Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat-1005, diskret matematikk Dato: 1. desember 017 Klokkeslett: 15.00-19.00 Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Kalkulator, ark (4 sider) med eigne notater og Rottmanns tabeller Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Ragnar Soleng 77644014/9956051 Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 16.0 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-907 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Oppgåve 1 a) Bruk metoden i Kinesisk restteorem til å nne x med 0 x < 107 slik at x (mod 9) x (mod 7) b) Bruk rask eksponentiering (modular exponentiation) til å nne 59 mod 7 (Husk at eit rett svar, til dømes et som du lett nner på kalkulator, ikkje teljer. Svaret er 49.) Oppgåve a) Bruk Hu mannkoding til å nne ei optimal koding av desse symbola med tilhøyrande frekvensar: (a : 0:06); (b : 0:); (c : 0:5); (d : 0:0); (e : 0:17): b) Rekn ut gjennomsnittleg antal bit per bokstav som må til for å kode ein tekst frå alfabetet fa; b; c; d; eg der kvar bokstav har nevnde frekvens. Oppgåve Ein Boolsk funksjon i tre variablar, F (x; y; z); har output som i tabell 1. a) Lag "Sum av produktutviklinga til F (x; y; z)". b) Vis at F (x; y; z) = xz +xy ved å samanlikne output (sannhetstabell). c) Vis at F (x; y; z) = x z + x y ved å bruke Karnaugh maps. x y z F (x; y; z) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 Tabell 1
Oppgåve 4 Ein uretta graf G med hjørnene listet i rekkefølge fa; b; c; d; e; f; gg er gitt ved nabomatrisa (Adjacency matrix) 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 6 1 0 1 0 0 0 0 7 4 1 1 1 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1 0 a) Tekn grafen. b) Har grafen ein Euler sykel? Har den ein Euler sti? c) Relasjon R på fa; b; c; d; e; f; gg er de nert ved at to hjørner er relaterte viss det går ein kant mellom dei. Er R er transitiv? Husk å forklare. Oppgåve 5 La a n vere talet passord av lengde n 1 frå alfabetet fa; b; c; 0; 1g som er slik at om passordet inneheld eit tal (0 eller 1), så må det stå ein a, eller ein b på plassen foran. Så cab1a0 og acacab er lovlege strengar av lengde 6, men ac1ab0 er ulovleg. a) Grunngje at a n = a n 1 + 4a n : b) Forklar at a 1 = : Kva er a? c) Løys di erenslikninga a n = a n 1 + 4a n med dei startverdiane du fann i oppgåve b). Om du ikkje fann a 1 og a i b), så løys likninga med a 1 = og a = 1: Oppgåve 6 15 personer skal deles i grupper på 5. a) Kor mange slike inndelingar ns det? b) Are og Britt er blant dei 15 personane. Kva er sannsynet for at dei havner i same gruppe? Denne oppgåva kan gjørast sjølv om du ikkje har fått til oppgåve a).
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-1005, Diskret matematikk Dato: 1. desember 017 Klokkeslett: 15.00-19.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, ark (4 sider) med egne notater, Rottmanns tabeller Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Ragnar Soleng 77644014/9956051 Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 16.0 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-907 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Oppgave 1 a) Bruk metoden i Kinesisk restteorem til å nne x med 0 x < 107 slik at x (mod 9) x (mod 7) b) Bruk rask eksponentiering (modular exponentiation) til å nne 59 mod 7 (Husk at et rett svar, for eksempel et som du lett nner på kalkulator, ikke teller. Svaret er 49.) Oppgave a) Bruk Hu mannkoding til å nne ei optimal koding av disse symbolene med tilhørende frekvenser: (a : 0:06); (b : 0:); (c : 0:5); (d : 0:0); (e : 0:17): b) Regn ut gjennomsnittlig antall bit per bokstav som må til for å kode en tekst fra alfabetet fa; b; c; d; eg der hver bokstav har frekvens som ovenfor. Oppgave En Boolsk funksjon i tre variablar, F (x; y; z); har output som i tabell 1. a) Lag "Sum av produktutviklinga til F (x; y; z)". b) Vis at F (x; y; z) = x z + x y ved å sammenligne output (sannhetstabell). c) Vis at F (x; y; z) = x z + x y ved å bruke Karnaugh maps. x y z F (x; y; z) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 Tabell 1
Oppgave 4 En uretta graf G med hjørnene listet i rekkefølge fa; b; c; d; e; f; gg er gitt ved nabomatrisa (Adjacency matrix) 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 6 1 0 1 0 0 0 0 7 4 1 1 1 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1 0 a) Tegn grafen. b) Har grafen en Euler sykel? Har den en Euler sti? c) Relasjon R på fa; b; c; d; e; f; gg er de nert ved at to hjørner er relaterte hvis det går en kant mellom dem. Er R er transitiv? Husk å forklare. Oppgave 5 La a n være antall passord av lengde n 1 fra alfabetet fa; b; c; 0; 1g som er slik at om passordet inneholder et tal (0 eller 1), så må det stå en a, eller en b på plassen foran. Så cab1a0 og acacab er lovlige strenger av lengde 6, mens ac1ab0 er ulovlig. a) Grunngi at a n = a n 1 + 4a n : b) Forklar at a 1 = : Hva er a? c) Løs di erensligninga a n = a n 1 + 4a n med de startverdiene du fant i Oppgave b). Om du ikke fant a 1 og a i b), så løs ligninga med a 1 = og a = 1: Oppgave 6 15 personer skal deles i grupper på 5. a) Hvor mange slike inndelinger ns det? b) Are og Britt er blant de 15 personane. Hva er sannsynligheten for at de havner i samme gruppe? Denne oppgaven kan gjørest selv om du ikke har fått til Oppgave a).