkløyte, slå på en xyloon eller klimpre på en gitar. Tonehøyden er avhengig av antall svingninger per sekund eller rekvensen til det som svinger, enten det er stemmebåndene eller strengen. Ved.eks. å presse ned en gitarstreng på ulike steder og deretter anslå den, vil en oppleve den direkte sammenhengen mellom strengenes lengde og tonehøyden... Pytagoreerne oppdaget empirisk at de grunnleggende intervallene (toneavstandene) i musikken passet til elementene i tetrakys eller ireheten ( = 0 ), ordi de hadde orholdene : ( oktaven ), 3 : ( kvinten ) og 4 : 3 ( kvarten ). Disse intervallene ble karakterisert som rene. Dersom lengden av en astspent streng er L, vil grunntonen tilsvare L, ordi strengens lengde er halve bølgelengden. (Bølgelengden er altså L.) Tonens rekvensen kan da skrives som lydarten dividert på bølgelengden,. Ved å presse strengen ned på midten vil den ramkalte rekvens bli dobbelt så stor, den såkalte oktaven. 3 Grekerne oppdaget at ved å presse ned strengen hhv. ved og av dens lengde ikk man 3 4 intervallene kalt kvint og kvart. Frekvensene i orhold til grunntonen er deror hhv 3 og 3 4. Den vanligste skala i vestens musikk er den diatoniske (en veksling mellom hele og halve trinn). Samtlige pytagoreiske intervaller ble utledet som et antall rene kvinter (3 hele og et halv trinn) minus et 6/06 Tema

2 Musen Euterpe 3 nødvendig antall oktaver or å komme tilbake til den aktuelle oktaven ved hjelp av ormelen. Man hadde oppdaget at intervaller oppover kunne adderes ved å multiplisere de tilsvarende rekvensorhold med hverandre og intervaller nedover kunne subtraheres ved å dividere rekvensorholdene med hverandre ( å dividere med en brøk er som kjent ekvivalent med å multiplisere med den omvendte brøken). Frekvensorholdet i heltonetrinnet c d (stor sekund) blir deror 3 3, ordi vi må tenke slik: c g d d 3. På tilsvarende måte blir orholdet 4 3 or intervallet c e (stor ters). Vi kjenner nå rekvensorholdene til intervallene 64 oktav, stor sekund, stor ters, ren kvart og ren kvint. I den diatoniske skala gjenstår deror stor sekst 7 43 ( c a) og stor septim ( c h). Gjør utregningene selv, og du vil komme til hhv. og 6. Hva så med halve tonetrinn? Intervallene er av grunnleggende betydning i musikken, både de melodiske, eller de som ramkommer ved å springe ra en tone til den neste, og de harmoniske, dvs. de som ramkommer når man slår an to toner samtidig. Spranget e tilsvarer et halvt tonetrinn, og det skulle da å rekvensorholdet Det samme vil gjelde or spranget h c Ved siden av de rene og store intervaller innes det orstørrede, små og orminskede intervaller. Disse ramkommer ved å heve eller senke toner med halve trinn. Et intervall av den største betydning innenor tradisjonell vestlig musikk er tersen, ordi den bestemmer dur - moll - tonaliteten. Den lille tersen, også kalt molltersen, består av helt og et halvt trinn: Videre avledninger gir stadig mer kompliserte brøker. Et interessant orhold er ølgende: rene kvinter tilsvarer syv oktaver, det vil si at de er enharmoniske, eller at de tilsvarende toneartene er de samme. (Man ender på tonen hiss dersom man tar utgangspunkt i c, og hiss og c er samme tone i skalaen.) Ikke desto mindre er orholdet mellom disse brøkene orskjellig ra, og denne orskjellen som kalles en kommadieranse, nærmere bestemt det pytagoreiske komma, er , som tilsvarer omtrent en eil på.4%! Dette 4 medører at harmoniene ikke er helt ens, noe som har betydning når en skal spille på instrumenter der en kan veksle mellom toneartene,.eks. et klaver eller en gitar... Renstemming kalles den stemmingen hvor samtlige intervaller avledes av et visst antall rene kvinter og store terser, her 4. Det medører at intervallene i den diatoniske skala på tilsvarende måte som or de 4 3 pytagoreiske intervaller blir,,,,,. Disse (tilsiktede) enkle orholdene stammer ra renessansens scenario, tallorholdene ::3:4::6, som aller sammen med de ørste seks deltonene i naturtonerekka. De ørste intervallene i denne rekka er oktav, ren kvint, ren kvart, stor ters og liten ters. Den store tersen har orholdstallet 4, men den lille tersen 6. Avstanden mellom den rene kvarten og den store tersen blir Dette er et halvt tonetrinn. Den lille tersen blir deror Den store seksten blir 3 0 3, noe som skyldes at man i den renstemte diatoniske skalaen hadde to n m Matematik i Norden: Norge 6/06

3 Gustav Theodor Fechner (0-7) heltonetrinn, et stort og et lite, hhv. og 0. Forskjellen mellom dem er lik orskjellen mellom tersene i den pytagoreiske og den renstemte skala: som kalles det syntoniske komma, som utgjør en eil på.3%! Vi har sett at man opererer med ulike hel- og halvtonetrinn i den pytagoreiske og den rene stemming, noe som ører til problemer bl.a. med samklang. Det er ønskelig å bruke toneartsutsving ( å gå over til andre tonearter ) og tonearter med aste ortegn. Deror er det nødvendig med en utjevning, en likesvevende temperering..3. Likesvevende temperering. Anta at vi skal spille en G-dur skala på et piano med pytagoreisk stemming. Vi må da bestemme rekvensorholdet or tonen iss som ikke ins i C-dur skalaen. For å inne tonen iss må vi gå seks rene kvinter opp og 3 oktaver ned, noe som gir. Frekvensorholdet mellom iss og g, den syvende og åttende tonen i en G-dur skala, skulle egentlig være lik rekvensorholdet or en pytagoreisk halvtone, 6, men det er aktisk litt lavere, ordi vi må ta orholdet mellom svingetallene or iss og g 43 (3/). Forholdet blir Middelverdien or de ulike heltonetrinn blir.06. Med likedeling skulle 44 heltonetrinnet bli omtrent.03. (Kaller vi primens svingetall or og heltonetrinnet x, år skalaens tredje tone svingetallet x. Dette gir likningen x.) Ved temperert avstemming blir de em 4 heltonetrinnene delt inn i halvtonetrinn og alle halvtonetrinnene gjort like store. På den måten inner vi halvtonetrinnet x til å bli x I praksis trekker en ra eller legger til passende brøkdeler av det pytagoreiske og syntoniske komma, i ørste rekke ra kvinter. Det blir da ote or små kvinter og or store terser. Pianostemmeren stemmer ørst etter intervallene oktav, kvint og kvart, og så justerer han/hun halvtonetrinnene opp eller ned så intervallene høres like. Det siste avgjøres etter hans/hennes gehør. (Bjørklund, 66.).4. Centen og den echnerske lov. I 64 introduserte engelskmannen A.J.Ellis enheten cent, C, or intervallberegninger. Til grunn or innøringen av den nye beregningsmåten or intervaller ligger en oppdagelse den tyske ysiker og iloso Gustav Theodor Fechner (0-7), gjorde innenor området psykoysikk, nemlig en lov or ysiologiske sanseornemmelser (Rignes,7). Den sier at økningen i sanseornemmelsen er proporsjonal med økningen i sansepåvirkningen og omvendt proporsjonal med sansepåvirkningen. Dersom vi bruker denne loven på lydornemmelser, setter vi or sansepåvirkningen rekvensen og sanseornemmelsen lydstyrken L. Dette gir den matematiske sammenhengen dl k d. k er en konstant som bestemmes ut ra gitte betingelser. Integralregning gir ln k L L. Overgang til logaritmer med grunntallet 0 gir lg L L k 0 0 6/06 Tema

4 Wolgang Amadeus Mozart (76-7) Enheten cent er 00 av en oktav. Dette gir oss verdien på k: lg eller k k Antall cents or et aktuelt intervall kan deror beregnes som L L C lg. Alle de like store halvtonetrinnene i den likesvevende temperering blir delt inn i like store deler (00 C = temperert halvtone). Like store vil si konstant rekvensorhold. Den rene kvinten år deror verdien 700 C i orhold til tolvtonesystemet, 70 C i orhold til de pytagoreiske og rene stemminger. 3 ( C lg 706..) Verdien 0 C viser direkte at intervallet ligger midt mellom et hel- og et halvtonetrinn. I det pytagoreiske system beregner vi intervallet ren kvint + heltone ved 3 7, 6 dvs. ved multiplikasjon. I det nye systemet adderer vi enhetene 70 C + 04 C = 06 C. 7 ( C lg 06.) 6 Det er interessant å se at grekerne hadde empirisk oppdaget den echnerske lov! Sammenhengen mellom multiplikasjon og addisjon går kanskje tydeligere ram dersom vi skriver 3 3 Ckv int Cheltone k lg lg klg. Det er ellers verdt å legge merke til at det pytagoreiske komma er omtrent 4 cents, dvs. en åttedels tone. (Det ortelles at lille Wolgang Amadeus (Mozart) en gang or sin pappa påpekte at iolinen hans var uren, og at det dreide seg om en kvart halvtone. For kammertonens vedkommende skulle det dreie seg om en urenhet på omtrent 6 Hz!) Alt etter hvor elevene beinner seg i skoleverket går det an å utorske de orholdene vi her har betraktet. Et eksempel kunne være å bruke lasker av ulik høyde og med varierende vannmengde til å lage den diatoniske skala og spille enkle melodier; både pytagoreiske og renstemte melodier, og sammenlikne disse med de melodiene en år ved å spille på et temperert klaver. I området ca Hz er den minste hørbare rekvensorandring - Hz ved lydtrykknivået 40 db. (Bjørklund.) (En må bare huske på at grunntonens bølgelengde beregnes ut ra det ysiske orhold at avstanden mellom vannlaten og laskeåpningen utgjør er iredel av bølgelengden.) Overgangen ra pytagoreisk stemming til lik temperering tok århundrer og er en parallell til orholdet mellom matematikk og musikk. På pytagoreernes tid var musikk en matematisk disiplin som omhandlet tallorhold, brøker og proporsjoner. Musikk som en del av matematikken holdt seg helt opp til renessansen. Likestemming, eller avviket ra den pytagoreiske, ble ikke virkelig populær ør rundt 630, da Fader Mersenne ormulerte uvurderlige regler or stemming ved hjelp av svevinger, og som brukes den dag i dag. (Garland og Kahn,.) Tabellen nedenor viser en sammenlikning mellom pytagoreisk, ren og temperert stemming. Pytagoreisk stemming Ren stemming Liketemperert Frekvenser i en C-dur stemming skala med kammertone 440 Hz (primens rekvens) 6 Hz / / 4 Hz. /64 /4 330 Hz.60 4/3 4/3 34 HZ.33 3/ 3/ 7 3 Hz.4 7/6 / Hz.6 43/ / 44 Hz. 3 Hz Matematik i Norden: Norge 6/06

5 Musikartiklen ortsættes i Matilde 7, hvor vi også hører om Arnold Schönberg Arnold Schönberg Dodekaoniens eller -tonemusikkens skaber Det var Arnold Schönbergs analytiske sans, der i ørte til løsning a det musikalske ormproblem indenor totalitetens rammer. Når det blev ham, der kom til at tiløre den total-bestemte musik rækkeprincippet, skyldes det at han i sin undervisning, der hovedsagelig koncentrerede sig om analyse a ortidens storværker, bestandig søgte udover den blotte registrering a værkernes ydre overlade og ved indgående motivanalyse søgte at adække indre, psykologiske sammenhænge mellem ormdele, som den sædvanlige analyse ikke kunne konstatere. Det var især Beethovens og visse a Brahms værker, han på denne måde kulegravede. Han konstaterede, at alle selv de mest kontrasterende ormelementer indenor samme komposition meget ote ad rækketeknisk vej kan øres tilbage til et grundmotiv eller motivkompleks, som hele værket er underet på. 6/06 Tema