Oversigt [LA] 0 Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Hvordan findes egenværdier Karakteristisk polynomium Egenrum Uafhængige egenvektorer Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum Calculus 2-2006 Uge 44. -
Vektorer skaleres Definition 0.3 Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Definition 0.3 Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Hvis u 0 kaldes λ en egenværdi for A og u er en egentlig egenvektor. Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Definition 0.3 Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Hvis u 0 kaldes λ en egenværdi for A og u er en egentlig egenvektor. Nulvektoren er altid en egenvektor, men uden egenværdi. Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Eksempel 0.4 Au = λu u For en egenvektor gælder Au Span(u) Calculus 2-2006 Uge 44. - 3
Mange egenvektorer Eksempel 0.5 Identitetsmatricen I n opfylder for alle vektorer u. I n u = u Calculus 2-2006 Uge 44. - 4
Mange egenvektorer Eksempel 0.5 Identitetsmatricen I n opfylder for alle vektorer u. I n u = u Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet er eneste egenværdi. Calculus 2-2006 Uge 44. - 4
Mange egenvektorer Eksempel 0.5 - fortsat Nulmatricen 0 n opfylder 0 n u = 0 for alle vektorer u. Calculus 2-2006 Uge 44. - 5
Mange egenvektorer Eksempel 0.5 - fortsat Nulmatricen 0 n opfylder 0 n u = 0 for alle vektorer u. Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet 0 er eneste egenværdi. Calculus 2-2006 Uge 44. - 5
Gættet eksempel Eksempel 0.6 Matricen A = ( ) 0 0 3 har egentlige egenvektorer ( ) u = e = 0 med tilhørende egenværdier,u 2 = e 2 = ( ) 0 λ =,λ 2 = 3 Calculus 2-2006 Uge 44. - 6
Gættet eksempel Eksempel 0.6 - fortsat Dette følger af udregningerne ( 0 0 3 ) ( ) 0 = ( ) 0 = ( ) ( ) 0 Au = λ u ( 0 0 3 ) ( ) 0 = ( ) 0 3 = 3 ( ) 0 Au 2 = λ 2 u 2 Calculus 2-2006 Uge 44. - 7
Gættet eksempel Eksempel 0.6 - fortsat - figur y Au 2 = 3u 2 u 2 Au = u u x Calculus 2-2006 Uge 44. - 8
Note eksempel Eksempel 0.7 Af udregningen ( ) ( ) 3 3 3 2 4 fås, at matricen A = u = ( ) 3 = ( ) 6 2 = 2 ( ) 3 ( ) 3 3 har en egentlig egenvektor 2 4 med egenværdi λ = 2. Calculus 2-2006 Uge 44. - 9
Note eksempel Eksempel 0.7 - fortsat - figur y Au = 2u u = ( 3,) x Calculus 2-2006 Uge 44. - 0
Ligninger og egenværdi Bemærkning 0.0 Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet a x +... + a n x n = λx a 2 x +... + a 2n x n = λx 2. a n x +... + a nn x n = λx n har ikke-nul (egentlige) løsninger. Calculus 2-2006 Uge 44. -
Matrixligning og egenværdi Bemærkning 0.0 - fortsat Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet Ax = λx har ikke-nul (egentlige) løsninger x R n. Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Matrixligning og egenværdi Bemærkning 0.0 - fortsat Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet Ax = λx har ikke-nul (egentlige) løsninger x R n. Dette kan skrives (A λi n )x = 0 og er dermed et homogent lineært ligningssystem med koefficientmatrix A λi n Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Determinant og egenværdi Sætning 0. Lad A være en n n-matrix og λ er tal. Så er følgende ækvivalent:. λ er en egenværdi. 2. Det homogene ligningssystem med koefficientmatrix A λi n har egentlige (ikke-nul) løsninger. 3. Determinanten A λi n = 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 3
Determinant og egenværdi Definition 0.2 Det karakteristiske polynomium af en n n-matrix A er n-te grads polynomiet A λi n Calculus 2-2006 Uge 44. - 4
Determinant og egenværdi Definition 0.2 Det karakteristiske polynomium af en n n-matrix A er n-te grads polynomiet A λi n Skematisk A λi n = a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n...... a n a n2 a nn λ = ( ) n λ n + + A Calculus 2-2006 Uge 44. - 4
Determinant og egenværdi Definition 0.2 Det karakteristiske polynomium af en n n-matrix A er n-te grads polynomiet A λi n Skematisk A λi n = a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n...... a n a n2 a nn λ = ( ) n λ n + + A Så ledende koefficient er ( ) n og konstantleddet er determinanten A. Calculus 2-2006 Uge 44. - 4
Karakteristisk polynomium Eksempel 0.3 Det karakteristiske polynomium af en 2 2-matrix A er andengrads polynomiet a λ a 2 a 2 a 22 λ = (a λ)(a 22 λ) a 2 a 2 = λ 2 (a + a 22 )λ + (a a 22 a 2 a 2 ) Calculus 2-2006 Uge 44. - 5
Trekantsmatrix Eksempel 0.4 Udregningen a λ a 2 a n 0 a 22 λ a 2n...... 0 0 a nn λ = (a λ)(a 22 λ) (a nn λ) viser at egenværdierne i en trekantsmatrix netop udgøres af diagonal indgangene. Calculus 2-2006 Uge 44. - 6
Egengenrum Sætning 0.6 Lad A være en n n-matrix og λ en egenværdi. Så er mængden af egenvektorer for A hørende til egenværdien λ et lineært underrum af R n. Mere præcis er det nulrummet N A λi for matricen A λi. Calculus 2-2006 Uge 44. - 7
Egengenrum Sætning 0.6 Lad A være en n n-matrix og λ en egenværdi. Så er mængden af egenvektorer for A hørende til egenværdien λ et lineært underrum af R n. Mere præcis er det nulrummet N A λi for matricen A λi. Definition 0.7 Dette kaldes egenrummet hørende til λ og betegnes E λ = N A λi Calculus 2-2006 Uge 44. - 7
Egengenrum Sætning 0.8 Lad A være en n n-matrix og u,...,u k egentlige egenvektorer hørende til parvis forskellige egenværdier λ,...,λ k. Så er sættet u,...,u k lineært uafhængig. Calculus 2-2006 Uge 44. - 8
Egengenrum Sætning 0.8 Lad A være en n n-matrix og u,...,u k egentlige egenvektorer hørende til parvis forskellige egenværdier λ,...,λ k. Så er sættet u,...,u k lineært uafhængig. Bevis For en fremstilling a u + + a m u m = 0, a m 0 gælder efter multiplikation med (A λ I)...(A λ m I), at (λ m λ )...(λ m λ m )a m = 0. Da egenværdierne er forskellige giver det modstriden a m = 0. Calculus 2-2006 Uge 44. - 8
Andengradsligning Eksempel 0.20 Fra andengradspolynomiet 3 λ 3 2 4 λ = (3 λ)( 4 λ) 3 ( 2) = λ2 + λ 6 fås, at matricen A = ( ) 3 3 2 4 har de to rødder som egenværdier. λ = 3, λ 2 = 2 Calculus 2-2006 Uge 44. - 9
Beregn egenrum Eksempel 0.20 - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 3 2 4 λ = ( ) 6 3 2 ( ) 2 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 20
Beregn egenrum Eksempel 0.20 - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 3 2 4 λ Heraf fås egenvektorerne ( ) ( x x 2 hvor x 2 vælges frit. = = 2 x 2 x 2 ( ) 6 3 2 ) = x 2 ( 2 ) ( ) 2 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 20
Beregn egenrum Eksempel 0.20 - fortsat For λ 2 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 2 3 2 4 λ 2 = ( ) 3 2 6 ( ) 3 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Beregn egenrum Eksempel 0.20 - fortsat For λ 2 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 2 3 2 4 λ 2 Heraf fås egenvektorerne ( ) ( hvor x 2 vælges frit. x x 2 = = 3x 2 x 2 ( ) 3 2 6 ) = x 2 ( ) 3 ( ) 3 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 2
Egenrum Eksempel 0.20 - fortsat Matricen A = ( ) 3 3 2 4 har egenværdier og egenrum E 3 = Span{ λ = 3, λ 2 = 2 ( 2 ) ( ) 3 }, E 2 = Span{ } Calculus 2-2006 Uge 44. - 22
Egenrum underrum Eksempel 0.20 - fortsat - figur y E 3 E 2 ( 3,) (.5,) x Calculus 2-2006 Uge 44. - 23
Tredjegradsligning Eksempel 0.2 λ 0 0 λ = 2 λ λ ( λ) λ 0 0 2 λ + 0 λ 2 har tre rødder = λ 3 + 3λ 2 2λ λ = 0,, 2 Calculus 2-2006 Uge 44. - 24
Egenværdier Eksempel 0.2 - fortsat 3 3-matricen A = 0 0 2 har karakteristisk polynomium A λi 3 = λ 3 + 3λ 2 2λ og egenværdier λ = 0, λ 2 =, λ 3 = 2 Calculus 2-2006 Uge 44. - 25
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ = 0 er koefficientmatricen 0 A = 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 26
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ = 0 er koefficientmatricen 0 A = 0 2 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x 3 er en fri variabel. x + x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 26
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat Dette giver x = x 3 x 2 = x 3 Calculus 2-2006 Uge 44. - 27
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat Dette giver Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = x = x 3 x 2 = x 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 Calculus 2-2006 Uge 44. - 27
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 A I = 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 28
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 A I = 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x 2 er en fri variabel. x 2 x 2 = 0 x 3 = 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 28
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat Dette giver x = 2 x 2 x 3 = 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 29
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat Dette giver x = 2 x 2 x 3 = 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x x 2 x 3 = 2 x 2 x 2 0 = x 2 2 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 29
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ 3 = 2 er koefficientmatricen 0 A 2I = 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 30
Egenvektorer Eksempel 0.2 - fortsat For λ 3 = 2 er koefficientmatricen 0 A 2I = 0 2 0 0 0 0 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = x 3 x 3 x 3 = x 3 Calculus 2-2006 Uge 44. - 30
Egenrum Eksempel 0.2 - fortsat A = 0 0 2 har egenværdier λ = 0, λ 2 =, λ 3 = 2 og egenrum 2 E 0 = Span{ }, E = Span{ }, E 2 = Span{ } 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 3
Egenvektorer Eksempel 0.2 - figur (,,) z x (,,) (0.5,,0) y Egenvektorer Calculus 2-2006 Uge 44. - 32
Tredjegradsligning Eksempel 0.22 λ 0 0 0 λ 0 λ = ( λ) λ λ har en rod og en dobbelt rod = ( λ) 2 ( + λ) λ =, Calculus 2-2006 Uge 44. - 33
Egenværdier Eksempel 0.22 - fortsat 3 3-matricen A = 0 0 0 0 0 0 har karakteristisk polynomium A λi 3 = ( λ) 2 ( + λ) og egenværdier λ =, λ 2 = λ 2 siges at have multiplicitet 2. Calculus 2-2006 Uge 44. - 34
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ = er koefficientmatricen 2 0 0 A + I = 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 35
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ = er koefficientmatricen 2 0 0 A + I = 0 0 0 0 0 0 0 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = 0 x 3 = x 3 x 3 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 35
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 0 A I = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 36
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 0 A I = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x,x 3 er en frie variable. x 2 x 3 = 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 36
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat Dette giver x 2 = x 3 Calculus 2-2006 Uge 44. - 37
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat Dette giver x 2 = x 3 Heraf fås egenvektorerne x x 2 x 3 = hvor x,x 3 vælges frit. x x 3 x 3 = x 0 + x 3 0 0 Calculus 2-2006 Uge 44. - 37
Egenvektorer Eksempel 0.22 - figur (0,,) z (0,,) x (,0,0) Egenvektorer y Calculus 2-2006 Uge 44. - 38
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ = er egenrummet 0 E = Span{ } Calculus 2-2006 Uge 44. - 39
Egenvektorer Eksempel 0.22 - fortsat For λ = er egenrummet 0 E = Span{ } For λ 2 = er egenrummet E = Span{ 0, 0 0 } Calculus 2-2006 Uge 44. - 39