OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir det servert bløtkake. Førstemann tar halve kaka, nestemann tar halvparten av det som er igjen og slik fortsetter det i det uendelige. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? ) Finn summen av den uendelige rekka. f) En kurve er gitt ved funksjonen r 1 = θ π θ =, π 1) Tegn kurven. ) Finn arealet av det området som ligger under x-aksen og er avgrenset av x-aksen og kurven. Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 1 av 17
OPPGAVE I en bilmotor kan avstanden fra sentrum i veivakselen til toppen av et av motorens stempler beskrives som en funksjon f av tida t. Avstanden er målt i centimeter og tida i sekunder. f( t) = 3,5 sin(1 t + 4, 7) + 17,5 a) Bestem funksjonens amplitude, likevektslinje og periode. b) Tegn en skisse av grafen til f for t,,6 du fant i a).. Marker på grafen størrelsene som c) Farten til stempelet er gitt ved vt () = f () t. 1) Finn et uttrykk for farten til stempelet. ) Bestem den største farten målt i m s. d) Akselerasjonen til stempelet er gitt ved at () = f () t. Hva er den største akselerasjonen til stempelet målt i ms? Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 13 av 17
OPPGAVE 3 Tabellen nedenfor gir fødselsvekten i gram for 5 tilfeldige barn ved et sykehus. Sykehusledelsen ønsker å bruke disse dataene til å estimere forventet fødselsvekt. 57 448 33 46 376 336 45 36 457 18 386 336 355 349 357 95 334 357 335 33 55 385 4 39 354 a) Finn et estimat for forventet fødselsvekt. Hva blir standardfeilen til estimatet? b) Bestem et 9 % konfidensintervall for forventet fødselsvekt. Forskere regner fødselsvekter under 5 g som lav fødselsvekt. Sykehuset regner med at det neste år vil bli født 1 barn ved sykehuset. La Y være antall barn med lav fødselsvekt. Sykehuset antar at Y er binomisk fordelt med p =,5. c) Bestem en verdi A slik at PY ( > A) =,5. Hva forteller denne verdien oss? Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 14 av 17
OPPGAVE 4 Alternativ I Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvarelsen inneholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Mange funksjoner kan skrives som en rekke med uendelig mange ledd. Dette kaller vi rekkeutvikling. Vi skal undersøke rekkeutviklingen for eksponentialfunksjonen. I en formelsamling finner vi: x x 1 1 e 1 n! 6 n 3 = = + x + x + x + n= Denne rekka kalles en Taylorrekke for e x. Når x er et lite tall, kan vi få gode tilnærminger for e x rekka. ved bare å ta med noen få ledd i,5 a) Bruk Taylorrekka ovenfor, og regn ut tilnærmingsverdier for e ved å ta med to, tre og fire ledd i rekka. Kommenter resultatene. b) Bruk delvis integrasjon, og bestem integralet x ed x x. c) Finn en tilnærmet verdi for integralet i b) ved å erstatte e x med de tre første leddene i Taylorrekka. Sammenlign med svaret i b).,5 Vi skal nå undersøke integralet antiderivering.,5 e t dt. Dette integralet kan ikke bestemmes ved De tre første leddene i Taylorrekka for e t er: t 1 4 e 1 t + t d) Bruk Taylorrekka og finn ved regning et tilnærmet uttrykk for integralet e dt. Finn også integralet ved å bruke lommeregneren. Sammenlign resultatene.,5 t e) Bruk Taylorrekka og finn ved regning et tilnærmet uttrykk for integralet e dt. Finn også integralet ved å bruke lommeregneren. Sammenlign resultatene og kommenter. t Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 15 av 17
Alternativ II Funksjonen f er definert ved 1 f( x) = + 1,999 x x a) Tegn grafen til f for x [ 1, 1], og bruk denne til å bestemme koordinatene til bunnpunktet på grafen. De neste spørsmålene handler om en kronisk sykdom som rammer,1 % av befolkningen. For å finne ut om en person har denne sykdommen, må man analysere en blodprøve. b) Vi tar blodprøve av N tilfeldig utvalgte personer. Forklar at sannsynligheten for at minst én av dem har sykdommen, er 1.,999 N I et stort forskningsprosjekt ønsker man å finne fram til alle som har sykdommen i en by med 1 innbyggere. For å slippe å analysere 1 prøver, går man fram på denne måten: Man deler befolkningen inn i grupper på N personer. I hver gruppe tar man litt blod fra hver person og slår det sammen til en kombinert prøve, som man så analyserer. Dersom denne kombinerte prøven ikke inneholder spor av sykdommen, vet man at alle personene i gruppen er friske, og man behøver ikke gjøre flere analyser. Dersom den kombinerte prøven inneholder spor av sykdommen, analyserer man prøven til hver enkelt person i gruppen for å finne ut hvem som er syke. Den stokastiske variabelen X angir hvor mange analyser man gjennomfører i en tilfeldig utvalgt gruppe på N personer når man bruker denne metoden. Da er X enten 1 dersom den kombinerte prøven ikke inneholder spor av sykdommen, eller N + 1 dersom den kombinerte prøven inneholder spor av sykdommen. c) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til X, og vis at forventningsverdien til X er ( ) E( X) = 1+ N 1.999 N d) Forklar hvorfor det forventede antall analyser vi må foreta, er 1 E( X). N Vis at dette uttrykket kan skrives som 1 f( N), der f er funksjonen i a). e) Hvor stor må gruppestørrelsen N være for at det forventede antall analyser skal bli minst mulig? Hva er det forventede antall analyser vi bør foreta? Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 16 av 17
OPPGAVE 5 y O P x Den krumme kurven på figuren er en del av en arkimedisk spiral. Den arkimediske spiralen er grafen til vektorfunksjonen rt () = at cos t, at sint l Her er a en positiv konstant, mens t er en parameter som varierer. Q a) I punktet P på figuren er = π t. Vis at koordinatene til P er ( π, ) a. b) Vis at r ( π ) = a, π a. c) Forklar at en parameterfremstilling for tangenten l i P er gitt ved l : x = πa + a s y = πa s, der parameteren er s. d) Tangenten skjærer y-aksen i punktet Q. Bestem koordinatene til Q. e) Finn arealet av trekanten POQ uttrykt ved a. Vis at denne trekanten har samme areal som en sirkel med sentrum i origo og med radius OP. Visste du at Et av de uløste problemene fra antikkens geometri kalles Sirkelens kvadratur. Problemet går ut på å konstruere et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel. Arkimedes (87 f.kr. 1 f.kr.) brukte spiralen ovenfor til å studere problemet med sirkelens kvadratur. Han forsøkte å løse problemet ved først å lage en trekant med areal πr. Dersom han lyktes med det, var det lett å konstruere et kvadrat med samme areal. Arkimedes viste hvordan man kan finne en slik trekant, men metoden er ikke en løsning av problemet, da Arkimedes spiral ikke kan konstrueres med passer og linjal. Eksamen AA654 Matematikk 3MX elev Side 17 av 17