NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME Eksamensdag: 10. desember 2004 Tid for eksamen: Kl. 09:00-12:30 (3,5 timer) Tillatte hjelpemidler: B1: utdelt kalkulator, ingen andre hjelpemidler. Kontakt med foreleser under eksamen: Besøk i eksamenslokalet ca klokken 11:00. Telefonkontakt: Klas Pettersen, tlf: 8821, mob: 950 50 294. Informasjon: Alle deloppgaver teller likt. På siste side av oppgavesettet vil du finne noen aktuelle formler. Oppgavesettet er på 5 sider. Klas Pettersen, NLH Arnt Inge Vistnes, UiO (sensor) Oppgave 1 a) Hvilke av Maxwells likninger hadde blitt annerledes dersom magnetiske monopoler hadde eksistert? Forklar hvorfor. b) Forklar sammenhengen mellom Poyntings vektor og intensiteten til elektromagnetisk stråling. Vis at intensiteten til plane, lineære, elektromagnetiske bølger i vakum kan skrives I = E mb m 2µ 0, der E m og B m er amplitudeverdiene til elektrisk og magnetisk felt. c) Gitt et tynt kuleskall med radius R og homogent fordelt ladning Q. Hvor stor er kraften som virker på en partikkel med ladning q dersom partikkelen q er innenfor kuleskallet (r < R)? Hva er kraften som virker på partikkelen dersom den er utenfor kuleskallet (r > R)? d) Vi tenker oss nå at vi har en kule med radius R og ladning Q homogent fordelt gjennom hele kulas volum. Hva blir elektrisk felt for alle r? 1
e) Vi ser fremdeles på kula fra oppgave d. Hva blir uttrykket for elektrisk potensial for alle r? f) Vi legger fire kuleskall konsentrisk om kulen fra oppgave d. Kuleskallene har radier r 1, r 2, r 3 og r 4, alle større enn R og alle mellom eller lik to gitte verdier r a og r b. Kuleskallene har tilhørende ladninger på henholdsvis q 1 = 2Q/3, q 2 = Q/3, q 3 = Q/3 og q 4 = 2Q/3. Hva må radiene til disse kuleskallene være dersom man vil ha null elektrisk felt innenfor intervallet r a, r b? Oppgave 2 a) Beskriv følgende likning med ord ε = N dφ B dt = L di dt, og fortell hvilken/hvilke av Maxwells likninger som ligger bak likningen. I(t) V(t) L Figure 1: Til oppgave 2 b). b) Strømmen gjennom en spole er gitt ved I = I 0 cos ωt (se figur 1). Vis at strømmen og spenningen gjennom spolen er faseforskjøvet og vis/forklar hvordan dette blir inkorporert når vi regner med komplekse impedanser og Ohms generaliserte lov. c) Vi tenker oss at en elektrisk ledende (gitar-) streng svinger i sin fundamentalfrekvens i xy-planet (stående bølge). Et område der strengen svinger har et homogent magnetfelt normalt på svingeplanet (se figur 2). Vis at dersom strengens posisjon er gitt ved y = (a sin kx) cos ωt, er indusert spenning mellom endepunktene av strengen gitt ved ε = aωb k (cos kx 0 cos[k(x 0 + h)]) sin ωt, 2
y x x 0 h Bin Figure 2: Til oppgave 2 c). hvor x 0 er avstanden fra øverste nodepunkt til magnetfeltet og h er høyden til området med homogent magnetfelt. Oppgave 3 a) Gitt en serie RLC krets med vekselspenning V (t) = V 0 cos ωt. Finn kompleks impedans og strømmen i kretsen. b) Tegn et fasordiagram for serie RLC-kretsen og forklar hva dette viser. c) Finn resonansvinkelfrekvensen til RLC-kretsen og vis at gjennomsnittlig effekt levert av spenningskilden kan uttrykkes som P av = hvor ω 0 er resonansvinkelfrekvensen. V 2 rmsrω 2 R 2 ω 2 + L 2 (ω 2 ω 2 0 )2, d) Hva beskriver kvalitetsfaktoren Q? Tegn og forklar. e) Vi antar nå at fundamentalfrekvensen til strengen i oppgave 2 tilsvarer resonansfrekvensen i oppgave 3 c. Strengen fra oppgave 2 blir så koplet i serie til kretsen (se figur 3), noe som medfører at den totale resistansen og induktansen til kretsen forandrer seg noe. Vi vil at kretsen skal beholde resonansfrekvens som svarer til strengens fundamentalfrekvens, og oppnår dette ved å justere kapasitansen. Ved resonans er kretsens nye induktans gitt ved L = L + L og resistans R = R + R. Kapasitansen justeres til sin nye verdi C = C + C. Hva blir verdien C dersom vi vil ha samme resonansfrekvens som i oppgave c? f) Finn strengens amplitude a for denne resonansfrekvensen. 3
y V(t) x R x 0 h Bin L C Figure 3: Til oppgave 3 e). 4
Maxwells likninger på integral form: Biot-Savarts lov: Lorentz kraftlov: E da S = Q ɛ 0 B da = 0 S E ds = dφ B dt B ds = µ 0 (I + ɛ 0 dφ E dt ) db = µ 0 Ids ˆr 4π r 2 F = qe + qv B Klas Pettersen, tlf: 8821, mob: 950 50 294 5