Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple
Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning................................... 5 2.2 Regnerekkefølge................................ 5 2.3 Tallet π..................................... 6 2.4 Minne...................................... 6 2.5 Kvadratrot.................................... 7 2.6 Parenteser.................................... 7 2.7 Brøk....................................... 8 2.8 Store og små tall................................ 9 2.9 Sinus, cosinus og tangens.......................... 9 2.10 n-terøtter.................................... 10 2.11 Potenser..................................... 10 2.12 Logaritmer................................... 10 3 Funksjoner 11 3.1 Tegning av grafer for hånd.......................... 11 3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet................ 12 3.3 Finne minste avstand............................. 13 3.4 Utregninger på grafen............................. 14 3.4.1 Finne y når du kjenner x....................... 14 3.4.2 Nullpunkter.............................. 14 3.4.3 Finne x når du kjenner y....................... 15 3.4.4 Topp- og bunnpunkter........................ 15 3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer.................. 16 3.4.6 Derivert................................. 17 3.5 Tangent..................................... 17 4 Lineær regresjon 17 5 Likninger 18 5.1 Likninger av andre og tredje grad...................... 18 5.2 Likningssett................................... 19 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Maple som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Heftet er utviklet i samarbeid med Adept Nordic. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1T, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Tallregning 2.1 14 Regnerekkefølge 2.2 68 Likningssett 5.2 72 Regresjon 4 90 Potenser 2.11 92 Negative potenser 2.11 94 Lese standardform 2.8 95 Taste inn standardform 2.8 96 N-terot 2.10 98 Brøkeksponent 2.11 99 Lage verditabell 3.1 100 Logaritmer 2.12 175 Andregradslikning 5.1 208 Sinus, cosinus, tangens 2.9 212 Inversfunksjonene 2.9 253 Tegne graf 3.2 256 Minste avstand 3.3 276 Informasjon fra grafer 3.4 279 Regne ut funksjonsverdi 3.1 280 Regne ut den deriverte 3.4.6 285 Finne tangent 3.5 3
1 Om Maple Dette heftet tar utgangspunkt i Maple versjon 13, fra Maplesoft. Maple finnes til de fleste plattformer, herunder Windows, Macintosh og Linux. Maple er et profesjonelt digitalt verktøy for matematikk. Det dekker de fleste læreplanmål for matematikk i skolen, med unntak av dynamisk geometri. Maple er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. Men det er unødvendig å huske alle kommandoer. Alle valg er tilgjengelige fra menyer og paletter. Det er imidlertid ingenting i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om du husker de vanligste kommandoene. 1.1 Tillegg til Maple Når Maple starter opp, er ikke all funksjonalitet aktivert. Du bruker kommandoen «with()» til å aktivere pakker fra biblioteket. For eksempel skriver du «with(statistics):» for å få tilgang til kommandoer for å utføre regresjonsanalyse. Gyldendal Undervisning har laget en samling med de nødvendigste kommandoene for norsk videregående skole. Den installeres slik: 1. Last ned filen «gyldendal.mpl» fra http://www.gyldendal.no/sigma/ til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents». 2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen, bla fram til den mappen du lastet ned filen til og trykk på «Open» («Åpne»). Per juni 2013 inneholder gyldendal.mpl følgende kommandoer. sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader). cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader). tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader). arcsind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a. arccosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a. arctand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a. lg(a): Finner logaritmen til a (logaritme med grunntall 10). grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer. radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader. 4
I samarbeid med Adept Nordic har Harald Pleym laget innføringslitteratur og spesialtilpassede programpakker for Maple tilpasset norsk skole generelt og spesielt. Dette kan skaffes på http://www.hpleym.no. 2 Regning Maple har flere input-modi. Du veksler mellom tekst-input og matematikk-input med F5-tasten. Hva du velger, er en smakssak. Nedenfor har vi forutsatt at vi bruker tekst-modus. Når du skal foreta en beregning i tekstmodus, må du gi Maple beskjed om at det du taster inn skal beregnes. Dette gjør du ved å velge «Maple Input» fra Insert-menyen. Hver linje avsluttes med et semikolon («;»). 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Gangetegnet er obligatorisk, så 2x må tastes inn som «2 x». Svaret får du når du taster semikolon og trykker enter (linjeskift). Maple regner eksakt. Det betyr at den unngår avrundinger og desimaltall så ofte som mulig. Dersom du vil ha svaret i desimaltall, må du be spesielt om det, ved hjelp av funksjonen «evalf()». Eksempel: Vi taster inn 3 : 2 på vanlig måte med «3/2» og får svaret 3. Vi taster 2 inn «evalf(%)» for å få det siste svaret i desimaltall: 2.2 Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen 4+5 2 3 taster vi inn som det står og avslutter med enter. Maple bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. 5
Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( 4 2 5 ( 3)) 2, som tastes inn slik: 2.3 Tallet π For å skrive inn tallet π, taster vi «Pi». Legg merke til at Maple tolker «pi», med liten bokstav, som den greske bokstaven med samme navn. Denne bokstaven er ikke tilordnet noen verdi. Som alltid kan vi få en tilnærmingsverdi om vi bruker «evalf()». 2.4 Minne Du kan enkelt lagre tall eller uttrykk for seinere bruk i programmets minne. Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet «%». La oss si at du har regnet ut (4+5) 2 3 og fått 72. Om du så taster % Pi og trykker enter, vil Maple multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π. I tillegg til «%», fungerer de fleste tegn og kombinasjoner av tegn som minne. Du lagrer en verdi eller et uttrykk i et minne ved å skrive navnet etterfulgt av kolon, likhetstegn og så verdien du vil lagre. Navnene (variablene) kan ikke begynne med et tall eller inneholde mellomrom. For å lagre forrige verdi i et minne vi kaller «a», gjør vi slik: 6
For å lagre uttrykket 3x 2 med navn «f1» gjør vi slik: Verdien i minnet får du fram igjen ved å skrive navnet. Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene a og b og så regner ut a b og får 142: 2.5 Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()», eller velger fra en av palettene. 2.6 Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er 5 + 7 2 3 = 12 6 = 2 7
Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren. Legg merke til at om vi i stedet bruker matematikk-input her (F5), får vi brøken opp mens vi skriver, slik at vi lett ser om det er riktig brøk vi taster inn. 2.7 Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Svaret blir oppgitt i brøk. Dersom du vil ha desimaltall, bruker du som vanlig «evalf()». Skal vi for eksempel regne ut 2 + 3 3 8 7 3 slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: Dersom vi i stedet velger matematikk-input (F5), får vi brøekn opp mens vi skriver. Vi kan bruke parenteser til å kontrollere hvordan brøkstreken settes, og vi bruker piltastene for å komme ut av nevneren. Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken 1 2 1 3 8
taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. 2.8 Store og små tall Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform. I utgangspunktet får du 10 sifre. Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn 6700000000, kan du velge å taste «6.7 10 9». Regnestykket 6700000000 0,0002 kan du velge å regne ut som 6,7 10 9 2 10 4 ved å taste slik: 2.9 Sinus, cosinus og tangens Maple har innebygget sinus, cosinus og tangens, men de innebygde funksjonene bruker et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Og radianer kommer du ikke borti før i Vg3. For å regne med grader, må du laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. De trigonometriske funksjonene for grader taster du inn med «sind()», «cosd()» og «tand()». For å finne sin 45, taster du inn «sind(45)». For å gå tilbake, bruker vi «arcsind()», «arccosd()» og «arctand()»: For å finne hvilken vinkel som har cosinus-verdi 1, taster vi «arccosd(1/2)». 2 9
2.10 n-terøtter Kommandoen «surd» regner ut n-terøtter. Eksempel: For å beregne 5 7,34 taster vi «surd(7.34, 5)»: 2.11 Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( 5) og 2 2 3 ved å taste 2 (2/3). 2.12 Logaritmer Når vi regner ut logaritmer med Maple, bruker vi funksjonen «log10()». Vi får svaret med såkalte naturlige logaritmer, ln. Men på vanlig måte kan vi be om å få svaret i desimaltall («evalf»). Vi finner lg 25 slik: 10
3 Funksjoner Funksjonsuttrykk angis i Maple ved at man skriver navnet på funksjonen («f»), et kolon («:»), et likhetstegn («=»), navnet på variabelen («x»), en høyrepil («->») og selve funksjonsuttrykket. Eksempel: Vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 2x+5. Da taster vi «f:=x->2*x+5;»: Vi regner ut funksjonsverdier ved å taste inn i Maple slik vi skriver for hånd, altså regner vi ut for eksempel f(3) ved å taste «f(3)». 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne ut funksjonsverdier for funksjonen. Først definerer vi funksjonen ved å sette en variabel til den funksjonen. Eksempel: Om vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 0,023x 1,7, gjør vi slik: Funksjonsverdier regner vi så ut med «f()»: Dersom vi ønsker å regne ut flere verdier i en tabell, lager vi en liste med funksjonen «seq()» slik: 11
Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem. 8 6 4 2 10 20 30 3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). I noen tilfeller kan vi la Maple bestemme hvilken skala vi skal bruke på aksene, mens i andre tilfeller bør vi regne det ut selv. Da bruker vi funksjonens definisjonsmengde og lager en verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = 15 x funksjonen: for x < 15. Først definerer vi Så lager vi verditabell. Vi lar tabellen gå fra 1 til 15. Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 1 til 15, må y være mellom 1 og 15. Da er vi klare til å tegne grafen. 12
Vi tegner grafen med «plot(f(x),x=xmin..xmaks,y=ymin..ymaks)». I vårt eksempel skriver vi «plot(f(x),x=0..15,y=0..15)»: Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du endre på intervallene for x og y, eller velge Plot > Manipulator > Scale og skalere aksene med musa. 3.3 Finne minste avstand Den minste avstanden mellom to punkter kan vi finne ved å lage en funksjon f(x) som regner avstanden mellom punktene og så finne den minste verdien til denne funksjonen. I eksempel 13 på side 256 i læreboka har vi funnet avstanden fra A til B innom P som funksjonen f(x) = x 2 + 200 2 + (400 x) 2 + 100 2 Vi finner minste funksjonsverdi ved å finne bunnpunktet som beskrevet i avsnitt 3.4.4 nedenfor. Metoden vi bruker for å finne bunnpunktet i avsnitt 3.4.4 bruker derivasjon. Derivasjon lærer du i kapittel 8 i læreboka. Hvis du ikke har lært dette enda, er det lettest å bruke en graftegner i stedet for Maple. 13
3.4 Utregninger på grafen Maple gjør ikke beregninger på selve grafen, men regner med eksakte funksjonsverdier. Nedenfor finner du metoder for hvordan du kan bruke Maple til å regne ut svar som også kan finnes for eksempel ved avlesning på grafen. Maple gir deg imidlertid det eksakte svaret. 3.4.1 Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x, setter vi den inn i «f()». Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0,001x 3 + 0,09x 2 + 10. Vi regner ut f(10) slik: Altså er f(10) = 18. 3.4.2 Nullpunkter Du finner nullpunkter med «solve()». Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Dersom en av løsningene inneholder konstanten «I», betyr det at løsningen er et såkalt komplekst tall. Slike løsninger tar vi ikke med. Eksempel: La f(x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi ser at begge løsningene inneholder «I». Funksjonen f har derfor ingen nullpunkter. 14
3.4.3 Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, løser vi likningen f(x) = a. Dette gjør vi på samme måte som når vi finner nullpunkter, jfr. avsnitt 3.4.2, men i stedet for å bruke «solve(f(x),x)», bruker vi «solve(f(x)=a,x)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 3 4x 2 + 3x + 12. Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4. Vi kan kun bruke løsningen som ikke inneholder «I». Svaret er at f oppnår verdien 4 når x = 1. 3.4.4 Topp- og bunnpunkter Topp- og bunnpunkter finner vi ved å regne ut den deriverte med «D()» og sette denne lik null. For å avgjøre om vi da finner et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, tegner vi grafen til funksjonen. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 +2x 2 +3x 6. Vi skal finne bunnpunktet. Vi definerer f og skriver «D(f)(x)»: Deretter finner vi når f (x) er null («solve») og hvilken verdi f har da: Til slutt tegner vi grafen for å avgjøre hva slags ekstremalpunkt det er. 15
Altså er det et bunnpunkt til venstre og et toppunkt til høyre. Koordinatene til bunnpunktet er ( 0,6; 7,0) og koordinatene til toppunktet er (3,3; 7,7). 3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å løse likningen f = g. Vi taster «solve(f(x)=g(x))». Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6 og g(x) = x + 2. Vi definerer f og g og taster «solve(f=g)». Til slutt regner vi ut funksjonsverdien av x-verdiene til skjæringspunktene. 16
Altså er skjæringspunktene ( 2, 0), (2, 4) og (4, 6). 3.4.6 Derivert Du finner den deriverte til en funksjon f med «D(f)(x)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x 2 + 10. Vi skal finne f (x) og f (10). Vi definerer f og regner ut den deriverte: Dette betyr at f (x) = 0,003x 2 + 0,18x og f (10) = 1,5. 3.5 Tangent For å regne ut tangenten, laster du inn passende bibliotek med kommandoen «with(student[calculus1]):». Da får du tangenten til f(x) for x = 0 ved å skrive «Tangent(f(x),x=a». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 2 4x + 5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 1. Vi bruker «Tangent()»-funksjonen: Altså er likningen til tangenten y = 2x + 4. 4 Lineær regresjon For å utføre regresjonsanalyse må vi laste inn statistikkpakken «Statistics», som vi gjør ved å gi kommandoen «with(statistics):». Først taster vi inn verditabellens lister over x-verdier og y-verdier hver for seg. Deretter utfører vi regresjonen med «Fit()». Eksempel: Vi legger inn følgende verditabell: x 10 5 0 5 y 868 735 566 448 17
Når vi laster inn statistikkpakken og legger inn verditabelen som to lister, blir det slik: Nå skriver vi inn «Fit(a*x+b,X,Y,x);» og får utført regresjonen: Dette betyr at regresjonslinja er y = 28,6x + 582,8. 5 Likninger 5.1 Likninger av andre og tredje grad Likninger løser vi med «solve()». Eksempel på andregradslikning: Vi løser likningen slik: 1,2388x 2 + 3,423x 4 3 = 0 Løsning på likningen er altså at x er 0,47 eller 2,29. Eksempel på tredjegradslikning: 3x 3 x 2 12x + 4 = 0 Hvis en av løsningene inneholder konstanten «I», betyr det at tallet er såkalt komplekst. Denne løsningen tar vi ikke med. Eksempel: Vi løser likningen x 2 + 3x + 3 = 0 18
Begge løsningene inneholder konstanten «I». Da svarer vi at likningen ikke har noen løsning. 5.2 Likningssett Likningssett løses på samme måte som andre likninger med «solve()», men vi taster inn likningene og variabelene som lister med krøllparenteser rundt. Eksempel: Vi skal løse likningssettet 3x 2y = 4 x + 2y = 4 Vi taster inn «solve(3*x-2*y=4,x+2*y=4,x,y);» og får dette: Altså er løsningen x = 2 og y = 1. 19