Lengdemål, areal og volum Lengdemål Elever bør tidlig få erfaring med å vurdere ulike avstander og lengdemål. De kommer ofte opp i situasjoner i hverdagen hvor det er en stor ulempe å ikke ha begrep om avtander og lengder. Lek med spørsmål som: Hvor langt er det til skolen? Hvor høyt er huset? Hvor langt er det til badestranda? Hvor bred er tommelen min? Hvor lang er en meitemark? La elevene komme med forslag, og bruk ulike måter å måle på. I første omgang kan det være lurt å sammenlikne lengder: Hvor mange meitemarker er det plass til langs foten min? For å måle korte avstander kan elevene bruke kroppen å måle med, for eksempel håndflata, føttene. Gjett og sjekk hvor langt det er for eksempel fra et vindu til døra i klasserommet. Alle elevene teller skritt. Får alle samme svar? Hvorfor/ hvorfor ikke? Her kan dere få en interessant diskusjon. Har alle gått med like lange skritt? Har noen målt med museskritt? Ved å gjøre denne aktiviteten vil elevene erfare at vi behøver en måleenhet som er lik for alle. De skjønner at det ikke er nøyaktig nok å si at avstanden til døra er mellom 5 og 10 skritt, avhengig av hvem som måler. Da har dere motivert for å innføre måleenhetene meter, desimeter og centimeter. Aktivitet Et måleband kan virke uoversiktlig i begynnelsen. Det så mange streker der! Vi har svært god erfaring med å la elevene lage sin egen meterstav. Kapp opp lister i meterlange stykker, eller samle pinner og kapp dem meterlange. Det er best hvis alle elevene har sin egen. Hvor langt rekker meteren på kroppen deres? Legg stokkene etter hverandre for å måle en avstand. Hva gjør vi hvis det ikke blir et helt antall meter? Da må vi dele opp meteren i mindre biter. La elevene få sette et merke for hver 10 cm. Det blir en oppdagelse for dem at det går akkurat 10 ganger på en meter. Mal annenhver desimeter rød og hvit. Hvis det ikke lengden de skal måle går opp med et helt antall desimeter, må de dele hver desimeter mindre deler. Elevene merker av for hver centimeter. Her oppdager de at det går opp, 10 cm i 1 dm. Siden det går 10 tiere på hundre, vil det være 100cm i en meter.. Kanskje vil noen barn telle for å godta dette. Ved å bruke tid på å lage sin egen meter, vil elevene få en helt annen følelse med hva de ulike måleenhetene betyr, og de får et godt grunnlag for å estimere lengder. Etterpå går regningen med enhetene så mye lettere. Dere kan lage meterstokker på andre måter, for eksempel ved å bruke centikuber. Centikubene er 1 cm 1 cm 1 cm. Sett sammen 10 og 10 av samme farge etter hverandre og lag meterstokken på denne måten. Det samme kan man gjøre med multilink, men disse er 2 cm 2 cm 2cm, og derfor trenger vi bare 5 for å lage en desimeter. Det kan virke noe forvirrende for elevene. Areal Begrepene areal og omkrets blandes ofte sammen, og elevene har ikke klart hva disse begrepene innebærer. På mange måter er flateinnhold er et bedre norsk ord enn areal, siden det assosieres med en flate. Men selv om vi forandrer ordet må elevene også få forståelse for hva vi finner når vi finner omkretsen og flateinnholdet.
Å anslå et areal er vanskeligere enn å anslå lengde. Elevene har nok vurdert størrelse på areal i ulike situasjoner, men uten å tenke målenhet. Som vi har vist under kommentarene til grunnleggende geometri, kan vi bruke sugerør eller tau for å erfare hvordan arealet forandrer seg selv om omkretsen er konstant. Ovenfor har vi foreslått å bygge 1 desimeter og 1 meter med centikuber. Det gir et godt bilde på sammenhengen mellom lengde og areal hvis elevene bygger en kvadratdesimeter med centicubedesimetre. Det trengs 10 centikuber for å bygge en desimeterstav. Hvor mange centikuber trenger vi for å dekke en flate som er 1 desimeter lang og 1 desimeter brei? Aktivitet La elevene legge handa si oppå et blankt ruteark og tegne omrisset. Del ut transparenter med rutenett på 1 cm 1 cm. Denne legges oppå tegningen av handa, slik at elevene kan finne arealet av handa si ved å telle ruter. De må gjøre noen tilnærminger der det ikke er hele ruter. Snakk om at dette blir omtrent riktig. Det finnes andre måter å finne omtrent hvor stort arealet av håndflata er. La elevene tegne det rektangelet de mener passer best til omrisset av handa. Snakk om at hvis de tegner et rektangel som ligger helt inni handa, vil arealet bli for lite. Hvis vi tenger et der handa ligger helt inni, vil arealet bli for stort. Det som passer best vil være et rektangel som av og til stikker litt utafor omrisset og av og til er inni. Regn ut arealet av rektangelet og sammenlikne med den andre måten å finne arealet på. Gjøre liknende øvelser med andre uregelmessige arealer. Vi anbefaler geobrett til å la elevene selv finne formler for areal av de ulike typene firkanter og trekanter de skal lære om. Volum Det er overraskende for de aller fleste hvor stort volum det er plass til innenfor et ganske begrenset område. De fleste opplever en melkekartong som ganske liten. La eleven gjette hvor mange centicuber som trengs for å bygge en melkekartong på 1 liter. La dem bygge den! Det er en overraskelse for de fleste at det trengs 1000 centikuber. La elevene samarbeide om å bygge en kube med sidekanter 1 desimeter av centikuber. Hvor mange centikuber trengs til det? La elevene få erfare at en kubikkdesimeter rommer 1 liter. Bygg kubikkdesimetre av ulikt materiale og fyll dem med vann, ris eller liknende som de vet at de har 1 liter av. Igjen er det viktig å få kjennskap til hvor store de ulike målene er gjennom praktisk erfaring. Masse Hvis dere har mulighet, er det fint å bruke skålvekter for å sammenlikne vekt. Det er ikke lett (som enkelt lærebøker legger opp til) å sammenlikne vekt ved å se på bilder. Store ting kan veie lite, og små ting kan veie mye. Dessuten er det små bilder av store dyr som skal sammenliknes med like store bilder av små dyr i enkelte lærebøker. Veiing og sammenlikning av vekt (masse) må gjøres i praksis. Det finnes ulike hjelpemidler beregnet for sammenlikning av masse på markedet. På Matematikksenteret har vi bamser. De er laget i tre ulike størrelser som er sammenlignbare i vekt. 3 små bamser har samme masse som en stor, og en liten og en mellomstor har samme masse som en stor. Dermed har en mellomstor og to små bamser også samme masse. Disse er veldig fine å bruke som introduksjon til masse.
Vi bruker skålvekta og plastbamsene i 3 forskjellige størrelser. Ingen vet på forhånd hvordan forholdet mellom massene er. Vi ber elevene gjette på sammenhengen først, og deretter bruke skålvektene for å finne ut av det.. - Hvilken sammenheng er det mellom vekta på bamsene? - Hvor mange små bamser veier en stor? - Hvor mange bamser veier mobilen din? - Vei ulike gjenstander med bamser. Oppsummering: I denne aktiviteten er bamsene måleenheten. De fleste barna har i utgangspunktet ikke noe forhold til standard måleenheter (1. trinn). For dem kan det være like naturlig å veie noe i bamser som å veie i gram eller kilo.
Som en avslutning på aktiviteten måler de hvor mange centikuber bamsene veier. Centikubene veier nøyaktig 1 gram. Som vanlig skal de gjette først, og deretter sjekke ved måling. I vårt tilfelle veier de små bamsene 4 gram. (Da kan veiing med bamser også bli en trening i 4-gangen). Demonstrasjon: I den ene skåla har vi 3 centikuber, og i den andre har vi 8 centikuber. Elevene skal ikke vite hvor mange det er oppi. Be dem gjette hvor mange centikuber mer det er i den ene enn i den andre skåle. Hvor mange må vi legge til i den letteste for at det skal bli like mange i hver skål? Det er lov å ombestemme seg etter hvert som flere centicuber blir putta oppi. Legg oppi centikuber, en etter en, og tell. Dette kan bli trening i addisjon og subtraksjon. Tredimensjonal geometri Her vil vi bare vise hvordan vi kan sammenlikne volum av ulike legemer som elevene etter hvert skal kunne formelen for. Det er interessant å se at når vi ber eldre elever (og for den saks skyld også voksne) om å gjette hvor mange fulle pyramider som får plass i en boks med samme grunnflate og høyde, tenker de ikke ut fra formelen de en gang har lært. Hvis vi fyller den kvadratiske pyramiden 3 ganger fyller vi akkurat kuben:
Volumet av kuben er grunnflate ganger høyde, mens volumet av pyramiden er 1/3 grunnflate ganger høyde. Hvis vi fyller kjegla 3 ganger fyller vi akkurat sylinderen: Igjen er kjeglens volum 1/3 grunnflate ganger høyde, mens sylinderens er grunnflate ganger høyde. Denne erfaringsbaserte kunnskapen kan elevene få med seg lenge før de skal lære at volumet av en pyramide og en kjegle er 1 g h, der g er grunnflata og h er høyden, mens sylinderen og 3 kuben er g h.. Sylinderen og kuben har plass til 3 ganger så mye som de som ender i en spiss. Dette gjelder for alle rette romlegemer med samme grunnflate og høyde, der den ene er rett og den andre ender i en spiss.
Aktivitet Bygg med de 3-kanta jovobrikkene. Vi studerer de romlige figurene, og teller antall hjørner, kanter og flater. Tabellen viser egenskaper til noen figurer. Hjørner Kanter Flater 4 6 4 7 15 10 6 12 8 12 24 14 Er det noen sammenheng mellom antall hjørner, kanter og flater? Hjørner Kanter Flater Hjørner + flater 4 6 4 8 7 15 10 17 6 12 8 14 12 24 14 26 Av tabellen ser vi at hjørner + flater = kanter + 2 Det var den kjente matematikeren Euler som først fant denne sammenhengen.. 20 flater: ikosaeder 4 flater: tetraeder
8 flater: oktaeder Dette er de greske navnene på figurene, og disse 3 er de eneste regulære figurene vi kan lage med 3-kanter. Dette er platonske legemer. Fotballen er ikke et platonsk legeme, men et arkimedisk legeme. Dette fordi den er sammensatt av 2 sekskanter og 1 femkant i hvert hjørne. Hvis vi setter sammen kvadrater, hvilke figurer kan vi få da? Da kan vi kun lage kuben. Setter vi sammen flere kvadrater fyller vi planet, det vil si det blir ingen romlig figur, men helt flatt.
De eneste andre aktuelle mangekantene, som ikke har for store innvendige vinkler, er femkantene og sekskantene. - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare sekskanter? - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare femkanter? Med bare sekskanter går det ikke. Vi får et flatt mønster. (sekskantvinkelen er 120. Tre slike blir 360 ). Men vi klarer å bygge et platonsk legeme med bare femkanter. Denne figuren har 12 flater. Dodekaederet. Det er en viktig del av matematikken å bli kjent med 2- og 3- dimensjonale figurer.