Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik:

Transkript

1 Kapittel Brøk Det er en god egenskap å være villig til å dele med andre, for eksempel hvis du deler den pizzaen du hadde gledet deg til å spise, med tre venner som uventet stikker innom. Dersom alle skal ha like mye, blir fordelingen slik: Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik: Uttrykket kalles en brøk og består av teller, brøkstrek og nevner: teller brøkstrek nevner Når vi deler i matematikken, sier vi at vi dividerer. Operasjonen kalles divisjon. Vi bruker divisjonstegnet : som ble innført i det syttende århundret. pizza : pizza eller : Her ser du at divisjonstegnet (:) og brøkstreken ( ) betyr det samme. Begge er divisjonstegn. Ofte bruker vi : og brøkstrek om hverandre, men generelt kan vi si at vi som regel bruker divisjonstegnet : når mange eller mye skal fordeles på et visst antall, og brøkstrek når vi vil uttrykke en del av en helhet. Vi forlater sirkelen (pizzaen) og går over til firkanter. En rettvinklet firkant (alle hjørnene er 90 ) med like lange sider kaller vi et kvadrat. Kvadrat gjør det enklere å få et visuelt forhold til brøker til "å se for seg" hva en brøk er, og hvordan vi kan regne med brøker. Kapittel BRØK Side 0

2 Utvidelse Vi begynner med å dele et kvadrat i fire mindre like store kvadrat: Hver del utgjør en firedel eller En firedel kalles ofte "en kvart". Ordet kommer av det latinske quattuor, som betyr fire. Vi bruker det også i ordene kvarter (en firedels time 5 minutter) og kvartal (et firedels år måneder). I musikken kalles den fjerde tonen i en skala for kvarten. En firedels kilo eller en kvart kilo ble tidligere også kalt en mark, for eksempel en mark kaffe. Vektenheten mark ble brukt allerede i vikingtiden. Se på figuren igjen. Halvparten består av to firedeler, dvs. at Dette er et eksempel på en omforming av en brøk som vi kaller utvidelse: En brøk kan utvides ved å multiplisere teller og nevner med samme tall. KONTROLLOPPGAVE K Gjør a) om til seksdeler b) om til nideler c) om til sekstendeler Kapittel BRØK Side

3 Forkorting Hvis vi deler hver firedel av figuren foran i fire like store deler, blir den delt i seksten like store deler slik: Her ser du at vi må ha fire sekstendeler for å få en firedel, dvs. at Dette er et eksempel på en omforming som vi kaller forkorting. 6 Vi forkorter en brøk ved å dividere teller og nevner med samme tall. KONTROLLOPPGAVE K Gjør a) b) c) 6 om til todeler 6 9 om til tredeler 6 om til firedeler Dersom svaret på en oppgave er en brøk, bør den forkortes så mye som mulig. For å bli helt sikker på hvor mye en brøk kan forkortes, kan vi faktorisere telleren og nevneren, dvs. å løse telleren og nevneren opp i sine primtallsfaktorer. Et primtall er et tall som bare er delelig med og seg selv, dvs. tallene: osv. Kapittel BRØK Side

4 Eksempel på faktorisering: Metoden går ut på å fortløpende dividere på det minst mulige primtallet inntil kvotienten (svaret) blir. Eksempel på forkorting: KONTROLLOPPGAVE K Forkort så mye som mulig a) 6 5 { 5 } b) 0 05 { 7 } c) 0 55 { } d) { 5 } Kapittel BRØK Side

5 En brøk kalles en ekte brøk når telleren er mindre enn nevneren. En brøk kalles en uekte brøk når telleren er større enn nevneren. En uekte brøk kan omskrives til et blandet tall, dvs. et helt tall pluss en ekte brøk, for eksempel slik: Omregningen gjøres slik: 0 : Vi har forkortet den ekte brøken 6. Et blandet tall er altså en addisjon, et helt tall PLUSS en ekte brøk 6 6. Det er IKKE en multiplikasjon. Seks multiplisert med to tredeler skrives 6 og er lik 6 KONTROLLOPPGAVE K Omskriv til blandede tall a) b) c) d) { } { } { } 5 { } 5 Kapittel BRØK Side

6 Addisjon og subtraksjon La oss foreta en ny oppdeling av figuren, denne gangen i en halvpart, en firedel og fire sekstendeler, slik: Her ser du at en halv, en firedel og fire sekstendeler utgjør en hel, men det er kanskje ikke så lett å se det når vi skriver det på brøkform, slik: 6 For å få bedre oversikt skal vi utvide den første brøken og forkorte den tredje, slik: : 6 : Nå blir det lettere å addere brøkene fordi alle er firedeler. Vi har to firedeler og én firedel og én firedel, til sammen to pluss én pluss én, som er fire firedeler, som igjen utgjør en hel: Hvis vi omformer brøker slik at de får samme nevner, den kaller vi fellesnevneren, kan vi lett addere/subtrahere brøkene etter følgende regel: Vi adderer/subtraherer brøker med samme nevner ved å addere/subtrahere tellerne og beholde nevneren. Kapittel BRØK Side 5

7 Dersom vi ikke ser hvilket tall som kan brukes som fellesnevner, kan faktorisering av nevnerne hjelpe oss. Vi bruker brøkaddisjonen som eksempel En fellesnevner må ha faktorene og for å dekke 6 og faktorene og 5 for å dekke 5. Det minste tallet som kan brukes som fellesnevner, blir derfor KONTROLLOPPGAVE K5 Trekk sammen og forkort hvis mulig: a) b) { } 6 7 { } 5 0 Kapittel BRØK Side 6

8 Er musikk matematikk? Som matematikere kan vi si at musikk er en form for brøkregning. Komponister bruker følgende notetegn når de skal fortelle varigheten av en tone eller en pause: En note forteller hvor lenge en tone skal lyde. Dersom komponisten eller arrangøren vil at en helnote skal angi at en tone skal lyde to sekund, angir en halvnote at den aktuelle tonen skal lyde ett sekund, en kvartnote at den aktuelle tonen skal lyde et halvt sekund osv. Det samme gjelder for pausetegnene. Alternativt kan tempo angis løsere med for eksempel adagio (langsomt) eller presto (hurtig). Hvilken tone som skal lyde, framkommer av notetegnets plassering på/i forhold til fem notelinjer. Det kommer vi tilbake til. Et punkt (punktum) etter et notetegn betyr at varigheten av den aktuelle tonen/pausen skal forlenges med halvparten av tegnets verdi. Vi sier da at noten er punktert. En punktert fjerdedelsnote angir for eksempel at den aktuelle tonen skal vare/lyde like lenge som samlet varighet av tre åttendedelstoner fordi Kapittel BRØK Side 7

9 Et musikkstykke er delt i takter med et bestemt antall taktslag i hver takt. På den første notelinjen blir det angitt med en taktbrøk eller et tegn som angir en bestemt taktbrøk. Tegnet betyr for eksempel at takten skal være som leses fire fjerdedeler. Når takten er fire fjerdedeler, sier vi at musikkstykket går i fire fjerdedeler. Telleren i taktbrøken forteller antall slag i hver takt. Nevneren forteller hvor lenge hvert slag skal vare. Telleren i takten, dvs. telleren i brøken, dvs., angir at det skal være fire slag i hver takt. Fire slag betones ofte tung lett tung lett, de to siste litt svakere enn de to første. i nevneren forteller at hvert taktslag skal vare like lenge som den tiden en fjerdedelsnote angir. La oss se på en liten melodi som går i fire fjerdedeler: Vokal oppvarming Tegnet kalles G-nøkkelen, og tegnet betyr at melodien går i F-dur. Hvis du ikke vet hva det betyr, kan du spørre noen i klassen som vet det. Kapittel BRØK Side

10 Kapittel BRØK Side 9 Melodien/sangen Vokal oppvarming går i fire fjerdedeler. Selv om melodien ikke bare har fjerdedelstoner, skal summen av noteverdiene i hver takt være fire fjerdedeler. La oss kontrollregne noen takter: Takt nr. : ) ( Takt nr. : ) ( ) ( Takt nr. : Brøkregning og musikk innledet "et forhold" allerede for to og et halvt tusen år siden. Da utarbeidet matematikeren Pytagoras, ved hjelp av brøkregning, en harmonilære som i stor grad stemmer med de harmoniene vi bruker og er vant med i dag. Harmoni vil enkelt si at noen toner klinger godt sammen. Den store tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz, som levde i det syttende århundret, uttalte følgende om forholdet mellom matematikk og musikk generelt: "Die Musik ist eine verborgene arithmetische Übung der Seele, welche dabei nicht weiss, dass sie mit Zahlen umgeht. Die Seele vollbringt nämlich vieles in unklarer und unbemerkter Erkenntnistätigkeit, was sie mittels deutlicher Wahrnehmung nicht bemerken kann. Denn diejenigen sind im Irrtum, welche meinen, es könne nicht in der Seele geschehen, dessen sie selbst sich nicht bewusst werde. Wenn daher die Seele auch nicht merkt, dass sie rechnet, so fühlt sie doch die Wirkung dieser unbemerkten Rechnung, sie es als Freude am Zusammenklang, als Bedrückung beim Missklang..."

11 KONTROLLOPPGAVER K6 Under finner du de første taktene i tre melodier. Kontrollregn taktene. Den første takten stemmer ikke alltid med taktbrøken. Her begynner melodien på det tredje taktslaget. Her begynner melodien på det sjette taktslaget. betyr to sekstendeler Kapittel BRØK Side 50

12 Brøk multiplisert med heltall Nå skal vi se hva resultatet blir når vi multipliserer en brøk med et tall. Vi tar igjen utgangspunkt i et kvadrat delt i firedeler: Hva blir én firedel multiplisert med tre? En multiplisert med tre er jo tre, så det må bli tre firedeler: Eksemplet viser hvordan vi multipliserer en brøk med et tall: Vi multipliserer en brøk med et tall ved å multiplisere tallet med telleren og beholde nevneren. Denne regelen betyr for eksempel at en firedel av figuren multiplisert med åtte blir : dvs. to figurer, som er én mer enn vi hadde i utgangspunktet. Slike resultat er greie rent matematisk, men de kan være årsaken til at brøker der telleren er større enn nevneren, blir kalt uekte brøker. Brøker der telleren er mindre enn nevneren, kalles ekte brøker. Som nevnt foran kan vi gjøre en uekte brøk om til et blandet tall, dvs. et helt tall pluss en ekte brøk. Kapittel BRØK Side 5

13 KONTROLLOPPGAVE K7 Utfør følgende multiplikasjoner. Forkort produktet hvis mulig. Gjør produktet om til et blandet tall hvis det blir en uekte brøk. a) b) c) d) 6 { } { } { } 7 { 5 } Brøk dividert på heltall Nå skal vi se hva resultatet blir når vi dividerer en brøk på et tall. Når vi deler en firedel i fire like store deler, får vi sekstendeler: En firedel dividert på fire, blir altså en sekstendel: : 6 ( ) En regel for å dividere en brøk på et tall kan altså være følgende: Vi kan dividere en brøk på et tall ved å multiplisere tallet med nevneren og beholde telleren. Vi oppsummerer at vi multipliserer ved å multiplisere med telleren og dividerer ved å multiplisere med nevneren. Kapittel BRØK Side 5

14 KONTROLLOPPGAVE K Utfør følgende divisjoner. Forkort resultatet (kvotienten) hvis mulig. a) : b) : c) : { } { } {} Brøk multiplisert med brøk Nå skal vi se hva resultatet blir, når vi multipliserer en brøk med en brøk. Dette kan være litt vanskelig å "se for seg" hva blir for eksempel fem åttedeler multiplisert med tre firedeler: 5? Her kan det hjelpe å tenke areal. Når vi skal beregne arealet (flaten) av et rektangel (firkant med parvis parallelle sider og rette hjørner), multipliserer vi lengden av de lengste sidene med lengden av de korteste, for eksempel slik: Areal (antall ruter) 6 Kapittel BRØK Side 5

15 Et bilde av brøkmultiplikasjonen 5 er følgende sorte rektangel der en sidelengde er fem åttedeler og den andre tre firedeler: Det store rektanglet er delt i trettitodeler ( ). Det sorte rektanglet består av femten (5 5) trettitodeler. Det må bety at ( ) Dette gir en regel for å multiplisere en brøk med en brøk: Vi kan multiplisere en brøk med en brøk ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. KONTROLLOPPGAVE K9 Utfør brøkmultiplikasjonene og forkort hvis mulig: a) b) 6 c) { } { } 7 { } 5 Kapittel BRØK Side 5

16 Brøk dividert på brøk La oss nå prøve å finne hva resultatet blir når vi dividerer en brøk på en brøk. Her er det enda vanskeligere "å se for seg" hva som foregår, men vi gjør et forsøk med utgangspunkt i brøkdivisjonen: 6 : Seks ellevedeler kan vi illustrere slik: Tre firedeler kan vi illustrere slik: Når vi deler seks på tre, blir det to på hver. Vi skal dele seks ellevedeler på tre firedeler. Da må det bli to ellevedeler på hver firedel: Men når vi deler, er vi interessert i å vite hvor mye det blir på hver det vil si på en hel. Det er fire firedeler i en hel. Hvis hver firedel får to ellevedeler, må jo en hel få fire ganger så mye, dvs. fire ganger to, dvs. åtte ellevedeler: 6 : må altså være lik Kapittel BRØK Side 55

17 Det kan være vanskelig å forstå "logikken" i brøkdivisjon. Hvis du for eksempel synes at det var merkelig at vi fikk åtte ellevedeler på hver når vi skulle dele seks ellevedeler, så er du ikke helt i mål ennå. For å gardere, i tilfelle du er usikker, skal vi avslutte eksemplet med en praktisk tolkning. Vi kan for eksempel ta utgangspunkt i en gruppe på fire personer. Hver person skal få stk. av en beholdning på stk. av et eller annet. Når tre personer, dvs. tre firedeler av gruppen, har fått sitt, er seks stk., dvs. seks ellevedeler av beholdningen, fjernet. Seks ellevedeler er altså fordelt (delt, dividert) på tre firedeler av gruppen, dvs. 6 : Når vi deler, får vi vite hvor mye det blir på hver, dvs. på stk. av den enheten vi regner med. I vårt eksempel er enheten gruppe. Divisjonen vil altså fortelle oss hvor mye/mange det blir på en hel (hver) gruppe. Hvert gruppemedlem får stk. De tre første fjernet 6 stk. Når det fjerde og siste gruppemedlemmet har forsynt seg, er i alt stk. fjernet fra beholdningen som opprinnelig var på stk. Gruppen som helhet (enhet) har altså fått åtte ellevedeler av beholdningen, og følgende er korrekt 6 : Det er ikke så lett å se det, men vi hadde fått det samme resultatet dersom vi hadde snudd den siste brøken "på hodet" og multiplisert i stedet for å dividere: 6 : 6 Hvis vi kaller en brøk snudd "på hodet" for "den omvendte brøken", har vi nå en grei regel for å dividere en brøk på en brøk: Vi dividerer en brøk på en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken. KONTROLLOPPGAVE 7 K0 Utfør brøkdivisjonen : { } 5 Kapittel BRØK Side 56

18 Brudden brøk Dersom telleren og/eller nevneren i en brøk også er en brøk, kaller vi brøken en brudden brøk. Brøkdivisjonen 6 6 : fra det forrige avsnittet kan vi omskrive til en brudden brøk slik: At kvotienten (divisjonsresultatet) blir, kan vi nå vise slik: Vi kan omgjøre en brudden brøk til en vanlig brøk ved å multiplisere telleren og nevneren med begge smånevnerne. KONTROLLOPPGAVE K Omskriv til vanlig brøk: { } 5 I det neste avsnittet skal vi med brudne brøker introdusere begrepet uendelig og begrunne at vi ikke kan dividere på 0 (at nevneren i en brøk ikke kan være 0). Kapittel BRØK Side 57

19 Å dele på null er tull Begrepet uendelig Vi starter med å beregne noen brudne brøker I samtlige brøker er telleren. I den første brøken er nevneren én tidel og verdien av brøken ti. I den andre er nevneren én hundredel og verdien av brøken hundre. I den tredje er nevneren én tusendel og verdien av brøken tusen. I den siste er nevneren én milliondel og verdien av brøken en million. Her er det system, og dette systemet kan vi uttrykke slik: Kapittel BRØK Side 5

20 a a Hvis vi nå tenker oss en større og større a-verdi, så blir nevneren mindre og mindre (den nærmer seg 0) samtidig som verdien av brøken blir større og større. Hvor langt kan denne prosessen gå? Vi innser at den kan fortsette i det uendelige. Hvis vi tenker oss at vi lar den gjøre det (hva nå i det uendelige måtte bety), så skulle vi tro at nevneren likevel aldri blir 0, og hvis den likevel ble det, så måtte jo verdien av brøken være uendelig stor. Men uendelig stor er ingen eksakt verdi. dividert på 0 gir følgelig ingen eksakt verdi til svar. Det samme resultatet får vi om vi bytter i telleren med en hvilken som helst annen verdi. Vi må derfor konkludere med at vi ikke kan dividere på 0 å dele på null er tull. Kapittel BRØK Side 59

21 Tallmengdene/talltypene så langt i boka Du kjenner de to mengdene N og Z og vet at de er henholdsvis mengden av alle hele positive tall og mengden av alle hele tall: N {,,,, 5,... } Z {... 5,,,,, 0,,,,, 5,... } En brøk kaller vi et rasjonalt tall. Adjektivet rasjonal kommer av det latinske ordet ratio, som betyr forhold. En brøk forteller oss forholdet mellom to tall, dvs. det ene tallet (telleren) dividert på det andre (nevneren). Mengden av alle rasjonale tall heter Q og defineres slik: teller Q { teller Z og nevner Z } nevner Denne definisjonen inneholder en del matematiske "stenografisymbol". Når vi skal uttale definisjonen, uttales symbolene slik: { } "mengden av" "som er slik at" "er element i" (når et tall er med i en tallmengde, sier vi at det er et element i mengden) Definisjonen av mengden Q kan altså uttales slik: Q er mengden av alle brøker som er slik at telleren er element i Z og nevneren er element i Z. Kapittel BRØK Side 60

22 Z er mengden av alle heltall. At noe er element i Z, betyr at det er et heltall. Et rasjonalt tall er altså per definisjon et uttrykk som består av eller kan omskrives til et heltall dividert på et heltall. En alternativ og tilstrekkelig definisjon av mengden Z er følgende: teller Q { teller N og nevner Z } nevner Vi får med alle negative brøker om vi bare krever at telleren skal være element i N, dvs. mengden av de hele positive tall. Positiv teller og negativ nevner gir en negativ brøk. Et helt tall er også samtidig et rasjonalt tall. Vi forandrer jo ikke verdien om vi lar tallet være telleren i en brøk der nevneren er. De tre tallmengdene N, Z og Q er "i slekt" med hverandre på den måten at alle tallene i N også er med i Z, og slik at alle tallene i N og Z også er med i Q (alle elementene i N er også element i Z. Alle elementene i N og Z er også element i Q). I det neste kapitlet skal vi se på prosentregning og promilleregning. Det er også brøkregning. Kapittel BRØK Side 6

23 MILJØOPPGAVE BRØK Denne oppgaven krever ikke brøkregning, men vi lar slektskapet mellom brøkregning og divisjon være påskudd for å ta den med her. Det finnes i dag 0 million landminer utplassert rundt om i verden. Hvert år fjernes rundt a) Hvor mange år vil det ta, med dagens tempo, å fjerne miner som allerede er utplassert? {00} For hver 5000 mine som fjernes, blir en minerydder drept. b) Hvor mange mineryddere vil omkomme i arbeidet med å fjerne de utlagte minene? { 000} Hvert år legges rundt nye miner ut. ABEL-OPPGAVE BRØK ABEL 996 første runde oppgave Det tallet som ligger midt mellom og 7 er A) B) C) 5 D) 7 E) Kapittel BRØK Side 6